Modal Analysis of Railway Vehicle Carbodies Using a Linear Prediction Model線性預(yù)測(cè)模型外文翻譯

1、大連交通大學(xué)2013屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）外文翻譯采用線性預(yù)測(cè)模型對(duì)鐵道車(chē)輛車(chē)體進(jìn)行模態(tài)分析 Takahiro TOMIOKA，Tadao TAKIGAMI， Ken-Ichiro AIDA車(chē)輛噪聲與振動(dòng)實(shí)驗(yàn)室，鐵路技術(shù)研究所2838 Hikaricho， Kokubunji-shi， 東京， 1858540郵箱：tomiokartri.or.jp摘 要本文介紹了一個(gè)采用線性預(yù)測(cè)模型對(duì)鐵路車(chē)輛進(jìn)行的模態(tài)特性識(shí)別研究。由靜止或運(yùn)行試驗(yàn)獲得的實(shí)際鐵路車(chē)輛的輸入(激振力或軸箱加速度)和輸出(車(chē)體加速度)之間的關(guān)系可由一個(gè)ARX(自回歸線性預(yù)測(cè)模型)表示，同時(shí)模態(tài)參數(shù)的提取過(guò)程也能被詳細(xì)描述。一個(gè)合

2、適的模型定階(即ARX模型中預(yù)測(cè)系數(shù)的階)應(yīng)是從實(shí)際應(yīng)用的角度考慮的。分析數(shù)據(jù)得出兩個(gè)不同部件的平均估計(jì)誤差的實(shí)現(xiàn)過(guò)程被提出，同時(shí)他們對(duì)決定模型定階的有效性被評(píng)估。使用ARX模型得出MIMO(多輸入多輸出)的合適性也被描述。結(jié)果表明，利用所提出的方法，詳細(xì)的模態(tài)特性可以被成功地從靜止、運(yùn)行測(cè)試測(cè)得的數(shù)據(jù)中確定。關(guān)鍵詞：鐵路，模態(tài)分析，線性預(yù)測(cè)模型，信號(hào)處理，彎曲振動(dòng)1. 介紹 要提高鐵路車(chē)輛的行駛質(zhì)量，重要的是要抑制車(chē)體縱向彎曲振動(dòng)。為抑制這種振動(dòng)，第一步要做的是對(duì)車(chē)體頻率、模態(tài)屬性等振動(dòng)特性進(jìn)行識(shí)別。靜止和運(yùn)行的振動(dòng)測(cè)試通常就是為達(dá)此目的而進(jìn)行的。運(yùn)行測(cè)試在車(chē)輛運(yùn)行時(shí)通過(guò)一個(gè)實(shí)際的商業(yè)服務(wù)性

3、的途徑對(duì)車(chē)輛進(jìn)行了頻率特性的分析和行駛質(zhì)量的評(píng)估。平穩(wěn)振動(dòng)測(cè)試則適用于確定車(chē)體的模態(tài)性能，這是因?yàn)檩斎?激振力)和輸出(響應(yīng)加速度)之間的關(guān)系是明確的。由于進(jìn)行鐵道車(chē)輛測(cè)試的成本很高，所以通過(guò)單一的測(cè)量試驗(yàn)同時(shí)評(píng)估乘坐質(zhì)量和模態(tài)性能是非常有效的。作者已經(jīng)介紹了一種從靜止測(cè)試中來(lái)評(píng)估運(yùn)行質(zhì)量的方法。本文主要介紹通過(guò)運(yùn)行測(cè)試來(lái)評(píng)估車(chē)體模態(tài)性能的技術(shù)。 在運(yùn)行過(guò)程中的鐵道車(chē)輛的輸入/輸出關(guān)系是復(fù)雜和不穩(wěn)定的。車(chē)輛受到多輸入的作用，而激勵(lì)條件會(huì)在很短的時(shí)間改變。因此運(yùn)行測(cè)試難以確定車(chē)體頻率和模態(tài)性能。 為了應(yīng)對(duì)這一挑戰(zhàn)，作者嘗試運(yùn)用類(lèi)似ARX(自回歸線性預(yù)測(cè)模型)的LPM(線性預(yù)測(cè)模型)來(lái)分析鐵路車(chē)輛

