初升高數(shù)學(xué)銜接知識專題講義3學(xué)生用

1、一、數(shù)與式的運算必會的乘法公式【公式 1】（a b c）2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca證明：（ab c）2（a b） c2 （ab）22（ab）cc22_2_2222_a 2abb2ac 2bc c abc2ab2bc 2ca等式成立1c【例1】計算：（x2 瓜-）2 3說明：多項式乘法的結(jié)果一般是按某個字母的降哥或升哥排列._2233、 一【公式2】（a b）（a ab b ） a b （立方和公式）證明：(a b)(a2 ab b2) a3 a2b ab2 a2b ab2 b3 a3 b3說明：請同學(xué)用文字語言表述公式 2.【例 2】計算： (2a+b) (4a2-2ab+b

2、2) =8 a3+b3_2233I【公式3】(a b)(a ab b ) a b (立方差公式)1 .計算(1) (3x+2y) (9x2-6xy+4y2)=(2) (2x-3) (4x2+6xy+9)=(3)1 (1m23 4(4) (a+b) (a2-ab+b2) (a-b) (a2+ab+b2)=2.利用立方和、立方差公式進行因式分解(1) 27m3-n3=(2) 27m3-1 n3= 8(3) x3-125=(4) m6-n6=【公式 4】(a b)3 a3 b3 3a2b 3ab2【公式 5】(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3【例3】計算：2、，1112112、(1)(4m

3、)(164mm )(2)(- m- n)(mmn - n)5225104(3)(a2)(a2)(a44a216)(4)(x22xy y2)(x2xy y2)2說明：(1)在進行代數(shù)式的乘法、除法運算時，要觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)是否滿足乘法公式 的結(jié)構(gòu).(2)為了更好地使用乘法公式，記住1、2、3、4、20的平方數(shù)和1、2、3、4、10的立方數(shù)，是非常有好處的.1【例4】已知x2 3x 1 0 ,求x3 的值.x說明：本題若先從方程x2 3x 1 0中解出x的值后，再代入代數(shù)式求值，則計算較煩 瑣.本題是根據(jù)條件式與求值式的聯(lián)系，用整體代換的方法計算， 簡化了計算.請注意整體代換法.本題的解法，體現(xiàn)了

4、 “正難則反”的解題策略，根據(jù)題求利用題知，是明智之舉.1 11111【例5】已知a b c 0,求 a( ) b( ) c()的值.bccaab說明：注意字母的整體代換技巧的應(yīng)用.【例6】設(shè)x 7l,y求x3 y3的值.2 .32，3說明：有關(guān)代數(shù)式的求值問題：(1)先化簡后求值；(2)當(dāng)直接代入運算較復(fù)雜時，可根據(jù)結(jié) 論的結(jié)構(gòu)特點，倒推幾步，再代入條件，有時整體代入可簡化計算量.二、因式分解因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形.在分式運算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用.是一種重要的基本技能.因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法(

5、平方差公式和完全平方公式)外，還有公式法(立方和、立方差公式 卜十字相乘法和分組分解法等等.(一)、公式法【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多項式：3 3(1) 8 x(2) 0.125 27b分析：(1)中，8 23, (2)中 0.125 0.53,27b3 (3b)3 .說明：(1)在運用立方和(差)公式分解因式時，經(jīng)常要逆用哥的運算法則，如8a3b3 (2ab)3,這里逆用了法則(ab)n anbn ； (2)在運用立方和(差)公式分解因式時， 一定要看準(zhǔn)因式中各項的符號.【例2】分解因式：(1) 3a3b 81b4(2) a7 ab6(二卜分組分解法從前面可以看出，能夠直接運用公

6、式法分解的多項式，主要是二項式和三項式.而對于四項以上的多項式，如ma mb na nb既沒有公式可用，也沒有公因式可以提取.因此，可以先將多項式分組處理.這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法.分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組.1 .分組后能提取公因式【例3】把2ax 10ay 5by bx分解因式.2 .分組后能直接運用公式_ . ._ .22一.【例4】把x y ax ay分解因式【例5】把2x2 4xy 2y2 8z2分解因式.(三)拆、添項法【例6】分解因式x3 3x2 4一般地，把一個多項式因式分解，可以按照下列步驟進行:(1)如果多項式各項有公因式，那么先提取公因式;(2)如果各

7、項沒有公因式，那么可以嘗試運用公式來分解;(2)(3)如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組或其它方法(如十字相乘法)來分解;3 m(1) a3 2727 x32 .把下列各式分解因式:34(1) xy x(2)2 / 2y (x2x)33 .把下列各式分解因式:2_(1) x 3x 2(2)6x2724mn 5n4 .把下列各式分解因式: ax5 10ax4 16ax3(2)1b6anb2/ 2(x2x)2- 22 8x 26xy 15y7(a2b) 5(a b)5 .把下列各式分解因式:3ax3ay xy3. 2(2) 8x 4x 2x5x215x2xy6y4xy1 4x24.3 22

