第四章數(shù)值積分

1、第四章數(shù)值積分定積分的產(chǎn)生是有它重要的應(yīng)用背景。例如要計(jì)算由數(shù)據(jù)點(diǎn)(xyj (i =0,1,2川丨，n)所圍成的平面圖形的面積；計(jì)算極限n2lim a，這些問題都與定積分有關(guān)。在數(shù)學(xué)分析或 n廠7 n高等數(shù)學(xué)中已講過計(jì)算定積分的一些方法， 這些方法其最主要的理論基礎(chǔ)就是被積函數(shù)的原 函數(shù)存在。但在實(shí)際應(yīng)用和科學(xué)計(jì)算過程中， 有些定積分的被積函數(shù)的原函數(shù)不存在或原函 數(shù)比較復(fù)雜或不易求出，這時(shí)牛頓 -萊布尼茨公式就不好用了。例如定積分1 si n x10 x dx，01 cosx2 dx等其被積函數(shù)的原函數(shù)不存在。再例如由數(shù)據(jù)點(diǎn)(Xi，yj (i =0,1,2,|1丨，n)所圍成的平面圖形的面積

2、不能精確的表示成定積分，但可以近似的表示為數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi, yi) (i =0,1,2,|,n)對(duì)應(yīng)的某個(gè)函數(shù)的定積分。對(duì)這類問題可以用數(shù)值積分的方法來討論和解決。數(shù)值積分的應(yīng)用是較廣泛的，尤其在一些實(shí)際問題的研究和解決中數(shù)值積分法起到了重要的作用，見文獻(xiàn)17，20。4.1數(shù)值積分初步所謂數(shù)值積分就是用函數(shù)值的線性組合近似函數(shù)的積分值。就是說，如果函數(shù)f (x)在n區(qū)間a,b上的函數(shù)值f(x)(i =0,1,2,山，n)已知，則構(gòu)造一個(gè)數(shù)值公式Af(xJ，以i=0b此來近似f(x)dx，即y an(4.1)f (x)dx 八 A f (x)i =0構(gòu)造數(shù)值公式(4.1)的主要方法是利用插值法，即

3、對(duì)f(X)構(gòu)造一個(gè)插值多項(xiàng)式p(x)，b用該插值多項(xiàng)式 p(x)的積分近似f(x)dx，即L abbf (x)dx ： p(x)dx( 4.2)aa1梯形公式若函數(shù)f (x)在區(qū)間a ,b 上的函數(shù)值f (a), f (b)已知，那么可以做出過點(diǎn)(a, f (a) , (b, f(b)的線性插值x bx aPi("訂伽市f(b)在區(qū)間a,b上用pi(x)代替f (x)得bbb x bxaa f (x)dx：aPi(x)dx二a(rf (a)-f (b)dxaaa a -bb -ab a= -a(f(a) f(b)(4.3 )2b a公式(4.3 )稱為梯形公式，記為T(f(a) f

4、(b)。公式(4.3 )的幾何意義就是用2梯形面積近似由f(x)所圍成的曲邊梯形的面積，見圖 4.1。2拋物線公式a + ba + b設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的函數(shù)值f(a) , f (), f (b)已知，記c，那么2 2可以做出過點(diǎn)(a, f (a), (c, f(c) , (b, f(b)的拋物線，即有二次插值多項(xiàng)式p2(x)(x-b)(x-c) f (a).(x-a)(x-b)f (x-a)(x-c) f (b)(a -b)(a -c)(c_a)(c_b)(b_a)(b_c)b a記h，在區(qū)間a,b上用p2(x)代替f (x)得2bbb - aa f(x)dx ：P2(x)dx(f

5、(a) 4f(c) f (b)(4.4 )aa6占f(a) 4f(c)f(b)3公式(4.4)稱為Simpson公式，記為(4.5)b aS= = (f(a) 4f(c)f(b)或 S(f(a) 4f (c)f(b)。3公式(4.4 )的幾何意義就是用拋物線所圍成的曲邊梯形面積近似由f (x)所圍成的曲邊梯形的面積，所以公式(4.4 )也稱為拋物線公式，見圖4.2。3牛頓-科茨公式如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的函數(shù)值f(x) (i =0,1,2,川,n)已知，則對(duì)f(x)可以做出n次Lagrange插值多項(xiàng)式nPn(X)八 h(X)f (Xji =0其中l(wèi)i(x)是 n次Lagrange基插

