C語言解決多元多次方程

1、一 理論背景我們先考慮線性方程，線性方程組的解便不難得出了。與線性方程相比，非線性方程問題無論是從理論上還是從計算公式上，都要復(fù)雜得多。對于一般的非線性方程，計算方程的根既無一定章程可尋也無直接法可言。例如，求解高次方程組的根，求解含有指數(shù)和正弦函數(shù)的超越方程的零點。解非線性方程或方程組也是計算方法中的一個主題。在解方程方面，牛頓（I . Newton）提出了方程求根的一種迭代方法，被后人稱為牛頓算法。三百年來，人們一直用牛頓算法，改善牛頓算法，不斷推廣算法的應(yīng)用范圍。牛頓算法，可以說是數(shù)值計算方面的最有影響的計算方法。對于言程式,如果是線性函數(shù)，則它的求根是容易的。牛頓法實質(zhì)上是一種線性化方

2、法，其基本思想是將非線性方程式逐步歸結(jié)為某種線性方程來求解。解非線性方程組只是非線性方程的一種延伸和擴展。二 主要理論考慮方程組 其中均為多元函數(shù)。若用向量記號記， 就可寫成 當(dāng),且中至少有一個是自變量 的非線性函數(shù)時，則稱方程組為非線性方程組。非線性方程組求根問題是前面介紹的方程即求根的直接推廣，實際上只要把單變量函數(shù)看成向量函數(shù)則可將單變量方程求根方法推廣到方程組。若已給出方程組的一個近似根 將函數(shù)的分量在用多元函數(shù)泰勒展開，并取其線性部分，則可表示為 令上式右端為零，得到線性方程組 其中 稱為為雅可比（Jacobi）矩陣。求解線性方程組，并記解為，則得 這就是解非線性方程組的牛頓法。三算

3、法 牛頓法主要思想是用 進行迭代 。因此首先需要算出的雅可比矩陣，再求過求出它的逆，當(dāng)它達到某個精度時即停止迭代。 具體算法如下：1 首先宏定義方程組 ，確定步長和精度；2 求的雅可比矩陣；可用求出雅可比矩陣；3 求雅可比矩陣的逆；將右乘一個單位矩陣，通過單位矩陣變換實現(xiàn)求 的逆，用指針來存貯。4 雅可比矩陣與其逆的相乘；5 用來迭代；6 當(dāng)精度大于時，重復(fù)執(zhí)行25步，直到精度小于或等于停止迭代，就是最后的迭代結(jié)果。其中四代碼#include #include #include #include #define f0(x1,x2) (x1+2*x2-3)#define f1(x1,x2) (2

4、*x1*x1+x2*x2-5)#define x_ 0.000001#define matrixNum 2double *matrixF2(double *x);int y=0;void main() int i,j,n; double p,*x; double *b;double *matrixF; /矩陣F double *matrixF_; /矩陣F的雅可比矩陣的逆 b=(double *)malloc(matrixNum);matrixF=(double *)malloc(matrixNum); matrixF_=(double *)malloc(matrixNum*matrixNum

5、); cout請輸入初值:;for(i=0;i*(x+i); do p=0.0;for(i=0;imatrixNum;i+) *(b+i)=0;*matrixF=f0(*x,*(x+1); *(matrixF+1)=f1(*x,*(x+1); matrixF_=matrixF2(x);for(i=0;imatrixNum;i+)for(j=0;jmatrixNum;j+)*(b+i)+=*(matrixF_+i*matrixNum+j)*(*(matrixF+j); *(x+i)=*(x+i)-*(b+i);cout*(x+i) ; coutendl; for(i=0;ix_);cout最終迭

6、代結(jié)果為*x,*(x+1)endl; delete matrixF; delete matrixF_; getch();double *matrixF2(double *x) int i,j; double t; double *matrixF1; /矩陣F的雅可比矩陣 double *matrixF2; /矩陣F的雅可比矩陣的逆 matrixF1=(double *)malloc(matrixNum*matrixNum); matrixF2=(double *)malloc(matrixNum*matrixNum); for(i=0;imatrixNum;i+) for(j=0;jmatri

7、xNum;j+)if(i=j) *(matrixF2+i*matrixNum+j)=1;else *(matrixF2+i*matrixNum+j)=0; *matrixF1=(f0(*x+x_),*(x+1)-f0(*x,*(x+1)/x_; *(matrixF1+1)=(f0(*x,(*(x+1)+x_)-f0(*x,*(x+1)/x_; *(matrixF1+2)=(f1(*x+x_),*(x+1)-f1(*x,*(x+1)/x_; *(matrixF1+3)=(f1(*x,(*(x+1)+x_)-f1(*x,*(x+1)/x_; /for(i=0;imatrixNum;i+) / co

