模糊邏輯資料講解

1、精品文檔模糊邏輯模糊集和模糊邏輯 畫(huà)概念起源于1965年，它是由美國(guó)控制論專家L.A.Zadeh首先提出的.模糊集合論是經(jīng)典集合論通過(guò)引入所謂隸屬函數(shù)的概念發(fā) 展起來(lái)的，目前已經(jīng)建立起一系列有關(guān)模糊數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論和應(yīng)用方法51-54.其基本思想是利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述并解釋具有不確定性(模糊性)的自然語(yǔ)言、 自然現(xiàn)象以及不能或很難建立其精確的數(shù)學(xué)模型的物理過(guò)程，使之被納入到定 量分析理論中，再利用數(shù)學(xué)理論和工具去解決這些問(wèn)題，達(dá)到更加符合實(shí)際的 目的.由于較之分明集合，模糊集合能更好地反映、描述和刻劃客觀實(shí)際問(wèn)題， 自它誕生之日起，不僅得到了數(shù)學(xué)工作者、理論分析家的推崇，而且也得到應(yīng) 用專家的鐘愛(ài)

2、.隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，模糊集理論和模糊邏輯在解決實(shí)際 問(wèn)題等方面已顯示出巨大的優(yōu)越性，廣泛并成功地運(yùn)用于控制理論、優(yōu)化過(guò)程、聚類分析、模式識(shí)別、知識(shí)表示、專家系統(tǒng)及信號(hào)與圖象的分析處理等諸多領(lǐng) 域55-65.在本文的討論中，除非特別說(shuō)明，一直規(guī)定U是一個(gè)帶有“+”運(yùn)算的Abelian 群.U的最典型的例子是d維Euclidean空間Rd和d維離散數(shù)值空間Zd ( d是 一個(gè)非負(fù)整數(shù)).定義U中任意元素x和y的差x y為x y 1 ,其中y 1表示元 素y在U中的逆元.1模糊集合包含關(guān)系的模糊化每一個(gè)映射f :U Q 1確定U上的一個(gè)模糊(子)集F ,對(duì)任意x U , 稱f(x) 0,1為

3、點(diǎn)x屬于集合F的程度，稱f為模糊集F的隸屬函數(shù).f和 F之間是相互唯一確定的.以后，我們將對(duì)f和F不加區(qū)別，統(tǒng)稱其為U上的 一個(gè)模糊集.記(U) 0,1U為U上的模糊集的全體.集合U的募集P(U)可以嵌入到(U)中.事實(shí)上，對(duì)任意A P(U),令Fa(x)1,xA0,xA則Fa(U),常稱Fa為集合A的特征函數(shù).在(U )上定義偏序“”：FiF2Fi(x) F2(x), x U, Fi,F2(U)則P(U)和(U)都構(gòu)成偏序集，且還是完備格.若規(guī)定F (U)的補(bǔ)“'”為F'(x) 1 F(x), x U那么，P(U)和(U)都形成完備的布爾格.精品文檔精品文檔1.1模糊邏輯運(yùn)算

4、定義1.1模糊合取C是從0,1 0,1 0, 12到0,1的二元運(yùn)算，滿足(1)單調(diào)性：C關(guān)于兩個(gè)變量均是非降的；(2)邊界條件：C(0, 0) C(0,1) C(1,0) 0, C(1,1) 1.若模糊合取C還滿足(3) C(1,s) C(s,1) s, s 0,1,則稱C是一個(gè)三角半范(簡(jiǎn)稱t半范).滿足(4)交換律：C(s,t) C(t,s), s,t 0,1；(5)結(jié)合律：C(s,C(t,r) C(C(s,t), r), s, t, r 0,1的三角半范C稱為一個(gè)三角范數(shù)，或t范數(shù).稱滿足C(s, s) s , s (0,1)的連續(xù)的t范數(shù)為一個(gè)Archimedean范數(shù).定義1.1中