4、振動(dòng)，因?yàn)長(zhǎng)PM模式對(duì)待短時(shí)間數(shù)據(jù)和多輸入多輸出(MIMO)的問(wèn)題更有效。然而，確定模型定階(即ARX模型中預(yù)測(cè)系數(shù)的階)仍是有問(wèn)題的。本文介紹的對(duì)鐵路車(chē)輛車(chē)體的模態(tài)識(shí)別采用ARX模型，而適當(dāng)模型定階的確定則是從實(shí)際使用的觀點(diǎn)出發(fā)。2. 引入線性預(yù)測(cè)模型(LPM)的必要性 在運(yùn)行過(guò)程中，由于賽道條件和運(yùn)行速度總是在不斷變化，鐵路車(chē)輛的激勵(lì)條件每時(shí)每刻都不相同。因此，車(chē)體中誘發(fā)彎曲的振動(dòng)幅度也每時(shí)每刻都在變化。當(dāng)使用有足夠的頻率分辨率F的FFT(快速傅立葉變換)對(duì)這樣的非定常的振動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時(shí)，例如用F = 0.1Hz來(lái)計(jì)算加速度的PSD(功率譜密度)時(shí)，因?yàn)槿狈ζ骄覀冸y以得到可靠的結(jié)果。我

5、們能使用足夠的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度例如60秒來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。 然而，對(duì)于一輛以300公里每小時(shí)的速度運(yùn)行的列車(chē)，它能在60秒內(nèi)行駛5公里。這樣的話(huà)，對(duì)于有著顯著彎曲振動(dòng)發(fā)生的某一指定部分的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度有限的分析，F(xiàn)FT的方法就不再適合。 作者研究了利用LPM來(lái)分析鐵路車(chē)輛振動(dòng)特性的適用性，并表明了它是很有效的。LPM不僅能確定車(chē)體模態(tài)性能，同時(shí)還能確定車(chē)體的頻率特性，例如運(yùn)行時(shí)的加速度的PSD。通常，鐵路車(chē)輛在八個(gè)輪子上運(yùn)行，因此它在運(yùn)行過(guò)程中受到八個(gè)垂直方向的激勵(lì)。LPM模型可以被很容易地?cái)U(kuò)展用以容納多個(gè)輸入，這是另一種比運(yùn)用FFT來(lái)進(jìn)行模態(tài)分析優(yōu)越的地方。3. 運(yùn)用LPM進(jìn)行模態(tài)分析 本節(jié)概述了利用LPM

6、對(duì)鐵道車(chē)輛車(chē)體的模態(tài)分析，分析中將鐵路車(chē)輛看成一個(gè)多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)。這里分析過(guò)程的敘述是基于以前發(fā)表的文獻(xiàn)。3.1預(yù)測(cè)系數(shù)的計(jì)算 假設(shè)輸入信號(hào)為u(n)，輸出信號(hào)為y(n)，這些信號(hào)形成一個(gè)任意采樣時(shí)間t下的離散數(shù)據(jù)序列。在這里，n表示數(shù)據(jù)樣本的數(shù)目。現(xiàn)在，我們利用樣品數(shù)為m的過(guò)去的輸入和輸出數(shù)據(jù)乘以加權(quán)系數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)樣本數(shù)為n的輸出信號(hào)進(jìn)行預(yù)測(cè)。如下： ， (1)表示預(yù)測(cè)誤差。我們獲得如下方程： ， (2)這個(gè)等式表明了M階ARX(自回歸線性預(yù)測(cè)模型)中輸入輸出信號(hào)的關(guān)系。輸入輸出信號(hào)是矢量u(n)=u(n)，.，u(n)和y(n)=y(n)，.，y(n)，P和Q輸入輸出的級(jí)數(shù)，表示

7、向量的轉(zhuǎn)置。和表示Q×Q和Q×P階矩陣。 接下來(lái)我們寫(xiě)出反向形式的輸入輸出等式: ， (3)這里和表示P×P和P×Q階的預(yù)測(cè)系數(shù)的矩陣。(n)表示u(n)的預(yù)測(cè)誤差。由于等式(2)和(3)是獨(dú)立的，因此它們能被合并。我們得出以下等式。 ， (4)這里x(n)=u(n) y(n)是合并輸入輸出二矢量一系列的時(shí)間數(shù)據(jù)得到的，= (n) 表示合并的預(yù)測(cè)誤差，表示以下的包含預(yù)測(cè)系數(shù)的分塊矩陣： 。方程(4)表示x(n)可以表示為有P + Q模型獨(dú)立變量的AR(自回歸)模型，能夠運(yùn)用現(xiàn)有的普通AR模型計(jì)算得出。在這項(xiàng)研究中，我們采用Burg法這被認(rèn)為更有利于短時(shí)數(shù)