6、值函數(shù)，現(xiàn)用bbPn(x)dx來近似.f (x)dx，所以有aabf (x)dx ：aa Pn(X)dX j Af (Xi)(4.6)其中bA = f li(x)dxL a(4.7)此時(shí)把公式(4.6 )稱為插值型數(shù)值積分公式?，F(xiàn)設(shè)a = x0 ：為：11( : xn = b，且把區(qū)間a,b分成n個(gè)相等的小區(qū)間Xi,1，記每b a個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為hx-x，即h，所以有Xj = a ih (i = 0,1,|1(, n)。令nx = a th,則有0三t乞n，這時(shí)有bA 二 li(x)dx-anhnt(t-1)|l|(t-i 1)(t-i -1)川(t-n)0(-1)nhni!(n -i)!(T

7、) h n祐沁訕(t-i Wfzmdt(4.8)引進(jìn)記號(hào)c(n)(-曠n i!(ni)!n0t(t -1)|l|(t -i 1)(t-i -1)川(t-n)dt(4.9)則A =(b -a)c：n)，這時(shí)公式(4.6 )可寫成bf(x)dx：anPn(x)dx =(b -a)' c(n)f (Xi)i=0(4.10)公式(4.10 )稱為牛頓-科茨(Newton-Cotes)公式，ci(n)稱為牛頓-科茨系數(shù)。利用公式(4.9)可以計(jì)算出常用的牛頓-科茨系數(shù)c(n)( n <6),計(jì)算結(jié)果見表4.1。例1試用梯形求積公式、拋物線求積公式、牛頓-科茨求積公式計(jì)算定積分解(1)利用梯

8、形求積公式有3 23 _ 1221 In2 xdx (In21 In2 3) = 0 1.206949 = 1.206949a +b(2) 用拋物線公式計(jì)算，因c2，所以有23 23 - 1222In2 xdx (In21 4In 2 2 In2 3)1 61 (0 4 0.480453 1.206949) =1.04292(3) 若用n=4的牛頓-科茨求積公式，因Xj=a，ih，= 0.5，并由4 4表4.1得3 2721622216272In xdx (31)( In 1 In 1.5 In 2 In 2.5 In 3)190451545907162167=2(00.1644020.480

9、4530.8395891.206949)9045154590= 1.029817而定積分的具有7位有效數(shù)字的準(zhǔn)確值為3* In2 xdx = (xln2 x -2x1 n x 2x) 3 =1.029173表4.1nc(n)111221412666133138888716216749045154590192525252519528896144144962884199349941684035280105280358404.2復(fù)化數(shù)值積分公式從以上例1的計(jì)算結(jié)果可以看到，一般情況下，拋物線求積公式和牛頓-科茨求積公式要比梯形求積公式好，其主要原因是推導(dǎo)拋物線求積公式和牛頓-科茨求積公式時(shí)把積分區(qū)間

10、等分的個(gè)數(shù)（分別為 2個(gè)和4個(gè)）比梯形公式的區(qū)間個(gè)數(shù)（1個(gè)）多。但對(duì)某些函數(shù)拋物線求積公式并不一定要比梯形求積公式好，如圖4.3的情況。但是無論是哪一類的函數(shù)，只要被積函數(shù)在積分區(qū)間上有定義，那么不斷增加積分區(qū)間的等分的個(gè)數(shù)時(shí)，求積公式得到的結(jié)果會(huì)逐步的逼近原定積分的精確值。所以考慮到數(shù)值求積公式的準(zhǔn)確性，先把積分區(qū)間a,b分成n個(gè)相等的小區(qū)間Xi,Xi訂，記每個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度為h二人-人，在小區(qū)間人，人訂上x 1.-li利用梯形公式得I ' f(x)dx 眉(f(x)+ fg) i2所以有f f (x)dx = f fi+f (x)dx 賂F2 ( f (Xi) + f (Xi J)a7

