1986年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷

1、1986 年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）一、選擇題（共10 小題，每小題3 分，滿分30 分）1 （ 3分）在下列各數(shù)中，已表示成三角形式的復數(shù)是（）ABCD2 （3分）函數(shù)y= （） x+1的反函數(shù)是（）A. y=log 5X+IB. y=logx5+1C. y=log 5 （x 1） D. y=log 5X 13 （ 3 分）極坐標方程表示（）A 一 條平行于x B 一 條垂直于x軸的直線軸的直線C 一 個圓D 一 條拋物線4 （ 3 分）函數(shù)是（）A 周 期為的奇函B 周 期為的偶函數(shù)數(shù)C 周 期為的奇函D 周 期為的偶函數(shù)數(shù)5 （3 分）給出20個數(shù)：87，91，94，88，93，91

2、，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89， 92， 95， 88 它們的和是（）A 1789B 1799C 1879D 18996 （ 3 分） （ 2004?重慶）已知p 是 r 的充分不必要條件，s 是 r 的必要條件，q 是 s 的必要條件，那么 p 是 q 成立的（）A 充 分不必要條B 必 要不充分條件件C 充 要條件D 既 不充分也不必要條件7 （3分）如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E" - 4F:>0）所表示的曲線關(guān)于直線y=x對稱，那么必有（）A D=EB D=FC E=FD D=E=F8 （3分）在正方形SGGG中，E、

3、F分別是GG及G2G的中點，D是EF的中點，現(xiàn)在沿SE、SF及EF 把這個正方形折成一個四面體，使 G、G、G三點重合，重合后的點記為 G,那么，在四面體S- EFG 中必有（）A. SG，AEFGM B. SD±AEFGW C. G3,ASEFM D. GDIASEF所 在平面在平面在平面在平面9 （3分）在下列各圖中，y=ax2+bx與 y=ax+b （abw0）的圖象只可能是（）ABCD10 （3分）當xC - 1, 0時，在下面關(guān)系式中正確的是（）ABCD二、解答題（共13 小題，滿分90 分）11 （ 4 分）求方程的解12 （ 4 分）已知的值13 （4分）在xoy平面上

4、，四邊形ABCD勺四個頂點坐標依次為（0, 0）、（1, 0）、（2, 1）及（0, 3） 求這個四邊形繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體的體積14 （ 4 分）求15 （ 4 分）求展開式中的常數(shù)項16 （ 4 分）已知的值17 （10分）如圖，AB是圓。的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C是圓周上不同于 A B的任一點， 求證：平面PAC垂直于平面PBC18 （12分）當 sin2x >0,求不等式（x2-2x- 15） > （x+13）的解集.19 （ 10 分）如圖，在平面直角坐標系中，在y 軸的正半軸（坐標原點除外）上給定兩點A、 B 試在 x軸的正半軸（坐標原點除外）上求點

5、 C,使/ACB取得最大值.20 （10分）已知集合A和集合B各含有12個元素，AAB含有4個元素，試求同時滿足下面兩個條 件的集合C的個數(shù)：（1） C? AUB且C中含有3個元素，（2） CP Aw ? （?表示空集）.21 （12分）過點M（ - 1, 0）的直線L1與拋物線y2=4x交于R、P2兩點記：線段PR的中點為P;過 點P和這個拋物線的焦點F的直線為L2； L1的斜率為k試把直線L2的斜率與直線L1的斜率之比表示 為 k 的函數(shù)， 并指出這個函數(shù)的定義域、單調(diào)區(qū)間，同時說明在每一單調(diào)區(qū)間上它是增函數(shù)還是減函數(shù)22 （12分）已知x1>0, x1*1,且，（n=1, 2,）.

