高中數(shù)學(xué)百大經(jīng)典例題——平面（新課標）

1、典型例題一例1 三條直線兩兩相交，由這三條直線所確定平面的個數(shù)是（ ）A1 B2 C3 D1或3分析：本題顯然是要應(yīng)用推論2判斷所能確定平面的個數(shù)，需要在空間想象出這三條直線所有不同位置的圖形，有如下圖的三種情況（如圖）：答案：D說明：本題啟發(fā)我們考慮問題不要只局限于平面圖形，應(yīng)養(yǎng)成在三維空間考慮問題的習(xí)慣典型例題二例2一條直線與三條平行直線都相交，求證這四條直線共面分析：先將已知和求證改寫成符號語言證明諸線共面，可先由其中的兩條直線確定一個平面，然后證明其余的直線均在此平面內(nèi)也可先由其中兩條確定一個平面，另兩條確定平面，再證平面，重合已知：，求證：直線，共面證明： ， ，確定一個平面 ， ，

2、故又 ， ，確定一個平面同理可證 ，且 過兩條相交直線，有且只有一個平面，故與重合即直線，共面說明：本例是新教材第9頁第9題的一個簡單推廣，還可推廣到更一般的情形本例證明既采用了歸一法，同時又采用了同一法這兩種方法是證明線共面問題的常用方法在證明時，也可以用如下反證法證明：假設(shè)直線，則一定與相交，此時直線與內(nèi)的所有直線都不會平行，這顯然與矛盾故典型例題三例3 已知在平面外，它的三邊所在的直線分別交平面于，三點，證明，三點在同一條直線上分析：如圖所示，欲證，三點共線，只須證，在平面和平面的交線上，由，都是兩平面的公共點而得證證明： ， 是平面與平面的交線又 ， 且平面， ， ，三點共線說明：證明

3、點共線的一般方法是證明這些點是某兩個平面的公共點，由公理2，這些點都在這兩平面的交線上典型例題四例4 如圖所示，與不在同一個平面內(nèi)，如果三直線、兩兩相交，證明：三直線、交于一點分析：證明三線共點的一般思路是：先證明兩條直線交于一點，再證明該點在第三條直線上即可證明：由推論2，可設(shè)與，與，與分別確定平面，取，則，又因，則（公理2），于是，故三直線、共點說明：空間中證三線共點有如下兩種方法：（1）先確定兩直線交于一點，再證該點是這兩條直線所在兩個平面的公共點，第三條直線是這兩個平面的交線，由公理2，該點在它們的交線上，從而得三線共點（2）先將其中一條直線看做是某兩個平面的交線，證明該交線與另兩直線

4、分別交于兩點，再證這兩點重合從而得三線共點典型例題五（1）不共面的四點可以確定幾個平面？（2）三條直線兩兩平行但不共面，它們可以確定幾個平面？（3）共點的三條直線可以確定幾個平面？分析：（1）可利用公里3判定。（2）可利用公里3的推論3判定。（3）需進行分類討論判定。解：（1）不共面的四點可以確定四個平面。（2）三條直線兩兩平行但不共面，它們可以確定3個平面。（3）共點的三條直線可以確定1個或3個平面。說明：判定平面的個數(shù)問題關(guān)鍵是要緊緊地抓住已知條件，要做到不重不漏。平面的確定問題主要是根據(jù)已知條件和公里3及其3個推論來判定平面的個數(shù)。典型例題六例6、為空間三點，經(jīng)過這三點：A能確定一個平面

5、B能確定無數(shù)個平面C能確定一個或無數(shù)個平面D能確定一個平面或不能確定平面分析：本題考查空間確定平面的方法，解題的主要依據(jù)是公理3及三個推論解：由于題設(shè)中所給的三點、并沒有指明這三點之間的位置關(guān)系，所以在應(yīng)用公理3時要注意條件“不共線的三點”當(dāng)、三點共線時，經(jīng)過這三點就不能確定平面，當(dāng)、三點不共線時，經(jīng)過這三點就可以確定一個平面，故選D說明：空間確定一平面的方法有多種，既可以根據(jù)不共線的三點來確定一個平面，又可以根據(jù)空間兩相交直線或兩平行直線來確定一個平面典型例題七例7判斷題（答案正確的在括號內(nèi)打“”號，不正確的在括號內(nèi)打“×”號）(1)兩條直線確定一個平面；（）(2)經(jīng)過一點的三條直

