高職數(shù)學(xué)典型例題及訓(xùn)練1(精選.)

1、第一篇一元函數(shù)微分學(xué)第1章函數(shù)1.函數(shù)的概念設(shè)有兩個(gè)變量x和y,變量x的變域?yàn)?D,如果D中的每一個(gè)x值，按照一定的法則，變量y有一個(gè)確定的值與之對(duì)應(yīng)， 則稱變量y為變量x的函數(shù)，記作 y f x ,x自變量，y因變量，變域 D為定義域，記為 Df , 丫取值的集合稱為函數(shù)的值域，記作 Zf函數(shù)概念的兩要素：定義域：自變量x的變化范圍（若函數(shù)是解析式子表示的，則使運(yùn)算有意義的實(shí)自變量值的集合即為定義域）對(duì)應(yīng)關(guān)系：給定x值，求y值的方法。典型例題1.1下列各函數(shù)對(duì)中，（）中的兩個(gè)函數(shù)是相等的。A. f xx2 1T7，g xword.2C. f x Inx , g x 21nx22D.f x s

2、in x cos x,g x 1解:選項(xiàng)A中，前者x 1 ,但后者x可取1,即兩者定義域不相同;選項(xiàng)B中，fx x,gx x 對(duì)應(yīng)關(guān)系不同;選項(xiàng)C中，兩者定義域不同;選項(xiàng)D中，對(duì)任意 x R恒有sin2 x cos2x 1故應(yīng)選D 解題指導(dǎo)給定的兩個(gè)函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)其定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全相同時(shí)，才表示同一函數(shù), 否則表示不同的函數(shù)。強(qiáng)化訓(xùn)練1下列各對(duì)函數(shù)中，()中的兩個(gè)函數(shù)相等。A.yqx(x 1)與 y xx<7x1) B.y1nx2與g 21nxC.y1 sin2x 與 g cosxD.yx 與 g xx2強(qiáng)化訓(xùn)練2下列各對(duì)函數(shù)中，()中的兩個(gè)函數(shù)相等。xln(1 x)匚 ln(1 x

3、)4 上A. y 2g l B. y ln x 與 g 4ln xxxC. y 4_cos2 x 與 g sin x D. y Jx3(x_1)與 y Ux37(x1)強(qiáng)化訓(xùn)練3下列各函數(shù)對(duì)中，()中的兩個(gè)函數(shù)是相等的。B.f xx2,g xx 4cA. f x , g x x 2x 23C.f x Inx , g x 3lnxD.f xtanxcotx, g x 1典型例題 1.2設(shè) f(x) x 1 ,則 f(f(x) 1)=().A . x B. x + 1 C, x + 2 D. x + 3解由于f(x) x 1 ,說明f表示運(yùn)算：()1 ,因此f(f(x) 1) (f(x) 1) 1

4、= f(x) 2再將f(x) x 1代入，得f (f (x) 1) = (x 1) 2 x 3故應(yīng)選D().D. 1.51 x強(qiáng)化訓(xùn)I練4若函數(shù)f (x) ，g(x) 1 x,則fg( 2) xA. -2B. -1C. -1.5一 1 x強(qiáng)化訓(xùn)練5函數(shù)f(x) ,則f(f(x)()1 x1D. 一 xA. xB. -C. xx強(qiáng)化訓(xùn)練 6若 y xe(x 1) , g 1 Jx 則 y(g) 1典型例題 1.3 f (x 1) 一，則 f(2) x。，、一 ，1解法1將x 3代入原式有：f (2)-簡(jiǎn)稱函數(shù)表示法的“無關(guān)特性”。這是由f g x的表達(dá)式求解f(x)的表達(dá)式的有效方法。強(qiáng)化訓(xùn)練