6、試證：數(shù)列xn或者對任意自然數(shù)n都滿足xn <xn+1,或者對任意自然數(shù)n都滿足xn>xn+1.23附加題：（ 1）求 y=xarctgx 2的導數(shù)；（2）求過點（-1,0）并與曲線相切的直線方程.1986 年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析10 小題，每小題3 分，滿分30 分）1 （ 3分）在下列各數(shù)中，已表示成三角形式的復數(shù)是（ABCD考點：復數(shù)的基本概念分析：復數(shù)的三角形式是r （cosB+isin 8）,觀察所給的四種形式，只有一種形式符合要求，注意式子中各個位置的符號，可得結(jié)果解答： 解：= Z=r （cos 0 +isin 0）, .Z=2 （cos+i

7、sin ）,故選 B點評：復數(shù)的代數(shù)形式和三角形式是復數(shù)運算中常用的兩種形式，注意兩種形式的標準形式，不要在簡單問題上犯錯誤2. (3分)函數(shù)y= () x+1的反函數(shù)是()A. y=log 5X+IB. y=logx5+1C. y=log 5 (x 1) D. y=log 5X 1考點：反函數(shù)專題：計算題分析：本題考查的是指數(shù)式與對數(shù)式的互化及反函數(shù)的求法，利用指對互化得到反函數(shù)的解析式y(tǒng)=log 5 （x-1）即可選擇答案.解答：解：根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，由 y= （） X+1 解得 x=iog 5 y 1）x, y 互換得：y=log 5 （x1）故選 C點評：本題小巧靈活，很好的體

8、現(xiàn)了指數(shù)是與對數(shù)式的互化，抓住選項特點，求出反函數(shù)的解析式就可以判斷出正確答案，不必求出反函數(shù)的定義域等3 （ 3 分）極坐標方程表示（）A 一 條平行于x B 一 條垂直于x 軸的直線軸的直線C 一 個圓D 一 條拋物線考點：點的極坐標和直角坐標的互化專題：選作題；轉(zhuǎn)化思想分析：首先由極坐標與直角坐標系的轉(zhuǎn)換公式， 把極坐標轉(zhuǎn)化為直角坐標系下的方程，然后再判斷曲線所表示的圖形解答：解：由極坐標與直角坐標系的轉(zhuǎn)換公式，可得到X=W是一條垂直于x軸的直線.所以答案選擇B點評：此題主要考查極坐標系與直角坐標系的轉(zhuǎn)化，以及公式的應(yīng)用計算量小題目較容易4 （ 3 分）函數(shù)是（）A 周 期為的奇函B 周

9、 期為的偶函數(shù)數(shù)C 周 期為的奇函D 周 期為的偶函二倍角的正弦逆用二倍角的正弦公式，整理三角函數(shù)式，應(yīng)用周期的公式求出周期，再判斷奇偶性，這是性質(zhì)應(yīng)用中的簡單問題解答： 解：: y=sin2xcos2x=sin4x. .T=2 兀 +4=,原函數(shù)為奇函數(shù)，故選 A利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系式可以化簡三角函數(shù)式化簡的標準：第一， 盡量使函數(shù)種類最少，次數(shù)最低，而且盡量化成積的形式；第二，能求出值的要求出值；第三，根號內(nèi)的三角函數(shù)式盡量開出；第四，盡量使分母不含三角函數(shù).把函數(shù)化為y=Asin （x+?。┑男问皆俳鉀Q三角函數(shù)性質(zhì)有關(guān)問題5 （3分）給出20個數(shù)：87，91，94，88，93，91，

10、89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89， 92， 95， 88 它們的和是（）A 1789B 1799C 1879D 1899收集數(shù)據(jù)的方法計算題本題要求求20 個數(shù)字的和，數(shù)字個數(shù)較多，解題時要細心，不要漏掉數(shù)字或重復使用數(shù)字解：由題意知本題是一個求和問題，87+91+94+88+93+91+89+87+92+86+90+92+88+90+91+86+89+92+95+88=1，799故選B本題是一個最基本的問題，考查的是數(shù)字的加法運算，這樣的題目若出上，則是一個送分的題目6 （ 3 分） （ 2004?重慶）已知p 是 r 的充分不必要條件，s 是 r 的必要條件

11、，q 是 s 的必要條件，那p 是 q 成立的（）A充分不必要條B必要不充分條件件C充要條件D既不充分也不必要條件點題析答 評考專分解 點必要條件、充分條件與充要條件的判斷.壓軸題.由題設(shè)條件知p? r? s? q.但由于r推不出p,所以q推不出p.p? r ，r? s，s? q，? r? s? qr 推不出p，推不出 pA本題考查充分條件，必要條件，充要條件的判斷，解題時要認真審題，注意公式的合理運用.7 （3分）如果方程x+y+Dx+Ey+F=0D+U-4F> 0）所表示的曲線關(guān)于直線y=x對稱，那么必有（A D=EB D=FC E=FD D=E=F考點：圓的一般方程分析：圓關(guān)于直線

