(完整word版)高中數(shù)學(xué)立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié),推薦文檔

1、高中數(shù)學(xué)之立體幾何平面的基本性質(zhì)公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都 在這個(gè)平面內(nèi).公理2如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的 公共直線.公理3經(jīng)過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.根據(jù)上面的公理，可得以下推論.推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.空間線面的位置關(guān)系4面平行一沒有公共點(diǎn)(1)直線與直* 1相交一有且只有一個(gè)公共點(diǎn)I異面(既不平行，又不相交)直線在平面內(nèi)一有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)(2)直線和平1 直線不在平面內(nèi)平行一沒有公共點(diǎn)(直線在

2、平面外)相交一有且只有一公共點(diǎn)(3)平面與平,相交一有一條公共直線(無數(shù)個(gè)公共點(diǎn))平行一沒有公共點(diǎn)異面直線的判定證明兩條直線是異面直線通常采用反證法.有時(shí)也可用定理“平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的連線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線”.線面平行與垂直的判定(1)兩直線平行的判定定義：在同一個(gè)平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)的兩條直線平行.如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行，即若 a/ a ,a B , a C B =b，則a/ b.平行于同一直線的兩直線平行，即若 a/ b,b / c,則a/ c.垂直于同一平面的兩直線平行，即若 a± a , b

3、, a ,則a / b兩平行平面與同一個(gè)平面相交，那么兩條交線平行，即若a / B , a C Y , B C 丫 =b,則 a / b如果一條直線和兩個(gè)相交平面都平行，那么這條直線與這兩個(gè)平面的交線 平行，即若 a C B =b,a / a ,a / B ,則 a / b.(2)兩直線垂直的判定1 .定義：若兩直線成90°角，則這兩直線互相垂直.2 . 一條直線與兩條平行直線中的一條垂直，也必與另一條垂直.即若b/ c,a±b,貝 a±c3 .一條直線垂直于一個(gè)平面，則垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線.即若aX a ,b a , aXb.4 .如果一條直線與一個(gè)平

4、面平行，那么這條直線與這個(gè)平面的垂線垂直.即若 a / a ,b，a ,則 a±b.5 .三個(gè)兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直，即若,B，Y, Y，a,且aC B =a, B C y =b, y A a =c,a±b,b ±c,c ±a.(3)直線與平面平行的判定定義:若一條直線和平面沒有公共點(diǎn)，則這直線與這個(gè)平面平行.如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線與這個(gè)平面平行.即若a a ,b a , a / b,則a / a .兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面，即若a /B ,l a ,則 l / B .如果一個(gè)平面和平面外

5、的一條直線都垂直于同一平面，那么這條直線和這 個(gè)平面平行.即若a ± P ,l ± P , l a ,則l / a .在一個(gè)平面同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如果它們與這個(gè)平面的距離相等，那么過這兩 個(gè)點(diǎn)的直線與這個(gè)平面平行，即若 A a , B a , A、B在a同側(cè)，且A、B到a 等距，貝U AB/ a .兩個(gè)平行平面外的一條直線與其中一個(gè)平面平行，也與另一個(gè)平面平行， 即若 a / 0 ,a a , a B , a / a ,貝U a / B .如果一條直線與一個(gè)平面垂直，則平面外與這條直線垂直的直線與該平面 平行，即若 aX a ,b c a , b± a,則 b / a

6、 .如果兩條平行直線中的一條平行于一個(gè)平面，那么另一條也平行于這個(gè)平面(或在這個(gè)平面內(nèi))，即若a / b,a / a ,b / a (或b a )(4)直線與平面垂直的判定定義：若一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，則這條直線和這個(gè)平面垂直.如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.即若 m a , n a , mA n=B,l，m,l，n,則 l ± a .如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一平面 即若 l / a,a，a ,則 l，a .一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面，即若 a/ B ,l

7、X p ,則 l X a .如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面，即若 a,ane=a , l B, l，a,則 l，a.如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線也垂直于第三個(gè)平面，即若 a X y ,B，y,且 aCB=a，貝 Ua，Y.(5) 兩平面平行的判定定義:如果兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面平行，即無公共點(diǎn)a/ B .如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行，即若 a,b a , an b=P,a / B ,b / B ,則 a / B .垂直于同一直線的兩平面平行.即若a，a, B La,則a / B .

