第4章 拉格朗日力學

1、第第4 4章章 拉格朗日力學拉格朗日力學(1,2,.,3 )ix in 111222( ,),(,),.,(,)nnnx y zx y zxy z()12nr ,r ,.,r 222( , )0f x yxyl3n12( , ,., , )0, 1,2,.nftkr rr00Rxycc-ABAABAxxxyyy 1212( , ,., , , ,., , )0, 1,2,.nnftrr rr r rr vM12( ,.,)0, 1,2,.nfkr rr1212( ,., ,.,)0, 1,2,.nnfrr rr r rr 2220()xylvt1212( , ,., , , ,., , )0,

2、 or 0nnftr rr r rr 222xyl222xylABAABAxxxyyy0000CCCCyxRyRxR可以積分為 222121212()()()xxyyzzl12( ,)sq qq121212( , )( , ) (i=1,2,.,n)( , )iisiisiisxx q qq tyy q qq tzz q qq t( ,) (1,2,., )iiix y zin12( ,)sq qqsincosxlyl222xyl22xxylxab1122sincossinsincoscosxayaxabyabdrrdtttdtdr0tSSrFW,iRiiniFiFiri設系統(tǒng)由 質點組成 對

3、于第 個質點表示第 個質點受到的主動力之和表示第 個質點受到的被動力(或約束力)之和表示第 個質點的虛位移 則系統(tǒng)所有主動力的虛功之和為iniirFW11111nssniiiiaiiarrWFqFqqqQq 1 1,2. ()siirrqinq已計及 t=012(,., ) 1,2,.iisrr q qq tin1 ( =1,2.s)niiirQFq1212( , , )( , )nsVV r rr tV q qq t iiixiyiziiiVVVFVFFFxyz ；11nniiiiiiiiiirxyzVVVVQFqxqyqzqq 01iniiRrFNiririrN0irNNir0d irN線

4、線、面面靜靜止止，0d irN線線、面面運運動動，NfP0Pv0Pr0PPrfrNN00 PPrNr1N2N2211rNrN121rN0112Nr12O1r2r12r1RF2RF21RRFF2211rFrFWRR121rFR01m2m1TF2TF2211rFrFWTT00211rrFT0繩繩子子不不可可伸伸長長0R(1,2, )iii iminFFr R0(1,2, )iii iminFFr R1niiiFr = 0R1() 0niii iiimFFrr()0ii iiimFrr01iniirF1() 0nii iiimFrr0RiiFFni,.,2 , 10)(iRiirFFni,.2 ,

5、1011iniRiiniirFrF01iniirF01iniirF011iniRiiniirFrF0dd11iniRiiniirFrF0ddd11iniRiiniirFrFT常量常量T110nsiiiFrQqq0 1,2,Qsir qVQ0 1,2,Vsq01iniirF0 1,2,Qs0 1,2,Vsq1.1.質點在一維保守力場中的靜平衡及其穩(wěn)定性質點在一維保守力場中的靜平衡及其穩(wěn)定性0dVdq0qQ 0FR22d0dBVq22d0dAVq near CVconst22d0dDVq* * *2.2.一般質點系的平衡一般質點系的平衡0; =1,2.sVq10sVVqqF224s2211,qqA

6、l1FOxy12Bl2Al1Bl2FOxy12112230iiiFrm grm grFr032211xFygmygm111cos2ly 22112cos2coslly22113sinsinllx1111sin2ly2221112sin2sinlly2221113coscosllxFgmgm,21(x3,y3)11121112222211cossinsincossin22Fm gm glFm gl 12由于和互相獨立，它們前面的系數(即廣義力)應該為零 111121222221(cossinsin )021(cossin)02QFm gm glQFm glgmFgmmF221212arctan2

