線性代數(shù)概念與定理

1、第五章線性空間一、線性空間1、定義與定理(1 )線性空間的定義和性質(zhì)定義1 |設(shè)F是一個(gè)數(shù)集如果F滿足 1, 0 F;F對(duì)于加法、減法、乘法、除法(除數(shù)不為零)運(yùn)算封閉；則稱F為一個(gè)數(shù)域定義設(shè)V是一個(gè)非空集合，F(xiàn)是一個(gè)數(shù)域，如果定義了如下兩種運(yùn)算，并且滿足后面列舉的八條性質(zhì)，則稱V是數(shù)域F上的一個(gè)線性空間：(1)加法運(yùn)算,V,有+ V; ( V對(duì)加法運(yùn)算封閉)(2)數(shù)乘運(yùn)算V, kF,有k V; (V對(duì)數(shù)乘運(yùn)算封閉)(3)八條運(yùn)算性質(zhì),V, k, l F: + =+佼換律)(+ )+=+( +)(結(jié)合律)V,V, +=(叫零兀素，也記為0)V,V使+ = 0 (稱為的負(fù)兀素，記為-)1 =(k

2、l)=k(l) k( + )=k+ k(分配律)(k+l)=k+l(分配律)線性空間 V的簡單性質(zhì)V中零向量唯一，記為0.假若1,2都是V的零向量，那么由1是零向量，有2 +1 = 2.又因 2是零向量，有1+ 2 = 1，于是 1 = 1 + 2 = 2 + 1 = 2.V中每個(gè)向量的負(fù)向量唯一，記為-.如果，都是 的負(fù)向量，貝9=+=+ (+) = ( + ) + =+ =. 0=.由+0= 1 +0= (1+0)=1=, 兩邊同時(shí)加-,有 0=0+= 0+(+(-)=(0 + )+(- ) = +(-)=.(-1)=-.由 + (-1)= 1+ (-1)= (1-1)= 0= 0,所以由

3、 有(-1)=-. k =.由和定義 1(6)有 k = k(0 ) = (k0) = 0 =.若 ka = ，貝U k = 0 或 a =.若 k 0,貝U = (k-1 k) = k-1(k ) = k-1=.(2 )線性空間中元素間的線性關(guān)系定義3設(shè)1,2,，s是數(shù)域 F上的線性空間V中的s個(gè)向量,k1, k2,ks F,稱k1什k2 2+ks s是 1, 2,，s的線性組合定理1數(shù)域F上的線性空間V中的s個(gè)向量 1, 2,，s (s 2)線性相關(guān)的充要條件是其中有一個(gè)向量可由其余的向量線性表出.定理21設(shè)數(shù)域F上的線性空間V中的s個(gè)向量 1,2,，s線性無關(guān)，而 1,2,，s,線性相關(guān)

4、,貝U 可由1, 2，s線性表出，且表示法唯一.定理3 |如果向量組 A可由向量組 B線性表示，而且s > t,則A 一定線性相關(guān).推論1設(shè)有兩個(gè)向量組：A: 1, 2L , s;B:仃2L , t.若向量組 A線性無關(guān)，且可由向量組 B 線性表示，則s t.推論21等價(jià)的線性無關(guān)向量組個(gè)數(shù)相同.定理4設(shè)向量組1,2,，n線性無關(guān)，而1, 2,，n可由1,2,，n線性表出，且有1ai11a212Lan1n2印21a222Lan2n，貝1, 2,，n線性無關(guān) |A|工0LLLLLLLLLLna1n1 a2n 2 Lannn(3 )線性空間的維數(shù)、基和坐標(biāo)定義可如果在線性空間V中存在n個(gè)線性

5、無關(guān)的向量意n個(gè)線性無關(guān)的向量為線性空間V基的概念是坐標(biāo)系概念的推廣.是F的線性空間n,記 X = (X1, X2,的一組基，稱,但任意n+1個(gè)向量都線性相關(guān)，則稱任 n為線性空間 V的維數(shù),記作dimV = n.定義5設(shè)1,X1 1 X2 2 稱X是向量 定理5設(shè)1 , 2,2,LX在基V的一組基，,Xn)T,1, 2, n下的坐標(biāo).V 的一組基，1, 2, n V,記 j Gj是V中任一向量則可把向量寫成,若1, 2, n)X,1C2j 2,n( 1,2,n) = ( 1,定義6設(shè)1 ,2,CI1 1C21 22,n和n)C,這里C是1, 2, n 是 nn階方陣(Cij)n n,貝U 維

6、線性空間V的兩組基,1,n線性無關(guān)2,它們可以互相線性表出C可逆,假若C12 1 C22 2L L L L L LGn 19n 2nC是由基1, 2, 基變換公式由基LLLLcn1Cn2L LCnnn到1, 2,定理6設(shè)1 , 2,記 C =( Cij) n n,1, 2,n到1,1,2,將上式用矩陣形式表示成n的過渡矩陣。n的變換公式為:2,2,Ln)( 1, 2 丄n維線性空間1,2, n) = (1,2,n)C ,稱的過渡矩陣是 C,是可逆矩陣.坐標(biāo)變換公式如果向量在兩組基下的坐標(biāo)分別是C11)C21)MC12C22MCn2V的兩個(gè)基,C1nC2nMCnn由基1, 2, n到1,2, n