11、xy2hp(f(X。)2f(Xj 山fX)二(以1)該公式稱為復(fù)化梯形公式，公式(4.11 )的幾何意義是用若干個(gè)小梯形面積之和來近似由f(x)所圍成的曲邊梯形的面積，見圖4.4。與推導(dǎo)復(fù)化梯形公式 的方法相同，若把區(qū)間a,b分成2n個(gè)相等的小區(qū)間人必訂，b a每個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度仍記為 h = x 4 -x，在小區(qū)間x2i,x2i 2上利用拋物線(Simpson)2n公式得x2i 2hx f(x)dx(f(X2i) 4f(X21)f(X22)x2i3所以有bn 4 x2i 2n 4 hf f(x)dx=5： J f(x)dxZ ：(f(X2i)+4f(X2i+f(X2iQ)ai 八3hnn 4= (

12、f(X°) 4、f(X2i4)2、f(X2i) f(X2n)=Sn(4.12)3i =1i d該公式稱為復(fù)化拋物線(Simps on )公式。4.3數(shù)值積分公式的誤差估計(jì)定義對(duì)一個(gè)一般的數(shù)值求積公式(4.13 )nf (x)dx 八 A f (人)7其中A是不依賴于函數(shù) f (x)的常數(shù)。若公式(4.13 )中的f(x)為任意一個(gè)次數(shù)不高于 m次多項(xiàng)式時(shí)，其等號(hào)成立，即有bna f(X)dX 八 Af (Xji=0而對(duì)f (x)是m 1次多項(xiàng)式時(shí)，公式(4.3 )不能精確成立，則說數(shù)值求積公式(4.13 )具有m次代數(shù)精度。根據(jù)代數(shù)精度定義和數(shù)值求積公式的構(gòu)造過程有以下結(jié)果。定理1設(shè)

13、f(x)ECa,b , f(f(x)在a,b上存在，則牛頓-科茨公式(4.6 )的代數(shù)精度至少為n，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，牛頓-科茨公式的代數(shù)精度為 n 1 °證明 設(shè)Pn(x)是f (x)的n次Lagrange插值多項(xiàng)式，因f (x)滿足以上條件，所以有f(X)二 Pn(x)(n 1)()(n 1)!<b其中(X) =(X -Xo)(X -x!)|l(x -Xn)。當(dāng)f (x)為n次多項(xiàng)式時(shí)，定理結(jié)果是明顯的。設(shè)bf(n 1()a (n 1)! (x)dxf(x)為n1次多項(xiàng)式，最高次項(xiàng)的系數(shù)為bm，則得f (n1)(x)二bn.1( n 1)!，由此得bbf f (x)dx _ f

14、 Pn (x)dx =aa0bn .(n 1)!t(t-1)(t-2)|H(t-n)dt(n 1)! 0n二 bn1hn 2 .0t(t -1)(t -2)川(t-n)dt令n = 2k , k為整數(shù)，并再次做變量替換u = t - k，則有n0t(t -1)(t -2)|l|(t - n)dt2k=(t(t _1)(t _2)川(t_k)(t _k_1)IH(t_2k+1)(t_2k)dtkk(u k)(u k T)丨l|u(u1)川(u-k 1)(u-k)du令 H (u) = (u k)(u k -1)|u(u -1)lH(u - k 1)(u -k)，則H (_u) -(_u '

15、; k)(-u ' k -1)Hl(-u)(-u -1)IH(-u -k 1)(-u k) = (-1)2k 1H(u -H(u)故H（u）是奇函數(shù)，因此有n0t(t-1)(t-2)|(t- n)dtk(u k)(u k -1)|"u(u -1)|(u -k 1)(u -k)du = 0 _k所以得bb上 na f(X)dX 一 乜 Pn(X)dX =bn N 2。t(t - 1)(t - 2川(t - n)dt = 0即當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，牛頓-科茨公式的代數(shù)精度為 n 1。定理2若f (x) C:口，則對(duì)梯形公式(4.3 )有誤差估計(jì)bb _aR(f,T) = f(x)dx (

