曲線擬合問題

1、曲線擬合問題摘 要本文首先對給定數(shù)據(jù)根據(jù)不同要求進行多次直線擬合，分別求得使所擬直線預(yù)期值的偏差平方和、絕對偏差總和和最大偏差最小的三類擬合直線，然后再求得二次曲線條件下滿足三類要求的二次擬合曲線，最后運用其他曲線對給定數(shù)據(jù)進行擬合，得到吻合度最高的曲線。針對問題一，構(gòu)建線性回歸方程，運用最小二乘法及l(fā)ingo軟件使得目標函數(shù)預(yù)期值的即擬合偏差平方和達到最小，從而得到擬合曲線。針對問題二，構(gòu)建給定數(shù)據(jù)的線性回歸方程，使得目標函數(shù)即預(yù)期值的絕對偏差綜合最小，但由于絕對偏差較難處理，采用轉(zhuǎn)化的思想將對絕對偏差的求解轉(zhuǎn)化為對偏差平方和開方的求解，從而得到擬合曲線。針對問題三，構(gòu)建給定數(shù)據(jù)的線性回歸方

2、程，運用lingo軟件使得目標函數(shù)即預(yù)期值的最大偏差最小，從而得到擬合曲線。針對問題四，構(gòu)建給定數(shù)據(jù)的二次方程，運用lingo軟件分別求得三類不同條件下的最優(yōu)擬合曲線，偏差平方和達到最小：，絕對偏差總和達到最小：，觀測值與預(yù)測值最大偏差為最?。?。針對問題五，本文做出給定數(shù)據(jù)散點圖，構(gòu)建不同曲線類型進行擬合，得到即吻合度最高的曲線類型，運用Matlab軟件求得該曲線類型的方程。本文的特色在于利用圖標直觀表達擬合曲線，增強文章可靠性及真實性，并構(gòu)建不同的曲線類型，得到吻合度最高的擬合曲線。關(guān)鍵詞：曲線擬合、線性回歸、lingo 1問題的重述已知一個量依賴于另一個量，現(xiàn)收集有數(shù)據(jù)如下：0.00.51

3、.01.51.92.53.03.54.04.51.00.90.71.52.02.43.22.02.73.55.05.56.06.67.67.68.59.010.01.04.07.62.75.74.66.06.812.3（1）求擬合以上數(shù)據(jù)的直線。目標為使的各個觀察值同按直線關(guān)系所預(yù)期的值的偏差平方和為最小。（2）求擬合以上數(shù)據(jù)的直線，目標為使的各個觀察值同按直線關(guān)系所預(yù)期的值的絕對偏差總和為最小。（3）求擬合以上數(shù)據(jù)的直線，目標為使的各個觀察值同按直線關(guān)系所預(yù)期的值的最大偏差為最小。（4）求擬合以上數(shù)據(jù)的曲線，實現(xiàn)（1）（2）（3）三種目標。（5）試一試其它的曲線，可否找出最好的？2模型假設(shè)（

4、1）假設(shè)數(shù)據(jù)可靠，并且數(shù)據(jù)量足夠充分來反映與的依賴關(guān)系；（2）假設(shè)原始數(shù)據(jù)精度較大，擬合求得的曲線足夠精確；3.符號說明預(yù)測值觀測值觀測值與預(yù)測值的差值4問題一的分析與求解4.1 問題的分析對于給定的點，假定和之間滿足線性模型，,，據(jù)此，建立線性回歸方程，使得擬合偏差平方和達到最小，即利用最小二乘法求解。4.2 問題的求解將數(shù)據(jù)代入lingo軟件（程序代碼見附錄1），約束條件為：可解得：，圖 15問題二的分析與求解5.1 問題的分析對于給定的點，假定和之間滿足線性模型，,，據(jù)此，建立線性回歸方程，使得擬合絕對偏差總和達到最小。但是，絕對值難以計算，因此，可將其看作。5.2 問題的求解將數(shù)據(jù)代入

5、lingo軟件（程序代碼見附錄2），約束條件為：可解得：， 圖 2 6問題三的分析與求解6.1 問題的分析對于給定的點，假定和之間滿足線性模型，,，據(jù)此，建立線性回歸方程，使的各個觀察值同按直線關(guān)系所預(yù)期的值的最大偏差為最小，即求各線性方程中達到最小時，對應(yīng)的線性方程。6.2 問題的求解將數(shù)據(jù)代入lingo軟件（程序代碼見附錄3），約束條件為：可解得：， 圖 37問題四的分析與求解7.1 問題的分析該問題分析方法與上述三個問題相同，對于給定的點，假定和之間滿足模型，,，據(jù)此，建立方程，分別求使得達到最小。7.2 問題的求解將數(shù)據(jù)代入lingo軟件（程序代碼見附錄4），約束條件分別對應(yīng)為：可解得

