六年級金牌奧數(shù)培優(yōu)-第 12 講：計數(shù)綜合

1、六年級奧數(shù)講義第十二講 計數(shù)綜合教學目標1.使學生正確理解排列、組合的意義；正確區(qū)分排列、組合問題；2.了解排列、排列數(shù)和組合數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的排列或組合；3.掌握排列組合的計算公式以及組合數(shù)與排列數(shù)之間的關系；4.會、分析與數(shù)字有關的計數(shù)問題，以及與其他專題的綜合運用，培養(yǎng)學生的抽象能力和邏輯思維能力；通過本講的學習，對排列組合的一些計數(shù)問題進行歸納總結，重點掌握排列與組合的聯(lián)系和區(qū)別，并掌握一些排列組合技巧，如捆綁法、擋板法等。5.根據(jù)不同題目靈活運用計數(shù)方法進行計數(shù)。知識點撥：一、排列一般地，從個不同的元素中取出()個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素

2、中取出個元素的一個排列根據(jù)排列的定義，兩個排列相同，指的是兩個排列的元素完全相同，并且元素的排列順序也相同如果兩個排列中，元素不完全相同，它們是不同的排列；如果兩個排列中，雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列排列的基本問題是計算排列的總個數(shù)從個不同的元素中取出()個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同的元素的排列中取出個元素的排列數(shù)，我們把它記做根據(jù)排列的定義，做一個元素的排列由個步驟完成：步驟：從個不同的元素中任取一個元素排在第一位，有種方法；步驟：從剩下的()個元素中任取一個元素排在第二位，有()種方法；步驟：從剩下的個元素中任取一個元素排在第個位置，有(種)方法；由乘

3、法原理，從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)是，即，這里，且等號右邊從開始，后面每個因數(shù)比前一個因數(shù)小，共有個因數(shù)相乘。二、組合一般地，從個不同元素中取出個()元素組成一組不計較組內(nèi)各元素的次序，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合 從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的順序有關，而組合與順序無關如果兩個組合中的元素完全相同，那么不管元素的順序如何，都是相同的組合，只有當兩個組合中的元素不完全相同時，才是不同的組合從個不同元素中取出個元素()的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個不同元素的組合數(shù)記作。一般地，求從個不同元素中取出的個元素的排列數(shù)可分成以下兩步：第一步：從個不同元素中取出個元

4、素組成一組，共有種方法；第二步：將每一個組合中的個元素進行全排列，共有種排法根據(jù)乘法原理，得到因此，組合數(shù)這個公式就是組合數(shù)公式例題精講：一、 排列組合的應用【例 1】 小新、阿呆等七個同學照像，分別求出在下列條件下有多少種站法？（1）七個人排成一排； （2）七個人排成一排，小新必須站在中間.（3）七個人排成一排，小新、阿呆必須有一人站在中間.（4）七個人排成一排，小新、阿呆必須都站在兩邊.（5）七個人排成一排，小新、阿呆都沒有站在邊上.（6）七個人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人.（7）七個人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排?！窘馕觥?（1）（種）。（2）只需排其余6個人站剩

5、下的6個位置（種）.（3）先確定中間的位置站誰，冉排剩下的6個位置2×=1440(種)（4）先排兩邊，再排剩下的5個位置，其中兩邊的小新和阿呆還可以互換位置 (種)（5）先排兩邊，從除小新、阿呆之外的5個人中選2人，再排剩下的5個人，（種）.（6）七個人排成一排時，7個位置就是各不相同的現(xiàn)在排成兩排，不管前后排各有幾個人，7個位置還是各不相同的，所以本題實質(zhì)就是7個元素的全排列（種）.（7）可以分為兩類情況：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，兩種情況是對等的，所以只要求出其中一種的排法數(shù)，再乘以2即可4×3××2=2880(種)排隊問題，一

6、般先考慮特殊情況再去全排列。【例 2】 用1、2、3、4、5、6可以組成多少個沒有重復數(shù)字的個位是5的三位數(shù)？【解析】 個位數(shù)字已知，問題變成從從個元素中取個元素的排列問題，已知，根據(jù)排列數(shù)公式，一共可以組成(個)符合題意的三位數(shù)?！眷柟獭?用1、2、3、4、5這五個數(shù)字可組成多少個比大且百位數(shù)字不是的無重復數(shù)字的五位數(shù)？【解析】 可以分兩類來看： 把3排在最高位上，其余4個數(shù)可以任意放到其余4個數(shù)位上，是4個元素全排列的問題，有(種)放法，對應24個不同的五位數(shù)； 把2，4，5放在最高位上，有3種選擇，百位上有除已確定的最高位數(shù)字和3之外的3個數(shù)字可以選擇，有3種選擇，其余的3個數(shù)字可以任意