8、據(jù)的譜估計(jì)，而且對(duì)一定量的預(yù)測(cè)系數(shù)的計(jì)算也有一些有效的算法。 為補(bǔ)充(2)-(4)等式表示的的ARX模型。我們定義一個(gè)新的應(yīng)用Burg法的ARX模型，如下： ， (5) ， (6) ， (7)這里，式子后面的預(yù)測(cè)誤差和預(yù)測(cè)系數(shù)矩陣能被表示為 ，Burg法的基本準(zhǔn)則是要為了減少方程(4)(7)的預(yù)測(cè)誤差方差的總和而計(jì)算預(yù)測(cè)系數(shù)。通過(guò)求解下面的遞推公式可得此目的。 (8) (9) (10)這里N表示數(shù)據(jù)長(zhǎng)度，R表示。3.2 模態(tài)參數(shù)的提取 假設(shè)m階的等式(4)中的預(yù)測(cè)系數(shù)是通過(guò)上述程序得到。在這一部分，我們利用這些預(yù)測(cè)系數(shù)計(jì)算模態(tài)特性。注意，僅在系數(shù)矩陣中用到和。通過(guò)引入以下的狀態(tài)向量 ， ，等式

9、(2)能被表示如下： ， (11)這里上角標(biāo)s代表狀態(tài)空間的值，和可表示為以下塊矩陣： ， ，這里I和0分別是單位矩陣和零矩陣，對(duì)(11)進(jìn)行z變換，可得如下方程： ， (12)這里，Y(z)，Y(Z)和U(z)分別是y(n)，y(n)和u(n)的z變換。由于的應(yīng)用，u(n-m)的z變換的關(guān)系可被寫(xiě)出。 ， (13)由等式12的第一個(gè)方程我們可得 ， (14)將(14)代入等式(12)的第二個(gè)方程，得到 ， (15)這里G(z)是輸入輸出信號(hào)間的脈沖傳遞矩陣： (16)在這個(gè)等式中，是指含有我為第i個(gè)對(duì)角元素的對(duì)角矩陣，是系數(shù)方陣的第i個(gè)特征值，矩陣（z)的第i列對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量。矩陣和

10、（z)的大小是QM×QM。注意應(yīng)該是沒(méi)有重復(fù)特征值的矩陣。 這種脈沖傳遞矩陣產(chǎn)生部分分式分解 ， (17)這里是G（z)的復(fù)雜的殘留，它能用QM×QM矩陣（除第i個(gè)對(duì)角元素為1外其余元素均為0)表示如下： （18) 在脈沖響應(yīng)不變的情況下，通過(guò)將G（z)轉(zhuǎn)換到s域下，同時(shí)在復(fù)雜共軛復(fù)根中找出表示系統(tǒng)處于振動(dòng)模式的r對(duì)根，我們能得到方程（19)。 (19)式右邊的第一項(xiàng)，R（指對(duì)第p個(gè)輸入的響應(yīng)在第p列的Q×P矩陣)對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的模態(tài)形狀。固有頻率f和對(duì)應(yīng)于第i種模態(tài)的模態(tài)阻尼比能被表示如下： ，。 （20)4.穩(wěn)態(tài)振動(dòng)測(cè)試中模態(tài)特性的鑒別4.1 實(shí)際鐵路車(chē)輛穩(wěn)態(tài)振動(dòng)

11、測(cè)試概述 實(shí)際鐵路車(chē)輛的測(cè)量測(cè)試是用來(lái)對(duì)基于LPM的模態(tài)屬性識(shí)別方法的有效性進(jìn)行評(píng)估。靜止的振動(dòng)測(cè)試使用激勵(lì)（一種能清楚地確定模態(tài)性質(zhì)的合適的方法，這種方法的原理是輸入/輸出關(guān)系是明確的，因此結(jié)果是很容易與其他方法比較)作為第一步。在該試驗(yàn)中，坐落在軌道上的鐵道車(chē)輛受激，車(chē)體的振動(dòng)響應(yīng)可被激勵(lì)器測(cè)出。 圖1示出測(cè)試時(shí)的鐵道車(chē)輛。這是一個(gè)屬于鐵路技術(shù)研究所（RTRI)的測(cè)試車(chē)輛，它與當(dāng)前通勤型商業(yè)服務(wù)中使用的車(chē)輛具有幾乎相同的車(chē)體結(jié)構(gòu)。車(chē)體外殼采用不銹鋼，這是目前日本用于通勤型車(chē)輛的主導(dǎo)型材料。測(cè)試車(chē)輛沒(méi)有類(lèi)似乘客座椅或照明之類(lèi)的設(shè)備，而且屋頂上僅是一個(gè)虛擬的單位質(zhì)量和慣性相當(dāng)于某一時(shí)刻實(shí)際空調(diào)