7、X =(X1, X2,xn)T 和 Y = (y 1, y2,n)T,則2、題型(1) 判斷一個(gè)集合是否構(gòu)成線性空間。思路：先驗(yàn)證是否對(duì)加法和數(shù)乘封閉；再逐條驗(yàn)證8條性質(zhì)。Tips : 10如果是線性空間則需要按以上思路逐一列出驗(yàn)證。2°如果不是線性空間，只要找出不封閉或者不滿足的性質(zhì)即可。一般常見的有加法、數(shù)乘 不封閉、找不到零元素、找不到1元素等。3°8條性質(zhì)簡記為：加法交換結(jié)合零與負(fù)，數(shù)乘結(jié)合分配二和一。(2) 證明一組矩陣、多項(xiàng)式線性無關(guān)思路：根據(jù)線性無關(guān)定義列出表達(dá)式，再由條件證明k1=k2=kn=O。Tips : 1°常常用此待定系數(shù)法作，將問題轉(zhuǎn)化為

8、齊次線性方程組解的問題，只要得到的系數(shù)行列 式|A|M °，即可證明只有零解，從而線性無關(guān)。2°涉及兩組基，或者已知一組基顯然線性無關(guān)時(shí)，注意利用定理4證明另一組基線性無關(guān)(特別是對(duì)小于n的多項(xiàng)式空間)或者證明可以互相線性表出。(3) 求一組基和維數(shù)思路：寫出一組最簡單的基(一般是自然基)，然后證明這組向量是一組基。(4) 求兩組基的過渡矩陣、坐標(biāo)變換公式思路：求過渡矩陣：用定義法，將新基用舊基線性表出，再由系數(shù)得到過渡矩陣；也可由(1, 2,L n) ( 1, 2,L n)C 反解出 C ( 1, 2丄 n)( 1, 2丄 n) 1求坐標(biāo)變換公式其實(shí)就是將C-1X算出來，

9、分別得到等式。(5 )求新基下 的坐標(biāo) 思路一：用待定系數(shù)法和恒等式直接解出坐標(biāo)。2思路二：先求過渡矩陣，再求出其逆矩陣，用坐標(biāo)變換公式Y(jié) = C-1X將舊基坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為新基坐標(biāo)。Y = C-1X,或X = CY稱為坐標(biāo)變換公式、線性子空間1、定義與定理(1) 線性子空間定義1設(shè)V是F上的線性空間,W為V的非空子集,如果W對(duì)于V和F上的“+”，“仍為線 性空間，則稱 W是V的子空間.0和V稱為平凡子空間.定義2 |齊次線性方程組 AX = 0的全體解向量構(gòu)成Rn的一個(gè)子空間,記為N(A),稱為AX = 0的解空間或化零空間。定理1 |設(shè) W是線性空間 V的非空子集，那么 W是V的子空間的充要條件

10、是W對(duì)V中定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算封閉定理2設(shè)W1, W2是線性空間 V的兩個(gè)子空間,貝UW1,W2的交W1W2 = |W1且W2是V的一個(gè)子空間.定義3設(shè)W1,W2是線性空間V的兩個(gè)子空間,則W1+W2 = =1+2,1W1,2W2稱為W1與W2的和定理3線性空間 V的兩個(gè)子空間 W1與 W2的和 W1+W2是V的一個(gè)子空間.定理 4 設(shè) W1, W2 為 V 的兩個(gè)子空間，貝U dimW1+dimW2 = dim( W1+W2)+dim( W1 QW2).定義4 |設(shè)1丄，m屬于數(shù)域F上的線性空間 V,則子集L 1,Lki i kii 1F,i1,2,L ,m是V的一個(gè)子空間稱為由勺丄m生成的

11、子空間定理5定理6定理7定義5定理8向量組和其極大線性無關(guān)組生成的子空間是相同的。辛論(3) V中任意元素表示成W1與(4) dim V = dim W1 +dim W2 .沒W1, W2為V的兩個(gè)子空間W2中元素和的方法唯一.,V = W1+W2,的一組基，則V W1 W2 定義7 |設(shè)W1是V的一個(gè)子空間，1, s擴(kuò)充為向量組 1 ,1, L ,以把 1,s,s+1,L , s為W1的一組基,而t為V的一組基.的一組基，1 , s+t為V的一組基，則可,即為V的一組基，1,2,，t為W2s+t.記W L( S1 丄， s t)，則 V '!,L , n是V的一組基51丄C11C12

12、LC1 sC21C22LC2ss)(1,L , n) 一MMMCn1Cn 2LCns定理10設(shè)s(1，L ,2,s,1,W,s，1，L ，是W1s+t的極大線性無關(guān)組W2, W?稱為W1的補(bǔ)空間.V,設(shè)1,L ,n)Cn Cij i,1 j s 即i 1則1, 2, s線性無關(guān)向量組1, 2, s生成的子空間維數(shù)等于它的秩。兩個(gè)向量組生成子空間相同的充分必要條件是這兩個(gè)向量組等價(jià)。設(shè)A M m,n(F ),由A的n個(gè)列向量生成的子空間稱為A的列空間，記為R(A).設(shè)A為mxn矩陣，B為n冶矩陣，則有 R(AB) R(A); N(AB) N(A)(2) 子空間的直和定義6|設(shè)W1和W2是v的子空

13、間，如果W1 nW2= 0,則稱 W1+W2為W1與W2的直和，記為w1 w2.定理9設(shè) W1, W 為V的兩個(gè)子空間，V = W1+W2,則下面的四個(gè)命題等價(jià)：(1) W1 W2 = 0,(2) 0表示成 W1與W2中元素和的方法唯一C的s列線性無關(guān)圭論設(shè)i丄，n是V的一組基，i,L, sV,設(shè). JnCiji,i Ji is.即Gi G2LG sC2IC22(I，L , s)( i，L , n)“LQs(I，L , n)C 則 i,L,s與矩陣 C的列向量組的任M MMCniCn 2LGs何對(duì)應(yīng)部分組有相同的線性相關(guān)性(線性關(guān)系)，且r(C) r(i,L , s).定理11設(shè)Wi是n維線性