7、放到其余3個數(shù)位上，有種選擇由乘法原理，可以組成(個)不同的五位數(shù)。由加法原理，可以組成(個)不同的五位數(shù)?！眷柟獭?用0到9十個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)；若將這些四位數(shù)按從小到大的順序排列，則5687是第幾個數(shù)？【解析】 從高位到低位逐層分類： 千位上排，或時，千位有種選擇，而百、十、個位可以從中除千位已確定的數(shù)字之外的個數(shù)字中選擇，因為數(shù)字不重復，也就是從個元素中取個的排列問題，所以百、十、個位可有(種)排列方式由乘法原理，有(個) 千位上排，百位上排時，千位有種選擇，百位有種選擇，十、個位可以從剩下的八個數(shù)字中選擇也就是從個元素中取個的排列問題，即，由乘法原理，有(個) 千位上排，百

8、位上排，十位上排，時，個位也從剩下的七個數(shù)字中選擇，有(個) 千位上排，百位上排，十位上排時，比小的數(shù)的個位可以選擇，共個綜上所述，比小的四位數(shù)有(個)，故比小是第個四位數(shù)【例 3】 用、這五個數(shù)字，不許重復，位數(shù)不限，能寫出多少個3的倍數(shù)？【解析】 按位數(shù)來分類考慮： 一位數(shù)只有個； 兩位數(shù)：由與，與，與，與四組數(shù)字組成，每一組可以組成(個)不同的兩位數(shù)，共可組成(個)不同的兩位數(shù)； 三位數(shù)：由，與；，與；，與；，與四組數(shù)字組成，每一組可以組成(個)不同的三位數(shù)，共可組成(個)不同的三位數(shù)； 四位數(shù)：可由，這四個數(shù)字組成，有(個)不同的四位數(shù)； 五位數(shù)：可由，組成，共有(個)不同的五位數(shù)由加

9、法原理，一共有(個)能被整除的數(shù)，即的倍數(shù)【鞏固】 用1、2、3、4、5、6六張數(shù)字卡片，每次取三張卡片組成三位數(shù)，一共可以組成多少個不同的偶數(shù)？【解析】 由于組成偶數(shù)，個位上的數(shù)應從，中選一張，有種選法；十位和百位上的數(shù)可以從剩下的張中選二張，有(種)選法由乘法原理，一共可以組成(個)不同的偶數(shù)【例 4】 某管理員忘記了自己小保險柜的密碼數(shù)字，只記得是由四個非數(shù)碼組成，且四個數(shù)碼之和是，那么確保打開保險柜至少要試幾次？【解析】 四個非數(shù)碼之和等于9的組合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六種。第一種中，可以組成多少個密碼呢？只要考

10、慮的位置就可以了，可以任意選擇個位置中的一個，其余位置放，共有種選擇；第二種中，先考慮放，有種選擇，再考慮的位置，可以有種選擇，剩下的位置放，共有(種)選擇同樣的方法，可以得出第三、四、五種都各有種選擇最后一種，與第一種的情形相似，的位置有種選擇，其余位置放，共有種選擇綜上所述，由加法原理，一共可以組成(個)不同的四位數(shù)，即確保能打開保險柜至少要試次【例 5】 兩對三胞胎喜相逢，他們圍坐在桌子旁，要求每個人都不與自己的同胞兄妹相鄰，(同一位置上坐不同的人算不同的坐法)，那么共有多少種不同的坐法？【解析】 第一個位置在個人中任選一個，有(種)選法，第二個位置在另一胞胎的人中任選一個，有(種)選法