5、的邊界條件是為了確保模糊合取 C是Boolean合取運(yùn)算的擴(kuò)張, 其中的單調(diào)性是使得C具有邏輯意義.常用的、比較典型的模糊合取運(yùn)算有C。(s, t)min(s, t), max(s, t) 10,max(s, t) 11)Lukasiewicz運(yùn)算： C1(s, t) max( 0, sC2(st) 2概率積運(yùn)算:st(s t st)C3(s,t)st0,s t2C4(s, t) st /(s t st), 0 s1,s tGodel Brouwer 運(yùn)算：C5(s, t)0t2 21min( s, t)Kleene Dienes運(yùn)算：C(s, t)0,st1t,st1Reichenbach

6、運(yùn)算：C(s, t)0,s t 1(s t 1)/s, s t 1Hamacher族運(yùn)算：當(dāng) r 1 時(shí)，C(s, t)tr (1 r)(s t st) 0,當(dāng) 0 r 1 時(shí)，C(s, t)(1 r)st rtr (1 r)(1 t st) 0,在這些模糊合取運(yùn)算中，Co到C5都是t范數(shù)(其中Ci到C4還是精品文檔精品文檔Archimedean范數(shù)),而且有C0 Ci C2 C3 C4 C5且對(duì)任意t范數(shù)T ,有Co T C5最后三種模糊合取運(yùn)算都不滿足交換律，因而它們都不是t范數(shù).直接由定義可知，如果C是一個(gè)模糊合取，則對(duì)任意的s 0,1,均有C(s, 0) C(0, s) 0.引理1.1

7、設(shè)C是一個(gè)Archimedean范數(shù)，則存在常數(shù)a 0,1),單調(diào)遞增函 數(shù) f :0,1a, 1, f(0) a ,使得C(s, t) f 1max( f(0), f(s)f(t) , s, t 0,1如果存在常數(shù)b 0,1),且g:0,1b,1是也單調(diào)遞增函數(shù)，g(0) b,則C(s, t) g 1max( g(0), g(s)g(t) , s, t 0,1當(dāng)且僅當(dāng)存在k 0,對(duì)任意s 0,1,有f(s) g(s)k.引理表明，任意Archimedean范數(shù)均可以唯一由一個(gè)遞增函數(shù)表示，常稱f為C的生成函數(shù).定義1.2模糊析取D是從0,12至打0,1的函數(shù)，滿足(1)單調(diào)性：D關(guān)于兩個(gè)變量

8、均是非降的；(2)邊界條件：D(0,0) 0, D(0,1) D(1,0) D(1,1) 1.若模糊析取D還滿足(3) D(0, s) D(s, 0) s, s 0,1則稱D為一個(gè)三角共腕半范(或稱s半范).滿足(4)交換律：D(s, t) D(t,s), s,t 0,1；(5)結(jié)合律：D(s, D(t,r) D(D(s,t), r), s, t, r 0,1的三角共腕半范D被稱之為一個(gè)三角共腕范數(shù)(t共腕范數(shù)，或s范數(shù)).定義1.3設(shè) 是0,1上的一個(gè)遞減函數(shù)，滿足 (0) 1 ,(1) 0 ,且是對(duì)合的(2(s) s, s 0,1),則稱 是0,1上的一個(gè)“負(fù)”.值得注意的是，“負(fù)”是不唯

9、一的.(s) 1 s是0,1上的一個(gè)典型的“負(fù)”， 通常稱之為“自然負(fù)”.除此之外，在0,1上還存在許多“負(fù)”，例如11 sw 7. 一(s)w , s 0,1 ,1 , w 01 s就是其中一類“負(fù)”.性質(zhì)1.1設(shè) 是0,1上的一個(gè)負(fù)，則 是一個(gè)嚴(yán)格遞減的連續(xù)函數(shù).而且還精品文檔精品文檔(叫 ti) sup(t),*即)叫其中J為任意指標(biāo)集，tii J 0,1.證明 如果 不是嚴(yán)格遞減的，則存在s, t 0,1, s t,使得(s)(t).由的對(duì)合性有，(t)( (s),即t s,矛盾.如果 在0,1上不連續(xù)，設(shè)so 0,1為 的一個(gè)不連續(xù)點(diǎn).若so (0,1),則 lim (s)t10,1

