卡方檢驗(yàn)及其應(yīng)用

1、卡方檢驗(yàn)及其應(yīng)用一、卡方檢驗(yàn)概述:卡方檢驗(yàn)主要應(yīng)用于計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)的分析,對(duì)于總體的分布不作任何假設(shè),因此它屬于非參 數(shù)檢驗(yàn)法中的一種.它由統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜推導(dǎo).理論證實(shí),實(shí)際觀察次數(shù)f.與理論次數(shù)fe, 又稱期望次數(shù)之差的平方再除以理論次數(shù)所得的統(tǒng)計(jì)量,近似服從卡方分布,可表示為:/ = Z寫紅、產(chǎn)這是卡方檢驗(yàn)的原始公式,其中當(dāng)fe越大,近似效果越好.顯然fo與仁相差越大,卡方 值就越大；fo與C相差越小,卡方值就越?。灰虼怂軌蛴脕?lái)表示£,與相差的程度.根據(jù)這 個(gè)公式,可認(rèn)為卡方檢驗(yàn)的一般問(wèn)題是要檢驗(yàn)名義型變量的實(shí)際觀測(cè)次數(shù)和理論次數(shù)分布之 間是否存在顯著差異.一 般用卡方檢驗(yàn)方法進(jìn)行統(tǒng)

2、計(jì)檢驗(yàn)時(shí),要求樣本容量不宜太小,理論次數(shù)25,否那么需要 進(jìn)行校正.如果個(gè)別單元格的理論次數(shù)小于5,處理方法有以下四種：1、單元格合并法：2、 增加樣本數(shù)；3、去除樣本法；4、使用校正公式.當(dāng)某一期里次數(shù)小于5時(shí),應(yīng)該利用校正公式計(jì)算卡方值.公式為：J e二、卡方檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)原理： 卡方檢驗(yàn)所檢測(cè)的是樣本觀察次數(shù)或百分比與理論或總體次數(shù)或百分比的 差異性. 理論或總體的分布狀況,可用統(tǒng)計(jì)的期望值理論值來(lái)表達(dá). 卡方的統(tǒng)計(jì)原理,是取觀察值與期望值相比擬.卡方值越大,代表統(tǒng)計(jì)量與理論值的 差異越大,一旦卡方值大于某一個(gè)臨界值,即可獲得顯著的統(tǒng)計(jì)結(jié)論.三、卡方檢驗(yàn)的主要應(yīng)用：1、獨(dú)立性檢驗(yàn)第1頁(yè)共5頁(yè)

3、獨(dú)立性檢驗(yàn)主要用于兩個(gè)或兩個(gè)以上因素多項(xiàng)分類的計(jì)數(shù)資料分析,也就是研究?jī)深愖?最之間的關(guān)聯(lián)性和依存性問(wèn)題.如果兩變量無(wú)關(guān)聯(lián)即相互獨(dú)立,說(shuō)明對(duì)于其中一個(gè)變最而言, 另一變量多項(xiàng)分類次數(shù)上的變化是在無(wú)差范用之內(nèi);如果兩變量右關(guān)聯(lián)即不獨(dú)立,說(shuō)明二者 之間有交互作用存在.獨(dú)立性檢驗(yàn)一般采用列聯(lián)表的形式記錄觀察數(shù)據(jù),列聯(lián)表是由兩個(gè)以上的變量進(jìn)行交 叉分類的頻數(shù)分布表,是用于提供根本調(diào)查結(jié)果的最常用形式,可以清楚地表示定類變量之間 是否相互關(guān)聯(lián).又可具體分為：(1)四格表的獨(dú)立性檢驗(yàn):又稱為2*2列聯(lián)表的卡方檢驗(yàn).四格表資料的獨(dú)立性檢驗(yàn)用于 進(jìn)行兩個(gè)率或兩個(gè)構(gòu)成比的比擬.是列聯(lián)表的一種最簡(jiǎn)單的形式.a)專