11、同理，第，個位置依次有，種選法由乘法原理，不同的坐法有(種)?！纠?6】 一種電子表在6時24分30秒時的顯示為6:24：30，那么從8時到9時這段時間里，此表的5個數(shù)字都不相同的時刻一共有多少個?【解析】 設A:BC是滿足題意的時刻，有A為8，B、D應從0，1，2，3，4，5這6個數(shù)字中選擇兩個不同的數(shù)字，所以有種選法，而C、E應從剩下的7個數(shù)字中選擇兩個不同的數(shù)字，所以有種選法，所以共有×=1260種選法。從8時到9時這段時間里，此表的5個數(shù)字都不相同的時刻一共有1260個。【例 7】 一個六位數(shù)能被11整除，它的各位數(shù)字非零且互不相同的將這個六位數(shù)的6個數(shù)字重新排列，最少還能排

12、出多少個能被11整除的六位數(shù)?【解析】 設這個六位數(shù)為，則有、的差為0或11的倍數(shù)且a、b、c、d、e、f均不為0，任何一個數(shù)作為首位都是一個六位數(shù)。 先考慮a、c、e偶數(shù)位內(nèi)，b、d、f奇數(shù)位內(nèi)的組內(nèi)交換，有×=36種順序； 再考慮形如這種奇數(shù)位與偶數(shù)位的組間調(diào)換，也有×=36種順序。 所以，用均不為0的a、b、c、d、e、f最少可排出36+36=72個能被11整除的數(shù)(包含原來的)。所以最少還能排出72-1=71個能被11整除的六位數(shù)?！纠?8】 已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行的手工制作比賽中，決出了第一至第五名的名次甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：

13、“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍”對乙說：“你當然不會是最差的”從這個回答分析，5人的名次排列共有多少種不同的情況？【解析】 這道題乍一看不太像是排列問題，這就需要靈活地對問題進行轉化仔細審題，已知“甲和乙都未拿到冠軍”，而且“乙不是最差的”，也就等價于人排成一排，甲、乙都不站在排頭且乙不站在排尾的排法數(shù)，因為乙的限制最多，所以先排乙，有種排法，再排甲，也有種排法，剩下的人隨意排，有(種)排法由乘法原理，一共有(種)不同的排法?！纠?9】 名男生，名女生，全體排成一行，問下列情形各有多少種不同的排法： 甲不在中間也不在兩端； 甲、乙兩人必須排在兩端； 男、女生分別排在一起； 男女相間【解析】 先排

14、甲，個位置除了中間和兩端之外的個位置都可以，有種選擇，剩下的個人隨意排，也就是個元素全排列的問題，有(種)選擇由乘法原理，共有(種)排法 甲、乙先排，有(種)排法；剩下的個人隨意排，有(種)排法由乘法原理，共有(種)排法 分別把男生、女生看成一個整體進行排列，有(種)不同排列方法，再分別對男生、女生內(nèi)部進行排列，分別是個元素與個元素的全排列問題，分別有(種)和(種)排法由乘法原理，共有(種)排法 先排名男生，有(種)排法，再把名女生排到個空檔中，有(種)排法由乘法原理，一共有(種)排法?！眷柟獭?五位同學扮成奧運會吉祥物福娃貝貝、晶晶、歡歡、迎迎和妮妮，排成一排表演節(jié)目。如果貝貝和妮妮不相鄰，

15、共有（ ）種不同的排法?！窘馕觥?五位同學的排列方式共有5×4×3×2×1=120（種）。如果將相鄰的貝貝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有4×3×2×1=24（種）。因為貝貝和妮妮可以交換位置，所以貝貝和妮妮相鄰的排列方式有24×2=48(種)；貝貝和妮妮不相鄰的排列方式有120-48=72（種）。【例 10】 一臺晚會上有個演唱節(jié)目和個舞蹈節(jié)目求： 當個舞蹈節(jié)目要排在一起時，有多少不同的安排節(jié)目的順序？ 當要求每個舞蹈節(jié)目之間至少安排個演唱節(jié)目時，一共有多少不同的安排節(jié)目的順序？【解析】 先將個舞蹈節(jié)目看成

16、個節(jié)目，與個演唱節(jié)目一起排，則是個元素全排列的問題，有 (種)方法第二步再排個舞蹈節(jié)目，也就是個舞蹈節(jié) 目全排列的問題，有(種)方法根據(jù)乘法原理，一共有(種)方法 首先將個演唱節(jié)目排成一列(如下圖中的“”)，是個元素全排列的問題，一共有(種)方法×××××××第二步，再將個舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或個演唱節(jié)目之間(即上圖中“×”的位置)，這相當于從個“×”中選個來排，一共有(種)方法根據(jù)乘法原理，一共有(種)方法?！眷柟獭?由個不同的獨唱節(jié)目和個不同的合唱節(jié)目組成一臺晚會，要求任意兩個合唱節(jié)目不相鄰，開始和最

