多維隨機(jī)變量及其概率分布

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)內(nèi)容提要及習(xí)題詳解 第三章 多維隨機(jī)變量及其概率分布 第 29 頁 共 13 頁第三章 多維隨機(jī)變量及其概率分布【內(nèi)容提要】一、二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)【定義】設(shè)是定義于隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間上的兩個隨機(jī)變量，則稱 為二維隨機(jī)變量，稱為其聯(lián)合分布函數(shù)，而稱:及分別為的邊緣分布函數(shù)。二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)具有如下性質(zhì):非負(fù)性: ，有；規(guī)范性: ，有；單調(diào)性: 當(dāng)固定不變時，是的單增函數(shù)；右連續(xù)性: ，有；相容性: ，有；特殊概率: 若，則。二、二維離散型隨機(jī)變量1二維離散型隨機(jī)變量及其概率分布律 若二維隨機(jī)變量的一切可能取值為離散值，其中，且取到這些值的概率滿足，則稱為二維離散型

2、隨機(jī)變量，而稱為其聯(lián)合概率分布律，記為:。.的邊緣概率分布律:；.的條件概率分布律:；.的相互獨(dú)立。二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律及其邊緣分布律也可用下表來表示: 設(shè)為平面區(qū)域，則二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)及其取值落在內(nèi)的概率為:，。2常用二維離散型分布三項(xiàng)式分布:設(shè)為自然數(shù)，為常數(shù)，則三項(xiàng)式分布的聯(lián)合分布律為： ，其中， 而其邊緣分布律、條件分布律為： ， ， ，其中， ，其中。二維超幾何分布: 設(shè)為自然數(shù)，則二維超幾何分布的聯(lián)合分布律為： ，其中；而其邊緣分布律、條件分布律為： ， ， ， 。二維分布: 設(shè)為常數(shù)，則二維分布的聯(lián)合分布律為:,而其邊緣分布律、條件分布律為： ， ， ，

3、其中， 。三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量1二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù) 若二維隨機(jī)變量的一切可能取值充滿了某一平面區(qū)域，且存在一個函數(shù)，使其聯(lián)合分布函數(shù)可表為，且，則稱為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，而稱為其聯(lián)合密度函數(shù)，記為。 設(shè)為平面區(qū)域，則二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)、聯(lián)合密度函數(shù)滿足：，而的取值落在內(nèi)的概率為。2常用二維連續(xù)型分布均勻: ，其中平面區(qū)域的面積；二維指數(shù)分布:二維指數(shù)分布的聯(lián)合分布為:，其中為常數(shù)，而其邊緣分布及條件分布為:，。二維分布: 其聯(lián)合密度、邊緣密度及條件密度分別為(其中均為常數(shù)),，。二維正態(tài)分布:二維正態(tài)分布的聯(lián)合密度為:，其中，而其邊緣分布及條件分布為:，即，即，

4、即。四、二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)為二維隨機(jī)變量，而為連續(xù)的確定型函數(shù)。1 若為離散型隨機(jī)變量，且，則的分布律為:；若為連續(xù)型隨機(jī)變量，且，則的概率密度函數(shù)為: ；若連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立，且具有相同的分布函數(shù)為，將按其取值由小到大的順序重新排為，稱為的順序統(tǒng)計(jì)量，則第個順序統(tǒng)計(jì)量的分布函數(shù)為(其中為的密度，):，特別：。五、維隨機(jī)變量及其分布【定義】設(shè)是定義于隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間上的個隨機(jī)變量，則稱為維隨機(jī)變量，而稱為其聯(lián)合概率分布函數(shù)；維隨機(jī)變量也可分離散型與連續(xù)型，也有邊緣分布、條件分布等概念。常用維隨機(jī)變量的分布有:1維多項(xiàng)式分布:設(shè)為自然數(shù)，為常數(shù)，則維多項(xiàng)式分布的聯(lián)合分布律為(其中為整數(shù))