14、空間V的一個(gè)非零子空間，則 V中必存在 W2使得w W2 = V。(3 )線性空間的同構(gòu)定義8設(shè)Vi與V2是數(shù)域F上的兩個(gè)線性空間，如果存在從 Vi到V2的一個(gè)雙射滿足：1),Vi,有()()()，2)Vi, k F,有(k ) k (),則稱 是同構(gòu)映射，稱Vi與V2是同構(gòu)的.性質(zhì)(i) (0)(0 )0 ( ) 0 ；()(i) ) ( i)()()i, 2,L , nV,ki,k2,L ,knF,有(kii k2 2 L knn)匕(i) k?( 2)L kn( n)設(shè) i, n是Vi中向量，則V2中向量 (i),( n)線性相關(guān)(無關(guān))i, n線性相關(guān)(無關(guān))若i, , n是Vi的一組

15、基，則 (i), , ( n)是V2的一組基(5) 同構(gòu)映射的逆映射以及兩個(gè)同構(gòu)映射的復(fù)合映射均為同構(gòu)映射定理詼?zhǔn)莕維線性空間，則其必同構(gòu)于數(shù)域F上的n維向量空間Fn 。推論F上的兩個(gè)有限維線性空間同構(gòu)的充分必要條件為它們的維數(shù)相同。題外話二證明一個(gè)關(guān)系是等價(jià)關(guān)系，需要證明三點(diǎn)：自反性、對(duì)稱性和傳遞性。2、題型|( I)判斷一個(gè)集合能否構(gòu)成子空間思路：只要驗(yàn)證一下該集合是否對(duì)加法和數(shù)乘封閉即可。|( 2)求 Wi, W2以及子空間的 Wi W2和 Wi+W2的基和維數(shù)思路：I0找出WiW2的一組基，則 Wi=L ( 1,l , n)，即可得到 WiW2和其維數(shù)；20將WiW2的基作為列向量排成

16、一個(gè)矩陣，化為階梯矩陣，然后找出線性無關(guān)的向量組， 即為Wi+W2的一組基，其維數(shù)即為 Wi+W2的維數(shù)；3°由維數(shù)公式得到dim Wi W2。然后取 W W2，禾U用 既在Wi中又在 W2中列出方程 求解出基礎(chǔ)解系，帶回其中一個(gè)方程組即為Wi W2的一組基。(3) V Wi W2的證明思路：這個(gè)問題很復(fù)雜，變化也很多，但是一般的，常常要借助的手段有： 維數(shù)公式、V Wi W2的3個(gè)等價(jià)命題、集合的相互包含關(guān)系。 例如3題，其思路為：I0找出Wi+W2的一組基和維數(shù)；20由于WiW2都是V的子集，故 Wi+W2也是V的子集，從而為其子空間；30取其一組基，則為 V的基，由同一向量組的

17、生成子空間相等，得到V= Wi+W2；4°由維數(shù)公式推出 Wi W2 = 0，從而得證。三、歐幾里得空間I、定義與定理(I) 內(nèi)積都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù) ()定義1設(shè)V是一個(gè)實(shí)線性空間，如果對(duì) V中任意的兩個(gè)向量 與之對(duì)應(yīng)，且滿足以下性質(zhì)，V,(,)=(,)；，V, (, + ) = ( , )+ (,);,V, kR, (k , ) = k(,); V, ( , )0,且(，)=0= 0,則稱()是向量 與 的內(nèi)積，定義了內(nèi)積的實(shí)線性空間V稱為歐幾里德空間定義2 |由于()0,在歐幾里德空間中向量的長度II定義為一7在歐氏空間V中，任意兩個(gè)向量和， 與 的夾角 < ,> 定

18、義為cos (，)0設(shè)帀，定理1任意正交向量組推論在n維歐氏空間,2, , s線性無關(guān)V中線性無關(guān)的向量至多只有n個(gè)，因而V中兩兩正交的非零向量組含向量數(shù)不會(huì)超過n.()=0,則稱 與 正交(垂直),記作定義3設(shè)1,2, n是n維歐氏空間V中一組基：(1, 1)(1， 2)K(1， n )則度量矩陣為G=(2 , 1)(2 , 2)K(2, n)若1,2, n=X+ X2 2Xn nMMOM(n，1)(n，2)K(n，n )X(X1,X2,L Xn)T1,2,nY=y+y2 2yn n，Y (y1, y2,L yT則(,)xTgy柯西-斯瓦茲不等式設(shè)V為歐幾里得空間，(2)標(biāo)準(zhǔn)正交基定義4 |

19、在n維歐氏空間 VV，有(，)等號(hào)成立的充要條件是與線性相關(guān)。組成的正交基稱為中由n個(gè)兩兩正交的非零向量構(gòu)成的向量組稱為正交基，由單位向量標(biāo)準(zhǔn)正交基.定理2設(shè)1,2,維歐氏空間V中一組標(biāo)準(zhǔn)正交基：則有定理3 n1,1,2,2,+ X2+y2維歐氏空間1,n = Xn Y = ynnXi i,j 1V中任意(2, 1).)1丄，1)1yj j)2、Xnynn, nXi yixTy.個(gè)線性無關(guān)的向量(n單位化1,(n,1)(inn1(1, 1)可得標(biāo)準(zhǔn)正交向量組n1,n,2)2, 2),2,n,可用施密特正交化方法，其中(n，n 1) 再通過把n 1.(n 1, n 1)施密特正交化(1)把n,1