17、后一個節(jié)目必須是合唱，則這臺晚會節(jié)目的編排方法共有多少種？【解析】 先排獨唱節(jié)目，四個節(jié)目隨意排，是個元素全排列的問題，有種排法；其次在獨唱節(jié)目的首尾排合唱節(jié)目，有三個節(jié)目，兩個位置，也就是從三個節(jié)目選兩個進行排列的問題，有(種)排法；再在獨唱節(jié)目之間的個位置中排一個合唱節(jié)目，有種排法由乘法原理，一共有(種)不同的編排方法【小結】排列中，我們可以先排條件限制不多的元素，然后再排限制多的元素如本題中，獨唱節(jié)目排好之后，合唱節(jié)目就可以采取“插空”的方法來確定排法了總的排列數(shù)用乘法原理把若干個排列數(shù)相乘，得出最后的答案。【例 11】 從1，2，8中任取3個數(shù)組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，共有多少個？（只要

18、求列式）從8位候選人中任選三位分別任團支書，組織委員，宣傳委員，共有多少種不同的選法？3位同學坐8個座位，每個座位坐1人，共有幾種坐法？8個人坐3個座位，每個座位坐1人，共有多少種坐法？一火車站有8股車道，停放3列火車，有多少種不同的停放方法？8種不同的菜籽，任選3種種在不同土質(zhì)的三塊土地上，有多少種不同的種法？【解析】 按順序，有百位、十位、個位三個位置，8個數(shù)字（8個元素）取出3個往上排，有種3種職務3個位置，從8位候選人（8個元素）任取3位往上排，有種3位同學看成是三個位置，任取8個座位號（8個元素）中的3個往上排（座號找人），每確定一種號碼即對應一種坐法，有種3個坐位排號1，2，3三個

19、位置，從8人中任取3個往上排（人找座位），有種3列火車編為1，2，3號，從8股車道中任取3股往上排，共有種土地編1，2，3號，從8種菜籽中任選3種往上排，有種。【鞏固】 現(xiàn)有男同學3人，女同學4人(女同學中有一人叫王紅)，從中選出男女同學各2人，分別參加數(shù)學、英語、音樂、美術四個興趣小組：(1)共有多少種選法?(2)其中參加美術小組的是女同學的選法有多少種?(3)參加數(shù)學小組的不是女同學王紅的選法有多少種?(4)參加數(shù)學小組的不是女同學王紅，且參加美術小組的是女同學的選法有多少種?【解析】 （1）從3個男同學中選出2人，有=3種選法。從4個女同學中選出2人，有=6種選法。在四個人確定的情況下，

20、參加四個不同的小組有4×3×2×1=24種選法。3×6×24=432，所以共有432種選法。（2）在四個人確定的情況下，參加美術小組的是女同學時有2×3×2×1=12種選法。3×6×12=216，所以其中參加美術小組的是女同學的選法有216種。（3）考慮參加數(shù)學小組的是王紅時的選法，此時的問題相當于從3個男同學中選出2人，從3個女同學中選出1人，3個人參加3個小組時的選法。3×3×3×2×1=54，所以參加數(shù)學小組的是王紅時的選法有54種，432-54=3

21、78，所以參加數(shù)學小組的不是女同學王紅的選法有378種。（4）考慮參加數(shù)學小組的是王紅且參加美術小組的是女同學時的選法，此時的問題相當于從3個男同學中選出2人參加兩個不同的小組，從3個女同學中選出1人參加美術小組時的選法。3×2×3=18，所以參加數(shù)學小組的是王紅且參加美術小組的是女同學時的選法有18種，216-18=198，所以參加數(shù)學小組的不是女同學王紅，且參加美術小組的是女同學的選法有198種?！纠?12】 某校舉行男生乒乓球比賽，比賽分成3個階段進行，第一階段：將參加比賽的48名選手分成8個小組，每組6人，分別進行單循環(huán)賽；第二階段：將8個小組產(chǎn)生的前2名共16人再