5、7若 f(ex) 解法2令u x 1則由題設(shè)有：f(u) ,f (2)u 1解題指導(dǎo)函數(shù)的表示法只與定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系有關(guān)，而與用什么字母表示無關(guān)，即f(x) f(t) f(u) III 1,則 f(x)=()。 xAA. 1xeB. 1ln xC. ln1 1D. exx強(qiáng)化訓(xùn)練8若函數(shù)f(ex) 2x 1,則f(x)=(A. ex 1B. 2x 1 C. 21n x 1 D. 2ln(x1)強(qiáng)化訓(xùn)練9若函數(shù)f(x 2)2x 4x 5 ,則 f (x)-,0 U0,0, 0,2, k Z k Z典型例題1.4求函數(shù)yln(x 1)的定義域。2.函數(shù)定義域的求法函數(shù)的定義域使函數(shù)有意義的自變量取

6、值范圍。它是函數(shù)兩要素之一。求定義域要注意以下幾點(diǎn)：(1)分母不能為零。(2)負(fù)數(shù)的偶次方根沒有意義。(3)零和負(fù)數(shù)無對(duì)數(shù)。(4)由多項(xiàng)表達(dá)式的代數(shù)和構(gòu)成的函數(shù)，其定義域?yàn)楦鞅磉_(dá)式的定義域的交集。(5)應(yīng)用函數(shù)的定義域由實(shí)際問題確定(如產(chǎn)量是非負(fù)的)。記住下列簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域1c-y一,Dx0,xy2皈，Df : x0, xyloga ,Df :x0,ytan x,Df: xkycot x,D f : xkx 1 0x 1解:這函數(shù)是兩項(xiàng)之和，由第一項(xiàng)有：x 1 1x 22由第二項(xiàng)有：9 x 0,3x3取兩者之交集即為所求之定義域： (1,2)(2,3解題指導(dǎo)求復(fù)雜函數(shù)的定義域，就是求解由簡(jiǎn)單

7、函數(shù)的定義域所構(gòu)成的不等式組的解 一，1強(qiáng)化訓(xùn)練10函數(shù)f(x) ln(x 5),的定義域是 2 x強(qiáng)化訓(xùn)練11函數(shù)y底一4的定義域是 .x 1|強(qiáng)化訓(xùn)練 12函數(shù) y I'x 1)'的定義域是 .2 x典型例題1.5若函數(shù)y f(x)的定義域是0, 2,則y f(ln x)的定義域是()。A. 1 ,e B. 1,) C. 1 ,e2D. 0,1解:由 0 1nx 2有 e0x e2得f(1n x)的定義域?yàn)?,e2 故應(yīng)選C強(qiáng)化訓(xùn)I練13若函數(shù)yf(x)的定義域是0, 1,則y f (x 1)的定義域是強(qiáng)化訓(xùn)I練14若函數(shù)yf(x)的定義域是(0, 1,則yf(ex)的定義

8、域是 強(qiáng)化訓(xùn)練15若函數(shù)y f (x)的定義域是0 , 1,則f (1n x)的定義域 是。3.函數(shù)的奇偶性設(shè)y f (x)在定義域上對(duì)稱于原點(diǎn)，若：f( x) f(x),則f(x)為偶函數(shù)，圖形對(duì)稱于 y軸；若:f( x) f(x),則f(x)為奇函數(shù)，圖形對(duì)稱于原點(diǎn)。判斷函數(shù)是奇函數(shù)，或是偶函數(shù)，可以用定義去判斷；也可以根據(jù)一些已知的函數(shù)的奇偶性， 再利用如下的性質(zhì)來判斷：奇函數(shù)土奇函數(shù)、奇函數(shù)x偶函數(shù)仍為奇函數(shù)偶函數(shù)士偶函數(shù)、偶函數(shù)x偶函數(shù)、奇函數(shù)x奇函數(shù)仍為偶函數(shù)典型例題1.6下列函數(shù)中，()是偶函數(shù).Af (x)x3sinxb.f (x)x3 1x x2.C.f (x)a aD.f(