20、) (1, 1)(n,轉(zhuǎn)化成一個(gè)正交向量組(n,2)1 ( 2, 2)(n , n 1 )n 1 (n1, n 1)單位化可得標(biāo)準(zhǔn)正交向量組n,2,(3 )正交矩陣 義5設(shè)Q是理4正交矩陣n階實(shí)矩陣，QTq = I,則稱Q是正交矩陣.Q具有下列性質(zhì)：(2) |Q| = +1 或.(3) Q的逆矩陣Q-1 = Qt還是正交矩陣.(4) 正交矩陣的乘積仍是正交矩陣.定理5 |對(duì)任意n階可逆實(shí)矩陣 A,存在一個(gè)n階正交矩陣 Q及一個(gè)n階主對(duì)角元素為正數(shù)的上 三角陣R,使A = QR,稱為矩陣A的QR分解這種分解是唯一的可逆矩陣的QR分解(根據(jù)施密特正交化過程)Q11(!， 2,L ， n) ； RL

21、O1nMrnn11 2On11*O11其中(1, 2 丄，n)( 1,2，L，n)1O1定義6設(shè)V是歐幾里得空間，W是V的子空間，則稱WV |W為W在V中的正交補(bǔ) W丄恰好由所有與 W正交的向量組成定理5 設(shè) W 是歐幾里得空間 V的子空間，則V W W2、題型|( 1)驗(yàn)證給定的運(yùn)算是否滿足內(nèi)積定義(判斷一個(gè)線性空間是否為歐幾里得空間)思路：逐條驗(yàn)證是否滿足內(nèi)積的四條性質(zhì)。特別注意正定性中(，)=0=0的驗(yàn)證!(2) 將一組基化為標(biāo)準(zhǔn)正交基以及對(duì)可逆矩陣實(shí)施(見上)(3) 求已知齊次線性方程組解空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基以及其正交補(bǔ)的標(biāo)準(zhǔn)正交基思路：注意正交補(bǔ)的一組基即為系數(shù)矩陣的行向量。|( 4)求

22、某向量在一子空間上的投影思路：10求出子空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基；20用公式=(,1)1( , 2)2 L ( , n) n求出投影。本章小結(jié)與習(xí)題結(jié)論：1 (P187.7 (2)結(jié)論或背景：(1) 與任意n階方陣可交換的矩陣是純量矩陣A=kl ;(2) 與n階對(duì)角陣A diag (a1,a2丄an)可交換的矩陣只能是對(duì)角陣；與準(zhǔn)對(duì)角陣Adiag(a1ln1，a2ln2，L aslns)可交換的矩陣只能是準(zhǔn)對(duì)角矩陣;111a2(3 )與 111可交換的矩陣是a3aza1;MOOOMOOO1L11 1anLa3a2 a11 11L1aa2a3LanOOOMaOOM與111可交換的矩陣是a1a2a3。(數(shù)

23、學(xué)歸納法)11Oa21q2( P188.13 )設(shè)Wi、W2是線性空間V的兩個(gè)非凡子空間，則 使得Wi且W2。3(P188.14)若 W 為 V 的子空間，且 dimW=dimV，貝U W=V。4 (P188.17)每個(gè)n維線性空間都可以表示為n個(gè)一維線性空間的直和。5 (P189.25) n階主對(duì)角元素為正數(shù)的上三角正交矩陣為單位矩陣。(P189.30)正交矩陣的伴隨矩陣 A*也是正交陣。第六章線性變換一、線性變換與矩陣1、定義與定理(1 )線性變換的定義與運(yùn)算V,對(duì)任意常數(shù)k都有( 稱()為向量在線性變換定義1設(shè):V V是線性空間V到自身的一個(gè)映射(變換),如果保持加法及數(shù)乘運(yùn)算，即對(duì)任意

24、， + ) =()+(), (k ) = k (),則稱是線性空間V的一個(gè)線性變換，下的象用L(V)來表示線性空間 V的全部線性變換所作成的集合。一些特殊的線性變換:V V,定義為()=c其中c是一個(gè)固定常數(shù)，通常叫數(shù)乘變換或位似變換 c = 0,叫零變換，記作0, 即卩0( ) = 0 c = 1,叫恒等變換，記作，即()=cossinsin為把平面上的向量繞坐標(biāo)原點(diǎn)反時(shí)針旋轉(zhuǎn)的變換，稱旋轉(zhuǎn)變換cos:R3 R3,設(shè)ab,稱為投影變換.0設(shè)：R2R2,稱為境面反射變換5線性變換的簡單性質(zhì)設(shè) 是線性空間V上的線性變換(1) (0)(2)(-)(3)k1 1+k2()， V; 2+ +kn n若

25、，若(1),k1n線性相關(guān)，則n線性無關(guān)k2 21), 2 ,則 ，kn nn線性相關(guān)(逆命題和否命題不成立)n線性無關(guān)定理1設(shè)是n維線性空間V的一個(gè)線性變換n是V的一組基，則可逆的充要條件是 1 ,2 , ,n)也是V中的一組基。(2 )線性變換的矩陣定義2 |設(shè)f和g均為A到B的映射，若A中任意元素在f和g下的象均相等，則稱f和g相等，記為 f = g.引理1設(shè) 是n維線性空間V的一個(gè)線性變換, n是V的一組基，則V中任一向量的象由基的象 1，2， n)所完全確定.定義3設(shè)線性變換在基 ，n下的象用這組基線性表示為：(1 )31113212L3n1n(2)a121a222Lan2nLLLL