16、f(a)f(b)a 2(4.14) Lf ( ). (a,b)12證明因?qū)€性插值p'x）有余項(xiàng)公式所以R(x) = f (x) - P1 (x)=P(x a)(xb) , a 乞乞 bbbb f '牡)R(f ,T) = a f (x)dx- a m(x)dx = a (x -a)(x-b)dx因(xa)(xb)在區(qū)間a,b上不變號(hào)，且f (x) Cb，由積分中值定理可得bR(f,T) = Jafp(x-a)(x-b)dx = T2 2 (b-a)312b(x _ a)(x _ b)dxa定理3若f（X）E C:,b，則對(duì)拋物線公式（4.4 ）有誤差估計(jì)bb aR(f,S)a

17、f(x)dX-(f(a) 4f(c)f(b)寫宀）5證明根據(jù)定理1的結(jié)果，拋物線公式（4.4 ）的代數(shù)精度是3，所以公式（何不高于3次的代數(shù)多項(xiàng)式 p（x）都有bf P(x)dx =ab - a-(p(a) 4p(c)p(b)6（4.15）4.4 ）對(duì)任（4.16）a + b其中，若構(gòu)造滿足插值條件P3(a) =f(a), ps(c) = f(c), P3(b)二 f(b), P3(c) = f (c)的3次插值代數(shù)多項(xiàng)式 p3（x），則由（4.16 ）得bP3(x)dx 二a故b a= (f( a) 4f(c)f(b)6bR(f,SH ab _ abbf (x)dx(f(a) 4f(c) f

18、(b) f(x)dx-p3(x)dx6、a、a二：P(xa)(x-c)2(x b)dxa 4!因f（x）C：,b，且（x a）（xc）2（x b）在區(qū)間a,b上不變號(hào)，由積分中值定理可得b f (4) ( ' )2f (4)()(x -a)(x -c)2(x -b)dx =a 4!4!二f()(_ ® £ 一色辺f()120 2880b(x-a)(x-c)2(x-b)dxa4!由此容易得到定理結(jié)果。把公式（4.14 ）、（ 4.15 ）分別稱為數(shù)值積分公式4.3 ）、（4.4 ）的局部截?cái)嗾`差?？紤]到誤差的大小，把區(qū)間a,b分成n個(gè)相等的小區(qū)間X" 訂，得

19、到了復(fù)化梯形公式 （4.11），此時(shí)在小區(qū)間x,Xj 1上利用梯形公式的截?cái)嗾`差公式（4.14 ）得x 1hXi f(x)dxH(f(x) f(Xi1 滬(Xi 1 -為)123-f ( i) i (xX 1)由此利用微分中值定理得bR(f,Tn)二f(x)dx -Tn力V *二_(x 1 -X)3i=0122 x xf(x)dx：T(f(Xif(Xi1)f (i) 一 Jf()(a,b)即""（艸一“ 一冒公式（4.17 ）稱為復(fù)化梯形公式（4.11 ）的整體截?cái)嗾`差公式。利用類同方法可得復(fù)化h2f ( )(a,b)(4.17)Simpson公式（4.12 ）的整體截?cái)嗾`

20、差 為bR(f,SJ=J f(x)dx& =a益W()(a,b)(4.18)b ab a注意：公式(4.11 )、(4.17 )中 h =，而公式(4.12 )、(4.18 )中 h =。n2n例 2 設(shè) f (0) =1, f (0.5) =2 , f(1) =4 , f (1.5) =6 , f (2) =2，則用復(fù)化 Simpson2公式計(jì)算jQf (x)dx，若有f蘭M，則估計(jì)復(fù)化Simpson公式的整體截?cái)嗾`差。20 1解因h，則利用復(fù)化 Simps on公式有422 h0f(x)dx ： ff(O) 4(f(0.5)f(1.5) 2f(1) f(2)=43石因復(fù)化Simps

21、on公式的整體截?cái)嗾`差為R(f ,S4) = f f (x)dx S4 = h4f ( r e (a,b)所以有R(fS)二2 014(4)yr"1802bM =14404.4逐步梯形方法與龍貝格公式復(fù)化梯形公式、復(fù)化Simpson公式的整體截?cái)嗾`差是比較小，一般情況下都可以滿足精度要求。若不滿足精度要求， 那么可以把積分區(qū)間的等分個(gè)數(shù)再變大, 的精度。逐步梯形方法就是收斂速度較快的一個(gè)提高精度的方法。提高數(shù)值積分公式當(dāng)把區(qū)間a,b分成n個(gè)相等的小區(qū)間Xj,x*時(shí)有復(fù)化梯形公式bhagX石(伽2畑川2g) g"(4.19)若把區(qū)間a,b分成2n個(gè)相等的小區(qū)間x,x時(shí)對(duì)應(yīng)的復(fù)