6、：偏差平方和達到最小：，圖 4絕對偏差總和達到最小：，圖 5觀測值與預(yù)測值最大偏差為最?。海瑘D 68問題五的分析與求解8.1 問題的分析該問題分析方法主要是采用最小二乘法擬合函數(shù)圖像，利用觀測值與預(yù)測值的平方和達到最小，即達到最小。采用最小二乘法進行參數(shù)估計時，表示回歸平方和與總離差平方和的比值，這一比例越大越好，模型越精確，回歸效果越顯著。介于01之間，越接近1，回歸擬合效果越好，一般認為超過0.8的模型擬合度比較高。8.2 問題的求解將原始數(shù)據(jù)錄入Matlab擬合工具箱，觀察其散點圖分布情況，發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)、三次多項式和三角函數(shù)能夠較好的反映散點分布，分別得擬合圖像（圖 1、圖 2、圖 3）

7、。圖 1圖 2圖 3通過對值的比較，發(fā)現(xiàn)相較于其他來說最大，所以采用三次多項式作為目標函數(shù)。9模型的優(yōu)缺點分析與改進方向9.1優(yōu)點：（1）本文首先畫出所給數(shù)據(jù)散點圖，然后運用圖表直觀表達擬合曲線，避免了只有函數(shù)方程，增強了本文的可讀性和理解性。（2）本文在構(gòu)建絕對偏差最小目標函數(shù)時，由于絕對偏差較難處理，采用轉(zhuǎn)化的思想，將對絕對偏差的求解轉(zhuǎn)化為對偏差平方和開方的求解，從而巧妙地解決這一難題，使得文章更加通俗易懂。 （3）本文所用程序增加注釋，增強了程序的可讀性和規(guī)范性。9.2缺點：本文雖建立不同擬合曲線類型，但也僅限于有限的曲線類型，無法保證此曲線即是吻合度最高的曲線。9.3改進方向：針對模型

8、特點，在此基礎(chǔ)上，找到吻合度更高的擬合曲線類型，從而得到最優(yōu)的擬合曲線。參考文獻1 周鵬，許鋼. 基于LabVIEW的廣義線性擬合在成本預(yù)測中的應(yīng)用J，安徽工程大學(xué)學(xué)報，2013，(3)2 王禮想，劉利姣，黃光明. 基于EM算法的線性擬合問題研究J. 廊坊師范學(xué)院學(xué)報,自然科學(xué)版,2013,(4)3 狄曉敏，謝紅薇. 多疾病共同危險因素挖掘與MARS預(yù)測模型研究J.電子學(xué)報，2009，(6)4 郝海燕，郝春蕾，康榮雷等. 我國普通高等學(xué)校生源規(guī)模預(yù)測及高職院校發(fā)展趨勢分析. 承德石油高等?？茖W(xué)校學(xué)報，2013，(4)附錄：1.第一問：model:sets:!定義集math，屬性x，y，共119

9、個成員數(shù)據(jù);math/1.19/:x,y;endsetsdata:x=00.511.51.92.533.544.555.566.67.67.68.5910;y=10.90.71.522.43.222.73.5147.62.75.74.666.812.3;Enddata!約束條件;min=sum(math:(a*x+b-y)2);!解除變量a，b的非負限制;free(a);free(b);end2.第二問：model:sets:!定義集math，屬性x，y，共119個成員數(shù)據(jù);math/1.19/:x,y;endsetsdata:x=00.511.51.92.533.544.555.566.67

10、.67.68.5910;y=10.90.71.522.43.222.73.5147.62.75.74.666.812.3;Enddata!約束條件;min=sum(math(i):(y(i)-z(i)2)(1/2);for(math(i):z(i)=a*x(i)+b);!解除變量a，b的非負限制;free(a);free(b);end3.第三問model:sets:!定義集math，屬性x，y，共119個成員數(shù)據(jù);math/1.19/:x,y;endsetsdata:x=00.511.51.92.533.544.555.566.67.67.68.5910;y=10.90.71.522.43.2

11、22.73.5147.62.75.74.666.812.3;Enddata!約束條件;min=max(math:abs(a*x+b-y);!解除變量a，b的非負限制;free(a);free(b);End4.第四問4.1model:sets:!定義集math，屬性x，y，共119個成員數(shù)據(jù);math/1.19/:x,y;endsetsdata:x=00.511.51.92.533.544.555.566.67.67.68.5910;y=10.90.71.522.43.222.73.5147.62.75.74.666.812.3;Enddata!約束條件;min=sum(math:(a*x2+b

12、*x+c-y)2);!解除變量a，b,c的非負限制;free(a);free(b);free(c);End4.2model:sets:!定義集math，屬性x，y，共119個成員數(shù)據(jù);math/1.19/:x,y;endsetsdata:x=00.511.51.92.533.544.555.566.67.67.68.5910;y=10.90.71.522.43.222.73.5147.62.75.74.666.812.3;Enddata!約束條件;min=sum(math:abs(a*x2+b*x+c-y);!解除變量a，b,c的非負限制;free(a);free(b);free(c);end4.3model:sets:!定義集math，屬性x，y，共119個成員數(shù)據(jù);math/1.19/:x,y;end