26、LLLLLLLLLL(n)a1n 1 a2n 2 Lann n記 (,n) = ( 1 ,2,n), A = (aij)nn,可以表示為(，n)=(,n)An階矩陣A叫做線性變換在基，n下的矩陣.其中A的第j列就是基向量j的象(j)在這組基下的坐標(biāo).定理2役線性變換在基,n下的矩陣是A,即()-(,n)A,設(shè)向量,()在這組基下的坐標(biāo)分別是X = (X , Xxn)T； Y - (y , yyn)T,則 Y - AX引理2設(shè) 1,2, n 是 r維線性空間V的一組基，對(duì)任意給定的n個(gè)向量1 , 2, n,都存在線性變換,使得 i = i (i = 1,2, n .定理3 |設(shè),n,是n維線性空

27、間V的一組基，A = ( aj)是任一 n階矩陣，則有唯一的線性變換滿足(，n) = ( ,n)A.定理4 |設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間，則上述映射 是同構(gòu)映射.(線性變換的集合與 n階矩陣的集合之間有著對(duì)應(yīng)的關(guān)系)定義4設(shè)有兩個(gè)映射f : A B， a a b; g： B C，ba c定義f和g的復(fù)合映射 為 g o f : A C，a a c.引理 3 設(shè) f:A B,g:B C,h :CD 均為映射，則 ho(gof) (hog)of定義51設(shè)A是一個(gè)集合，A上的映射id : A A, id (a) = a是A到A的一個(gè)雙射，稱為A上的恒同映射， 亦記為Ia .定義6 |設(shè)f是集合A到B的

28、一個(gè)映射，如果存在集合B到A的一個(gè)映射g,使gf = Ia和fg =Ib同時(shí) 成立則稱f是可逆映射(簡稱f可逆),并稱g為f的逆映射.引理41設(shè)f是集合A到B的一個(gè)映射，如果映射f是可逆的，則其逆映射是唯一的(故可記為f Lg). 引理5A到B的映射f為雙射的充要條件為 f可逆.定理 5線性變換的乘積(即復(fù)合映射)對(duì)應(yīng)于矩陣的乘積.推論1 (1)線性變換乘法一般不滿足交換律.(2) 非零線性變換的乘積可以是零變換(3) 線性變換的乘法一般不滿足消去律推論彳L(V)可逆 對(duì)應(yīng)的矩陣可逆.2、題型(1) 判斷一個(gè)變換是不是線性變換思路：只需判斷改變換是否對(duì)加法和數(shù)乘封閉即可。(2) 已知一組基和另

29、一組向量組，求基到另一組的線性變換(參考P432)思路：10 任取 V 中一兀素=(X1,X2, Xn)T，設(shè)C1 1 c2 2 L cs s ；2°反解出Cl,C2,Cs；3°對(duì) 做線性變換，并將解出的C帶入即可得到線性變換。(3) 求一個(gè)線性變換的逆變換思路：求出 的矩陣的逆矩陣即得到-1的矩陣，也就得到了 的逆變換。(4) 求線性變換對(duì)應(yīng)的矩 思路：將基帶入線性變換后再用基表示，所得到的矩陣極為線性變換對(duì)應(yīng)的矩陣?；蛘哂?i) ki1 1 ki2 2 L kin n分別解出i (6*2丄 燈J，并由i排成矩陣(5) 已知一組基的矩陣，求另一組基的矩陣思路：求出第一組基

30、到第二組基的過渡矩陣，由公式B=P-1AP即可得到第二組基的矩陣。乙線性變換的核、值域與特征值1、定義與定理的值域，記為Im(1) 線性變換的核與值域定義1設(shè) 是V的線性變換,V中向量在的作用下全體象的集合稱為=V = | V.dim Im稱為線性變換的秩定理1m 是V的子空間.定理2 |設(shè)L(V), 1丄，n是V的一組基，A是在這組基下的矩陣，則(1)Im L( 1,L , n),(2)dimIm r(A).定義2 |設(shè) 是V的線性變換， 所有被 dim ker 稱為 的零度.定理3 ker 是V的子空間.定理4 |設(shè)L(V), 1丄，n是V的一組基,(1) ker X N (A).映成零向

31、量的向量的集合稱為的核,A是在這組基下的矩陣，則記為 ker(2)dimker dim N (A).定理5設(shè) 是V的線性變換，則dimV dimkerdimlm推論1 是單射 ker = 0 Im =V推論 2 dimV dim(lm ker ) dim(lm定義3設(shè)n維線性空間 V的線性變換在是滿射是雙射可逆ker )V 一組基下的矩陣是 幕等方陣，則是冪等變換，且 在V的某組基下的矩陣為r0(2)不變子空間定義4 |設(shè) 是V上的線性變換 則稱W為 的不變子空間.Im 引理設(shè)W是 的不變子空間，上的限制，記為1 W .，W是V的子空間，如果對(duì) W中任一向量 ，有 屬于 W， 和ker 均為不

32、變子空間則1 : W W， a 是W上的線性變換，稱為 在W定理6設(shè) 是V上的線性變換，W是V的子空間, 組基 1,L , k, k i,L , n,則i,L , k為W的一組基,擴(kuò)充為V的一W是 的不變子空間的充分必要條件為 在V的基！丄，k, ki ,LAi0A2A3當(dāng)(1)成立時(shí)，有W在1,L , k下的矩陣為A1,且A2下的矩陣為L( k1,L , n)也是不變子空間推論設(shè) 是V上的線性變換,則V可以分解為若干件為 在V的某組基下的矩陣為準(zhǔn)對(duì)角陣(3)特征值和特征向量定義51設(shè)L(V),若存在數(shù) 及非零向量，使得 = 則稱 是特征向量屬于特征值的特征向量的任意非零線性組合仍是屬于V的一