10、, lim (s) t2 0,1,且 t?t從而存在 t tj),使s s0s s0對(duì)任意s 0,1,(s) t .然而證明是容易的.易知，sup (ti)(infti),iJiJ(t) t,(t) 0,1,矛盾.如果 s。0,1,(supti) inf (ti).如果 sup (ti)(infti),則iJiJiJiJinf ti(sup(ti) inf2(tJinf ti,這是不可能的.因此得到iJiJiJiJ(inf ti)sup (ti)iJiJ同理可以證明(supti)inf (ti) iJiJ性質(zhì)1.2設(shè)f是從0,1到0,1上的一個(gè)嚴(yán)格遞增函數(shù)，f(0) 0,則1(5) max 0

11、, min 1, f (f (1) f (s)是0,1上的一個(gè)負(fù).證明 僅需證明滿足單調(diào)性，邊界條件(0) 1 , (1) 0)和對(duì)合性.直接驗(yàn)證即可.一個(gè)模糊合取C和一個(gè)模糊析取D被稱為關(guān)于給定的負(fù)是互為對(duì)偶的，如果C和D滿足D(s,t) (C( (s), (t), s,t 0,1(C( (s), (t)是事實(shí)上，任意給定一個(gè)模糊合取 C和一個(gè)負(fù),D(s,t)一個(gè)模糊析取.并且，這樣的C和D是互為對(duì)偶的.根據(jù)前面所列t范數(shù)和模 糊合取，給定一個(gè)負(fù)，容易得到與之對(duì)偶的s范數(shù)和模糊析取.定義1.4模糊蘊(yùn)涵I是從0,12至ij0,1的函數(shù)，滿足(1) I關(guān)于第一個(gè)變量是非增的，而關(guān)于第二個(gè)變量是非

12、降的；(2) 1(0,0)1(0,1) 1(1,1) 1, 1(1,0) 0.如果I是一個(gè)模糊蘊(yùn)涵，則對(duì)任意s 0,1,有I(s,1) I(0, s) 1.設(shè)g是0,1上的一個(gè)函數(shù)， 是0,1上的一個(gè)負(fù)，稱函數(shù)g* g為函數(shù)g 的負(fù)函數(shù)，簡(jiǎn)稱g*為g的負(fù).事實(shí)上，在對(duì)偶意義下，g*與g是互為負(fù)函數(shù)的. 特別地，給定一個(gè)負(fù)，一個(gè)模糊合取C和一個(gè)模糊蘊(yùn)涵I ,分別稱_ * _ *C (s, t) (C(s, (t) , I (s,t)(I(s, (t) , s,t 0,1精品文檔精品文檔為運(yùn)算C和I的負(fù).定理 1.1 設(shè) 是0,1上的一個(gè)負(fù)，C：0,120,1, I ：0,120,1,則(1) C

13、是0,1上的一個(gè)模糊合取當(dāng)且僅當(dāng)C是0,1上的一個(gè)模糊蘊(yùn)涵；(2) I是0,1上的一個(gè)模糊蘊(yùn)涵當(dāng)且僅當(dāng)I*是0,1上的一個(gè)模糊合取.證明直接驗(yàn)證即可證明.設(shè) 是一個(gè)負(fù)，C是一個(gè)模糊合取，則C*是一個(gè)模糊蘊(yùn)涵，通常稱之為模 糊合取C關(guān)于負(fù) 的模糊 蘊(yùn)涵，記為I .定義1.5給定0,1上的一個(gè)模糊合取C ,如果存在a (0,1,使得 C(1,a) 0 ,則稱a為C的一個(gè)零因子.換句話說(shuō)，如果對(duì)任意的s (0,1 , C(1, s) 0 ,則C沒(méi)有零因子.定義1.6給定0,1上的一個(gè)模糊合取C ,令I(lǐng)(s,t) supr 0, 1|C(s,r) t , s, t 0,1(2-1)稱I為模糊合取C的剩