22、化梯形公式為(4.20)bhf(x)d-(f (x0) +2f X) +山 + 2 f (X；nJ + f (X；n) =T2n a2b ab ab a -其中h，因?yàn)閔22h , x = x2i，所以T2n與的關(guān)系為2nn 2nT2n =h2(f(x0)2f(X1)川 2f(X2n" f(X2J)1 h= 22(f(X0)2f(X1)2f(X1)2f(X3)2f(X2)川 2f(Xnj) 2f(X2nT f(Xn)1 h匚Tn 2(f(X1)f(X3)川 f(X2nJ中寧®T)穿(4.21)所以利用公式（4.21 ）可構(gòu)造出序列Ti,T2,T4,T8j|,T2k，H|其構(gòu)

23、造序列的公式（4.21 ）可改寫為k 11hahaT?k =汀2*丄 亍' f -1）丁），k=1,2川（4.22）則公式（4.22 ）就稱為逐步梯形公式。另外，因?yàn)橛蠸4T2n - TnSn :4 -1所以利用Tn與T2n可以構(gòu)造出復(fù)化 Simpson公式Sn，即可用代數(shù)精度為1的公式推導(dǎo)出代 數(shù)精度為3的公式sn，同理再利用Sn與S2n可以構(gòu)造出復(fù)化 Newt on-Cotes公式Cn，即由代數(shù)精度為3的公式推導(dǎo)出代數(shù)精度為5的Cn，以此類推，可以得到以下序列m (k 1)4 Tm Jm A4 -1k =0,1,2,|l(; m =1,2,川(4.23)由公式（4.23 ）得到的序

24、列就稱為龍貝格（Romberg ）序列，（4.23 ）就稱為 龍貝格（Romberg ）公式，龍貝格公式的截?cái)嗾`差階是O（h2m 2）。4.5高斯（Gauss）型求積公式以上求積公式的特點(diǎn)是對(duì)給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)（人，） （i =0,1,2jl|, n）作對(duì)應(yīng)的插值多項(xiàng)式bp（x），用插值多項(xiàng)式p（x）的積分近似.f（x）dx，其對(duì)應(yīng)的代數(shù)精度一般不超過n 1,逐La步梯形方法與龍貝格公式也不列外。高斯（Gauss）型求積公式的思想是：在節(jié)點(diǎn)數(shù)目固定為n的條件下，在區(qū)間a,b內(nèi)適當(dāng)?shù)剡x擇節(jié)點(diǎn)x和待定系數(shù)A，使求積公式nf (x)dx ：A f (x)具有最高的代數(shù)精度。定義 在節(jié)點(diǎn)數(shù)目固定為n的條件下

25、，在區(qū)間a,b內(nèi)適當(dāng)?shù)剡x擇節(jié)點(diǎn) xi和待定系數(shù) A，使求積公式f (x)dx 壯瓦 A f (x)a7(4.24 )具有2n -1次的代數(shù)精度，此時(shí)公式（4.24 ）就稱為高斯型求積公式，節(jié)點(diǎn)Xi稱為區(qū)間a,b上的高斯點(diǎn)。首先分析一下對(duì)于 n個(gè)節(jié)點(diǎn)，公式（4.24 ）可以達(dá)到的最大代數(shù)精度是多少? 假設(shè)式（4.24 ）對(duì)任意m次多項(xiàng)式mmJ , LPm(x)二amX- amjXa。是準(zhǔn)確成立的，于是有am axmdx am.ab m dbbx dx 11 ( ad xdx a0 dxaaan工為 A(amXam必m，V aiXi a。)i A(4.25)b i記i二xidx （i =0,1,|