33、個(gè)子空間 定義6 |設(shè)L(V),其維數(shù)稱為特征值不變子空間的直和的充分必要條的特征值，是的屬于特征值的的特征向量，加上零向量就構(gòu)成定義7設(shè)A為一個(gè)是的一個(gè)特征值， 的幾何重?cái)?shù)n階方陣，則行列式征多項(xiàng)式。求給定矩陣的特征值相當(dāng)于求則稱V = V|fA( ) I Aa21Man1A的特征多項(xiàng)式的根為的屬于特征值的特征子空間，a12an1a22Man2a2nM稱為矩陣A的特,所以特征值也叫做特征根。特征向量的性質(zhì)(1)屬于同一特征值 0的特征向量的任意非零線性組合仍是屬于0的特征向量屬于不同特征值的特征向量的線性組合不再是的特征向量屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的I1n特征多項(xiàng)式的基本性質(zhì)設(shè) A

34、 M n( £)則有(1i 1定義8 |設(shè)0是方陣A的特征值，稱齊次線性方程組 征子空間，記作V特征子空間的性質(zhì)0nn=an trA；(2) i |A|i 1i 1(oI-A)X = 0的解空間為A的屬于特征值 o的特(1) 特征子空間必是的一個(gè)不變子空間；(2) V中任意一個(gè)一維不變子空間W，都是某一個(gè) V o的一維子空間;(3) V的任意一個(gè)子空間也都是的不變子空間；(4) V中 的一維不變子空間和 Vo的一維子空間是對(duì)應(yīng)的；Hi階方陣A可逆 A的n個(gè)特征值全不為零。設(shè)A M n(F) , fA( ) I I A是A的特征多項(xiàng)式，則 fA( )=0.推論：設(shè)L(V) , f ()

35、是 的特征多項(xiàng)式，那么f( ) 02、題型(1) 求特征值和特征向量 思路：由定義即可簡單得到。(2) 些證明礦思路：本部分的證明題常結(jié)合計(jì)算，綜合性很強(qiáng)，需要從定義概念，定理以及一些常見結(jié)論入手。三、矩陣的相似、實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化1、定義與定理(1) 矩陣的相似定義1設(shè)A, B是兩個(gè)n階方陣,如果存在一個(gè)n階可逆矩陣P,使得P-1AP=B,則稱矩陣B相似于矩 陣A,記作A B.定理1n為線性空間V上的一個(gè)線性變換在V的不同基下的矩陣是相似矩陣。相似矩陣的性質(zhì)(1) 自反性：AA;對(duì)稱性：若AB,貝U BA;傳遞性：若 AB, BC,貝U AC.(2) 相似矩陣有相同特征多項(xiàng)式推論：相似矩陣具

36、有相同的特征值、跡和行列式(3) 相似矩陣有相同的可逆性，且如果A B,那么A-1 B-1如果A B,貝U Am Bm,其中m是正整數(shù).(5) 若AB，設(shè)f(x)為一個(gè)一元多項(xiàng)式，則f(A)f(B)(6) 若 AiBi, i=1,2 ,s 則 diag(A 1,A2As)diag(B 1,B2Bs)(2 )矩陣的相似對(duì)角化條件定理2 n階矩陣A可對(duì)角化的充要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。定理3若A有n個(gè)兩兩不等的特征值，則A必可對(duì)角化。定理4 n階矩陣A的ni重特征值所對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)不超過m。注：將特征值 o的重?cái)?shù)ni稱為代數(shù)重?cái)?shù)。即是說每個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)不超過其代數(shù)重?cái)?shù)。

37、定理 5 |n階矩陣A可對(duì)角化的充要條件是每個(gè)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)等于幾何重?cái)?shù)。 注：可分為兩種情況(1) A只有n個(gè)單特征根時(shí)。(2) n有重根時(shí)，只有當(dāng)每一重根的幾何重?cái)?shù)和代數(shù)重?cái)?shù)相等時(shí)，A才可對(duì)角化。(3) 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化定理6定理7定理8設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱陣，則A的特征值都是實(shí)數(shù).對(duì)任意的n階實(shí)對(duì)稱陣A,總存在正交矩陣 Q,使得Q s(1)求A的特征值，得到fA( ) I A (i)ni,其中 1對(duì)每個(gè)i,求線性方程組(il AX的基礎(chǔ)解系,i = 1,2,s,得到“丄，in1,L ,s.(3) 對(duì)每組向量i1, i2 ,L，叫,進(jìn)行施密特正交化，得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組AQ =

38、Q TAQ= n階實(shí)對(duì)稱矩陣A屬于相異的特征值的特征向量必正交.實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化1 1 niT12 1 n2qtaq q1aqOsi ns2、題型|( 1)實(shí)對(duì)稱陣正交對(duì)角化，求正交矩陣|思路：見上文。|( 2)求矩陣的高次幕乘 |思路：10將矩陣(一般為對(duì)稱陣)相似對(duì)角化，求出可逆矩陣 P,對(duì)角陣 ；2°由Am P 1 mP求出結(jié)果。|( 3)求行列式|思路：求出特征值易得。|( 4)判斷矩陣是否相似|思路：只要將其化為對(duì)角陣后，看對(duì)角陣是否相同或相似，其實(shí)判斷其特征值及其代數(shù)重?cái)?shù)即可。(5) 由特征向量和特征值反求a|思路：特征向量組成 P,特征值按對(duì)應(yīng)順序組成，則由公式