14、余.需要指出的是，由(2-1)定義的I并不一定是模糊蘊(yùn)涵.可以證明，如果C 沒(méi)有零因子，則這樣的I是一個(gè)模糊蘊(yùn)涵，稱之為模糊合取 C的剩余蘊(yùn)涵，記 為Ir.任給一個(gè)沒(méi)有零因子的模糊合取，利用(2-1),可以很容易地計(jì)算出其剩 余蘊(yùn)涵.直接計(jì)算表明，當(dāng)取負(fù) (s) 1 s時(shí)，Godel Brouwer合取運(yùn)算的負(fù)( 蘊(yùn)涵)是Kleene Dienes合取運(yùn)算的剩余蘊(yùn)涵；Kleene Dienes合取運(yùn)算 的負(fù)( 蘊(yùn)涵)是Godel Brouwer合取運(yùn)算的剩余蘊(yùn)涵.Reichenbach合取運(yùn) 算的負(fù)( 蘊(yùn)涵)是概率積合取運(yùn)算C(s,t) st的剩余蘊(yùn)涵；概率積合取運(yùn)算 的負(fù)( 蘊(yùn)涵)則是Rei

15、chenbach合取運(yùn)算的剩余蘊(yùn)涵.而Lukasiewicz合取運(yùn) 算和Hamacher族合取運(yùn)算的負(fù)分別為它們對(duì)應(yīng)的剩余蘊(yùn)涵運(yùn)算，也就是說(shuō)，這 兩種運(yùn)算的 蘊(yùn)涵和R 蘊(yùn)涵是一致的.一般地，給定一個(gè)模糊蘊(yùn)涵I , N(s) I(s, 0)不一定是負(fù)，因?yàn)镹并不一 定滿足對(duì)合律.但是，當(dāng)C滿足C(s,1) s, s 0,1時(shí)，N(s) I (s,0)是一個(gè) 負(fù)，而且N (s)(s).定理 1.2 設(shè)C 是0,1上的一個(gè) Archimedean范數(shù)，則 N(s) I R(s, 0)是0,1 上的一個(gè)負(fù).證明 由Ir的定義及單調(diào)性知，是遞減的，且N(0) Ir(0,0) 1, N(1) Ir(1,0

16、) 0由C是一個(gè) Archimedean范數(shù)，則存在常數(shù)a 0,1),單調(diào)遞增函數(shù)f :0,1a, 1, f (0) a ,使得-1一QQC(s, t) f max( f(0), f(s)f(t) , s, t 0,1精品文檔精品文檔對(duì)任意s (0, 1,N(s) Ir(s,0) supr 0,1|C(s, r) 0 supr 0,1|maxf(0), f(s)f(r)f(0)supr 0,1| f(s)f(r) f(0) supr 0, 1| f(r) f(0)/ f(s) supr 0,1|r f 1f(0)/f(s) f 1f(0)/ f(s)N2(s) Ir(Ir(s,0),0)f 1

17、f(0)/ f(f 1(f(0)/f(s) f 1(f(s) s當(dāng)s 0時(shí)，N2(s) s是顯然的. 因此，N(s) Ir(s,0)是0,1上的一個(gè)負(fù).1.2模糊集合的包含度設(shè)A, B P(U ),則有下列等價(jià)結(jié)論：A By U, y A& y By U,C(FA(y), FB(y) 1(2-2)及A B y U , y A y B y U,FA(y)FB(y)y U, I(FA(y), FB(y) 1(2-3)這里，C和I分別表示 Boolean邏輯運(yùn)算中的合取 C(a, b) min(a,b)和蘊(yùn)涵 I (a, b) a b.用A B代表A B，表示集合A “撞擊” B.我們擴(kuò)展這

