剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)答案

1、第 2 章剛 體 定 軸 轉(zhuǎn) 動(dòng)一、選擇題1(B), 2(B), 3(A), 4(D), 5(C), 6(C), 7(C), 8(C), 9(D), 10(C)二、填空題(1) . v 15.2 m /s, n2= 500 rev /min(2) . 62.51.67s(3) . g / l g / (2l)(4) . 5.0 N - m(5) . 4.0 rad/s(6) . 0.25 kg. m21 一(7) . -Ma21 ,l .1 .(8) . Nmgl 參考斛：M= fd M = Q (Ngm/l d r = Nmgl(9) . J 耍1 J mR(10) .,.出J3gsini/

2、l三、計(jì)算題1.有一半徑為R的圓形平板平放在水平桌面上,平板與水平桌面的摩擦系數(shù)為 內(nèi)假設(shè)平板繞通過其中央且垂直板面的固定軸以角速度小開始旋轉(zhuǎn),它將在旋轉(zhuǎn)幾圈后停止？圓形12,一, ,一一平板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J = mR ,其中m為圓形平板的質(zhì)量2解：在r處的寬度為dr的環(huán)帶面積上摩擦力矩為R 2 ,_總摩擦力矩M = 0 dM = JmgR故平板角加速度：=M /J設(shè)停止前轉(zhuǎn)數(shù)為n,那么轉(zhuǎn)角 ：=2 ：n由2 二 2 -二-4 二Mn / JJ- -22可得n = = 3R 0 /16冗口g4 二M2 .如下圖,一個(gè)質(zhì)量為 m的物體與繞在定滑輪上的繩子相聯(lián),繩子質(zhì)量可以忽略,它與12定滑輪之間無

3、滑動(dòng).假設(shè)定滑輪質(zhì)量為 M、半徑為R,其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為一MR2,滑輪軸光滑.試2求該物體由靜止開始下落的過程中,下落速度與時(shí)間的關(guān)系.解：根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程對物體：mg- T = ma對滑輪：TR = J?運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：a= R?將、式聯(lián)立得a= mg / ( m+ 1M)2V0= 0,14v=at= mgt / m+ M在飛3 .為求一半徑 R= 50 cm的飛輪對于通過其中央且與盤面垂直的固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,輪上繞以細(xì)繩,繩末端懸一質(zhì)量mi=8 kg的重錘.讓重錘從高 2 m處由靜止落下,測得下落時(shí)間ti=16 s.再用另一質(zhì)量 m2=4 kg的重錘做同樣測量,測得下落時(shí)間t2=2

4、5 s.假定摩擦力矩是一個(gè)常量,求飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解：根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律,對飛輪和重物列方程,得TR-Mf= Ja/ Rmg-T = mah= - at22 那么將m1、L代入上述方程組,得a1 = 2h / t2 = 0.0156 m / s2T1 = m1 (g- a1) = 78.3 NJ=(IR Mf )R / a1將m2、t2代入、方程組,得2-Q .a2= 2h /12 = 6.4X 10 m / s 1T2=m2(g a?)= 39.2 NJ = (T2R- Mf)R /a由、兩式,得J= R2(T 1 T2) / (a a2) = 1.06X 103 kg , m2%.

5、設(shè)它所受阻力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度4 . 一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J的圓盤繞一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng),起初角速度為1成正比,即M = k?k為正的常數(shù),求圓盤的角速度從？0變?yōu)橐?.時(shí)所需的時(shí)間.2解：根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律：二二二二二二二 二二Jd：/ dt =-k d k=-dtJ 0/2 1 _t k -兩邊積分：一d 二 - - dt"0' ,0 j得ln2 = kt / Jt = J ln2 / k5 .某人站在水平轉(zhuǎn)臺的中央,與轉(zhuǎn)臺一起以恒定的轉(zhuǎn)速5轉(zhuǎn)動(dòng),他的兩手各拿一個(gè)質(zhì)量為m的祛碼,祛碼彼此相距11 每一祛碼離轉(zhuǎn)軸 111,當(dāng)此人將祛碼拉近到距離為12時(shí)每一祛碼21離轉(zhuǎn)軸為一坊,整個(gè)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速變?yōu)閚2.

6、求在此過程中人所作的功.假定人在收臂過程中自2身對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的變化可以忽略解：1將轉(zhuǎn)臺、祛碼、人看作一個(gè)系統(tǒng),過程中人作的功W等于系統(tǒng)動(dòng)能之增量：1,.1 ,2、2 1,. 1 ,2、 2 2W= *Ek= (J0+ml2 )4冗勺2 (J0+ml1 )4冗 n12222這里的J0是沒有祛碼時(shí)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.(2)過程中無外力矩作用,系統(tǒng)的動(dòng)量矩守恒：1, 21, 22 (J0+ ml1 ) “ = 2 . (J0+ 一 ml 2 ) n222ml； 一?出J0 二2 n2 -R(3)將 J0代入 W式,得 W =n2mn1n2(l： -lf )6 . 一質(zhì)量均勻分布的圓盤,質(zhì)量為 M,半徑

7、為R,放在一粗糙水平面上(圓盤與水平面之間 的摩擦系數(shù)為 二 圓盤可繞通過其中央 O的豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng). 開始時(shí),圓盤靜止,一質(zhì) 量為m的子彈以水平速度 vo垂直于圓盤半徑打入圓盤邊緣并嵌在盤邊上,求(1)子彈擊中圓盤后,盤所獲得的角速度.(2)經(jīng)過多少時(shí)間后,圓盤停止轉(zhuǎn)動(dòng).12,一 一 一,、(圓盤繞通過O的豎直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 一MR2,忽略子彈重力造成的摩擦阻力矩)2解：(1)以子彈和圓盤為系統(tǒng),在子彈擊中圓盤過程中,對軸O的角動(dòng)量守恒.mvoR=(-MR2+ mR2)：2(2)設(shè).法示圓盤單位面積的質(zhì)量,可求出圓盤所受水平面的摩擦力矩的大小R為M f = J rMgcr 2nrdr =