12、y=x 對稱，只需圓心坐標滿足方程y=x 即可解答：解：曲線關(guān)于直線y=x 對稱，就是圓心坐標在直線y=x 上，圓的方程x2+y2+Dx+Ey+F=（0 D2+E2-4F> 0）中，D=E 故選A點評：本題考查圓的一般方程，對稱問題，是基礎(chǔ)題8. （3分）在正方形SGGG中，E、F分別是GG及GG的中點，D是EF的中點，現(xiàn)在沿SE、SF及EF 把這個正方形折成一個四面體，使 G、G、G三點重合，重合后的點記為 G,那么，在四面體S- EFG 中必有（）A. SG，AEFGM B. SD±AEFGW C. GF1ASEFM D. GDIASEF所 在平面在平面在平面在平面考點：空

13、間中直線與平面之間的位置關(guān)系分析：根據(jù)題意，在折疊過程中，始終有 SGXGiE, SCGXG3F,即SGLGE SGIGF由線面垂直的判定定理，易得SG!平面EFG分析四個答案，即可給出正確的選擇.解答： 解：二.在折疊過程中，始終有 SGLGiE, SGXG3F,即 SGLGE SGIGF所以SG1平面EFG故選A點評：線線垂直可由線面垂直的性質(zhì)推得，直線和平面垂直，這條直線就垂直于平面內(nèi)所有直線，這是尋找線線垂直的重要依據(jù)垂直問題的證明，其一般規(guī)律是“由已知想性質(zhì)，由求證想判定”， 也就是說，根據(jù)已知條件去思考有關(guān)的性質(zhì)定理；根據(jù)要求證的結(jié)論去思考有關(guān)的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路

14、結(jié)合起來9. （3分）在下列各圖中，y=ax2+bx與 y=ax+b （abw0）的圖象只可能是（ABCD考點：函數(shù)的圖象與圖象變化專題：壓軸題；數(shù)形結(jié)合分析： 要分析滿足條件的y=ax2+bx與y=ax+b （abw0）的圖象情況，我們可以使用排除法，由二次項系數(shù) a 與二次函數(shù)圖象開口方向及一次函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，可排除A， C； 由二次函數(shù)常數(shù)項c為 0，函數(shù)圖象過原點，可排除B解答： 解：在A中，由二次函數(shù)開口向上，故 a>0故此時一次函數(shù)應(yīng)為單調(diào)遞增，故 A不正確；在B中，由y=ax2+bx,則二次函數(shù)圖象必過原點故 B 也不正確；在C中，由二次函數(shù)開口向下，故 a<0故此

15、時一次函數(shù)應(yīng)為單調(diào)遞減，故 C不正確；故選D點評：根據(jù)特殊值是特殊點代入排除錯誤答案是選擇題常用的技巧，希望大家熟練掌握10. （3分）當xC - 1, 0時，在下面關(guān)系式中正確的是（ABCD考點：反三角函數(shù)的運用專題：壓軸題；閱讀型.分析：利用三角函數(shù)的運算法則，以及幾何意義對選項一一驗證，可求正確選項.解答： 解：當x在（-1, 0） xC - 1, 0內(nèi)變化時：由于0<1-x2<1,每一個關(guān)系式的右端均為銳角.每一個關(guān)系式的左端均為兩項，第一項均為冗;考查第二項，由于arccos （ - x）和arcsin （ - x）均為銳角，所以九-arccos （-x）=鈍角，（A）不

16、正確.冗一arcsin （ x）=鈍角，（B）不正確.由于arcsinx 為負銳角，所以 冗-arcsinx >九，（D）不正確.故選C.點評：本題考查反函數(shù)的運算，考查發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，是中檔題.二、解答題（共13小題，滿分90分）11. . （4分）求方程的解.考點：指數(shù)函數(shù)綜合題.分析：將方程兩側(cè)化成以5為底數(shù)的指數(shù)式，由同底數(shù)的指數(shù)式相等必有指數(shù)相等即可解.解答：解：= =點評：本題主要考查解指數(shù)方程的問題.注意方程兩側(cè)可都化成同底數(shù)后再求解.12. （4分）已知的值.考點：復數(shù)代數(shù)形式的混合運算.分析：的值是1的一個立方虛根，2+w +1=0是它的性質(zhì).解答：解：由=0點

