江蘇南京師大附中高三學(xué)情調(diào)研卷數(shù)學(xué)

1、命題“x已知函數(shù)f (x)2 sin( x )(0,0的圖象如圖所示，貝 U=_ .有五條線段，其長(zhǎng)度分別為 1 , 2, 4, 5, 7.現(xiàn)任取 兩條，則這兩條線段的長(zhǎng)度之和為偶數(shù)的概率是 37設(shè)曲線f(x) 2ax a 在點(diǎn)(1, a)處的切線與直線2x y 10平行，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)&在ABC中，已知 BC=1,BABC的面積為.3，則 AC 的長(zhǎng)為_(kāi).39 已知正方形 ABCD 的四個(gè)頂點(diǎn)在橢圓 $占 (a b 0)上, AB/x軸，AD 過(guò)左焦點(diǎn) F,則該橢圓a b的離心率為_(kāi).210 .已知函數(shù)f (x) x abx a 2b.若f (0)11.如圖，已知 C 為OAB邊

2、AB 上一點(diǎn)，且AC 2CB,OC mOA nOB(m, n R),貝H mn =_.12 .右圖是一個(gè)算法的流程圖，最后輸出的TJ4,則f(1)的最大值為-(11南京師大附中2011屆高三學(xué)情調(diào)研卷數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷包括填空題(第 1 題第 14 題)、解答題(第 15 題第 20 題)兩部分。本試卷滿分為 160 分，考試時(shí)間為 120 分鐘。2 答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級(jí)、學(xué)號(hào)寫(xiě)在答卷紙的密封線內(nèi)。試題的答案寫(xiě)在答卷 紙上對(duì)應(yīng)題目的答案空格內(nèi)。考試結(jié)束后，交回答卷紙。、填空題：本大題共 14 小題，每小題 5 分，共 70 分。請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答卷紙相應(yīng)位置 上。1記

3、函數(shù)f(x) lg(3 x)的定義域?yàn)?A,則A N中有a bi2.已知a 3 i(a,b R,i為虛數(shù)單位)，則a b=_ .2 i3某學(xué)校高一年級(jí) 500 名學(xué)生中，血型為 O 型的有 200 人，A 型的有 125 人，B 型的有 125 人，AB 型的 有 50 人，為了研究血型與色弱之間的關(guān)系，用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為40 的樣本，則在血型為 O 型的學(xué)生中應(yīng)抽取人。_ 個(gè)元素。13 設(shè)f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，且當(dāng)x 0時(shí)，f(x) log2x.已知a f(4),b f( 1),c fg),則a, b,c的大小關(guān)系為_(kāi) (用“ ”連結(jié))14已知a,b,c(a b c)

4、成等差數(shù)列，將其中的兩個(gè)數(shù)交換，得2 2到的三數(shù)依次成等比數(shù)列，則*2的值為b二、解答題：本大題共 6 小題，共計(jì) 90 分。請(qǐng)?jiān)诖鹁礞?-心域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15 (本小題滿分 14 分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(6,0), P(cos ,sin),其中0516 (本小題滿分 14 分)如圖，在四棱錐 P ABCD 中，AB/ CD,CD=2AB,AB 平面 PAD, E 為 PC 的中點(diǎn).(1) 求證：BE/平面 PAD;(2) 若 AD PB,求證：PA 平面 ABC D.(1) 若cos5,求證：PA6PQ;(2)若PAPO ,求sin(21

5、7 .(本小題滿分 14 分)某專賣(mài)店經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查得知，一種商品的月銷售量Q (單位：噸)與銷售價(jià)格x(單位：萬(wàn)元/噸)的關(guān)系可用下圖的一條折線表示.(1) 寫(xiě)出月銷售量 Q 關(guān)于銷售價(jià)格x的函數(shù)關(guān)系；(2)如果該商品的進(jìn)價(jià)為 5 萬(wàn)元/噸，除去進(jìn)貨成本外，專賣(mài)店銷售該商品每月的固定成本為10 萬(wàn)元,問(wèn)該商品每噸定價(jià)多少萬(wàn)元時(shí)，銷售該商品的月利潤(rùn)最大？并求月利潤(rùn)的最大值.18 .(本小題滿分 16 分)12已知函數(shù)f (x) x2(1)求 m 的值；(2)求函數(shù)f (x)的單調(diào)增區(qū)間.(a m)x a1nx,且f(1)0,其中a、m R.19 .(本小題滿分 16 分)(1)若數(shù)列an是等差數(shù)列

6、，求a1的值;(2)當(dāng) 62時(shí)，求數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和Sn;附加題注意事項(xiàng)：1附加題供選修物理的考生使用。2 .本試卷共 40 分，考試時(shí)間 30 分鐘。3 .答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級(jí)、學(xué)號(hào)寫(xiě)在答題紙的密封線內(nèi)。試題的答案寫(xiě)在答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案空格內(nèi)。考試結(jié)束后，交回答題紙。已知圓 M 的圓心 M 在 y 軸上，半徑為 1 .直線l : y在直線|的下方.(1)求圓 M 的方程；4 : 52x 2被圓 M 所截得的弦長(zhǎng)為，且圓心 M5(2)設(shè)A(t,O), B(t 5,0)( 4 t1).若 AC,BC 是圓 M 的切線，求ABC面積的最小值.20 .(本小題滿分 16

