相似三角形模型分析大全(精)

1、 第一部分 相似三角形知識要點大全知識點1.相似圖形的含義把形狀相同的圖形叫做相似圖形。（即對應角相等、對應邊的比也相等的圖形）解讀：（1）兩個圖形相似，其中一個圖形可以看做由另一個圖形放大或縮小得到（2）全等形可以看成是一種特殊的相似，即不僅形狀相同，大小也相同（3）判斷兩個圖形是否相似，就是看這兩個圖形是不是形狀相同，與其他因素無關例1放大鏡中的正方形與原正方形具有怎樣的關系呢？分析：要注意鏡中的正方形與原正方形的形狀沒有改變解：是相似圖形。因為它們的形狀相同，大小不一定相同例2下列各組圖形：兩個平行四邊形；兩個圓；兩個矩形；有一個內角80°的兩個等腰三角形；兩個正五邊形；有一個

2、內角是100°的兩個等腰三角形，其中一定是相似圖形的是_(填序號)解析：根據相似圖形的定義知，相似圖形的形狀相同，但大小不一定相同，而平行四邊形、矩形、等腰三角形都屬于形狀不唯一的圖形，而圓、正多邊形、頂角為100°的等腰三角形的形狀不唯一，它們都相似答案：知識點2比例線段對于四條線段a,b,c,d ，如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即（或a:b=c:d）那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段解讀：（1）四條線段a,b,c,d成比例，記作（或a:b=c:d），不能寫成其他形式，即比例線段有順序性（2）在比例式（或a:b=c:d）中，比例的項為a,b

3、,c,d，其中a,d為比例外項，b,c為比例內項，d是第四比例項（3）如果比例內項是相同的線段，即或a:b=b:c，那么線段b叫做線段和的比例中項。(4)通常四條線段a,b,c,d的單位應一致，但有時為了計算方便，a和b統(tǒng)一為一個單位，c和d統(tǒng)一為另一個單位也可以，因為整體表示兩個比相等例3已知線段a=2cm, b=6mm, 求分析：求即求與長度的比，與的單位不同，先統(tǒng)一單位，再求比例4已知a,b,c,d成比例，且a=6cm,b=3dm,d=dm，求c的長度分析：由a,b,c,d成比例，寫出比例式a:b=c:d，再把所給各線段a,b,d統(tǒng)一單位后代入求c知識點3相似多邊形的性質相似多邊形的性質

4、：相似多邊形的對應角相等，對應邊的比相等解讀：（1）正確理解相似多邊形的定義，明確“對應”關系（2）明確相似多邊形的“對應”來自于書寫，且要明確相似比具有順序性例5若四邊形ABCD的四邊長分別是4，6，8，10，與四邊形ABCD相似的四邊形A1B1C1D1的最大邊長為30，則四邊形A1B1C1D1的最小邊長是多少？分析：四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1相似，且它們的相似比為對應的最大邊長的比，即為，再根據相似多邊形對應邊成比例的性質，利用方程思想求出最小邊的長知識點4相似三角形的概念對應角相等，對應邊之比相等的三角形叫做相似三角形解讀：（1）相似三角形是相似多邊形中的一種；（2）應結合相

5、似多邊形的性質來理解相似三角形；（3）相似三角形應滿足形狀一樣，但大小可以不同；（4）相似用“”表示，讀作“相似于”；（5）相似三角形的對應邊之比叫做相似比注意：相似比是有順序的，比如ABCA1B1C1，相似比為k,若A1B1C1ABC，則相似比為。若兩個三角形的相似比為1，則這兩個三角形全等，全等三角形是相似三角形的特殊情況。若兩個三角形全等，則這兩個三角形相似；若兩個三角形相似，則這兩個三角形不一定全等例6如圖，已知ADEABC，DE=2，BC=4，則和的相似比是多少？點D，E分別是AB，AC的中點嗎？ 注意：解決此類問題應注意兩方面：（1）相似比的順序性，（2）圖形的識別解：因為ADEA

6、BC，所以，因為，所以，所以D，E分別是AB，AC的中點知識點5相似三角的判定方法（1） 定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似；（2） 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或其他兩邊的延長線）所構成的三角形與原三角形相似（3） 如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似（4） 如果一個三角的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似（5） 如果一個三角形的三條邊分別與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似（6） 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形都相似例7如圖，點D在ABC的邊AB上，滿

7、足怎樣的條件時，ACD與ABC相似？試分別加以列舉 分析：此題屬于探索性問題，由相似三角形的判別方法可知，ACD與ABC已有公共角A，要使此兩個三角形相似，可根據相似三角形的判別方法尋找一個條件即可解：當滿足以下三個條件之一時，ACDABC條件一：1=B；條件二：2=ACB；條件三：，即AC2=AD·AB知識點6相似三角形的性質（1） 對應角相等，對應邊的比相等；（2） 對應高的比，對應中線的比，對應角平分線的比都等于相似比；（3） 相似三角形周長之比等于相似比；面積之比等于相似比的平方例8如圖，已知ADEABC，AD=8，BD=4，BC=15，EC=7（1） 求DE、AE的長；（2