18、種關(guān)系以及兩個(gè)集合的包含關(guān)系到模糊集合上.定義1.7設(shè)F,G (U),用sup取代(2-2)中的(存在)，定義模糊集合G “撞擊”模糊集F的程度(F與G相交的程度)為|G F|,|G F |: supC(G(y), F(y) y u同樣，以inf取代(2-3)中的(任意)，定義模糊集合G包含于模糊集合F中的程度為|G F|,|G F|: inU I(G(y),F(y)這里，C和I分別表示某種給定的模糊合取和模糊蘊(yùn)涵運(yùn)算. 下列性質(zhì)是容易驗(yàn)證的.性質(zhì)1.3設(shè)F,G (U),則有|G F | 1, |G F | 1精品文檔精品文檔如果F,G(U)均是分明集合，則F G |GF|1,GF|GF|1值

19、得注意的是，對(duì)模糊集F,G (U),若按G F G(x) F(x),x U 定義模糊集的包含關(guān)系，則G F |G F | 1 一般是不成立的.但是，我們有性質(zhì)1.4設(shè)模糊蘊(yùn)涵I滿足I (s, t) 1s t ,則G F |G F| 1證明 ：對(duì)任意 x U,由 G F G(x) F(x),知 I(G(x), F(x) 1, 因而|G F| xUI(G(x),F(x) 1:由 |G F | 1 ,對(duì)任意 x U ,有 I(G(x), F(x) 1 ,從而 G F . 容易驗(yàn)證，如果沒(méi)有零因子的模糊合取C滿足C(s,1) s, s 0,1, I為C 的剩余蘊(yùn)涵，則性質(zhì)1.4成立.特別地，如果取I為

20、Godel Brouwer模糊合取 C min的剩余蘊(yùn)涵，則該定理自然成立.性質(zhì)1.5設(shè)F,G (U),則有Fi | |G F2 |;Fi | |G F2|;Fx0 11G F |,其中(1) GiG2|GiF | |G2F |,FiF2|G(2) GiG2|G2F | |GiF | ,FiF2|G(3)對(duì)任意 x0 U , |Gx0 Fx0 11G F |, |GX0Gxo , Fxo分別表示F , G沿點(diǎn)x0的平移模糊集，Gxo(X)G(x x°),F»(x) F(x x0) , x U .證明 由模糊蘊(yùn)涵C和模糊合取I的單調(diào)性，(1) , (2)的證明是容易的. 下面

21、證明(3).|Gx0 FxoI supC(G“(y), Fx0(y)y usupC(G(y x°), F(y x。)y usup C(G(y), F(y')y' x0 UsupC(G(y), F(y') |G F | y' U|G&F“| inU I(Gx0(y),Fx0(y)inf I(G(y xq),F(y x°) yUinf I(G(y), F(y')y x0 Uinf I(G(y),F(y') |G F | y' U性質(zhì)1.6設(shè)J, J2為兩個(gè)任意指標(biāo)集，F(xiàn)» j , Gjj j2(U), 若

22、定義 精品文檔精品文檔(E)(x) supR(x), (FJ(x)傅小，X u，F(xiàn),G(U),則有i JiFiiJiFiFi i JiiJiFisupGi Jiinf G i JisupG i Jiinf G i Jij J2GjGjGjjJ2GjsupGj j J2inf Gj J2KGsupGjj J2i Jii J1i Ji證明 利用|G F |和|G F |的定義，直接驗(yàn)證即可證明.i.3模糊集的C Minkowski和擴(kuò)張?jiān)硎菍⒎置饔成滢D(zhuǎn)化為模糊映射的重要橋梁，它在模糊集合論中具 有重要的意義.本節(jié)將利用擴(kuò)張?jiān)矶x模糊集的 C Minkowski和運(yùn)算.擴(kuò)張?jiān)?設(shè)(U),(V)

23、分別為非空集U, V上的模糊集合全體，p為一個(gè)非負(fù)整數(shù)，每一個(gè)從Up到V的p元(點(diǎn)態(tài))映射f均可以以如下方式擴(kuò)展為 從(U)p到(V)的p元模糊映射f: (U)p (V).對(duì)任意Fi(U),i i, 2, p , y V ,f(Fi,F2, Fp)(y)supC(Fp(Xp), Fp(Xp i), , Fi(Xi) | f (Xi, X2, Xp) y, Xi U)若f(Xi,X2, ,Xp) y在U p上無(wú)解，則規(guī)定f(Fi,F2, ,Fp)(y) 0,其中的C是 0,i上一給定的滿足結(jié)合律的模糊合取運(yùn)算.例如，設(shè)C為給定的某種模糊合取運(yùn)算.記 為U上的某種分明運(yùn)算(比如： 加、減或乘運(yùn)算)