8、ut*(x+i)endl; cout矩陣F在*x,*(x+1)的雅可比矩陣endl;for(i=0;imatrixNum;i+) for(j=0;jmatrixNum;j+) cout*(matrixF1+i*matrixNum+j) ; coutendl;/求矩陣F的雅可比矩陣的逆 t=*matrixF1; for(i=0,j=0;jmatrixNum;j+) *(matrixF1+i*matrixNum+j)/=t; *(matrixF2+i*matrixNum+j)/=t; t=*(matrixF1+1*matrixNum);for(i=1,j=0;jmatrixNum;j+)*(mat

9、rixF1+i*matrixNum+j)-=*(matrixF1+j)*t; *(matrixF2+i*matrixNum+j)-=*(matrixF2+j)*t;t=*(matrixF1+1*matrixNum+1); for(i=1,j=0;jmatrixNum;j+) *(matrixF1+i*matrixNum+j)/=t; *(matrixF2+i*matrixNum+j)/=t; t=*(matrixF1+1);for(i=i,j=0;jmatrixNum;j+) *(matrixF1+j)-=*(matrixF1+i*matrixNum+j)*t; *(matrixF2+j)-=

10、*(matrixF2+i*matrixNum+j)*t; for(i=0;imatrixNum;i+) for(j=0;jmatrixNum;j+) cout*(matrixF1+i*matrixNum+j) ; coutendl; for(i=0;imatrixNum;i+) for(j=0;jmatrixNum;j+) cout*(matrixF2+i*matrixNum+j) ; coutendl;cout第y次迭代結(jié)果為*x,*(x+1)endl;getch(); return matrixF2; delete matrixF1; delete matrixF2;五算法分析及改進措施

11、牛頓法解非線性方程組是一種線性方法，即將非線性方程組以一線性方程組來近似，由此構(gòu)造一種迭代格式，用以逐次逼近所求的解案。 可以證明Newton迭代至少是二階收斂的，而且收斂速度快。因此牛頓法是解非線性方程的常且方法。 正因為Newton法思想直觀自然，是最常用的，也是研究其它方法的出發(fā)點，該方法的不足恰好是其它方法研究的出發(fā)點。 首先，Newton法的每步迭代都要計算，它是由個偏導(dǎo)數(shù)值構(gòu)造的矩陣，有些問題中每個值可能都很復(fù)雜，甚至根本無法解析地計算。當(dāng)比較大時這部分是算法中耗費時機最多的，不僅如此，每步迭代還要解線性方程組，當(dāng)很大時（如由離散非線性偏微方程導(dǎo)出的非線性方程組，可能有甚至更多），

12、其工作量很大。 其次，在許多情況下，初值要有較嚴格的限制，在實際應(yīng)用中給出確保收斂的初值是十分困難的。非線性問題通常又是多解的，給出收斂到所需要解的初值更加困難。 再有，迭代過程中如果某一步處有奇異或幾乎奇異（后者指的條件數(shù)很大），則Newton法的計算將無法進行下去。特別如果在的解處有奇異，不僅計算困難，而且問題本身也變得十分復(fù)雜，以一無元代數(shù)方程為例，這時方程產(chǎn)生重根。 為了克服Newton法的上述缺點，我們可以采用Newton法和參數(shù)Newton法克服前兩種缺點，擬Newton法可以克服第三種缺點。 這里就擬Newton法為例敘述對牛頓法的改進我們用矩陣近似的代替，從而得到如下形式的迭代

13、法: 0,1,2,.其中Bk均為非奇異的.為了不要每次迭代都計算逆矩陣，我們設(shè)法構(gòu)造直接逼近的逆矩陣，迭代公式化為 : 0,1,2,. 六根據(jù)實例分析結(jié)果對于如下非線性方程組用如上源程序運行。1輸入初值為1.5 1.0 進行迭代的結(jié)果分別為： 理論值分別為： 第一次 1.5 0.75 1.5 0.75 第二次 1.4881 0.755952 1.488095 0.755952 第三次 1.48803 0.755983 1.488034 0.755983 停止迭代，最終迭代結(jié)果為1.488034 0.7559832. 輸入初值為2.0 2.0 進行迭代的結(jié)果分別為： 第一次 1.83333 0.583333 第二次 1.52778 0.736111 第三次 1.4887 0.755652 第四次 1.48803 0.755983以上表明1）迭代中存在誤差；這是由于求雅可比式時用差商法來近似替代了，要過一系列的運算，從而誤差在所難免。由于精度x_取0.000001，已經(jīng)足夠小了，所以迭