5、： ，其邊緣分布律、條件分布律仍為多項(xiàng)式分布。2維超幾何分布: 設(shè)為自然數(shù)，則維超幾何分布的聯(lián)合分布律為(其中為整數(shù))： ，其邊緣分布律、條件分布律仍為超幾何分布。3維均勻分布: 設(shè)為維空間區(qū)域，且其體積，則內(nèi)維均勻分布的聯(lián)合密度為(其中為整數(shù))： 。4維正態(tài)分布: 設(shè)為維常向量，為正定矩陣，為的行列式，維正態(tài)隨機(jī)變量在處的聯(lián)合密度為： ，正態(tài)隨機(jī)變量的邊緣分布、條件分布及其線性變換仍服從正態(tài)分布，且相互獨(dú)立為對角陣?！镜谌伦鳂I(yè)】1、現(xiàn)有10件產(chǎn)品，其中6件為正品，4件為次品，從中隨機(jī)抽取兩次產(chǎn)品，每次取一件，令，在放回抽樣與不放回抽樣下分別求的聯(lián)合分布律及邊緣分布律。解:由題意知的聯(lián)合分布

6、律及邊緣分布律分別為:放回抽樣場合不放回抽樣場合010100112、現(xiàn)有10件產(chǎn)品，其中5件為一級品，2件為二級品，其余為廢品，從中不放回地隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，用分別表示所取產(chǎn)品中的一、二級產(chǎn)品的數(shù)目， 求的聯(lián)合分布律及邊緣分布律。解:由題意知的聯(lián)合分布律，故其聯(lián)合分布律及邊緣分布律分別如下表所示:3、已知的邊緣分布律如下，且，求其聯(lián)合分布律及。解:由題意知的聯(lián)合分布律如下表所示:且。4、設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為，求常數(shù)、的邊緣密度及概率。解:由聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì)有:，故,且 ， ， ， ， 。5、設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為，求的邊緣密度及概率。解:由題設(shè)知: ， ， 。6、設(shè)的聯(lián)合密度為，求其邊緣密度及概率

7、。解:由題設(shè)知:， ， 。7、兩人約定于某日的到在指定地點(diǎn)會面，約定先到者最多等候分鐘，假設(shè)兩人行動獨(dú)立且在到內(nèi)任一時刻到達(dá)指定地點(diǎn)的可能性相同，求他們能會面的概率。解:用分別表示兩人到達(dá)指定地點(diǎn)的時間(從算起的分鐘數(shù))，則由題設(shè)知在平面區(qū)域上均勻分布，故其聯(lián)合密度為，從而他們能會面的概率為。8、設(shè)獨(dú)立，且其邊緣分布為，求的聯(lián)合分布及、。解:由題設(shè)知的聯(lián)合分布，且 ， 。9、設(shè)相互獨(dú)立，且其邊緣分布為，求行列式的分布。解:令，則由題設(shè)知有3個可能的取值，且，。10、設(shè)在區(qū)域上均勻分布，求隨機(jī)變量與的聯(lián)合分布。解:由題設(shè)知的聯(lián)合分布為:。12、設(shè)的聯(lián)合密度為，求其邊緣密度。解:由題設(shè)知其邊緣密度為: ， 。13、設(shè)獨(dú)立，且，求常數(shù)及隨機(jī)變量的概率密度。解:由題設(shè)知，而的概率密度為: 。14、設(shè)的聯(lián)合分布函數(shù)為，求.常數(shù)； .的聯(lián)合密度及邊緣密度；.； .判斷是否相互獨(dú)立。解: .由聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)知，常數(shù)滿足: .的聯(lián)合密度及邊緣分布、邊緣密度分別為: ；.；.由于，故相互獨(dú)立。15、設(shè)的聯(lián)合分布函數(shù)為，求.的邊緣分布； .的聯(lián)合密度及邊緣密度；.判斷是否相互獨(dú)立； .。解: 由題設(shè)知:.；.；