7、分)已知數(shù)列an滿足，an 1an4n 3(n N ).(3)若對(duì)任意 nN ,都有2 2anan 1anan 15成立，求a1的取值范圍.921.【選做題】在 A、B、C、D 四小題中只能選做 2 題，每小題 10 分，共計(jì) 20 分。請(qǐng)?jiān)诖鹁砑堉付▍^(qū)域內(nèi) 作答。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。A.選修 4 1:幾何證明選講如圖，AD 是BAC的平分線，OO 過(guò)點(diǎn) A 且與 BC 邊相切于點(diǎn) D,與 AB AC 分別交于 E, F,求證: EF/ BCB.選修 4 2:矩陣與變換C.選修 44 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程D.選修 4 5:不等式選講已知a,b是正數(shù)，求證(a -)(2b)b

8、2a 2已知a,b R,若矩陣M1,ab,3所對(duì)應(yīng)的變換把直線l:2x y 3變換為自身，求a,b的值.將參數(shù)方程2(t )14(t(t為參數(shù))化為普通方程.【必做題】第 22 題、第 23 題，每題 10 分，共計(jì) 20 分。請(qǐng)?jiān)诖鹁砑堉付▍^(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫(xiě)出文 字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。22 袋中裝著標(biāo)有數(shù)字 1 , 2, 3, 4 的卡片各 1 張，甲從袋中任取 2 張卡片(每張卡片被取出的可能性相 等)，并記下卡面數(shù)字和為 X,然后把卡片放回，叫做一次操作。(1) 求在一次操作中隨機(jī)變量 X 的概率分布和數(shù)學(xué)期望 E ( X);(2)甲進(jìn)行四次操作，求至少有兩次X 不大于 E (X

9、)的概率.23 .在直三棱柱 ABC A1B1C1中，底面ABC是直角三角形,(1) 求異面直線 DC1,B1C 所成角的余弦值；(2) 求二面角 B1 DC C1的平面角的余弦值.參考答案說(shuō)明:1 本解答給出的解法供參考。如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分 標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則。2 對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后續(xù)部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度， 可視影響的程度決定給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有 較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分。3 解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。4 只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，填空題不給

10、中間分?jǐn)?shù)。一、填空題：本大題共14 小題，每小題 5 分 卜，共 70 分。12263.164x R, x24x 205 -6.23517 -8139.、5 110.73221112-213.cab14.209、解答題： （本大題共 6 小題，共計(jì) 90 分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15 （本小題滿分 14 分）（方法一）（6（6解：（1）由題設(shè)知所以PAPAcosa, sin a),PO(cosa, sin a).POcosa)(cosa)(sin a)26 cosa52 . 2cos a sin a6 cosa51.0.故PA PO.因?yàn)閏osa(2)因?yàn)閨PAPO|,所

11、以PA一2PO所以PA PO.511亠511、因?yàn)閏osa,0 a,所以sin a故P（二,).6266611115、11因此PA(:),PO(,).4分30666115112因?yàn)镻A PO(-)()0.3066（方法二）6,所以PA PO16 .（本小題滿分 14 分） 證明：（1）（方法一）取 PD 中點(diǎn) F,連結(jié) EF, AF. 因?yàn)?E 是 PC 的中點(diǎn)，F(xiàn) 是PD 的中點(diǎn)， 所以 EF/ CD,且 CD=2EF 又因?yàn)?AB/ CD,CD=2AB, 所以 EF=AB 即四邊形 ABEF 是平行四邊形.因此 BE/ AF. . 5 分又AF平面 PAD,BE平面 PAD, 所以 BE

12、/平面 PAD.8 分（方法二）延長(zhǎng) DA、CB,交于點(diǎn) F,連結(jié) PF. 因?yàn)?AB/ CD,CD=2AB, 所以 B 為 CF 的中點(diǎn).又因?yàn)?E 為 PC 的中點(diǎn)， 所以 BE / PF.5 分因?yàn)镻F平面 PAD,BE平面 PAD, 所以 BE /平面 PAD.8 分（方法三）取 CD 中點(diǎn) F,連結(jié) EF, BF. 因?yàn)?E 為 PC 中點(diǎn)，F(xiàn) 為 CD 中點(diǎn)， 所以 EF/ PD.因?yàn)镻D平面 PAD,EF平面 PAD, 所以 EF/平面 PA D.2 分因?yàn)?F 為 CD 中點(diǎn)，所以 CD=2FD.又 CD=2AB,AB/ CD,故AB=FD,即四邊形 ABFD 為平行四邊形，所