9、x)xsin x解:根據(jù)奇函數(shù)的定義以及“奇函數(shù)x奇函數(shù)是偶函數(shù)"的性質(zhì)，可以驗(yàn)證選項(xiàng)A中x3和sin x都是奇函數(shù)，故它們的乘積f(x) x3 sin x是偶函數(shù).因此選項(xiàng)A是正確.其它的選項(xiàng)是錯(cuò)誤的.強(qiáng)化訓(xùn)練16下列函數(shù)中的偶函數(shù)是().x2 1x x(A) y (B) y e ex 1(C) y sin 2x(D) y xcosx強(qiáng)化訓(xùn)練17下列函數(shù)中的奇函數(shù)是().X21Y Y(A) y(B) y 2x 2 xX(C) y cos3x(D) y xsin x強(qiáng)化訓(xùn)練18下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(2x _A. y x x B. ye e).x 1C. y Inx 1D. y xs

10、in x典型例題1.7設(shè)f(x) ln(x Vx21)，試證f(x)是奇函數(shù).證因?yàn)?f( x) ln x ( x)2 1 ln( x Vx2 1).(x . x2 1)(x x2 1) , x2 x2 1 lnlnx x2 1x . x2 1ln1 2 ln( x Vx2 1) f (x)x * x 1所以f (x)是奇函數(shù).強(qiáng)化訓(xùn)練19下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(),2A. y cos(1 x) B. y ln(x . 1 x ) C.exD. sin(x )強(qiáng)化訓(xùn)練20下列函數(shù)中y ()是偶函數(shù).A. f (x)B. f (x) C. f 2(x) D. f (x) f ( x)強(qiáng)化訓(xùn)練21

11、設(shè)f (x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，則下列必為奇函數(shù)的是()A. f g(x) B. g f (x) C. f f (x) D. g g(x)4.分段函數(shù)了解分段函數(shù)概念，掌握求分段函數(shù)定義域和函數(shù)值的方法。exx 0典型例題1.8 y 2 八的定義域是 (,1x 0 x 1解這是分段函數(shù)，其定義域應(yīng)是兩段函數(shù)定義域的并集，即為:1,則f(x)的定義域是 ex 0 x強(qiáng)化訓(xùn)練22設(shè)f(x)ln x 1 x強(qiáng)化訓(xùn)練23設(shè)f(x)強(qiáng)化訓(xùn)練24設(shè)f(x)x 1 x 1, ，則f (x)的定義域是 ,1 x x 1x 11 x 2, ，則f (x)的定義域是,1 x x 12xx0典型例題1.9設(shè)

12、y f (x)求：(1) f( 1)(2) f(a2)(3) f(ex)解(1) f( 1) 1 ( 1) 22_， 2、_ 2(2) a 0 , f (a )2a(3) e x 0 , f (e x) 2e強(qiáng)化訓(xùn)練25若函數(shù)f(x)x 3,x 02x,0x2 ，則()成立.ln(x 2), 2 xA. f (-1) = f (0) B. f (0) = f (1) C. f (-1) = f (3)sin x 2x0強(qiáng)化訓(xùn)練26若y 9，則y(-) x2 1 0 x 22D. f (-3 ) = f (3)cosx, x 0強(qiáng)化訓(xùn)練27設(shè)函數(shù)f(x)，則(0, x 0)成立.A. f( 7)

13、=f(4)B.f(0)f(2 )C. f(0) f( 2 )D.2 f(；)=T1 x x05.應(yīng)用：經(jīng)濟(jì)分析中常見的函數(shù)市場(chǎng)均衡價(jià)格p0b1ba a1了解需求、供給、成本、平均成本、收入和利潤函數(shù)的概念。需求函數(shù)：qd ap b供給函數(shù)：qs ap b1價(jià)格函數(shù)：p p(q),是需求函數(shù)或供給函數(shù)的另一形式。收入函數(shù)：R(q) q p(q)(收入苛肖量x價(jià)格)成本函數(shù)：c(q) Co C1(q),其中Co為固定成本。C(q) 迎稱為平均成本。q利潤函數(shù)：L(q) R(q) C(q)使L(q) 0,即R(q) C(q)的點(diǎn)q0為保本點(diǎn)(盈虧平衡點(diǎn))典型例題1.10生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為1萬元