39、A P 1 P易得。本章小結(jié)與習(xí)題結(jié)論：1( P450例10.16)設(shè)V為數(shù)域F上的n維線性空間，則由 V上線性變換組成的線性空間L(V)是n2維的，且其一組基為j( 1, 2,L n) (0,0, L i,L 0,0); i,j 1,2,L n。j2常見特殊矩陣的逆矩陣11111 L111 1（1） 111 1 ；（ 2）1M1 O.MMOO OO1O 111L1 n1 11n1a111 1a111 1 ai1ann（3）a221a22；（4）a22N；OON1a22ann1ann3nn1a11A1A11A11An1（5）OO；（ 6）NN；AnAn1AA/1a b（7）c d1db .ad

40、 bc ca3（ P226.10）若是線性空間V上的線性變換，且k1k，則，丄 k 1 (k 0)線性無關(guān)。4（ P227.15）設(shè)2，是線性變換，且2,2，則有(1）ImIm,(2) ker ker,5 (P227.16)如果!, 2Ln是線性空間V中兩兩不同的線性變換，那么在 V中存在向量，使得! , 2 L n也兩兩不同。1| a |6( P228.23)若可逆矩陣 A屬于 的特征向量是 x,貝U A-1屬于一的特征向量為x, A*屬于 的特征向量為X。7 (P228.29)若A可逆，則AB與BA相似。若A不可逆則不一定成立。8 (P228.30) diag( 1, 2,L n)與 di

41、ag (片，i2 丄 J 相似，其中 ij?丄 in 為 1,2,.n 的一個(gè)排列。diag(A,A2丄An)與diagfA?丄 代)相似，其中ht丄in為l,2,.n的一個(gè)排列。9 (P229.31)若方陣A只與自身相似，當(dāng)且僅當(dāng) A=cI。10 (P230.34)不是方陣A的特征值的充要條件是I A可逆。nn211( P230.40) A (aj)nn的n個(gè)特征值為1, 2,L n，則有 i。1 i,j 1則必有AB=BA。12( P267.6.21)若存在一個(gè)可逆矩陣 P使得A、B同時(shí)化為對(duì)角矩陣,第七章 二次型與二次曲面一、二次型的標(biāo)準(zhǔn)型1、定義與定理(1)二次型的概念定義巾個(gè)變量X1

42、, X2,Xn的二次齊次多項(xiàng)式函數(shù)Q(Xi ,X2,L ,Xn )n najXiXj稱為n元二次型,i 1 j 1Uji j其中 aj = aji, i, j = 1,2,”如果將(1)式中的二次型展開，a12a22Man 2定義2 一般地,Q(xX2 ,L ,Xn)ia11na21aij Xi Xj(X1，x2 ,L ,Xn)j 1Man1XT AX矩陣乘積形式寫作Q(x1,x2,L ,xn)有aina2nMannX1X2 令X (X1,X2 ,L ,Xn)T,A (aj),則二次型可以MXnL，其中對(duì)稱矩陣A稱為二次型的矩陣定理1 n元二次型是n個(gè)變量X1, X2,Xn的二次齊次多項(xiàng)式函數(shù)

43、，二個(gè)X1,X2,Xn的二次齊次多項(xiàng)式函數(shù)相等對(duì)n個(gè)變量X1, X2, Xn的任意取值，這二次齊次多項(xiàng)式函數(shù)的值均相等 這兩個(gè)二次型對(duì)應(yīng)的矩陣相等即二次型與對(duì)稱矩陣之間存在對(duì)應(yīng)關(guān)系(2) 矩陣的合同定義31同一個(gè)向量函數(shù) Q()在不同基下所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)二次型XtAX和YtBY稱為是等價(jià)的即二次型XtAX與二次型 YtBY等價(jià)后者可以由前者通過可逆線性替換X = PY得到定義4給定兩個(gè)n階方陣A和B,如果存在可逆方陣P,使得B = PtAP,則稱B與A合同(相合)兩個(gè)二次型等價(jià)它們的矩陣合同定理2 |任何實(shí)對(duì)稱矩陣都一定能合同于一個(gè)對(duì)角型(3 )二次型的標(biāo)準(zhǔn)型定理3設(shè)Q( ) = X tAX是一個(gè)

44、實(shí)二次型，其中AT = A,則存在正交線性替換X = PY ,其中P是2 2 2正交陣，把Q()化成標(biāo)準(zhǔn)形：Q( )1丫12丫2 L nyn,其中1, 2,n是A的n個(gè)特征值正交替換法取變換為 X = PY,即可得到標(biāo)準(zhǔn)形：Q( ) XT AX (PY)TA(PY) YT(PTAP )YYTdiag( 1, 2,L , n)Y 川 27! L這種通過正交替換 X = PY把實(shí)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法，稱為正交替換法注：1)這里所作的變換矩陣P是個(gè)正交陣它是由實(shí)二次型的矩陣A的特征向量經(jīng)過施密特正交化得到的.2)經(jīng)過這樣的正交線性替換的特征值X = PY得到的Q( ) = XtAX的標(biāo)準(zhǔn)形中，平方

45、項(xiàng)的系數(shù)恰是 A3)對(duì)角陣中特征值的順序和它們對(duì)應(yīng)的特征向量在P中的排列順序一致定義6 I個(gè)二次型 Q( ) Q(X1,X2,L ,Xn) XTAX經(jīng)可逆線性替換X = PY化簡出的二次型T222Q( )Q(X1, X2L,Xn)丫 diag(d1,d2L ,dn)丫dyd2y2Ld. y.稱為原二次型的 標(biāo)準(zhǔn)形配方法基本步驟1) 如果X1平方項(xiàng)的系數(shù)不為零，就將含X1的所有項(xiàng)集中起來，并進(jìn)行配平方：2) 然后把后面剩下的不xi的項(xiàng)整理好，并令前面所配的平方項(xiàng)里面的一次齊次式為yi3) 在后面整理好的項(xiàng)里面，如果有平方項(xiàng)(不妨設(shè)為X2的平方項(xiàng))的系數(shù)不等于零，可以繼續(xù)上 面的過程 一直到最后令