13、以因?yàn)锳D平面 PAD,BF平面 PAD 所以BF/平面PAD.因?yàn)锽F EF F,BF ,EF平面 BEF,所以平面 BEF/平面 PAD. .因?yàn)锽E平面 BEF,所以 BE/平面 PA D. .(2)因?yàn)?AB 平面 PAD,PAAD平面 PAD,所以AB AD, AB PA.10因?yàn)锳D AB, AD PB, AB PB B,即（cosa.2sin a2 . 2cos a sin a.3解得cosa.9分5因?yàn)? a,所以sina425因此sin 2a2sin acosa242,cos2a 2cos a 17252512 分從而sin(2a2a-cos2a24222517一25014

14、分BF/ AD.所以AD平面 PA B. . 12 分又PA平面 PAB,所以AD PA因?yàn)锳BAD A,故PA面 ABCD.14 分17.(本小題滿 分 14 分)5x2解：(1)由題設(shè)知，當(dāng)5x 8時(shí)，Q25;當(dāng)8 x12時(shí)，Qx 13;.4 分所以Q5x 25,5x8,6 分2x 13,8x12.(2)月利潤(rùn)為f(x) Q (x 5)10.由( 1)可知，f(x)(ix 25)(x 5) 10,5 x 8,(x 13)(x 5) 10,8 x 12,5,15245(x)5x8門(mén)八228(x9)268x 12所以當(dāng)x5,8時(shí)，x , f (x)最大；當(dāng)x (8,12時(shí)，x 9, f (x)

15、最大6.2 8所以當(dāng)x 9時(shí)，f (x)取得最大值 6.答：該商品每噸定價(jià)為 9 萬(wàn)元時(shí)，銷售該商品的月利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為6 萬(wàn)元。14 分18.(本小題滿分 16 分)解：(1 )由題設(shè)知，函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?0,),af (x) x (a m) . 2 分x由f (1)0得1(am) a0,解得m=1.4 分(2)由(1)得f (x)x (a1)-x2x(a 1)xa(xa)(x 1). 6 分xx當(dāng)a 1時(shí)，由f (x)0,得xa或0 x1,此時(shí)f (x)的單調(diào)增區(qū)間為(a,)和(0,a) . 9 分當(dāng)a 1時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,).11 分當(dāng)0 a 1時(shí)，由f (x)

16、0,得x 1或0 x a.此時(shí)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1,)和(0,a).14 分此時(shí)0時(shí)，由f (x)0,得xf(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1,1,).綜上，當(dāng)a 1時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(a，)和(0,1)；當(dāng)a 1時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,當(dāng)0 a 1時(shí)，f (x)的單調(diào)增區(qū)間為(1,)和(0,a)：當(dāng)a(1, )16 分(本小題滿分 16 分)解：(1 )設(shè)M (0,b).由題設(shè)知，M 到直線|的距離是：1所以Lj邁,解得b 1或b 3.55因?yàn)閳A心M在直線|的下方，所以b 1，即所求圓 M 的方程為x2(y 1)21.(2)當(dāng)直線 AC,BC 的斜率都存在,直線 AC 的斜率kA

17、ctan2 MAO即42_L1右同理直線 BC 的斜率kBC2(t 5)(t 5)2);0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為所以直線 AC 的方程為y2t廠(Xt)，2(t 5)直線 BC 的方程為y2(t 5)21(xt 5).解方程組所以yF(x t),皆(x2t2t25t 12tt2110 分得.xt 5)10t22k2t210t2t 52厶t 5t 1 t 5t 1,y .212 分當(dāng)0 a 1時(shí)，由f (x)0,得x 1或0 x a.(a1a?) (a3a4)(an 1an)197)2150因?yàn)? t 1,所以t25t 13,所以y451故當(dāng)t時(shí)，ABC的面積取最小值522當(dāng)直線 AC, B

18、C 的斜率有一個(gè)不存在時(shí)，即t4或t1時(shí)，易求得ABC的面積為20382i 3 5012521 N.14 分綜上，ai的取值范圍是（，42,）.16 分5綜上，當(dāng)t時(shí)，ABC的面積的最小值為220 .（本小題滿分 16 分）1252116 分解： （1）若數(shù)列an是等差數(shù)列，則an(n1)d, an 1a1nd.由an 1an4n3,得(aind) ai(n 1)d4n 3,即2d4,2a1d3,解得，d(2)由an1an4n(n N ),得an2an 14n1(n N ).兩式相減，得an2an4.所以數(shù)列a2n 1是首項(xiàng)為a1，公差為 4 的等差數(shù).數(shù)列a2n是首項(xiàng)為a2，公差為 4 的等差數(shù)列,由a2a-i1, a12,得 a21,所以an2n,n為奇數(shù)，2n 5, n為偶數(shù).當(dāng)n 為奇數(shù)時(shí)，an2n, an12n3.Sna1a2a3(aia2)(a3a4)(an 2an 1) an(1 4n 11)(4n11)2n2n2n23n當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Sna1a2a3an綜上，