14、，每生產(chǎn)一個(gè)該產(chǎn)品所需費(fèi)用為20元,若該產(chǎn)品出售的單價(jià)為 30元，試求：(1) 生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的總成本和平均成本；(2) 售出x件該種產(chǎn)品的總收入；(3) 若生產(chǎn)的產(chǎn)品都能夠售出，則生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的利潤是多少？解(1)生產(chǎn)X件該種產(chǎn)品的總成本為 C(x) 10000 20x (元)；平均成本為：C(x) 10000 20(元/件).x(2) 售出x件該種產(chǎn)品的總收入為：R(x) 30x (元).(3) 生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的利潤為：L(x) R(x) C(x) = 30x (10000 20x) = 10x 10000 (%)強(qiáng)化訓(xùn)練28已知某商品的需求函數(shù)為q = 180 - 4p,其中p為

15、該商品的價(jià)格，則該商品的收入函數(shù)R(q) = .強(qiáng)化訓(xùn)練29已知生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本函數(shù)為C(q) = 80 + 2 q,則當(dāng)產(chǎn)量q = 50時(shí)，該產(chǎn)品的平均成本為一一 一 、一,一._2_ 一一 、一 一一-一強(qiáng)化訓(xùn)練30某產(chǎn)品的成本函數(shù)為 C(q) 4q 8q 200 ,那么該產(chǎn)品的平均成本函數(shù)C(q) 6.綜合雜例復(fù)合函數(shù)：y f (x),中間變量u(x)的值域部分或全部包含于f(u)的定義域中。典型例題1.11下列函數(shù)中，()不是基本初等函數(shù).A/1、x,2sin x35A.y( 一 )B. ylnx C. y D. y v xecosx.2 一 .2 .解因?yàn)閥 lnx是由y ln u

16、 , u x復(fù)合組成的，所以它不是基本初等函數(shù).正確答案：B強(qiáng)化訓(xùn)練31函數(shù)y ln sin x的值域是().A. 1,1 B. 0,1 C. (,0) D. (, 0強(qiáng)化訓(xùn)練32下列結(jié)論中，()是正確的.A.基本初等函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)B.偶函數(shù)的圖形關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱C.奇函數(shù)的圖形關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱D.周期函數(shù)都是有界函數(shù)強(qiáng)化訓(xùn)練33若f (x) e x, g(x)A. f g(x) Xln x ,則()成立B. g f(x) x，、1C. f g(x) xD.g f(x)典型例題1.12將復(fù)合函數(shù)y cosln(2x1)分解成簡(jiǎn)單函數(shù)。解令 u ln(2x 1),則 y cosu ;v 2x

17、1,則 u ln v所以，函數(shù)y cosln(2x 1)由簡(jiǎn)單函數(shù)y cosu, u ln v,v 2x 1復(fù)合而成。典型例題1.13某廠產(chǎn)品日產(chǎn)量為 1500噸，每噸定價(jià)為150元，銷售量不超過1000噸的部分按原價(jià)出售，超過 1000噸的部分按9折出售，若將銷售總收入看作銷售量的函數(shù)，試 寫出函數(shù)表達(dá)式.解設(shè)銷售量為q噸，銷售總收入為 R(q)元，那么銷售量不超過1000噸的部分按每噸定價(jià)為150元出售，銷售總收入為 R(q) 150q ；150 1000 150 0.9(q 1000)超過1000噸的部分按9折出售，銷售總收入為 R(q)135q 15000.所以，銷售總收入函數(shù)為:R(

18、q)150q0 q 1000135q 15000 1000 q 1500第1章強(qiáng)化訓(xùn)練題解答1.D2.A3.C.- x -2/4.A5.A6. e 7.B8.C9. x 110. ( 5,2)11.2U2,) 12. (1,2) 13. 1,0 14.(,015. 1,e16.B 17.A 18.C19.B 20.B 21.D 22. 0, e)23.()24. (,225.D 26. 1 27.C412128. 45q -q 29.3.6 30. 4q 8 200q31.D432.C 33.C笫21.極限的概念數(shù)列極限lim xn An函數(shù)極限lim f(x)x雙邊極限：xx單邊極限：xx