24、，c為對(duì)應(yīng)運(yùn)算 的模糊C 擴(kuò)張，則對(duì)U上的兩個(gè)模糊集 Fi, F2 (U),有 Fi c F2 (U),(Fi c Fz)(x) supC(F2(X2), Fi(Xi) | x x1 x2, Xi, x2 U) , x U特別地，取 ，定義模糊集Fi與F2的模糊C Minkowski和為模糊集 Fi c F2(U),具體地，對(duì)任意x U ,(Fi c F2)(x)sup C(F2(X2), Fi(xi) supC(F2(x y), Fi(y)x Xi X2y U如果Fi和F2都是分明集，則Fi °F?也是一個(gè)分明集，并且X Fi CF2XXix2,XiFi ,X2F2在下一章中，我們

25、將繼續(xù)探討模糊集的 C Minkowski和運(yùn)算及其性質(zhì).精品文檔精品文檔2模糊邏輯運(yùn)算間的伴隨關(guān)系在以下的討論中，一直記inf和min為，記sup和max為.定義2.1設(shè)C和I分別是0,1上的模糊合取和模糊蘊(yùn)涵運(yùn)算，如果對(duì)每個(gè)a 0,1,任意 s,t 0,1,均有C(a,s) t s I(a, t)(2-4)則稱I (a,)和C(a,)在0,1上滿足伴隨關(guān)系，也稱模糊蘊(yùn)涵I和模糊合取C在 0,1上滿足伴隨關(guān)系.注意：0, 1上滿足伴隨關(guān)系的兩個(gè)二元函數(shù)I和C并不一定是模糊蘊(yùn)涵和 模糊合取.定理2.1如果0,1上的模糊蘊(yùn)涵I和模糊合取C滿足伴隨關(guān)系，則對(duì)任意的 s,t 0,1,有(1) C(s

26、, I(s, t) t I(s,C(s, t)；(2) I(s,t)r 0,1|C(s, r) t；(3) C(s,t) r 0,1 |t I(s,r)；(4) C(1, s) sI(1,s) s.證明(1):在(2-4)中，取 t I(s, r),則有 C(s, I(s, r) r；取 r C(s, t), 則有t I (s,C(s,t).從而C(s, I(s,t) t I(s,C(s,t)(5) :I(s,t)r0,1|rI(s,t)r0, 1|C(s,r) t.(6) :C(s,t)r0,1|C(s,t) rr0,1|t I (s, r).(4):由(2)、 (3),直接可以得到(4)的

27、結(jié)論.根據(jù)定理2.1,給定一個(gè)模糊合取C和模糊蘊(yùn)涵I ,如果(I,C)滿足伴隨關(guān) 系，則C和I可以相互確定.下面的定理表明，這樣的C和I相互之間還是唯一 確定的.定理2.2設(shè)模糊蘊(yùn)涵I和模糊合取Ci分別都滿足伴隨關(guān)系，i 1,2,則 Ci C2.類似地，設(shè)模糊蘊(yùn)涵Ii和模糊合取C分別滿足伴隨關(guān)系，i 1,2,則 I 1 I 2 .證明 設(shè)(I,Ci) , (I,C2)都滿足伴隨關(guān)系，則對(duì)任意s, t, r 0,1,有Ci(s, t)r t I(s, r), C2(s, t) r t I(s, r)從而有Ci(s, t) rC2(s, t) r因此，對(duì)任意的s,t 0,1,C1(s,t) C2(