26、（, m），并重新組合（4.25 ）的右端項(xiàng)得*aamm am Jm71(印叫-& %nnnn=a Axm 飛皿八 AXim71 - a AjXa。'，Ai 1i 1i Ai A(4.26 )從系數(shù)ao,ai Jl|,am的任意性，（4.26 ）式成立的充分必要條件是人十人2十川+片=#0A xi + A2X2 + 川 + An Xn =氣“ AX2 +A2X； + 川 + AnX：=卩2（427）III HI IIIAxA2Xm III AnXm = Jm在方程組（4.27 ）中有2n個(gè)待定常數(shù)，最多能給出2n個(gè)獨(dú)立條件，且有 m 1個(gè)等式，所以m值最大為2n -1。即對(duì)于n

27、個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式（4.24 ），可能達(dá)到的最大代數(shù)精度是 2n -1。并可證明，方程組（4.27 ）當(dāng)m = 2n-1時(shí)是可解的。問題是利用條件（4.27 ）如何選取節(jié)點(diǎn)Xi及系數(shù)A。下面對(duì)n =2的情形介紹方程組（4.27 ）的解法。不失一般性,把積分區(qū)間取成-1,1，這是因?yàn)槔米儞Qa +b丄b a丄xt2 2總可以將區(qū)間a,b變成-1,1，而積分變?yōu)閎 a fgdxp1 t)dt =2b -a""2-對(duì)n = 2的情形，問題就變成了如何選擇節(jié)點(diǎn)x1, x2及系數(shù)A , A2使(4.28)1f (x)dx ： a f(Xi) A2 f(X2)32對(duì)任何三次多項(xiàng)式 f （

28、x）二a3X - a?x - aix - a°都能精確成立。由式（4.27 ）只要解非線 性方程組(4.29)X + A = 2 An +A?x2 =0A< +A?xf =23A x3 十 A2x； = 0求出節(jié)點(diǎn)x1，x2及系數(shù)A1，A即可。但這種方法當(dāng)n較大時(shí)就比較困難。此時(shí)可用正交多項(xiàng)式的特性來求節(jié)點(diǎn) xi。把三次多項(xiàng)式 f（x） =a3x3 - a2x2 a1x - a0總可以表示為f(X)=( rX ：0)(x -Xi)(X -X2) (bx bo)兩邊積分得1 1 - - 1f (x)dx 二(,x ：0)(x -xj(x -X2)dx(dx b°)dx(

29、 430 ) 因f(xj =b1x1 b0， f (x2) = dx2 b0，且求積公式(4.28 )對(duì)任意一次多項(xiàng)式都精確成 立，所以得1,4(b1x b°)dx = AWN b°) A2(biX2 g) =Af (xj(x?)因此若對(duì)任意多項(xiàng)式 -1x恒有1 _ _J（ X + P0）（X - Xj）（X - x2 ）dx = 0（ 4.31）那么由（4.30 ）式就有14 f （x）d = A）f （x1） A2f（x2）（4.28）所以，當(dāng)節(jié)點(diǎn)的選取滿足條件 （4.31）時(shí)，對(duì)任意三次多項(xiàng)式，公式（4.28）是精確成立的。由于（4.31 ）式對(duì)任何'-0 ,

30、 '-1都成立，所以必須有1 14（x _片）（x _x2 ）dx 二 0，x（x _xj（xx2）dx 二 0由此得22%x2 =03 1x1 x2 = 01解得Xj - -x2 ： ，再利用求積公式(4.28 )對(duì)f(x) =1, f(x)二X準(zhǔn)確成立，得到.3A + 人=2A% +A2x2 =0解得Al二A2 = 1，這就得到求積公式把條件(4.31 )稱為正交條件。再對(duì)一般情形討論高斯型求積公式，考慮積分bI - a (X) f (X)dX其中co(x)工0是權(quán)函數(shù)。問題是在區(qū)間a,b內(nèi)如何適當(dāng)選擇節(jié)點(diǎn) X1,X2|,Xn使求積公式(4.32)b/ (X)f(x)dx當(dāng)f (X