19、x極限存在的充要條件：lim f(X xo典型例題2.1若limf(x) 0,x x章極限、導(dǎo)數(shù)與微分當(dāng)n 時(shí)，xnAAxxx:)A lim f (x) lim f (x)x x0x x0則f(x)在點(diǎn)xo處()A.有定義B.沒有定義 C.極限存在 D.有定義，且極限存在 解函數(shù)在一點(diǎn)處有極限與函數(shù)在該點(diǎn)處有無定義無關(guān).正確答案：Cx 4強(qiáng)化訓(xùn)練1函數(shù)f(x)在x = 2點(diǎn)().x 2A.有定義 B.有極限 C.沒有極限 D.既無定義又無極限x典型例題2.2設(shè)函數(shù)f (x) 求f(x)在x0處的左、右極限并討論f (x)在x 0處x是否有極限存在？x分析函數(shù)f (x) 一是個(gè)分段函數(shù)，且 x

20、0是函數(shù)的分段點(diǎn)，即 xxxf(x)一 x一，xxx,x x根據(jù)左右極限的定義和極限存在的充分必要條件判定。解左極限lim f (x)x 0limx 0limx 0右極限lim f (x)x 0lim 一x 0 x.x.lim 一1x 0 x因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x 0處的左右極限存在但不相等，所以f(x)在x 0處極限不存在。強(qiáng)化訓(xùn)練2設(shè)f(x)1 一 ?xx 2 ,sin xlimx11f(x)A.sinlB. 1C.D./、存在強(qiáng)化訓(xùn)練3卜列極限存在的是(A.limx2x-2 xB.limx 0 2C.lim sin xxD.1lim exx 0強(qiáng)化訓(xùn)練4f(x)A.B.C.D.不存在*2.

21、無窮小量與無窮大量定義為無窮小量為無窮大量lim lim性質(zhì)無窮小量(0除外)的倒數(shù)為無窮大量。無窮大量的倒數(shù)為無窮小量。無窮小量與有界變量的乘積仍為無窮小量。有限個(gè)無窮小量的和、差、積均為無窮小量。典型例題2.3下列變量中，是無窮小量的為(A.1ln- (x 0 ) xB.In x (x1)分析解1C. e x (x 0)根據(jù)無窮小量的定義進(jìn)行判別。選項(xiàng)A中：因?yàn)?x選項(xiàng)B中：因?yàn)閤1時(shí),D.2)選項(xiàng)C中：因?yàn)?xx ln xln1 x0,故lnx是無窮小量;時(shí),1 口一口ln-不是無窮小量;x，故e '0 ；但是x 0時(shí)，-x1，故e x0時(shí)不是無窮小量。選項(xiàng)D中：因?yàn)閤2 2x2

22、 42 時(shí)，22-2- x2 4x 2x2 4不是無窮小量。因此正確的選項(xiàng)是 Bo強(qiáng)化訓(xùn)練A.強(qiáng)化訓(xùn)練5當(dāng)xx0.0016當(dāng)x0時(shí)，下列變量中（1 2xB.）是無窮大量.D.(A) e1 x 1x1時(shí)，下列變量中的無窮小量是（B） 一x 1).(D) ln(1 x)強(qiáng)化訓(xùn)練7時(shí)，下列變量中的無窮小量是（).(A) e(C)xx2 1強(qiáng)化訓(xùn)練8當(dāng)x1（D） ln- x0時(shí)，下列變量中的無窮小量是（).(A) e x(B) ln x 1(C) ln(x1)(D) cosx典型例題2.4，一.1極限 lim xsin解因?yàn)楫?dāng)x10時(shí)，x是無否小重，sin是有界變量.x故當(dāng)x0時(shí),.1，,口xsin仍

23、然是無否小量.x所以lim xsin-0.正確答案:強(qiáng)化訓(xùn)練9lxm1.1sinx 1A. 1B.C. 1D./、存在強(qiáng)化訓(xùn)練10limxsin5x強(qiáng)化訓(xùn)練11limxxx sinx3.極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則：若limA,limlim(典型例題2.5計(jì)算極限lim( ) ABAlim(B 0)B2 x lim - x 2 x分析對(duì)于分式求極限問題，0,如果分子、分母的極限都為 函數(shù)變形，再用除法法則求極限。首先要看分母的極限是否為 0,若是，再看分子的極限是否為0,且分子分母都是 x的多項(xiàng)式，則利用分解因式的方法將解x2 4x2 x 2lim(x 2)(x 2) lim - x