6、線可以確定一個平面；（）(3)兩兩相交的三條直線不共面；（）(4)不共面的四點中，任何三點不共線（）分析：(1)兩條直線能否確定平面，應(yīng)注意這兩條直線的位置關(guān)系，不給出位置關(guān)系則要分情況討論，才可得出結(jié)論兩條相交直線可確定一個平面，兩條平行直線可確定一個平面，除此以外的任何兩條直線不能確定平面；(2)經(jīng)過一點的兩條直線可確定一個平面，三條直線不一定能確定平面；(3)三條直線兩兩相交，若不共點時這三條直線必共面；(4)如果有三點共線，則此三點所在直線與第四點必同在某一平面內(nèi)，即四點共面解：(1)×(2)×(3)×(4)說明：由(3)題的分析過程可知：兩兩相交的三條直

7、線有時共面有時不共面那么對于空間四條直線何時共面何時不共面呢？典型例題八例8如圖，在正方體中，點、分別是棱、的中點，試畫出過點、三點的截面分析：本題考查作多面體截面的能力，主要依據(jù)是公理1和公理2欲畫出所要求的截面與正方體各個側(cè)面的交線解：連并延長與的延長線交于點，連結(jié)與的延長線交于點，連結(jié)與、兩條棱交于點，連結(jié)、，則就是過點、三點的截面說明：本題亦可以證明點、四點共面若、不是棱與的中點，則作圖過程中不一定過點，所畫的截面多邊形可能是五邊形典型例題九例9判斷下列說法是否正確？并說明理由(1)平行四邊形是一個平面(2)任何一個平面圖形都是一個平面(3)空間圖形中先畫的線是實線，后畫的線是虛線解：

8、(1)不正確平行四邊形它僅是平面上四條線段構(gòu)成的圖形，它是不能無限延伸的說明：在立體幾何中，我們通常用平行四邊形表示平面，但絕不是說平行四邊形就是平面(2)不正確平面圖形和平面是完全不同的兩個概念，平面圖形是有大小，它是不可能無限延展的說明：要嚴格區(qū)分“平面圖形”和“平面”這兩個概念(3)不正確在空間圖形中，我們一般是把能夠看得見的線畫成實線，把被平面遮住看不見的線畫成虛線（無論是題中原有的，還是后引的輔助線）說明：在平面幾何中，凡是后引的輔助線都畫成虛線；在立體幾何中卻不然有的同學(xué)在學(xué)習(xí)立體幾何時，對此點沒有認識，必將影響空間立體感的形成，削弱或阻斷空間想象能力的培養(yǎng)典型例題十例10按照給出

9、的要求，完成下面兩個相交平面的作圖，如下圖的(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)中的線段，分別是兩個平面的交線解：由兩個相交平面的畫法：本題只須過線段的端點畫出與交線平行且相等的線段，即可得到相關(guān)的平行四邊形，注意被平面遮住的部分應(yīng)畫成虛線或者不畫，然后在相關(guān)的平面上標上表示平面的字母即可如下圖所示說明：(1)畫好兩個相交平面的圖形，是畫好一切立體圖形的基礎(chǔ)(2)畫空間圖形的過程，是培養(yǎng)我們空間想象能力的過程，一定要認真對待，決不可以掉以輕心典型例題十一例11 (1)一個平面將空間分成幾部分？(2)兩個平面將空間分成幾部分？(3)三個平面將空間分成幾部分？畫出圖形，（要求：至少有兩種

10、情況有畫法過程）解：(1)一個平面將空間分成兩部分(2)兩個平面平行時，將空間分成三部分，兩個平面相交時，將空間分成四部分(3)本小題情況比較復(fù)雜，須分類予以處理情況1：當(dāng)平面、平面、平面互相平行（即），將空間分成四個部分，其圖形如右圖情況2：當(dāng)平面與平面平行，平面與它們相交（即，與其相交），將空間分成六部分，其圖形如下圖畫法是：情況3：當(dāng)平面、平面、平面都相交，且三條交線重合（即且）將空間分成六部分，其圖形如下圖說明：本種情況給出兩種圖形，一種是將交線畫成水平狀態(tài)，一種是將交線畫成豎直狀態(tài)情況4：平面、平面、平面都相交且三條交線共點，但互不重合（即，且與、都相交，三條交線共點）將空間分成八部

11、分，其圖形如下圖畫法是：情況5：平面、平面、平面兩兩相交且三條交線平行（即，與、都相交且三條交線平行）將空間分成七部分，其圖形如下圖說明：1本小題(3)，在解答過程中，采用了簡單到復(fù)雜遞進的處理方法，首先對兩個平面在空間的位置分類討論，再讓第三個平面以不同情況介入，然后分類解決2通過此題的解答，要學(xué)會處理問題的思維方法，注意邏輯思維能力的培養(yǎng)與提高3本題是一個基礎(chǔ)性很強的問題，無論是對立體圖形的畫法以及空間想象能力的形成都大有裨益典型例題十二例12下圖中表示兩個相交平面，其中畫法正確的是（）解：對于A，圖中沒有畫出平面與平面的交線，另外圖中的實、虛線也沒有按照畫法原則去畫，因此A的畫法不正確同