8、平行于同一平面的兩平面平行.即若a / B , B / 丫，則a / y .一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一平面內(nèi)的兩條相交直線，則這兩個(gè)平面平行，即若 a,b a ,c,d B ,a C b=P,a / c,b / d,則 a / B .(6) 兩平面垂直的判定定義： 兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面互相垂直，即二面角a a B =90°a ± P .如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直，即若 l，B,l a,貝.一個(gè)平面垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，也垂直于另一個(gè).即若a / B ,a，丫，貝U B，丫 .直線在平面內(nèi)的判

9、定(1) 利用公理1：一直線上不重合的兩點(diǎn)在平面內(nèi)，則這條直線在平面內(nèi).(2) 若兩個(gè)平面互相垂直，則經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)，即若a，B ,A e a , AB, B ,則AB a .(3) 過一點(diǎn)和一條已知直線垂直的所有直線，都在過此點(diǎn)而垂直于已知直線的平面內(nèi)，即若 AC a,a ±b, AC a ,b，a ,則a a .(4) 過平面外一點(diǎn)和該平面平行的直線，都在過此點(diǎn)而與該平面平行的平面內(nèi)，即若 P a , PC B , B / a , PC a,a / a ,則 a B .(5) 如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么過這個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)與這條直線平

10、行的直線必在這個(gè)平面內(nèi)，即若 a/ a ,A e a , AC b,b / a,則b a .存在性和唯一性定理(1) 過直線外一點(diǎn)與這條直線平行的直線有且只有一條；(2) 過一點(diǎn)與已知平面垂直的直線有且只有一條；(3) 過平面外一點(diǎn)與這個(gè)平面平行的平面有且只有一個(gè)；(4) 與兩條異面直線都垂直相交的直線有且只有一條；(5) 過一點(diǎn)與已知直線垂直的平面有且只有一個(gè)；(6) 過平面的一條斜線且與該平面垂直的平面有且只有一個(gè)；(7) 過兩條異面直線中的一條而與另一條平行的平面有且只有一個(gè)；(8) 過兩條互相垂直的異面直線中的一條而與另一條垂直的平面有且只有一個(gè).射影及有關(guān)性質(zhì)(1) 點(diǎn)在平面上的射影

11、自一點(diǎn)向平面引垂線，垂足叫做這點(diǎn)在這個(gè)平面上的射影，點(diǎn)的射影還是點(diǎn).(2) 直線在平面上的射影自直線上的兩個(gè)點(diǎn)向平面引垂線，過兩垂足的直線叫做直線在這平面上的射影.和射影面垂直的直線的射影是一個(gè)點(diǎn)；不與射影面垂直的直線的射影是一條直線 .(3) 圖形在平面上的射影一個(gè)平面圖形上所有的點(diǎn)在一個(gè)平面上的射影的集合叫做這個(gè)平面圖形在該平面上的射影.當(dāng)圖形所在平面與射影面垂直時(shí)，射影是一條線段；當(dāng)圖形所在平面不與射影面垂直時(shí)，射影仍是一個(gè)圖形.(4) 射影的有關(guān)性質(zhì)從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中：(i) 射影相等的兩條斜線段相等，射影較長(zhǎng)的斜線段也較長(zhǎng)；(ii) 相等的斜線段的射影相等，

12、較長(zhǎng)的斜線段的射影也較長(zhǎng)；(iii) 垂線段比任何一條斜線段都短.空間中的各種角等角定理及其推論定理若一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，則這兩個(gè)角相等 .推論若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，則這兩組直線所成的銳角( 或直角 ) 相等 .異面直線所成的角(1)定義：a、b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O,分別引直線a' /a,b ' / b,則a'和b'所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成的角.(2)取值范圍：0° < 9 < 90° .(3) 求解方法根據(jù)定義，通過平移，找到異面直線所成的角9 ;