8、 (2 / 3) ?a gR3= (2 / 3) ?MgR設(shè)經(jīng)過2時(shí)間圓盤停止轉(zhuǎn)動(dòng),那么按角動(dòng)量定理有-Mf=0- J?= - (1MR2+ mR2) ?= " mvoR2mv0R mv0R3mv0t = =Mf2/3MgR 2Mg7 .一勻質(zhì)細(xì)棒長為 2L,質(zhì)量為m,以與棒長方向相垂直的速度V0在光滑水平面內(nèi)平動(dòng)時(shí),1 八,一與前方一固定的光滑支點(diǎn)O發(fā)生完全非彈性碰撞.碰撞點(diǎn)位于棒中央的一側(cè) 一L處,如圖2所示.求棒在碰撞后的瞬時(shí)繞 O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度工(細(xì)棒繞通過其端點(diǎn)且與其垂直的軸轉(zhuǎn)動(dòng)12時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 一ml2,式中的m和l分別為棒的質(zhì)量和長度.) 3解：碰撞前瞬時(shí),桿對 O點(diǎn)

9、的角動(dòng)量為式中,為桿的線密度.碰撞后瞬時(shí),桿對 O點(diǎn)的角動(dòng)量為因碰撞前后角動(dòng)量守恒,所以:=6 V0 / (7L)8 .長為l的勻質(zhì)細(xì)桿,可繞過桿的一端O點(diǎn)的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng),開始時(shí)靜止于豎直位置.緊挨O點(diǎn)懸一單擺,輕質(zhì)擺線的長度也是l,擺球質(zhì)量為m.假設(shè)單擺從水平位置由靜止開始自由擺下,且擺球與細(xì)桿作完全彈性碰撞,碰撞后擺球正好靜止.求：(1)細(xì)桿的質(zhì)量.(2)細(xì)桿擺起的最大角度？解：(1)設(shè)擺球與細(xì)桿碰撞時(shí)速度為 V0,碰后細(xì)桿角速度為 ？,系統(tǒng)角動(dòng)量守恒得：J： = mv0l由于是彈性碰撞,所以單擺的動(dòng)能變?yōu)榧?xì)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能1212mv 0 = J ： ,2212代入J= Ml 2,由上

10、述兩式可得M = 3m3(2)由機(jī)械能守恒式121 , 2 1 一,-mv0 =mgl 及 _Jcc> =_MgQ1coS)222、,一一 ,一, 一 .1并利用(1)中所求得的關(guān)系可得e = ar c c0 s3四研討題1,計(jì)算一個(gè)剛體對某轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí),一般能不能認(rèn)為它的質(zhì)量集中于其質(zhì)心,成為一 質(zhì)點(diǎn),然后計(jì)算這個(gè)質(zhì)點(diǎn)對該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量？為什么？舉例說明你的結(jié)論.參考解答：不能.由于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 £ r：皿與各質(zhì)量元和它們對轉(zhuǎn)軸的距離有關(guān).如一勻質(zhì)圓盤對1 O ,一八,過其中央且垂直盤面軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為一mR ,假設(shè)按質(zhì)量全部集中于質(zhì)心計(jì)算,那么對同一軸2的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為零.2

11、,剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),它的動(dòng)能的增量只決定于外力對它做的功而與內(nèi)力的作用無關(guān).對于 非剛體也是這樣嗎？為什么？參考解答：根據(jù)動(dòng)能定理可知,質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能增量不僅決定于外力做的功,還決定于內(nèi)力做的功.由于剛體內(nèi)任意兩質(zhì)量元間的距離固定,或說在運(yùn)動(dòng)過程中兩質(zhì)量元的相對位移為零, 所以每一對內(nèi)力做功之和都為零.故剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),動(dòng)能的增量就只決定于外力的功而與 內(nèi)力的作用無關(guān)了.非剛體的各質(zhì)量元間一般都會有相對位移,所以不能保證每一對內(nèi)力做功之和都為零, 故動(dòng)能的增量不僅決定于外力做的功還決定于內(nèi)力做的功.3.乒乓球運(yùn)發(fā)動(dòng)在臺面上搓動(dòng)乒乓球,為什么乒乓球能自動(dòng)返回？參考解答：分析：乒乓球(設(shè)乒乓球?yàn)榫|(zhì)球殼)的運(yùn)動(dòng)可分解為球隨質(zhì)心的平動(dòng)和繞通過質(zhì)心的軸的 轉(zhuǎn)動(dòng).乒乓球在臺面上滾動(dòng)時(shí),受到的水平方向的力只有摩擦力.假設(shè)乒乓球平動(dòng)的初始速度Vc的方向如圖,那么摩擦力Fr的 方向一定向后.摩擦力的作用有二,對質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)來說,它使質(zhì)心平動(dòng)的速度 vc逐漸減?。粚@質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)來說,它將使轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度,燧漸變小.鼠 )*當(dāng)質(zhì)心平動(dòng)的速度vc= 0而角速度時(shí),乒乓球/)將返回.因此,要使乒乓球能自動(dòng)返回,初始速度vc和初始角速度%的大小應(yīng)滿足一定的關(guān)系