12、系統(tǒng)的模型。車(chē)體的長(zhǎng)度，寬度和高度分別是19.5米，2.95 米和2.67米，它的質(zhì)量（無(wú)轉(zhuǎn)向架)約10.7噸。 圖二表示出了車(chē)體的加速度測(cè)量點(diǎn)和激勵(lì)點(diǎn)。在此振動(dòng)試驗(yàn)中，一共有43個(gè)加速度傳感器被連接到車(chē)體（地板上分布著縱向的17個(gè)，頂板上分布著縱向的14個(gè)，側(cè)板上分布橫向的6點(diǎn)，每個(gè)端板上分布縱向的三個(gè))，一個(gè)電動(dòng)激勵(lì)器（最大激發(fā)容量1千牛頓)被裝在地板中心的驅(qū)動(dòng)桿下方。 A稱(chēng)重傳感器被安裝在驅(qū)動(dòng)桿和車(chē)體之間用以測(cè)量的激振力。在這種情況下，輸入和輸出信號(hào)的數(shù)字分別為P = 1，Q = 43.用來(lái)激發(fā)車(chē)輛的帶限隨機(jī)信號(hào)具有均勻的在5-30Hz的范圍內(nèi)變化的頻率分量，每次的激發(fā)試驗(yàn)持續(xù)時(shí)間為12

13、0秒。測(cè)量數(shù)據(jù)以數(shù)字格式被記錄，采樣時(shí)間為t= 0.005秒（200赫茲)，抗混疊濾波器的截止頻率被設(shè)置為80赫茲。圖1、測(cè)試時(shí)的鐵道車(chē)輛圖2、車(chē)體的加速度測(cè)量點(diǎn)和激勵(lì)點(diǎn)4.2確定模型階數(shù)利用所提出的方法進(jìn)行模態(tài)特性的識(shí)別，就必須預(yù)先確定模型階數(shù)M。為了達(dá)到這個(gè)目的，AIC法被廣泛應(yīng)用。我們要確定模型的階次以使得AIC最小。在已發(fā)表的文獻(xiàn)中，模型的階被確定以使得前后的預(yù)測(cè)誤差和協(xié)方差矩陣的微量減少。我們首先檢查這些使用上述平穩(wěn)振動(dòng)試驗(yàn)得到數(shù)據(jù)算出的指標(biāo)值；即，考慮激振力，加速度數(shù)據(jù)，前置預(yù)測(cè)誤差的協(xié)方差矩陣的微量。多變量的AIC（MAIC)可用下式計(jì)算。 . (21)圖3顯示計(jì)算結(jié)果。在這里，

14、誤差協(xié)方差矩陣的微量（左邊紅線)和MAIC（右邊藍(lán)線)隨模型的階的變化圖被繪制。請(qǐng)注意這兩個(gè)值是用歸一化的形式表示?？梢钥闯?，這兩個(gè)指標(biāo)都有類(lèi)似的趨向；他們都隨模型階數(shù)的增加不斷減少，他們沒(méi)有最小值。該圖表明，在M = 2處一個(gè)激進(jìn)的下降，但這不是確定模態(tài)特性的一個(gè)適當(dāng)?shù)哪Ｐ碗A，原因在后文中描述。因此，很難利用從振動(dòng)的鐵路車(chē)輛車(chē)身測(cè)量的數(shù)據(jù)來(lái)使用這些傳統(tǒng)指標(biāo)以確定模型的階。圖3、誤差協(xié)方差矩陣的微量和MAIC因此，作者試圖利用以前的工作中得到的例如模態(tài)形狀這樣的信息來(lái)確定模型的階。如果一個(gè)更客觀現(xiàn)實(shí)的方法可以在模型階數(shù)的確定過(guò)程中建立起來(lái)的，那么它的預(yù)期是分析的合理性要增加，同時(shí)試驗(yàn)的需要量要

15、減少。參考圖3，似乎在模型的階變到10或更大時(shí)，各指標(biāo)的變化量會(huì)減少，尤其是MAIC。如果某個(gè)閾值可以指定，我們可以合理確定模型的階。然而，MAIC或預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差矩陣的微量的值會(huì)根據(jù)所分析的數(shù)據(jù)變化，這導(dǎo)致難以得到正確的臨界值。 考慮到問(wèn)題中的數(shù)據(jù)要被分析（即，由測(cè)得的數(shù)據(jù)，而不是在以后的時(shí)間序列預(yù)測(cè)的數(shù)據(jù)來(lái)確定振動(dòng)特性)，我們提出了一個(gè)現(xiàn)實(shí)測(cè)定程序如下：（1)將長(zhǎng)度為N的長(zhǎng)度分為和兩部分來(lái)測(cè)量數(shù)據(jù)（)，并使用其中的一部分來(lái)計(jì)算ARX模型的預(yù)測(cè)系數(shù)。此后，在這項(xiàng)研究中的部分將被用于預(yù)測(cè)系數(shù)的計(jì)算。（2)運(yùn)用獲得的預(yù)測(cè)系數(shù)來(lái)估計(jì)每個(gè)的和的時(shí)間序列，并評(píng)估測(cè)量和估計(jì)值之間的誤差，這里，和分別表示