24、2 (x 2)(x 1) x 2 x 1可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤:x24x2""x-22網(wǎng)(x 4)lim x2 x 2x 2解題指導(dǎo)當(dāng)分母的極限為 0時(shí)，一定不能直接用極限的除法法則，必須對(duì)函數(shù)進(jìn)行適當(dāng) 的變形，例如這道題目中的變形是分解因式，消去為零的因式。強(qiáng)化訓(xùn)練12計(jì)算極限強(qiáng)化訓(xùn)練13計(jì)算極限強(qiáng)化訓(xùn)練14計(jì)算極限典型例題2.6計(jì)算極限2.xlim不x 4 x2limlimx 05x 4165x 4x 12x2 5xx 2,1 xx分析此題也是當(dāng)x 0時(shí)，分母的極限為0,且分子的極限也為 0,而且分子中含有無理 根式，這樣就不能用前一題的分解因式的方法求解。對(duì)于這類題目是采用根

25、式有理化的方法，利用公式：(a b)(a b) a2 b2,將分式的分子、分母同乘V1 x 1,即1x1(.1 x 1)( 1 x 1)xx(. 1 x 1)1 x 1x1x(. 1 x 1) x( 1 x 1)1 x 1注意到，變形后的分式,1 x 1解limx 0v當(dāng)x0時(shí)，分母的極限不為(.1 x 1)( .1 x 1)x( 1 x 1)0,于是可以用極限的除法法則求解。1 x 1x(. 1 x 1)xim0可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤:limo“X Y 1上一一1 1 ,因?yàn)榉肿?、分母的極限都是0。, 心 .9 2x 3強(qiáng)化訓(xùn)練15計(jì)算極限lim-3 x 1 x強(qiáng)化訓(xùn)練16計(jì)算極限lim 一x 1

26、x 1強(qiáng)化訓(xùn)練 17 lim & Jn 2 Jn 3n3 x 1典型例題2.7計(jì)算極限lim （ ）X 1 x2 1 x 1解先通分，然后消去零因子，再四則運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.即lim(32xL) = Hm(3 x) (x 1)1 x 1 (x 1)(x 1)lim 21x 1 x 1強(qiáng)化訓(xùn)練18計(jì)算極限h) hx強(qiáng)化訓(xùn)練19計(jì)算極限xmJ強(qiáng)化訓(xùn)練20計(jì)算極限lim12x2 1典型例題2.8計(jì)算極限limx105(3x 1)(1 2x)5(3x 1)15解當(dāng)xlimx105(3x 1)(1 2x)5(3x 1)15310( 2)53152535強(qiáng)化訓(xùn)練21計(jì)算極限limx(x10 2)(

27、3x 1)20(2x 3)30強(qiáng)化訓(xùn)練22計(jì)算極限lim x(1 2x)5(3x2 x 2)(x 1)(2x 3)6時(shí)分式的分子、分母的極限都不存在，不能用極限的除法法則，由教材中公式（224）可直接得到結(jié)果，即強(qiáng)化訓(xùn)練23計(jì)算極限lim x4.兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限的一般形式：22x cos x 1(x sinx)2lim(x)sin (x)0(x)1 h(x)hjxm1 麗1M1 (xe典型例題2.9極限limx 0sin2x解利用第一個(gè)重要極限的擴(kuò)展形式，有sin2x2sin2x lim x 0 2xsin2x 2limx 0 2x正確答案：2強(qiáng)化訓(xùn)練24當(dāng)x0時(shí)，下列變量是無窮小量的