7、2arctan yxdDBd FTFTAo0TBcTDFxP yFxsin, 2 coscotBDcxlxyld 2cos, 2 sincscBDcxlxyld () 0iiTBTDCiFrFrFrPr yxdDBd FTFTAo22cos2sincsc0TF llPdP3tancsc12TdFPlROzx0coscosgVmgRlgR201(2sin)2sVkRl0VQ 002sincossin22lglkRR2001cos(2sin)2sgVVVlgRkRl00sin(2sin)2cos0lgkRlR02sin0Rl12(,)nFF FF12(,)nrrrr12( ,)sqq qq12(

8、, )iisq qq trr1siimkiikkmmrrrqrqqtqq1212112(,., )(,.,.,)siiiiskksksiq qqrrdrr q qq tr q qqtdtqqtiikkrrqq1 ()0 ()mkmkqmkq,mkqq,mkqqkkdqqdt,iiiktqrrrq , q q ssiiiimmmikkkkmmkmiqqrrrrqtqqdrqdtqqtrq2211kikirqrddtqkkddq dtdtqkqddt1211(,., )ssiiiisikkkkkkrrdrr q qq trdtqtqqqtssiiimmmkmmmikkkrrrqqtqtqqrddt

9、qqq2211dddtdtt0ddtdd2121121(,.,., )2ni isisq qTrqqmT qqt11innii iiikkkiTTmrrrqqrq11ninkkkii iiiirrrrmqTqqT1()0nii iiimFrr111110nssni iki ikikkskkkkikkmqmqQqQqqiirrrr11nsiikkikQqFr1siikkkrrqq1 (1,2,. )kni iikQksmqirrkq areindependentiiki iiiiiikkkiiirrdQmrmmqqdrdtqrrdtiiiiiiikikrdrrdtrmmqqiikkrrqqiik

10、krddtqrqkkqddTtqT1iikniikqrrmqT1ni ikiikTmqrrq 1,2,.kkkTTQkqsdqdtddkkkTTVtqqq 12( ,.,)sVV t q qq; 0kkkVVQqq d0dkkkkTVTVtqqqq-( , , )LTVL q q t0 1,2,.kkddtLsqLkqABm1m2m3l0q1q2xOl0s12 1 2 ABm1m2m3l0q1q2xO011101222012123x =llsqx =lqlsqx =lqq11212312xqxqqxqq 2221 12233111222Tm xm xm x112233Vm gxm gxm gx

11、 2221 1212312111()()222m qm qqm qq221231232321211()()()22mmm qmm qmm q q 101112012223012()()()m g llsqm g lqlsqm g lqq 12312320()()mmm gqmm gqV22123123232121231232011()()()22 ()()LTVmmm qmm qmm q qmmm gqmm gqV 123132212311()()()0dLLmmm qmm qmmm gdtqq3223212322()()()0dLLmm qmm qmm gdtqq21312112312(4)

12、(4)mm mm mqgmm mm m3212123122()(4)mm mqgmm mm m11212312.xqxqqxqq Rzezedtt/2)coscos/2)sinsin/2)x= Rcos(Rsinty= Rcos(Rsintz= Rsin(-RcosRzezexy222222221()(sin)22mTxyzm RRsindRdR+R= R+Rdtdtvee0dLLdt2g = sincos -sinR222221-(sin)cos2LT Vm RRmgRcosVmgzmgR 2( ).1Uconst2221( )coscos2gUR22( )0; check the sign

13、 of ( )ddUUdddddddtddtd22( )sincos0dgUdR 120; 21232cos () ()ggRR22222( )(1)0dgUdR 1012222( )(1)dgUdR gRgR322222( )10dgUdR gR1232cos () ()ggRRo/213gRmmsincosyhsrm ccxxyconstcotcossin xxhsr()APPMsr1CVsrmcoscossinsin0ccxxsxrysrxxy cot()cossin ()sincos ccxxhrryhrrxxyconst21122cccTTTmvI221122cTmvmv221122