4、用公式：假設(shè)四格表資料四個(gè)格子的頻數(shù)分別為a, b, c,d,那么四格表資料卡方檢驗(yàn)的卡方值F* (ad-bc) -2/(a+b) (c+d) (a+c) (b+d),自由度 v二(行數(shù)1) * (列數(shù)T)b)應(yīng)用條件：要求樣本含量應(yīng)大于40且每個(gè)格子中的理論頻數(shù)不應(yīng)小于5.當(dāng)樣本含量大于40但理 論頻數(shù)有小于5的情況時(shí)卡方值需要校正,即公式?=工些二止22,當(dāng)樣本含量 fe小于40時(shí)只能用確切概率法計(jì)算概率.(2)、行李列表資料的獨(dú)立性檢驗(yàn)：乂稱為R*C列聯(lián)表的卡方檢驗(yàn).行文列表資料的獨(dú)立性 檢驗(yàn)用于多個(gè)率或多個(gè)構(gòu)成比的比擬.a)專用公式：r 行 c 列表資料卡方檢驗(yàn)的卡方值!>* (

5、An/nini+Ai2/nin2+.+Are/nrnc) 1b)應(yīng)用條件:要求每個(gè)格子中的理論頻數(shù)T均大于5或1T5的格子數(shù)不超過(guò)總格子數(shù)的1/5.當(dāng) 有T<1或1(T5的格子較多時(shí),可采用并行并列、刪行刪列、增大樣本含量的方法使其符 令行*列表資料卡方檢驗(yàn)的應(yīng)用條件.多個(gè)率的兩兩比擬可采用行*列表分割的方法.第2頁(yè)共5頁(yè)f .f獨(dú)立性檢驗(yàn)的理論頻數(shù)的計(jì)算公式為：=上;A公式中,小i表示橫行各組實(shí)際頻數(shù)的總和：fyi表示縱列各組實(shí)際頻數(shù)的總和；N表示樣本容量的總和；例1：為了解男女在公共場(chǎng)所禁煙上的態(tài)度,隨機(jī)調(diào)查100名男性和80名女性.男性中有58 人贊成禁煙,42人不贊成：而女性中那

6、么有61人贊成,19人不贊成.那么,男女在公 共場(chǎng)所禁煙的問(wèn)題所持態(tài)度不同？贊成不贊成行總和男性foil =58fb12=42RI = 100女性fo21 =62fb22 =18R2 = 80列總和Cl = 120C2=60T=180解：1提出零假設(shè)H.：男女對(duì)公共場(chǎng)所禁煙的態(tài)度沒(méi)有差異.2確定自由度為2-1 21 =1,選擇顯著水平.=0.05o3求解男女對(duì)在公共場(chǎng)舍抽煙的態(tài)度的期望值,這里采用所在行列的合計(jì)值的乘積除 以總計(jì)值來(lái)計(jì)算每一個(gè)期望值如在卜表中：66.7:120*100/180.朧成不貨成行總和男性foil-58fbl2 72RI = 100Fell -66.7Fel2 -33.

7、3女性fo21 -62fo22 -18R2 = 80Fe21-53o3Fe22 -26 7列總和Cl = 120C2=60T=180(58-66.7)2 (42-33.3J2 (62-53.3(18-26.7)27 = > > 111= /.O1V ,66.733.353326.7/ =行數(shù)列數(shù)=1Z；.o51 = 3.84/2 > ZoO5l 拒絕零假設(shè),即男女對(duì)公共場(chǎng)所禁煙的態(tài)度有顯著差異.例2:某機(jī)構(gòu)欲了解現(xiàn)在性別與收入是否有關(guān),他們隨機(jī)抽樣500人,詢問(wèn)為此的看法,結(jié) 果分為“有關(guān)、無(wú)關(guān)、不好說(shuō),三種答案,調(diào)杳結(jié)果如下表：第3頁(yè)共5頁(yè)性別有關(guān)無(wú)關(guān)不知道合計(jì)男12060