46、 yn = xn就完成了配方過程.4 )如果出現(xiàn)平方項(xiàng)全為零的情況，可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換，化為平方項(xiàng)不為零的情況，然后再繼續(xù)利 用前面的配方法進(jìn)行.定理4任何一個(gè)復(fù)(實(shí))二次型都可通過可逆線性替換化成標(biāo)準(zhǔn)形.推論任何一個(gè)復(fù)(實(shí))對(duì)稱矩陣都與一個(gè)對(duì)角矩陣合同，即對(duì)任何對(duì)稱矩陣A都存在可逆矩陣P，使得 PtAP = diag(d 1, d2,d).初等變換法利用初等變換與乘初等矩陣的關(guān)系，可以得到類似于矩陣就逆過程的一種求標(biāo)準(zhǔn)形的方法。將單位陣放在待變換矩陣下面，構(gòu)成一個(gè)2n n矩陣：A-次初等行pTAP一次初等行I一次同的初等列P或a I一次同的初等列P ap P當(dāng)通過一系列合同變換把a(bǔ)變?yōu)閷?duì)角矩陣D

47、= PtAP時(shí)，下面的單位矩陣I就變成了可逆2、題型|( 1)求二次型的矩陣或根據(jù)矩陣寫出二次型(2) 判斷兩個(gè)矩陣是否相合|思路：考慮兩個(gè)方面：10 r是否相同；20正慣性系數(shù)是否相同。而一般采取將矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)型或 求出其特征值來得到以上參數(shù)。(3) 配方法求標(biāo)準(zhǔn)型和可逆線性變換(見上文)(4) 初等變換法求標(biāo)準(zhǔn)型和可逆線性變換|思路：10寫出二次型的矩陣 A ；20用A一次次初爲(wèi)PAP對(duì)A進(jìn)行初等變化，得到p和ptAp；3°求出二次標(biāo)準(zhǔn)型。|( 5)正交線性替換求標(biāo)準(zhǔn)型和可逆線性變換思路：1°寫出二次型的矩陣 A ；2°求出A的特征值，并求出各特征值1?2丄r

48、對(duì)應(yīng)的特征向量 1?2丄r，再對(duì)1?2,L r實(shí)行施密特正交化，得到1?2,Lr，以其為列向量組成正交陣P,即可逆線性變換；3°pTAP=diag( 1,2丄 J，從而求出二次標(biāo)準(zhǔn)型。矩陣P，即將原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)可逆線性替換所需要的矩陣二、二次型的規(guī)范型和實(shí)二次型的正定性1、定義與定理(1 )二次型的規(guī)范型定義1形如z2 z2 L z2的二次型稱為復(fù)系數(shù)二次型的規(guī)范形定理1任意一個(gè)復(fù)系數(shù)的二次型，總可經(jīng)過一個(gè)適當(dāng)?shù)目赡婢€性替換化成規(guī)范形，規(guī)范形是唯一的推論任意一個(gè)復(fù)對(duì)稱矩陣相合于Ir 0其中r是對(duì)稱陣的秩 0 0 '定義21形如z2z2Lz2zp1 Lz2的二次型稱為實(shí)二

49、次型的規(guī)范形.定理2 |任意一個(gè)實(shí)系數(shù)的二次型，總可以經(jīng)過一個(gè)適當(dāng)?shù)目赡婢€性替換化成規(guī)范形，規(guī)范形是唯一的1I推論任意實(shí)對(duì)稱矩陣相合于對(duì)角陣p |或者說 A Mn(R),若AT=A,則存在一個(gè)可0逆矩陣 P Mn(R)使得 ptapdiag(lp, Ir p,0).定義3規(guī)范形z1z2Lzpzp1 Lz；中的參數(shù)r, p是唯一確定的.規(guī)范形中的p稱為正慣性指數(shù)，r-p為負(fù)慣性指數(shù)；p-(r-p) = 2p-r為符號(hào)差(2)實(shí)二次型的正定性定義4設(shè)Q( ) = XTAX是實(shí)二次型，若對(duì)任何非零向量都有Q( ) > 0,則稱這個(gè)實(shí)二次型Q()為正定二次型.正定二次型的矩陣稱為 正定矩陣.正定

50、矩陣的性質(zhì)(1)可逆線性替換不改變二次型的正定性.(2) 實(shí)對(duì)稱陣 A正定(3) n元實(shí)二次型正定(4) 實(shí)對(duì)稱陣A正定(5) 實(shí)對(duì)稱陣 A正定A的特征值都大于0. 正慣性指數(shù)p = n.A與I相合.A = CTC,其中C可逆.(6) 正定矩陣的行列式大于零.反之不一定成立a11a12Laiia21a22La2i,i 1,2,L ,n.稱為矩陣A的第i階順序主子式M M M Mai1ai2Laii定義5 ,設(shè)A Mn,子式p定理3實(shí)二次型Q( ) = X tAX正定的充分必要條件是A的各階順序主子式 Pi > 0, i = 1,2,n.半正定負(fù)定半負(fù)定設(shè)Q( )=X TAX是實(shí)二次型，若 對(duì)任何向量都有Q( ) 0,則 稱這個(gè)實(shí)二次型 Q()