12、樣的道理，也可知B、C圖形的畫法不正確D的圖形畫法正確應(yīng)選D說明：對空間圖形的準確辨識，是培養(yǎng)空間想象能力的重要組成部分，一定要注意這方面能力的鍛煉典型例題十三例13觀察下圖，說明圖形中的不同之處解：上面的圖形都是由九條線段構(gòu)成的圖形、外形似乎相似仔細觀察，由于圖中的實、虛線的畫法不同，則反映了不同的幾何體A圖是一個簸箕形圖形；B圖是體，是三棱柱；C圖也是體，也是三棱柱B圖如果看作是從三棱柱的正面觀察，C圖則可看作是從三棱柱的后面觀察說明：在立體幾何中，一定要明確畫圖過程中哪條線畫實線，哪條線畫虛線要記?。耗軌蚩吹玫降木€一定畫成實線，被擋住的看不到的線畫成虛線下面再給出兩組圖形如下圖所示，請同

13、學(xué)們予以辨識，指出它們有什么不同典型例題十四例14若點在直線上，在平面內(nèi)，則、之間的關(guān)系可記作（）ABCD解法1：（直接法）點在直線上，直線在平面內(nèi)，應(yīng)選B解法2：（排除法）點與直線之間的關(guān)系是元素與集合之間的關(guān)系，只能用符號“”或“”表示，C、D應(yīng)予排除直線與平面之間是集合與集合之間的關(guān)系，只能用符號“”或“”表示，A應(yīng)予以排除綜上可知應(yīng)選B說明：要能正確地使用點、直線、平面之間關(guān)系的符號語言典型例題十五例15用符號語言表示下列語句(1)點在平面內(nèi)，但在平面外；(2)直線經(jīng)過平面外一點；(3)直線在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)，即平面和相交于直線解：(1)但(2)，(3)且，即說明：符號語言比較簡潔、

14、嚴謹，可大大的縮短文字語言表達的長度，有利于推理、計算典型例題十六例16將下面用符號語言表示的關(guān)系改用文字語言予以敘述，并用用圖形語言予以表示分析：本題實質(zhì)是數(shù)學(xué)三種語言符號語言、文字語言、圖形語言的互譯解：文字語言敘述為：點在平面與平面的交線上，、分別在、內(nèi)圖形語言表示為如圖：說明：文字語言比較自然、生動，它能將問題所研究的對象的含義更加明白地敘述出來，我們教科書上的概念、定理等多以文字語言敘述圖形語言，易引起清晰的視覺形象，它能直觀地表達概念、定理的本質(zhì)以及相互關(guān)系，在抽象的數(shù)學(xué)思維面前起著具體化和加深理解的作用各種數(shù)學(xué)語言間的互譯可為我們在更廣闊的思維領(lǐng)域里尋找問題解決的途徑提供方便有利

15、于培養(yǎng)我們思維的廣闊性典型例題十七例17如下圖中，若、在平面內(nèi)，判斷是否在平面內(nèi)解：在平面內(nèi)，點一定在平面內(nèi)在平面內(nèi)，點一定在平面內(nèi)點、點都在平面內(nèi)直線在平面內(nèi)（公理1）說明：公理1可以用來判斷直線是否在平面內(nèi)典型例題十八例18如下圖，在正方體中，、分別為和上的中點，畫出平面與平面的交線分析：可根據(jù)公理2，如果兩個平面有一個公共點，它們就有過這點的一條直線，也只有這一條直線；這條直線的位置還須借助于另一個條件來確定解：在平面內(nèi)，延長，與不平行，因此與必相交于一點，設(shè)為則，又平面，平面內(nèi)，平面，平面又為平面與平面的公共點，連結(jié)，即為平面與平面的交線說明：公理2是兩個平面相交的性質(zhì)，它說明兩個平面相交，交線是一條直線要注意理解兩個平面不存在只有一個公共點的情形，如果有一個公共點，那么必定有無數(shù)多個公共點，且這些點恰好組成一條直線同時要注意，找到兩個平面的一個公共點，交線的具體位置還無法判定，只有找到兩個公共點，才確定這兩個平面的交線這是做幾何體截面時確定交線經(jīng)常用到的方法典型例題十九例19已知、分別是空間四邊形（四條線段首