8、50260女10011060240合計(jì)220170110500解：(1)零假設(shè)Ho:性別與收入無(wú)關(guān).(2)確定自由度為(3-1)(21) =2,選擇顯著水平.=0.05.(3)利用卡方統(tǒng)計(jì)量計(jì)算公式計(jì)算統(tǒng)計(jì)量：/ = 21.467 > /(2) = 5.991J r故拒絕零假設(shè),即認(rèn)為性別與收入有關(guān).2、擬合性檢驗(yàn)8卡方檢驗(yàn)?zāi)軝z驗(yàn)單個(gè)多項(xiàng)分類名義型變量各分類間的實(shí)際觀測(cè)次數(shù)與理論次數(shù)之間是 否一致的問(wèn)題,這里的觀測(cè)次數(shù)是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)得多的實(shí)計(jì)數(shù),理論次數(shù)那么是根據(jù)理論或經(jīng) 驗(yàn)得到的期望次數(shù).這一類檢驗(yàn)稱為擬合性檢驗(yàn).其自由度通常為分類數(shù)減去1.理論次數(shù)通 常根據(jù)某種經(jīng)驗(yàn)或理論.例3：隨機(jī)

9、抽取60名高一學(xué)生,問(wèn)他們文理要不要分科,答復(fù)贊成的39人,反對(duì)的21人,問(wèn) 對(duì)分科的意見(jiàn)是否有顯著的差異.解：(1)提出零假設(shè)H.：學(xué)生們對(duì)文理分科的意見(jiàn)沒(méi)有差異：(2)分析:如果沒(méi)有顯著的差異,那么贊成與反對(duì)的各占一半,因此是一個(gè)無(wú)差假設(shè) 的檢驗(yàn),于是理論次數(shù)為60/270,代入公式：/嚇巧科二胃1 +汽普二54福4所以拒絕原假設(shè),認(rèn)為對(duì)于文理分科,學(xué)生們的態(tài)度是有顯著的差異的.例4：某大學(xué)二年級(jí)的公共體育課是球類課,根據(jù)自己的愛(ài)好,學(xué)生只需在籃球、足球和排 球三種課程中選擇一種.據(jù)以往的統(tǒng)計(jì),選擇這三種課程的學(xué)生人數(shù)是相等的.今年開(kāi) 課前對(duì)90名學(xué)生進(jìn)行抽樣調(diào)置,選擇籃球的有39人,選擇

10、足球的28人,選擇排球的 23人,那么,今年學(xué)生對(duì)三種課程選擇的人數(shù)比例與以往是否不同？第4頁(yè)共5頁(yè)籃球足球排球觀察次數(shù)(fb)392823期望次數(shù)(fe)303030解：提出零假設(shè)H.:選擇三種課程的學(xué)生比例與以往沒(méi)有差異;L-力2 _ 39 - 302 28 - 3023 - 302 _1 十I H.Hv30df = 2K.52 = 5.993030Z2 < Zoo52所以接受零假設(shè),即選擇三種課程的學(xué)牛比例與以往相同.四、兩種檢驗(yàn)的異同：從外表上看,擬合性檢驗(yàn)和獨(dú)立性檢驗(yàn)不管在列狀表的形式匕還是在計(jì)算卡方的公式 上都是相同的,所以經(jīng)常被籠統(tǒng)地稱為卡方檢驗(yàn).但是兩者還是存在差異的.首先,兩種檢驗(yàn)抽取樣本的方法不同.如果抽樣是在各類別中分別進(jìn)行,依照各類別分 別計(jì)算其比例,屬于擬合優(yōu)度檢驗(yàn).如果抽樣時(shí)并未事先分類,抽樣后根據(jù)研究?jī)?nèi)容,把人 選單位按兩類變量進(jìn)行分類,形成列聯(lián)表,那么是獨(dú)