14、zzzTII221122cCTmvI2()222111m xyJm x222 2()2222cc111Tm xyJm ( xy2222()cos2213m+m xmx rmr2422(cos )(sin) )222111m xrrmrmx242 21Jmr2sincV = mgym gymgrconst 2cos22L=T -Vm+m3=x-mx rmrmgr sin +const2423cossin02dLLmx rmrmgrdt -()cos0dLLmm xmrdtxx22sincos3(32cos)mgxmm 22 ()sin3(32cos)g mmrmm()cos0mm xmr()co

15、s0 xpmm xmr0Lx0dLdtx()cos0 xLpmm xmrconstxdxddxxddtd ()cosmm x dxmrd22sincos3(32cos)mgmm()cosmm xmr222212sincos2() 3(32cos)m grdxdmmmm 22222204sincos() 3(32cos)xnm grxdxdmmmm 2228sincos() 3(32cos)n m grvx iimmmm2212 ()sin23(32cos)g mmddrmm2212 ()sin23(32cos)ddddg mmddtddrmm2222204 ()sin8()sin3(32cos

16、)3(32cos)ng mmn g mmddrmmrmm 28()sin3(32cos)n g mmkkrmmm(), cotcossin, cossincos , sinsrsrrxxhsrxxsyhsrys 22()()cos2222111T =m xym xJ22213m+m xmx sms24 222(cos)(sin)vxss 22()cos22211113T =mvm xJm+m xmx sms22224 (), srsrrms x 2()cos213L=m+m xmx smssmgsin +const24 3-cossin02dLLmxmsmgdtss -()cos0dLLmm

17、xmsdtxxsincV = mgym gymgsconst , ,sincosZzZXYZeeejk 000解： 本例幾乎是“對稱重陀螺定點轉動”的特例。選取部分隨動坐標系 O-xyz（即不隨剛體自轉的主軸坐標系），固定坐標系取為O-, Ox軸在OXY 平面內， OZ軸保持在Oyz 平面內。顯然 確定了鉛筆自轉軸的方位,自轉角確定鉛筆的自旋位置，作為本題的廣義坐標。初始時刻鉛筆豎直,角速度 =OXYZmg 222*2222*2*sin( cos)()2211(sin)( cos)cos22-sincoZxyzzxyzziekijkijkJJTVJJmgldLLJJdt鉛筆在任意時刻的角速度：

18、剛體定點運動時的拉氏函數為：對應 的拉氏方程：s( cos) sinsin0zJmgl 2*000222*sin( cos)cos( cos)0()22zzzzzzxyzLpJJJLpJJtLtJJETVV其余兩個廣義坐標 ，都是循環(huán)坐標，具有廣義動量積分。這里已經利用初始條件： , =0, 因為=0, 穩(wěn)定約束，所以我們還可以利用能量初積分2222*002*2222*222220*02*2*11(sin)( cos)cos22(1 cos )cossin11(sin)( cos)cos22(1 cos )11cos22sin21+U( )2zzzzzJJmglJJEJJmglJJJmglJJ

19、運用上面的初積分化簡: ; 我們2222002*(1 cos )1( )cos2sin2zzJUJmglJ這里主要關心運動的穩(wěn)定性，所以可以運用有效勢能的概念，222030*2222024*22202*00(1 cos )( )( )sin 0sin0cos(1 cos )( )cossin( )4zzzJdUdUmgldJdJd UmgldJJd UmgldJ要研究鉛筆豎直轉動是否穩(wěn)定，只需檢驗有效勢能在是否為極小值。；所以確實是平衡點，下面考慮二階導數：（2）2222z*02200.080(/16/3)/38 0.8,10,2100/ ,/25( )(194000)0 0mJdmJm ds

20、msdcm scmrad s lscmd Umd鉛筆當作長桿或圓柱體看待，其轉動慣量分別為；鉛筆：所以勢能為極大點，不穩(wěn)定，稍遇微擾即傾倒。222211()22Tm RRMz222211()()22Lm RRMRMg Rl2()0dLLmM RmRMgdtRR22()0dLLdmRdtdtzRlzR()VMgzMg Rl222222222211()()2211(cos )(sin )2211()cos22MMmmTM xym xyMxmxllmM xmlmlx(cos )sinmMvvl exil exliljcosVmgl lmMoxiexy, 0; , 0;sin , cos ; cos