22、分成個小組，每組人，分別進行單循環(huán)賽；第三階段：由4個小組產(chǎn)生的個第名進行場半決賽和場決賽，確定至名的名次問：整個賽程一共需要進行多少場比賽？【解析】 第一階段中，每個小組內(nèi)部的個人每人要賽一場，組內(nèi)賽場，共個小組，有場；第二階段中，每個小組內(nèi)部人中每人賽一場，組內(nèi)賽場，共個小組，有場；第三階段賽場根據(jù)加法原理，整個賽程一共有場比賽。【例 13】 由數(shù)字1，2，3組成五位數(shù)，要求這五位數(shù)中1，2，3至少各出現(xiàn)一次，那么這樣的五位數(shù)共有_個。(2007年“迎春杯”高年級組決賽)【解析】 這是一道組合計數(shù)問題由于題目中僅要求，至少各出現(xiàn)一次，沒有確定，出現(xiàn)的具體次數(shù)，所以可以采取分類枚舉的方法進行

23、統(tǒng)計，也可以從反面想，從由組成的五位數(shù)中，去掉僅有個或個數(shù)字組成的五位數(shù)即可(法1)分兩類：，中恰有一個數(shù)字出現(xiàn)次，這樣的數(shù)有(個)；，中有兩個數(shù)字各出現(xiàn)次，這樣的數(shù)有(個)符合題意的五位數(shù)共有(個)(法2)從反面想，由，組成的五位數(shù)共有個，由，中的某個數(shù)字組成的五位數(shù)共有個，由，中的某個數(shù)字組成的五位數(shù)共有個，所以符合題意的五位數(shù)共有(個)?！纠?14】 個人圍成一圈，從中選出兩個不相鄰的人，共有多少種不同選法？【解析】 (法1)乘法原理按題意，分別站在每個人的立場上，當自己被選中后，另一個被選中的，可以是除了自己和左右相鄰的兩人之外的所有人，每個人都有種選擇，總共就有種選擇，但是需要注意的

24、是，選擇的過程中，會出現(xiàn)“選了甲、乙，選了乙、甲”這樣的情況本來是同一種選擇，而卻算作了兩種，所以最后的結果應該是()(種)(法2)排除法可以從所有的兩人組合中排除掉相鄰的情況，總的組合數(shù)為，而被選的兩個人相鄰的情況有種，所以共有(種)?！纠?15】 8個人站隊，冬冬必須站在小悅和阿奇的中間（不一定相鄰），小慧和大智不能相鄰，小光和大亮必須相鄰，滿足要求的站法一共有多少種？【解析】 冬冬要站在小悅和阿奇的中間，就意味著只要為這三個人選定了三個位置，中間的位置就一定要留給冬冬，而兩邊的位置可以任意地分配給小悅和阿奇小慧和大智不能相鄰的互補事件是小慧和大智必須相鄰小光和大亮必須相鄰，則可以將兩人捆

25、綁考慮只滿足第一、三個條件的站法總數(shù)為：（種）同時滿足第一、三個條件，滿足小慧和大智必須相鄰的站法總數(shù)為：（種）因此同時滿足三個條件的站法總數(shù)為：（種）?！纠?16】 小明有10塊大白兔奶糖,從今天起,每天至少吃一塊.那么他一共有多少種不同的吃法?【解析】 我們將10塊大白兔奶糖從左至右排成一列,如果在其中9個間隙中的某個位置插入“木棍”,則將lO塊糖分成了兩部分。我們記從左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的,，如:|表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒： | | 表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒不難知曉,每一種插入方法對應一種吃法,而9個間隙,每個間

26、隙可以插人也可以不插入,且相互獨立，故共有29=512種不同的插入方法,即512種不同的吃法?！眷柟獭?小紅有10塊糖，每天至少吃1塊，7天吃完，她共有多少種不同的吃法？【解析】 分三種情況來考慮： 當小紅最多一天吃塊時，其余各每天吃塊，吃塊的這天可以是這七天里的任何一天，有種吃法； 當小紅最多一天吃塊時，必有一天吃塊，其余五天每天吃塊，先選吃塊的那天，有種選擇，再選吃塊的那天，有種選擇，由乘法原理，有種吃法； 當小紅最多一天吃塊時，必有三天每天吃塊，其四天每天吃塊，從天中選天，有(種)吃法。根據(jù)加法原理，小紅一共有(種)不同的吃法還可以用擋板法來解這道題，塊糖有個空，選個空放擋板，有(種)不