16、在和部分的數(shù)據(jù)。（3)不斷增加M來(lái)重復(fù)此過(guò)程，當(dāng)和足夠小使用M作為模型的階。在該方法中，測(cè)得的數(shù)據(jù)分為兩部分；一個(gè)用于預(yù)測(cè)系數(shù)的計(jì)算，另一部分用于評(píng)估。請(qǐng)注意，此方法假設(shè)所測(cè)得的數(shù)據(jù)沒(méi)有劇烈變化，這要求運(yùn)行速度和場(chǎng)地條件變化很小。該方法還假設(shè)利用得出的模型階數(shù)和預(yù)測(cè)系數(shù)合適時(shí)，對(duì)的估計(jì)十分準(zhǔn)確。以下可用于時(shí)間序列中估計(jì)誤差的評(píng)價(jià)： （22)在這里和分別表示估計(jì)誤差（估計(jì)和測(cè)量值之間的差異)的均方根和q輸出測(cè)得的均方根。請(qǐng)注意，這里Q表示輸出信號(hào)的數(shù)量。值表示的平均估計(jì)誤差率（%)。 圖4和圖3一樣顯示出相同測(cè)量數(shù)據(jù)下的平均估計(jì)誤差率。在這種情況下，N = 24000（120s)被分為分為兩部分

17、長(zhǎng)度 = = 12000（60s)，前部分是用于計(jì)算預(yù)測(cè)系數(shù)。綠色和黑色的線分別表示出和的?？梢钥闯鲆搽S模型階數(shù)的增加不斷減少，而且和MAIC類(lèi)似也沒(méi)有最小值。然而，值有一個(gè)物理意義，它表示估計(jì)誤差比與實(shí)際測(cè)量值。因此我們可以為數(shù)據(jù)初步設(shè)定一定的閾值，這對(duì)ARX模型在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用是有利的。下面，我們將，的平均估計(jì)誤差分別表示為，。用于預(yù)測(cè)系數(shù)計(jì)算的部分的估計(jì)誤差將隨模型階數(shù)的增加而單調(diào)減小；另一方面，部分的估計(jì)誤差會(huì)因?yàn)轭A(yù)測(cè)系數(shù)很適合部分而增加。對(duì)于本文中要解決的問(wèn)題，適當(dāng)?shù)念A(yù)測(cè)系數(shù)是指那些正確地識(shí)別車(chē)輛模態(tài)特性的；如果系數(shù)是合適的，它們對(duì)于其他時(shí)間序列車(chē)體響應(yīng)的精確估計(jì)也是使用的。因此，

18、這種預(yù)測(cè)系數(shù)并不適合我們的要求，除非他們給部分一個(gè)小的估計(jì)誤差，而給另一部分一個(gè)大誤差。為此，我們引入，估計(jì)誤差的差值。圖5顯示了對(duì)于模型階數(shù)M的的變化。M略大于20時(shí)，達(dá)到其最小值時(shí)，其后它增加。如圖4所示，隨模型階數(shù)M的增加不斷減少。在這種情況下，當(dāng)?shù)南陆德时鹊男r(shí)，增加。如果我們把的增值看做過(guò)度擬合N1的部分，我們可以使用達(dá)到其最小值時(shí)的M值作為模型階數(shù)的上限。接下來(lái)，我們檢查所提出的方法對(duì)于短時(shí)分析數(shù)據(jù)的適用性。Burg法應(yīng)用于預(yù)測(cè)系數(shù)計(jì)算的一個(gè)主要方面就是對(duì)短時(shí)數(shù)據(jù)的處理。為了證明這一特征，我們使用不同長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)計(jì)算頻響函數(shù)（頻率響應(yīng)函數(shù))。圖6顯示了在車(chē)體轉(zhuǎn)向架中心正上方測(cè)量的輸入

19、力和加速度響應(yīng)的頻響函數(shù)。綠色線顯示使用 60s數(shù)據(jù)的FFT獲得的頻響函數(shù)，黑色，藍(lán)色和紅色的虛線表明使用60s，15s，5s數(shù)據(jù)的ARX模型計(jì)算的頻響函數(shù)。這樣的ARX模型的模型的階數(shù)M = 12。由ARX模型使用60秒和15秒數(shù)據(jù)的頻響函數(shù)與FFT的結(jié)果吻合。不過(guò)，使用5s數(shù)據(jù)獲得的頻響函數(shù)顯示了比較大的波動(dòng)，表明了頻響函數(shù)較低的可靠性。對(duì)應(yīng)于模型階數(shù)M變化的值繪制在圖7中。在數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為5秒的情況下，當(dāng)M>8時(shí)增加，這表明在圖6（M=12)中使用的模型的階次過(guò)大。因此，我們修改了模型的階為M =8，并重新計(jì)算了數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為5s時(shí)的頻響函數(shù)。其結(jié)果示于圖8中。頻響函數(shù)的波動(dòng)減少，可靠性增