13、解含有9的三角形，求出角9的大小.直線和平面所成的角(1) 定義和平面所成的角有三種：(i) 垂線面所成的角的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.(ii) 垂線與平面所成的角直線垂直于平面，則它們所成的角是直角(iii) 一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°的角.(2)取值范圍0° < 9 < 90°(3) 求解方法作出斜線在平面上的射影，找到斜線與平面所成的角8.解含8的三角形，求出其大小.二面角及二面角的平面角(1) 半平面 直線把平面分成兩個(gè)部分，每一部分都叫做半平面.(2) 二面角條直線出發(fā)的兩

14、個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角. 這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面組成 .若兩個(gè)平面相交，則以兩個(gè)平面的交線為棱形成四個(gè)二面角.二面角的大小用它的平面角來度量，通常認(rèn)為二面角的平面角9的取值范圍 是0° < 9 < 180°(3) 二面角的平面角以二面角棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線，這兩條射線所組成的角叫做二面角的平面角.二面角的平面角具有下列性質(zhì)：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB，平面PCD.(ii) 從二面角的平面角的一邊上任意一點(diǎn)(異于角的頂點(diǎn))作另一面的垂線，垂足必在平

15、面角的另一邊(或其反向延長(zhǎng)線)上 .(iii) 二面角的平面角所在的平面與二面角的兩個(gè)面都垂直，即平面PCDLa ,平面 PCDL B .找 (或作 )二面角的平面角的主要方法.(i) 定義法(ii) 垂面法(4) 求二面角大小的常見方法先找(或作)出二面角的平面角9 ,再通過解三角形求得9的值 .利用面積射影定理S' =S ' cos a其中S為二面角一個(gè)面內(nèi)平面圖形的面積，S'是這個(gè)平面圖形在另一個(gè)面上的射影圖形的面積，a為二面角的大小.利用異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式求二面角的大小.空間的各種距離點(diǎn)到平面的距離（1）定義面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離

16、叫做這個(gè)點(diǎn) 到這個(gè)平面的距離.（2）求點(diǎn)面距離常用的方法：1）直接利用定義求找到（或作出）表示距離的線段；抓住線段（所求距離）所在三角形解之.2）利用兩平面互相垂直的性質(zhì).即如果已知點(diǎn)在已知平面的垂面上，則已知 點(diǎn)到兩平面交線的距離就是所求的點(diǎn)面距離.3）體積法其步驟是：在平面內(nèi)選取適當(dāng)三點(diǎn)，和已知點(diǎn)構(gòu)成三棱錐；求 出此三棱錐的體積V和所取三點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積 S;由V=1 S-h,求出h即3為所求.這種方法的優(yōu)點(diǎn)是不必作出垂線即可求點(diǎn)面距離.難點(diǎn)在于如何構(gòu)造合適的三棱錐以便于計(jì)算.4）轉(zhuǎn)化法將點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為（平行）直線與平面白距離來求.直線和平面的距離（1）定義一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離，叫 做這條直線和平面的距離.（2）求線面距離常用的方法直接利用定義求證（或連或作）某線段為距離，然后通過解三角形計(jì)算之.將線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，然后運(yùn)用解三角形或體積法求解之 .作輔助垂直平面，把求線面距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)線距離 .空間幾何體的三視圖和直觀圖1三視圖：正視圖：從前往后側(cè)視圖：從左往右俯視圖：從上往下2畫三視圖的原則：長(zhǎng)對(duì)齊、高對(duì)齊、寬相等3直觀圖：斜二測(cè)畫法（角度等于 45或者135）4斜二測(cè)畫法的步驟：（1） .平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；（2） .平行于y軸的線長(zhǎng)度變半，平行