27、同的吃法?！眷柟獭?把20個蘋果分給3個小朋友，每人最少分3個，可以有多少種不同的分法？【解析】 (法1)先給每人2個，還有14個蘋果，每人至少分一個，13個空插2個板，有種分法 (法2)也可以按分蘋果最多的人分的個數(shù)分類枚舉?！眷柟獭?有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少種不同的吃法？【解析】 如圖：|，將10粒糖如下圖所示排成一排，這樣每兩顆之間共有9個空，從頭開始吃，若相鄰兩塊糖是分在兩天吃的，就在其間畫一條豎線隔開表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉的，九個空中畫兩條豎線，一共有種方法【例 17】 某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可乘坐人，今有個成人和個兒童

28、要分乘這些游船，為安全起見，有兒童乘坐的游船上必須至少有個成人陪同，那么他們?nèi)顺俗@三支游船的所有安全乘船方法共有多少種？【解析】 由于有兒童乘坐的游船上必須至少有個成人陪同，所以兒童不能乘坐船若這人都不乘坐船，則恰好坐滿兩船，若兩個兒童在同一條船上，只能在船上，此時船上還必須有個成人，有種方法；若兩個兒童不在同一條船上，即分別在兩船上，則船上有個兒童和個成人，個兒童有種選擇，個成人有種選擇，所以有種方法故人都不乘坐船有種安全方法；若這人中有人乘坐船，這個人必定是個成人，有種選擇其余的個成人與個兒童，若兩個兒童在同一條船上，只能在船上，此時船上還必須有個成人，有種方法，所以此時有種方法；若兩個

29、兒童不在同一條船上，那么船上有個兒童和個成人，此時個兒童和個成人均有種選擇，所以此種情況下有種方法；故人中有人乘坐船有種安全方法所以，共有種安全乘法【例 18】 從名男生，名女生中選出人參加游泳比賽在下列條件下，分別有多少種選法？恰有名女生入選；至少有兩名女生入選；某兩名女生，某兩名男生必須入選；某兩名女生，某兩名男生不能同時入選；某兩名女生，某兩名男生最多入選兩人。【解析】 恰有名女生入選，說明男生有人入選，應為種；要求至少兩名女生人選，那么“只有一名女生入選”和“沒有女生入選”都不符合要求運用包含與排除的方法，從所有可能的選法中減去不符合要求的情況：；人必須入選，則從剩下的人中再選出另外人

30、，有種；從所有的選法種中減去這個人同時入選的種：分三類情況：人無人入選；人僅有人入選；人中有人入選，共：?！眷柟獭?在6名內(nèi)科醫(yī)生和4名外科醫(yī)生中，內(nèi)科主任和外科主任各一名，現(xiàn)要組成5人醫(yī)療小組送醫(yī)下鄉(xiāng)，按照下列條件各有多少種選派方法？ 有3名內(nèi)科醫(yī)生和2名外科醫(yī)生； 既有內(nèi)科醫(yī)生，又有外科醫(yī)生； 至少有一名主任參加； 既有主任，又有外科醫(yī)生?！窘馕觥?先從名內(nèi)科醫(yī)生中選名，有種選法；再從名外科醫(yī)生中選名， 共有種選法根據(jù)乘法原理，一共有選派方法種 用“去雜法”較方便，先考慮從名醫(yī)生中任意選派人，有 種選派方法；再考慮只有外科醫(yī)生或只有內(nèi)科醫(yī)生的情況由于外科醫(yī)生只有人，所以不可能只派外科醫(yī)生如

31、果只派內(nèi)科醫(yī)生，有種選派方法所以，一共有種既有內(nèi)科醫(yī)生又有外科醫(yī)生的選派方法。 如果選名主任，則不是主任的名醫(yī)生要選人，有種選派方法；如果選名主任，則不是主任的名醫(yī)生要選人，有種選派方法根據(jù)加法原理，一共有種選派方法 分兩類討論：若選外科主任，則其余人可任意選取，有種選取方法；若不選外科主任，則必選內(nèi)科主任，且剩余人不能全選內(nèi)科醫(yī)生，用“去雜法”有種選取法根據(jù)加法原理，一共有種選派方法?！纠?19】 在10名學生中，有5人會裝電腦，有3人會安裝音響設備，其余2人既會安裝電腦，又會安裝音響設備，今選派由人組成的安裝小組，組內(nèi)安裝電腦要人，安裝音響設備要人，共有多少種不同的選人方案？【解析】 按具