17、評：本題考查復數(shù)代數(shù)形式的混合運算，是基礎(chǔ)題.13. （4分）在xoy平面上，四邊形ABCD勺四個頂點坐標依次為（0, 0）、（1, 0）、（2, 1）及（0, 3） 求這個四邊形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體的體積.考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積.專題：計算題.分析：畫出圖形，旋轉(zhuǎn)后的幾何體是一個圓臺，去掉一個倒放的圓錐，求出圓臺的體積，減去圓錐的體積即可.解答： 解：在xoy平面上，四邊形ABCD勺四個頂點坐標依次為（0, 0）、（1, 0）、（2, 1）及（0, 3）, 這個四邊形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體是：底面半徑為 3,高為2,上底面半徑為1的圓 臺，去掉一個底面半徑為1,高為1的圓

18、錐， 所以幾何體白體積是：二.故答案為：點評：本題是基礎(chǔ)題，考查旋轉(zhuǎn)體的體積，旋轉(zhuǎn)體的圖形特征，棱錐的體積，考查空間想象能力，計算能力，是?？碱}型.14. （4分）求.考點：極限及其運算.專題：計算題.分析：當x-8時，分子、分母都沒有極限，不能直接運用上面的商的極限運算法則.本題中，可將分子、分母都除以3n,再利用商的極限運算法則進行計算.解：原式=，又則原式=故答案是點評：在求此類分式極限式時，注意到常用的技巧，分子分母同時除以3n.即可完成極限計算.15. ( 4 分)求展開式中的常數(shù)項點題析答 評考專分解 點二項式定理.計算題.r+1 項，令 x 的指數(shù)為0 求出常數(shù)項解：展開式的通項

19、Tr+i= (T) r2"rQrx1"5r令 15- 5r=0 得 r=3所以展開式的常數(shù)項為-22C53= - 40本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題.16. ( 4 分)已知的值同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用分析： 先對 sin 0 cos 0 =兩邊平方得至U sin 0 cos 0 =,再由 sin 3 0 - cos3 0 = (sin 0 - cos 0)(sin 2+sin 0 cos 0 +cos2 0)可得答案解答： 解：' sin 0 cos 0 =,sin 0 cos 0 二sin 3 0 - cos3 0 = (sin 0

20、 - cos 0) (sin 2+sin 0 cos 0 +cos2 0)=x (1+)=本題主要考查已知關(guān)于三角函數(shù)的等式求3 次三角函數(shù)值的問題這里要注意三角函數(shù)的變形應(yīng)用17. (10分)如圖，AB是圓。的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C是圓周上不同于 A B的任一點, 求證：平面PAC垂直于平面PBC平面與平面垂直的判定證明題；綜合題分析： 要證明平面PAC®直于平面PBC直線證明平面PBC內(nèi)的直線BC,垂直平面PAC內(nèi)的兩條相交 直線PA AC即可. 證明：連接ACAB是圓O的直徑 ./ACB=90 即 BMAC 又.PAL圓O所在平面，且BC在這個平面內(nèi) PALBC因此

21、BC垂直于平面PAC中兩條相交直線BM平面PAC. 4PBC所在平面與 PACff在平面垂直.本題考查直線與平面平行與垂直的判定，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是基礎(chǔ)題18. (12分)當 sin2x >0,求不等式(x2-2x- 15) > (x+13)的解集.對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點；對數(shù)函數(shù)的定義域；一元二次不等式的解法計算題分析：由sin2x >0得到x取值范圍；再接對數(shù)不等式，又得到 x取值范圍，最后將得到的這2個范圍取交集即得原不等式的解集解答： 解：滿足sin2x >0的x取值范圍是 ，（1） 而由（x2- 2x-15） > （x+13）,得解得：

22、4<x< 3, 5Vx<7, （5）由（1）、（5）可知所求解集為（冗，3） U （2冗，7）.點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點，及一元二次不等式的解法19. （ 10 分）如圖，在平面直角坐標系中，在y 軸的正半軸（坐標原點除外）上給定兩點A、 B 試在 x軸的正半軸（坐標原點除外）上求點 C,使/ACB取得最大值.考點：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用；兩角和與差的正切函數(shù)專題：計算題；函數(shù)思想分析： 首先題目給定y軸的正半軸上的兩點 A B,求x軸的正半軸上點C,使/ACB®得最大值.故 可以設(shè)A的坐標為（0, a）、點B的坐標為（0, b