8、） 你還能發(fā)現(xiàn)哪些線段成比例 分析：此題重點考查由兩個三角形相似，可得到對應邊成例，即例9已知ABCA1B1C1，=，ABC的周長為20cm，面積為40cm2求（1）A1B1C1的周長；（2）A1B1C1的面積分析：根據相似三角形周長之比等于相似比；面積之比等于相似比的平方求解易求出A1B1C1的周長為30cm; A1B1C1的面積90cm2第二部分 相似三角形模型分析大全1、 相似三角形判定的基本模型認識（一）A字型、反A字型（斜A字型） （平行） （不平行）（二）8字型、反8字型（蝴蝶型） （平行） （不平行）（三）母子型 （四）一線三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）

9、或者等邊三角形為背景（五）一線三直角型：（6） 雙垂型： 2、 相似三角形判定的變化模型旋轉型：由A字型旋轉得到。 8字型拓展共享性 一線三等角的變形 一線三直角的變形第三部分 相似三角形典型例題講解母子型相似三角形例1：如圖，梯形ABCD中，ADBC，對角線AC、BD交于點O，BECD交CA延長線于E 求證： 例2：已知：如圖，ABC中，點E在中線AD上, 求證：（1）； （2）ACDEB 例3：已知：如圖，等腰ABC中，ABAC，ADBC于D，CGAB，BG分別交AD、AC于E、F求證： 相關練習：1、如圖，已知AD為ABC的角平分線，EF為AD的垂直平分線求證： 2、已知：AD是RtAB

10、C中A的平分線，C=90°，EF是AD的垂直平分線交AD于M，EF、BC的延長線交于一點N。求證：(1)AMENMD; (2)ND=NC·NB3、已知：如圖，在ABC中，ACB=90°，CDAB于D，E是AC上一點，CFBE于F。求證：EB·DF=AE·DB5 ACBPDE（第25題圖）已知：如圖，在RtABC中，C=90°，BC=2，AC=4，P是斜邊AB上的一個動點，PDAB，交邊AC于點D（點D與點A、C都不重合），E是射線DC上一點，且EPD=A設A、P兩點的距離為x，BEP的面積為y（1）求證：AE=2PE；（2）求y關于x

11、的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（3）當BEP與ABC相似時，求BEP的面積雙垂型1、如圖，在ABC中，A=60°，BD、CE分別是AC、AB上的高求證：（1）ABDACE；（2）ADEABC；(3)BC=2ED2、如圖，已知銳角ABC，AD、CE分別是BC、AB邊上的高，ABC和BDE的面積分別是27和3，DE=6，求：點B到直線AC的距離。共享型相似三角形1、ABC是等邊三角形,D、B、C、E在一條直線上,DAE=，已知BD=1，CE=3，,求等邊三角形的邊長. 2、已知：如圖，在RtABC中，AB=AC，DAE=45°求證：（1）ABEACD； （2）一線三等角型相似

12、三角形CADBEF例1：如圖，等邊ABC中，邊長為6，D是BC上動點，EDF=60°（1）求證：BDECFD（2）當BD=1，F(xiàn)C=3時，求BE 例2：（1）在中，點、分別在射線、上（點不與點、點重合），且保持.若點在線段上（如圖），且，求線段的長；若，求與之間的函數(shù)關系式，并寫出函數(shù)的定義域；ABC備用圖ABC備用圖ABCPQABCD（2） 正方形的邊長為（如下圖），點、分別在直線、上（點不與點、點重合），且保持.當時，求出線段的長.ABCDABCD 例3：已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如圖8，P為AD上的一點，滿足BPCA求證；ABPDPC求

13、AP的長CDABP（2）如果點P在AD邊上移動（點P與點A、D不重合），且滿足BPEA，PE交直線BC于點E，同時交直線DC于點Q，那么當點Q在線段DC的延長線上時，設APx，CQy，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；當CE1時，寫出AP的長例4：如圖，在梯形中，點為邊的中點，以為頂點作，射線交腰于點，射線交腰于點，聯(lián)結（1）求證：；（2）若是以為腰的等腰三角形，求的長；（3）若，求的長相關練習：1、如圖，在ABC中，是邊上的一個動點，點在邊上，且ABCDE(1) 求證：ABDDCE；(2) 如果，求與的函數(shù)解析式，并寫出自變量的定義域；(3) 當點是的中點時，試說明ADE是什么三角

14、形，并說明理由 2、如圖，已知在ABC中， AB=AC=6，BC=5，D是AB 上一點，BD=2，E是BC 上一動點，聯(lián)結DE，并作，射線EF交線段AC于F（1）求證：DBEECF； （2）當F是線段AC中點時，求線段BE的長；（3）聯(lián)結DF，如果DEF與DBE相似，求FC的長3、已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且BC =6，AB=DC=4，點E是AB的中點 （1）如圖，P為BC上的一點，且BP=2求證：BEPCPD； （2）如果點P在BC邊上移動（點P與點B、C不重合），且滿足EPF=C，PF交直線CD于點F，同時交直線AD于點M，那么 當點F在線段CD的延長線上時，設BP=，DF=，求關于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域； 當時，求BP的長EDCBA（備用圖）EDCBAP（第25題圖）4、如圖，已知邊長為的等邊，點在邊上，點是射線上一動點，以線段為邊向右側作等邊，直線交直線于點，（1）寫出圖中與相似的三角形；（2）證明其中一對三角形相似；（3）設，求與之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；（4）若，試求的面積備用圖一線三直角型相似三角形例1、已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，點P是AD上的一個動