28、s, t)即 C1 C2.精品文檔精品文檔同理可以證明定理的第二部分.一般來(lái)講，給定一個(gè)模糊合取C ,若通過(guò)(2-1)得到的I為其剩余蘊(yùn)涵，那 么，(I,C)并不一定滿足伴隨關(guān)系.但是，我們有定理2.3模糊蘊(yùn)涵I和模糊合取C滿足伴隨關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng)I是模糊合取C 的剩余蘊(yùn)涵，并且C關(guān)于第二個(gè)變量是下半連續(xù)的.證明 設(shè)(I, C)是一對(duì)伴隨關(guān)系，則對(duì)任意s,t, r 0,1,有C(s, t) r t I (s, r)因而z 0,1|C(s, z) r z 0,1 |z I(s,r) I (s, r)對(duì)任意的 s, r,ti 0,1 , i J ,C(sti) r , ti I(s, r)i Ji J

29、tiI (s, r), i JC(s, ti) r, i J .,C(s,ti) r iJ因而C(s,ijti) /")即C關(guān)于第二個(gè)變量是下半連續(xù)的.反之，對(duì)任意的 s,t,r 0,1,設(shè) r I(s,t) z 0,1|C(s, z) t,則 C(s, r) C(s, z 0,1|C(s, z) t)C(s, z)|C(s, z) t t如果C(s, r) t,由I是C的剩余，立即得r I(s,t).這就證明了(I,C)是一對(duì) 伴隨關(guān)系.定理2.4設(shè)無(wú)零因子的模糊合取C關(guān)于第二個(gè)變量是下半連續(xù)的，則存在 唯一一個(gè)模糊蘊(yùn)涵I ,使得(I,C)滿足伴隨關(guān)系.同樣地，給定一個(gè)模糊蘊(yùn)涵I

30、, 如果I關(guān)于第二個(gè)變量是上半連續(xù)的，且對(duì)任意t 0,1),均有I(1, t) 1 ,則存 在唯一一個(gè)模糊合取C ,使得(I,C)滿足伴隨關(guān)系.證明對(duì)任意s, t, r 0,1,令I(lǐng)(s, t) z 0,1|C(s, z) t則由C無(wú)零因子知，I是一個(gè)模糊蘊(yùn)涵.若C(s,t) r ,則由I的構(gòu)造形式，直接有t I(s, r).若t I(s,r),即t z 0,1|C(s,z) r,由C關(guān)于第二個(gè)變量是下半連 續(xù)的及C的單調(diào)性，有C(s,t) C(s, z 0,1|C(s, z) r)C(s, z)|z 0,1, C(s, z) r r因此，(I, C)滿足伴隨關(guān)系.I的唯一性由定理2.2直接得

31、到.精品文檔精品文檔定理的第二部分類似地可以證明.定理2.5如果模糊蘊(yùn)涵I和模糊合取C滿足伴隨關(guān)系，則對(duì)每一個(gè)s 0,1 和任意tj j 0,1,均有I(s,. ti)-I(s,ti), C(s,. ti) , C(s,ti)I Ji Ji Ji J也就是說(shuō)，對(duì)每一個(gè)s 0,1 , I(s,)是0,1上的一個(gè)上半連續(xù)函數(shù)，而C(s,)是 0,1上的一個(gè)下半連續(xù)函數(shù).證明 由(I,C)滿足伴隨關(guān)系，則對(duì)任意s, r 0,1和tj0,1,r I(sti)C(s, r) , tiiJiJC(s,r) ti, i J rI(s,t)i Jr . , I (s, ti) I J 因此 I(s,. ti)

32、 , I(s,ti) I JI J又 C(sti) r . ti I(s, r)I JI JtiI(s, r),i JC(s,ti) r, i J .,C(s,ti)riJ 從而 C(s,. ti) , C(s,ti) iJiJ定理成立. 定理2.6設(shè)(I, C)滿足伴隨關(guān)系，則對(duì)任意t 0,1和sj 0,1,C(. Si,t) C(s,t)I(s,t) , I(si,t)iJiJiJiJ證明 對(duì)任意r, t 0,1和s j 0,1, :r I(. Si,t) C(. Si,r) t , C(s,r) t iJi Ji JC(si,r) t, i J rI (si, t) i Jr I (si , t) iJ 從而I(.s,t) . I(si,t) iJiJ:C( s