32、有雙項技術的學生分類： 兩人都不選派，有(種)選派方法； 兩人中選派人，有種選法而針對此人的任務又分兩類：若此人要安裝電腦，則還需人安裝電腦，有(種)選法，而另外會安裝音響設備的人全選派上，只有種選法由乘法原理，有(種)選法；若此人安裝音響設備，則還需從人中選人安裝音響設備，有(種)選法，需從人中選人安裝電腦，有(種)選法由乘法原理，有(種)選法根據(jù)加法原理，有(種)選法；綜上所述，一共有(種)選派方法 兩人全派，針對兩人的任務可分類討論如下：兩人全安裝電腦，則還需要從人中選人安裝電腦，另外會安裝音響設備的人全選上安裝音響設備，有(種)選派方案；兩人一個安裝電腦，一個安裝音響設備，有(種)選派

33、方案；兩人全安裝音響設備，有(種)選派方案根據(jù)加法原理，共有(種)選派方案綜合以上所述，符合條件的方案一共有(種)【例 20】 有11名外語翻譯人員，其中名是英語翻譯員，名是日語翻譯員，另外兩名英語、日語都精通從中找出人，使他們組成兩個翻譯小組，其中人翻譯英文，另人翻譯日文，這兩個小組能同時工作問這樣的分配名單共可以開出多少張？【解析】 針對兩名英語、日語都精通人員(以下稱多面手)的參考情況分成三類： 多面手不參加，則需從名英語翻譯員中選出人，有種選擇，需從名日語翻譯員中選出人，有種選擇由乘法原理，有種選擇 多面手中有一人入選，有種選擇，而選出的這個人又有參加英文或日文翻譯兩種可能：如果參加英

34、文翻譯，則需從名英語翻譯員中再選出人，有種選擇，需從名日語翻譯員中選出人，有種選擇由乘法原理，有種選擇；如果參加日文翻譯，則需從名英語翻譯員中選出人，有種選擇，需從名日語翻譯員中再選出名，有種選擇由乘法原理，有種選擇根據(jù)加法原理，多面手中有一人入選，有種選擇 多面手中兩人均入選，對應一種選擇，但此時又分三種情況：兩人都譯英文；兩人都譯日文；兩人各譯一個語種情況中，還需從名英語翻譯員中選出人，有種選擇需從名日語翻譯員中選人，種選擇由乘法原理，有種選擇情況中，需從名英語翻譯員中選出人，有種選擇還需從名日語翻譯員中選出人，有種選擇根據(jù)乘法原理，共有種選擇情況中，兩人各譯一個語種，有兩種安排即兩種選擇

35、剩下的需從名英語翻譯員中選出人，有種選擇，需從名日語翻譯員中選出人，有種選擇由乘法原理，有種選擇根據(jù)加法原理，多面手中兩人均入選，一共有種選擇綜上所述，由加法原理，這樣的分配名單共可以開出張二、 幾何計數(shù)【例 21】 下圖中共有_個正方形?！窘馕觥?每個正方形中有：邊長為1的正方形有個；邊長為2的正方形有個； 邊長為3的正方形有個；邊長為4的正方形有個；總共有(個)正方形現(xiàn)有5個的正方形，它們重疊部分是4個的正方形因此，圖中正方形的個數(shù)是?！纠?22】 在圖中(單位：厘米)： 一共有幾個長方形? 所有這些長方形面積的和是多少?【解析】 一共有(個)長方形；所求的和是 (平方厘米)。【例 23】

36、 由20個邊長為1的小正方形拼成一個長方形中有一格有“”圖中含有“”的所有長方形(含正方形)共有 個，它們的面積總和是 。 (第六屆走美決賽試題)【解析】 含的一行內(nèi)所有可能的長方形有：(八種) 含的一列內(nèi)所有可能的長方形有：(六種)所以總共長方形有個，面積總和為?！眷柟獭?圖中共有多少個三角形？【解析】 顯然三角形可分為尖向上與尖向下兩大類，兩類中三角形的個數(shù)相等尖向上的三角形又可分為6類L（1）最大的三角形1個(即ABC)，（2）第二大的三角形有3個（3）第三大的三角形有6個（4）第四大的三角形有10個（5）第五大的三角形有15個（6）最小的三角形有24個所以尖向上的三角形共有1+3+6+