20、加。這個(gè)例子展示了利用對(duì)模型的階上限確定的有效性。圖4、平均估計(jì)誤差的變化圖5、，平均估計(jì)誤差的差值圖6、在車(chē)體轉(zhuǎn)向架中心正上方測(cè)量的輸入力和加速度響應(yīng)的頻響函數(shù)圖7、不同長(zhǎng)度數(shù)據(jù)下的平均估計(jì)誤差的差值圖8、利用FFT和ARX模型得出的頻響函數(shù)的比較4.3.平穩(wěn)振動(dòng)試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析接下來(lái)要進(jìn)行的是用已得的預(yù)測(cè)系數(shù)對(duì)平穩(wěn)振動(dòng)試驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行模態(tài)分析。ARX模型的階（方程（1)被設(shè)置為M = 12。這種選擇的原因會(huì)在下面的章節(jié)中描述。圖9顯示了模態(tài)參數(shù)識(shí)別（振型和相應(yīng)自振頻率)。在此圖中，黑色的線顯示加速度應(yīng)變片連接著原始位置的未變形的狀態(tài)，紅色的線表示相對(duì)于自身模態(tài)的振動(dòng)形狀。請(qǐng)注意，端板的變形在圖中未

21、被顯示。在圖9，11和12中的符號(hào)Z-10，S-11等代表振動(dòng)形態(tài)的特征。前面的S和A分別意味著車(chē)頂和車(chē)地板在在車(chē)體縱向中心相同和相反的方向的變形。Z用于當(dāng)車(chē)頂和車(chē)底板的位移方向不明顯，或當(dāng)車(chē)頂和車(chē)地板的振幅非常地不同時(shí)的情況。J代表在車(chē)體殼的橫截面剪切變形的模態(tài)形狀。字母后面的數(shù)字由兩部分組成。前者和后者分別代表在車(chē)頂和車(chē)地板觀察到的的振動(dòng)環(huán)數(shù)。注意，當(dāng)振動(dòng)的形狀與J相關(guān)時(shí)將第二個(gè)數(shù)字省略，這是由于在這些振動(dòng)試驗(yàn)車(chē)頂和車(chē)地板有相同數(shù)量的振動(dòng)環(huán)。以赫茲為單位的數(shù)值顯示了一定振動(dòng)模式下的固有頻率。圖9、通過(guò)平穩(wěn)振動(dòng)實(shí)驗(yàn)得到的振型和相應(yīng)自振頻率基于ARX模型的固有頻率特性和模態(tài)阻尼比被總結(jié)在表1中

22、，并與基于傳統(tǒng)FFT方法的識(shí)別相比。使用這兩種方法得到的的固有頻率和阻尼比非常接近。請(qǐng)注意，這兩種方法（由于本文的篇幅，F(xiàn)FT得到的陣型被省略)得到的振型也非常類(lèi)似，所以我們可以得出結(jié)論，所提出的方法是合適的。表2顯示由不同階的ARX模型得出的固有頻率特性。括號(hào)中的數(shù)據(jù)表明固有模態(tài)是不能從其他模態(tài)中有效的分離出。在這項(xiàng)研究中，模式之間的依賴(lài)或關(guān)聯(lián)由MAC（模態(tài)保證準(zhǔn)則)確定，表二中括號(hào)用于頻率的MAC值大于0.3的情況。由于模態(tài)J-1和 Z-10的固有頻率接近該測(cè)試車(chē)，這兩種模態(tài)在階數(shù)M較小的情況下不能被清楚地分開(kāi)。因此，應(yīng)在M12的情況下進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別，且這兩種模態(tài)應(yīng)符合表2。一般情況下，

23、雖然較小的階數(shù)從計(jì)算成本來(lái)看是可取的，但較大的階數(shù)將得到更準(zhǔn)確的模態(tài)參數(shù)識(shí)別；對(duì)M值上限的確定可以使用。此外，根據(jù)M的值變化，特征值的數(shù)量會(huì)增加，M值大時(shí)，虛假的模態(tài)往往出現(xiàn)。我們得出聚焦的模態(tài)特性可以在觀察阻尼比和/或RPF這種情況下被識(shí)別。表一、運(yùn)用傳統(tǒng)方法得到的固有頻率和模態(tài)阻尼比的比較表二、不同階數(shù)ARX模型下的固有頻率5. 運(yùn)行條件下的多輸入數(shù)據(jù)的分析 本節(jié)介紹了用運(yùn)行試驗(yàn)得到的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行的模態(tài)分析。測(cè)試車(chē)，類(lèi)似但不同于圖1所示的車(chē)，它有不銹鋼車(chē)體，車(chē)內(nèi)部件和車(chē)下設(shè)備。在日本，普通鐵路客車(chē)的車(chē)體由兩個(gè)轉(zhuǎn)向架支撐，每個(gè)轉(zhuǎn)向架有兩個(gè)輪對(duì)（每一輪對(duì)由一對(duì)車(chē)輪和一根車(chē)軸組成)，因此鐵路車(chē)輛