31、)是不高于2n -1次的多項(xiàng)式時(shí)精確成立。與前面 n = 2的情形一樣，把2n -1次的代數(shù)多項(xiàng)式f(x)總可以表示為f(X)二q(x) n(x) r(x)其中''n(x) =(x -X!)(x - x2)IH(x -xn)， q(x) , r(x)都是不超過n -1次的多項(xiàng)式，于是有bbb(x) f (x)dx =，(x)q(x) n(x)dx 亠 i 心(x)r(x)dxaaa如果對(duì)任何不超過 n-1次的多項(xiàng)式q(x)都有(4.33)b(x)q(x) n(x)dx = 0a則因求積公式(4.32 )對(duì)任何一個(gè)不超過 n-1次的多項(xiàng)式精確成立，即有(x)r(x)dx 二、Ar

32、(xjai d而有f(Xi)=r(Xi)，所以得W(x) f(x)dx =遲 A f(Xi)ai4也就是說，只要選取節(jié)點(diǎn)滿足條件(4.33 ),則求積公式(4.32 )的代數(shù)精度就能達(dá)到 2n - 1。所以有以下結(jié)果。定理對(duì)于插值型求積公式(4.24)nf (x)dx 八 A f (x)i=1其節(jié)點(diǎn)xi是高斯點(diǎn)的充分必要條件是n(X)=(X -Xi)(X-X2)| H(X -Xn )與任意次數(shù)不超過n -1次的多項(xiàng)式q(x)均正交。條件(4.33 )表明，n(x) =(x - Xi)(x - X2)|(x - Xn)和 q(x)是在區(qū)間a,b上關(guān)于權(quán)函數(shù)-(x)正交。從正交條件(4.33 )可

33、以解出高斯點(diǎn) X1, x2|,xn，而由正交多項(xiàng)式的 性質(zhì)可得一個(gè)n次正交多項(xiàng)式的n個(gè)零點(diǎn)是實(shí)數(shù)且不重復(fù)，并分布在區(qū)間 (a, b)內(nèi)。所以對(duì) 給定的權(quán)函數(shù) (x)總可以構(gòu)造出正交多項(xiàng)式.n(x)，而后再用方程組(4.27 )或用公式b dx(4.34 )a(X Xk)n(Xk)求解待定系數(shù) A ,高斯型求積公式(4.24 )就被確定。1例3試構(gòu)造高斯型求積公式f (x)dx Af (xi) A2f(x2) AJ(X3)解 先求滿足條件(4.33 )的正交多項(xiàng)式 .n(x)-(x-xJd-XzXx-x3)的零點(diǎn)Xi,X2, X3。因條件(4.33 )對(duì)任意2次多項(xiàng)式q(x)都成立，所以有1 1

34、J(x xj(x x2)(x x3)dx =0，斗x(x X! )(x x2)(x x3)dx =0，1 2* x (x - 片)(x - x2)(x - x3 )dx = 013(X1+X2*"=011由此得(X/2 %X3 - X2X3)=3 511：(X1+X2+X3)+：XX2X3=0 .53解得X1 X2 X3 =0, X1 X2X3=0，所以至少有一個(gè)X=0，不妨設(shè)X2=0 ,所以得由于求積公式4.32 )對(duì)f(X)=1,X, X2精確成立，即得A + A2 + 人=2< A% + Ax2 + A5X3 =02222Axi +A2X2 +A3X3 =一l3把x2 =

35、 0 , Xi = -X3 = - 一 3代入上式得A + A + 人=2= A A3= 0AA105由此求解得A沁匚8，所以得具有5次代數(shù)精度的高斯型求積公式為A +人=一 .9例如用Legendre多項(xiàng)式Pn(X2£，-0，i，2，1"(4.35)3)+9f(0)+if(£應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是：當(dāng)高斯點(diǎn)的個(gè)數(shù)較多時(shí)用以上例子的方法求高斯點(diǎn)和系數(shù)時(shí)計(jì)算量較大 且有一定的難度。由于Xi,X2H,Xn是區(qū)間a,b上的高斯點(diǎn)的充分必要條件是多項(xiàng)式n(x) =(X Xi)(X X2)川(x Xn)是a,b上n i次正交多項(xiàng)式。所以說，求高斯點(diǎn)就是求正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)。因此當(dāng)n較大時(shí)最好用已知的正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)來構(gòu)造對(duì)應(yīng)的高斯型求積公式。的零點(diǎn)來構(gòu)造高斯型求積公式得到Gauss-Legendre求積公式。因Legendre多項(xiàng)式是區(qū)間-i,i上關(guān)