37、10+15+24=59（個）圖中共有三角形2×59=118（個）?！纠?24】 一個圓上有12個點A1，A2，A3，A11，A12以它們?yōu)轫旤c連三角形，使每個點恰好是一個三角形的頂點，且各個三角形的邊都不相交問共有多少種不同的連法?【解析】 我們采用遞推的方法 I如果圓上只有3個點，那么只有一種連法 如果圓上有6個點，除A1點所在三角形的三頂點外，剩下的三個點一定只能在A1所在三角形的一條邊所對應的圓弧上，表1給出這時有可能的連法。 如果圓上有9個點，考慮A1所在的三角形此時，其余的6個點可能分布在： A1所在三角形的一個邊所對的弧上； 也可能三個點在一個邊所對應的弧上，另三個點在另

38、一邊所對的弧上 在表2中用“+”號表示它們分布在不同的邊所對的弧 如果是情形，則由，這六個點有三種連法； 如果是情形，則由，每三個點都只能有一種連法 共有12種連法 最后考慮圓周上有12個點同樣考慮A1所在三角形，剩下9個點的分布有三種可能： 9個點都在同一段弧上： 有6個點是在一段弧上，另三點在另一段弧上； 每三個點在A1所在三角形的一條邊對應的弧上得到表3共有12×3+3×6+155種所以當圓周上有12個點時，滿足題意的連法有55種。課后練習：練習1. 用排成四位數(shù)：（1）共有多少個四位數(shù)？（2）無重復數(shù)字的四位數(shù)有多少個？（3）無重復數(shù)字的四位偶數(shù)有多少個？（4）2在

39、3的左邊的無重復數(shù)字的四位數(shù)有多少個？（5）2在千位上的無重復數(shù)字的四位數(shù)有多少個？（6）5不在十位、個位上的無重復數(shù)字的四位數(shù)有多少個？【解析】 條件中未限制“無重復數(shù)字”，所以，數(shù)字可以重復出現(xiàn)，如等依分步計數(shù)乘法原理共有（個）（個）個位上只能是或，有（個）所有四位數(shù)中，在的左邊或在的右邊的數(shù)各占一半，共有（個）在千位上，只有種方法，此后只能在另外的個位置上排列，有（個）法一：不在十位、個位上，所以只能在千位上或百位上，有（個）法二：從中減去不合要求的（在十位上、個位上），有（個）。練習2. 如圖，其中的每條線段都是水平的或豎直的，邊界上各條線段的長度依次為5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和

40、4 厘米、6厘米、5厘米、1厘米求圖中長方形的個數(shù)，以及所有長方形面積的和?！窘馕觥?利用長方形的計數(shù)公式：橫邊上共有n條線段，縱邊上共有m條線段，則圖中共有長方形（平行四邊形）mn個，所以有(4+3+2+1)×（4+3+2+1）=100，這些長方形的面積和為：（5+7+9+2+12+16+11+21+18+23）×（4+6+5+1+10+11+6+15+12+16）=124×86=10664。練習3. 有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完為止，共有多少種不同的吃法？【解析】 初看本題似乎覺得很好入手，比如可以按天數(shù)進行分類枚舉：1天吃完的有1種方法，這天吃10塊；2天吃完的有9種方法，10=1+9=2+8=9+1；當枚舉到3天吃完的時，情況就有點錯綜復雜了，叫人無所適從所以我們必須換一種角度來思考不妨從具體的例子入手來分析，比如這10塊糖分4天吃完： 第1天吃2塊；第2天吃3塊；第3天吃1塊；第4天吃4塊我們可以將10個“”代表10粒糖，把10個“”排成一排，“”之間共有9個空位，若相鄰兩塊糖是分在兩天吃的，就在其間畫一條豎線(如下圖)| 比如上圖就表示“第1天吃2塊；第2天吃3塊；第3天吃1塊；第4天吃4塊” 這樣一來，每一種吃糖的方法就對應著一種