21、, sinMMMMmmmmxxyxxyxxlylxxlyl 221122mTMxmv22211()coscos22LmM xmlmlxmgl()cos0dLLdmM xmldtxxdt22(cos )sinsincossin0dLLdmlmlxmlxmgldtdtmlmlxmgl()cosmM xmlconstant2022211()cos22c1()os2TmM xmlmlxlxVkxmg mMvvl e2222011()coscos221()2LmM xmlmlxmglk xxlmMo20()cos()0dLLdmM xmlk xxdtxxdt22(cos )sinsincossin0dL

22、Ldmlmlxmlxmgldtdtmlmlxmglk22222200221(co11cos2s)coscos22cosTmxmlmlxVm xtlmltglm xmMvvl e22222001(cos)coscoscos2Lm xtlmlxtmgllmMo200220(coscos )cossinsinsincossin0dLLdmlmlxtmlxtmgldtdtmlmlxtmgl0sinxxt( , ).(0), (0)f q qconstf qq0jLq.jjLpconstq0jjdLLdtqq0jdLdtq0Lt11ssjjjjjjLqLp qLHconstq11111ssjjjjjjs

23、ssjjjjjjjjjdqdqdLLLLdtqdtqdttdqdLLdLqqdtqqdtdtq10sjjjdLqLdtq1sjjjLqLHconstqHTVE20HTTVE222101111122nnsiii iiiirrTmrmTTTqtq12(,., )iisrr q qq t11212( ,.,., )siiisisrrrr q qqqqtqtqq2111,11,11122nsssnsiiiiiiiirrrrTmmAqqqqqqq qq q 111111nssnsiiiiiiiirrrrTmmBqtqqqtq 20112niiirTmt1020, 0, irTTTTtiiifxmfx02

24、1211112; 2 ; 0sssTTTqTqTqqqq2111222()sssTLTHqLqLqLqqqTLTTVTVE常量2100, irTTTTt1102111121212102022()sssssLTHqLqLqqTTTqqqLqqqTTLTTTTTVTTV常量11111ssjjjjjjsssjjjjjjjjjLLLqqqqdLLdLqqqdtqqdtqdddtdtiikkrrqq1siiikkkqrrrqt11nniii iiijjijjrrLTTm rqqrqq2112ni iiTmr111111ssniji ijjjijjnsnii iji iiijijrdLdLqm rqdtq

25、dtqrddm rqm rrdtqdt 1110nnni iii ii iiiidddLm rrm rm rdtdtdt10ni iidm rdt1ni iiPm rconstiirr1110nni iii iiiinii iiddLm rrm rrdtdtddLrm rdtdt1nii iiLrm rconstm2cos22m+m3L=T -V =xmx rmrmgr sin +const24()cosxLpmm xmrconstx0Lxx()cos0mm xmr0Lt2cos22m+m3Hxmx rmrmgr sinE242TTHTVconst2cos()22m+m3xmx rmrmgrs

26、in24()cos0mm xmr2cos()22m+m3xx rmrmgr-sin24 23cossin02mx rmrmgr()cos0mm xmr( )rVrFVeF rrr ( ,)r2222211()()22Tm xym rr0dLLdtrr0dLLdt22; ; ; 0LLdVLLmrmrmrrrdr2()0dVm rrdr2(2)0dmrmrrrdt2221()( )2Lm rrV r 0L2Lpmrh 0Lt2221()( )2m rrV rE2()0dVm rrdr(2)0mrrr2mrh2221()( )2m rrV rEee21L = T -U -V =mvA v -V2ep = mvAU = e(- A v)2211 vc20L = m c-V0 (j=1,2.s)jQ 0 (j=1,2.s)jVq220; 0dVd Vdqdq220;