23、）, C的坐標為（x,0）記/ BCA須，/ OCB=然 后根據(jù)三角形角的關(guān)系，求出tan a的值再根據(jù)基本不等式求出其最大值，因為在內(nèi)tan a是增函數(shù)，即所得的角為最大角解答： 解：設(shè)點A的坐標為（0, a）、點B的坐標為（0, b）, 0<b<a,又設(shè)所求點C的坐標為（x, 0） 記/ BCA項,/ OCB=,則/ OCA = + B .顯然，.現(xiàn)在有tan a =tg （ a + B ） -0 =.記，那么，當時，y 取得最小值2因此，當時，tan a取得最大值.因為在內(nèi)tan a是增函數(shù)，所以當時，/ ACB®最大值.故所求點C的坐標為（，0）.故答案為（，0）

24、 點評：此題主要考查基本不等式在求最值問題中的應(yīng)用，題中涉及到兩角和與差的正切函數(shù)，有一定的技巧性，屬于中檔題目20. （10分）已知集合A和集合B各含有12個元素，AAB含有4個元素，試求同時滿足下面兩個條 件的集合C的個數(shù)：（1） C? AUB且C中含有3個元素，（2） CP Aw ? （?表示空集）.考點：子集與交集、并集運算的轉(zhuǎn)換分析：集合韋恩圖求出AUB中元素的個數(shù)，再利用排列組合知識求解即可.解答： 解：因為A、B各含12個元素，AAB含有4個元素，因此AUB元素的個數(shù)是12+12-4=20故滿足題目條件（1）的集合的個數(shù)是C203，在上面集合中，還滿足 AH C=?的集合C的個數(shù)

25、是C3 因此，所求集合C的個數(shù)是C2o3-C83=1084點評：本題考查集合中元素的個數(shù)、子集個數(shù)以及排列組合知識，難度不大21. （12分）過點M（ - 1, 0）的直線Li與拋物線y2=4x交于R、P2兩點記：線段RR的中點為P;過 點P和這個拋物線的焦點F的直線為L2； Li的斜率為k試把直線L2的斜率與直線Li的斜率之比表示 為 k 的函數(shù)， 并指出這個函數(shù)的定義域、單調(diào)區(qū)間，同時說明在每一單調(diào)區(qū)間上它是增函數(shù)還是減函數(shù)考點：拋物線的簡單性質(zhì)專題：綜合題分析：先設(shè)直線Li的方程是y=k (x+1),然后與拋物線方程聯(lián)立消去 y,得到兩根之和、兩根之積，將直線Li與該拋物線有兩個交點轉(zhuǎn)化

26、為 = (2k2-4) 2-4k2?k2>0且 “0,進而可得到k的 范圍，設(shè)點P的坐標為，可以得到直線Li、直線L2的斜率，記，則可以得到，再由，可以得 到，再分析單調(diào)性即可解答： 解：由已知條件可知，直線Li的方程是y=k (x+1)把代入拋物線方程y2=4x，整理后得到 k2x2+ (2k2-4) x+k2=0®因此，直線Li與該拋物線有兩個交點的充要條件是：(2k2- 4) 2-4k2?k2>0及“0.解出與得到kC (- i, 0) U (0, i)現(xiàn)設(shè)點P 的坐標為，則直線Li的斜率，而直線L2的斜率，記，則今記Li與拋物線的兩個交點Pi與P2的橫坐標分別為xi和x2,由韋達定理及得，由此得到，定義域是(-i, 0) U (0, i)顯然，i-k2在(T, 0)內(nèi)遞增，在(0, i)內(nèi)遞減所以，在(0, i)內(nèi)為增函數(shù)，在(-i, 0)內(nèi)為減函數(shù)點評：本題主要考查直線與拋物線的綜合問題直線與圓錐曲線的綜合題是高考的一個重要考點，要著重復習22. (i2分)已知xi>0, xiwi,且，(n=i, 2,).試證：數(shù)列x n或