24、運(yùn)行在八個(gè)車(chē)輪上。每一輪對(duì)是用兩個(gè)裝在其兩端的軸承連接轉(zhuǎn)向架構(gòu)架。持有這些軸承的外殼被稱(chēng)為軸箱。車(chē)輛有八個(gè)軸箱。 我們知道一個(gè)運(yùn)行的鐵路車(chē)輛的垂向振動(dòng)與垂直軌道不平順是密切相關(guān)的。因此我們預(yù)計(jì)，軸箱的垂向加速度會(huì)隨車(chē)輪所運(yùn)行的軌道的不平順狀況而變化，這是由于車(chē)輪比汽車(chē)的橡膠輪胎有更高的剛度。因此，在此研究中，軸箱的垂直加速度被當(dāng)做車(chē)體的輸入信號(hào)。此外，由于鐵路車(chē)輛運(yùn)行在一對(duì)導(dǎo)軌（左、右)上，在同一軌道上的軸箱加速度值可以視為一定的時(shí)間延遲的相同信號(hào)。盡管輸入信號(hào)包含八個(gè)組成部分（即八個(gè)軸箱的加速度)，與第二，第三和第四輪對(duì)相關(guān)的六個(gè)加速度可以用第一輪對(duì)上軸箱的加速度結(jié)合各自的時(shí)間延遲計(jì)算。我們

25、選取車(chē)輛運(yùn)行恒定速度為83km/h時(shí)，數(shù)據(jù)總長(zhǎng)度為N=10000（50s)的一組時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。兩個(gè)不同部位的平均估計(jì)誤差(30s)的和的用來(lái)確定ARX模型的預(yù)測(cè)系數(shù)的階數(shù)。圖10顯示計(jì)算的平均估計(jì)誤差和。請(qǐng)注意，預(yù)測(cè)系數(shù)是由的樣本數(shù)據(jù)確定。階數(shù)M增加時(shí)，均減少。我們還觀察到一種趨勢(shì)，M大于一定值（約10)時(shí)增加。因此，確定運(yùn)行情況下的階數(shù)M = 10用以模態(tài)分析。圖10、運(yùn)行狀態(tài)為83km/h下兩部分的平均估計(jì)誤差和它們的差值圖11顯示了運(yùn)行速度為83km/h時(shí)，運(yùn)用（30s)的測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行的有垂向加速度的模態(tài)特性分析。要注意盡管加速度在運(yùn)行測(cè)試中也被測(cè)量，在模態(tài)分析也要運(yùn)用，但只有車(chē)

26、體的振形被圖11所展示。圖12顯示了用與圖11中相同的車(chē)進(jìn)行平穩(wěn)振動(dòng)試驗(yàn)，用得到的60s數(shù)據(jù)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別。根據(jù)以上圖十所示的的類(lèi)似研究，預(yù)測(cè)系數(shù)的階數(shù)被確定為M = 12。除了模態(tài)J-1在穩(wěn)態(tài)振動(dòng)試驗(yàn)（圖12)中未被得出，圖11和12的模態(tài)和固有頻率是幾乎相同的。請(qǐng)注意，這兩個(gè)條件下相對(duì)應(yīng)模式的固有頻率的差別小于3%。在穩(wěn)態(tài)振動(dòng)試驗(yàn)?zāi)Ｊ絁-1缺失大概是由于選擇了激發(fā)點(diǎn)；也就是說(shuō)，平穩(wěn)性試驗(yàn)中勵(lì)磁機(jī)被設(shè)置在了車(chē)體的中心，這是J-1的模態(tài)的節(jié)點(diǎn)。圖11、運(yùn)行測(cè)試下車(chē)輛的振型和固有頻率（V=83km/h)圖12、靜止振動(dòng)試驗(yàn)下的車(chē)輛的振型和固有頻率請(qǐng)注意，運(yùn)行條件下車(chē)地板的加速度PSD（本文未說(shuō)