8、 3a b a b a bab4(6)66 c 3,x y 2x 1x2(x1) y(xy x)6.已知22 .ab的值.2_ 2-,ab 2 ,求代數(shù)式a b 2a b 37.證明：當(dāng)n為大于2的整數(shù)時,53 .n 5n 4n能被120整除.38.已知a b c 0,求證：a2. 2., 3-a cb cabcb0.三、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系【例1】已知實數(shù)x、y滿足x2 y2 xy 2x y 1 0 ,試求x、y的值.四、一元高次方程的解法含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)白最高次項的次數(shù)大于2的整式方程叫做一元高次方程。一兀一次方程或一兀二次方程，從而求出一兀高次方程的解。1】 解方程 (1)

9、 x3+3x2-4x=0(2) x4-13x2+36=0一元高次方程的解法通常用試根法因式分解或換元法達到降次的目的，轉(zhuǎn)換為【例(1) x3+5x2-6x=0(2) (x2-3x) 2-2 (x2-3x) -8=0五、三元一次方程組的解法舉例1) .三元一次方程組的概念：三一次方程組中含有三個未知數(shù)，每個方程的未知項的次數(shù)都是1,并且一共有三個方程。注：(1)朱知項”與 朱知數(shù)”不同。(2)每個方程不一定都含有三個未知數(shù)。兀 +十 = d a2x d2它的一般形式是空地小+卞未知項的系數(shù)不全為零，其中每一個方程都可以是三元、二元、一元一次方程，但方程組中一定要有三個未知數(shù)。2) .解三元一次方

10、程組的基本思想方法是：【例1】解方程組3工+4工=7,(1)$ 2芯小3丁 +上=9,(2)+- 3L 【例2】解方程組十Ay十下二14CDx+5y+ 2z - 172x-2y-z = 31.解下列三元一次方程組工十/ 4-2= 152x+3j-z =95 萬下一2 二 0(3+ = 3& +七：=6c+a = 93x-4y-5z =182x + - 6名=W3)弄 尸 己 二二 2 .已知 34$ ,且 x+y+z=24 ,求 x、y、z 的值。3 .代數(shù)式ax2+bx+c在x為1, -1, 2時，它的值分別是-6, -8, -11,求:a, b, c的值；當(dāng)x=-4時，求代數(shù)的值。* 4

11、.已知 2x+5y+4z=0 , 3x+y-7z=0 ,且 xyz 豐 0t+l+e求：2犬一力+般的值。x+p _z +A* 5.已知 61,且 xyz w。求 x： y： z.10元，鉗金筆每支3元，圓珠筆每* 6.用100元恰好買了三種筆共 100支，其中金筆每支支0. 5元，試問三種筆各買了多少支？六、簡單的二元二次方程組的解法舉例(1)二元二次方程及二元二次方程組觀察方程好+ 工斗丁二方，此方程的特點：含有兩個未知數(shù)；是整式方程;含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2.定義：含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程叫做二元次方程.二元二次方程的一般形式是:依2 4加y +卬*

12、+公+郎4（a、b、c不同時為零） 其中口” 、則六葉In叫做二次項， 辦、呼叫做一次項，/叫做常數(shù)項定義：二元二次方程組即有兩個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的方程組由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的方程及兩個二元二次方程組成的方程組是我們所研究的二元二次方程組 .例如：（2 +32 /*2察+戶1*,二12都是一兀一次方程組.，工 中，二 52x2 + 3號 + r + / = 1（2）二元二次方程組求解的基本思想是轉(zhuǎn)化”，即通過 降次“、梢元”，將方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程或二元一次方程組。由于這類方程組形式龐雜，解題方法靈活多樣，具有較 強的技巧性，因而在解這類方程組時，要認(rèn)真分

13、析題中各個方程的結(jié)構(gòu)特征，選擇較恰當(dāng) 的方法。由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組的解法我們已經(jīng)學(xué)過二元一次方程組的解法，所謂解二元一次方程組就是求方程組中兩個方程的公共解，同樣，解二元二次方程組也就是求方程組中兩個方程的公共解解二元二次方程組的基本思想是消元和降次， 消元就是化二元為一元， 降次就是把二次 降為一次，因此可以通過消元和降次把二元二次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組、一元二次方程甚至一元一次方程.對于由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組來說，代入消元法是解這類方程組的基本方法 .【例1】解方程組 1 -白解十工十-1=口2 x-1 - 0例2.

14、解方程組xyy 7(1)10(2)*1.解方程組3x2.2xy 4y 3x 4y 0y2 25*2.解方程組3x2 xy3x2 31xyy2 155y2453.解方程組22x y 5xy 2七、平面上任意兩點間距離1、數(shù)軸上任意兩點間距離：|AB| |xB xA |例1.已知數(shù)軸上三點 A、B、C的坐標(biāo)分別為4、-2、-6.求| AB |、| BC |、| AC |解：|AB| |( 2) 4| 6 |BC| |( 6) ( 2) | 4| AC | |4 ( 6) | 102、平面上任意兩點間距離：在直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知兩點PKxyJ、P2(x2,y2),則IPP2I J(x2 x1)2 (y2 y1)2例2.在直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知兩點 A(6, 4)、B( 2, 2),求這兩點間距離|AB|.解：| AB| .( 2 6)2 ( 2 ( 4)2. 64