27、明)意味著模式J-1影響乘坐舒適性。它應(yīng)該這樣被理解，即由于激發(fā)器的放置原因，一些重要的模態(tài)在所獲得的結(jié)果中未被顯示。另一方面，這樣的問(wèn)題可以通過(guò)在運(yùn)行測(cè)試中獲得數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行模態(tài)分析來(lái)解決，因?yàn)檫@些數(shù)據(jù)包含影響運(yùn)行條件下乘坐舒適性的所有模態(tài)。由于運(yùn)行時(shí)激勵(lì)輸入由軌道條件確定，而不是人為決定，它并不總是能夠獲得包括有效長(zhǎng)度彎曲振動(dòng)的加速度數(shù)據(jù)。上述方法能夠利用在運(yùn)行過(guò)程中一個(gè)相對(duì)較短長(zhǎng)度的測(cè)量數(shù)據(jù)來(lái)識(shí)別模態(tài)特性。6.結(jié)論本文敘述了運(yùn)用一個(gè)多輸入多輸出（MIMO)的線性預(yù)測(cè)模型（LPM)對(duì)鐵路車(chē)輛進(jìn)行的模態(tài)特性研究。確定一個(gè)合適的模型階數(shù)（即LPM模型預(yù)測(cè)系數(shù)的階數(shù))被從實(shí)際應(yīng)用的角度著重討論了。作

28、者提出了用估計(jì)誤差的均方根與測(cè)量輸出的均方根相比得到的平均估計(jì)誤差率來(lái)確定模型的階。所提出的確定過(guò)程的一個(gè)顯著特征是使用了分析數(shù)據(jù)的兩個(gè)不同部位的平均估計(jì)誤差率，一個(gè)用來(lái)確定預(yù)測(cè)系數(shù)，另一個(gè)用來(lái)檢查結(jié)果的有效性。這兩個(gè)部分的平均估計(jì)誤差率的差值對(duì)估計(jì)模型階數(shù)的上限很有效。利用所提出的方法，運(yùn)用靜止和運(yùn)行測(cè)試得到的數(shù)據(jù)，可以成功的對(duì)模態(tài)特性進(jìn)行識(shí)別。將在靜止試驗(yàn)（單輸入的情況下)中得到的特性與用傳統(tǒng)的FFT程序得到的結(jié)果比較，然后與運(yùn)行測(cè)試的結(jié)果（多輸入條件)比較。在試驗(yàn)和錯(cuò)誤中，模型的階也能被逐步確定，但本文介紹了一種可以直接執(zhí)行任務(wù)和實(shí)踐合理的方法。由于將LPM作為一種工具來(lái)評(píng)估鐵路車(chē)輛的振

29、動(dòng)，提出的測(cè)定過(guò)程提高了該分析方法的價(jià)值。未來(lái)的工作中，我們將不斷獲得鐵路車(chē)輛的車(chē)體振動(dòng)數(shù)據(jù)用來(lái)排序并討論的平均估計(jì)誤差率的閾值。謝 辭本篇論文參考了之前就讀于Tokyo Metropolitan大學(xué)（現(xiàn)在在Odakyu Electric Railway Co.Ltd公司工作)的Masatoshi Itagaki在兩位教授emeritus Kohei Suzuki和Takuya Yoshimura指導(dǎo)下完成的碩士論文中的資料。作者十分感謝他們的合作。對(duì)于Tokyu Car Corporation和Niitsu Rolling Stock Manufacturing in JR East這兩家公

30、司的員工在振動(dòng)測(cè)量上的協(xié)助，作者也十分感謝。同時(shí)也感謝來(lái)自Toyohashi University of Technology大學(xué)的Shigenori Sano博士對(duì)于本文提出的關(guān)于模型定階的寶貴建議參考文獻(xiàn)(1) Tomioka T.和takigami T.，有野外便攜式驅(qū)動(dòng)器的鐵路車(chē)輛垂向振動(dòng)評(píng)價(jià)系統(tǒng)的開(kāi)發(fā)（第一報(bào)告，從穩(wěn)態(tài)振動(dòng)測(cè)試估計(jì)運(yùn)行車(chē)輛振動(dòng)的數(shù)據(jù)處理法)，系統(tǒng)設(shè)計(jì)和動(dòng)力學(xué)學(xué)報(bào)， 第二卷，6（2008)，12501261。(2) Tomioka T.和takigami T.，有野外便攜式驅(qū)動(dòng)器的鐵路車(chē)輛垂向振動(dòng)評(píng)價(jià)系統(tǒng)的開(kāi)發(fā)（第二報(bào)告，實(shí)際的通勤車(chē)的激發(fā)試驗(yàn))，系統(tǒng)設(shè)計(jì)和動(dòng)力學(xué)學(xué)報(bào)，第2卷，6（2008)， 12621273。(3) Tomioka T.和takigami T.，使用線性預(yù)測(cè)模型對(duì)車(chē)輛的振動(dòng)分析，RTRI報(bào)告，第15卷，5（2001)，3540。