28、有（）x的趨向必須是x 0sin xB. x強(qiáng)化訓(xùn)練25已知f (x) 1A. xB.C. ln(1 x) D. xsin x 一，若f(x)為無窮小量，則 xxC. x 1 D.f （x）為無窮小量D. xx .強(qiáng)化訓(xùn)練26已知f (x) 1 ,當(dāng)()時(shí),tanxA. x 0 B. x 1 C. x典型例題2.10.x lim 一xsinx xx sinxsinxsinx解lim lim(1 ) lim 1 limx x x x x x x1 0 1。sinx解題指導(dǎo)可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤答案為 0,原因是將lim x x視為第一個(gè)重要極限。的確，形式上很象第一個(gè)重要極限，但是，仔細(xì)注意一下，第一個(gè)

29、重要極限是量的變化趨勢(shì)不同，而limsn?是無窮小量乘以有界變量，故 xlim snx ,它們的自變x 0 xsinx Clim 0x強(qiáng)化訓(xùn)I練27下列各式中正確的是 。sinxxxA. lim 1 B. lim 1 C. lim 0x xx 0 sinxx 0 sinx.1 強(qiáng)化訓(xùn)練 28極限limxsin等于x xD.sinx lim強(qiáng)化訓(xùn)練29當(dāng)x 0時(shí)，下列變量中不是無窮小量的有（）.2A. -xx 1B. ln(1 x) C.sin xD.典型例題2.11sin x計(jì)算極限lim 一x 0 , 1 x 1解對(duì)分子進(jìn)行有理化，即分子、分母同乘1,然后利用第一重要極限和四則運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)

30、算.即sin xsin x( 1 x 1)lim= lim x 0 .1 x 1 x 0 ( .1 x 1)( .1 x 1)lxm°sn= 20,且分子中含有無理根式。遇到此解題指導(dǎo)當(dāng)x 0時(shí)分式的分子、分母的極限都為 情形需先將根式有理化。強(qiáng)化訓(xùn)練30,9 sin 3x 3計(jì)算極限lim 強(qiáng)化訓(xùn)練31.1 x 1求極限lim x 0 sin 2x強(qiáng)化訓(xùn)練321 sin x 1求極限lim x 0 2x典型例題x2 3x 22.12計(jì)算極限：limx 1 sin(x 1)解先將分子分解因式，然后利用第一重要極限和四則運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.即2 c-.x 3x 2 lim 1 sin(x

31、 1)(x 1)(x 2) (x 1)=lim lim - lim (x 2)1x 1sin(x 1) x 1 sin(x 1)x 1強(qiáng)化訓(xùn)練33求極限1x2limx 3 sin(x 3)強(qiáng)化訓(xùn)練34求極限x2 2x 3 lim x 3 sin(x 3)強(qiáng)化訓(xùn)練35求極限lxmi強(qiáng)化訓(xùn)練36求極限limx 1sin(x 1)x2 1tan(x 1)x2 x 23 tanx典型例題2.13求極限lim(xsin- )x 0 x 2x分析利用極限的加法法則，此極限為兩個(gè)極限的和，且3 一lim xsin 為無否小重乘以有界 x 0 xtanx 1 tanx變重仍為無劣小重，lim - lim，再利

32、用第一個(gè)重要極限求解。x 0 2x 2x 0 x3 tanx3 tanx解lim(xsin- ) limxsin limx 0 x 2x x 0 x x 0 2xlim xsin-lim2x0tanxx21解題指導(dǎo)可能出現(xiàn)3 .的錯(cuò)誤：將lim xsin也視為第一個(gè)重要極限， x 0.3 sin3x3 tan x 17lim xsin- 3limx 3,于是 lim (xsin- ) 3 - -。x 0 x x 0 3x 0 x 2x22強(qiáng)化訓(xùn)練37求極限lim(xsin-x 0 xsin xsin 2xsin 2x強(qiáng)化訓(xùn)練38求極限lim (, cosx)x 0 x 1 11典型例題2.14

33、求極限limo(1 2x)7解利用第二重要極限計(jì)算，即11lim (1 2x)x=lim(1 2x)x 2 ex 0x 0強(qiáng)化訓(xùn)練39 lim 1 2 nA. e1B. e2 C. e4 D. e 萬強(qiáng)化訓(xùn)練40下列極限計(jì)算正確的是（A. lim® 1x 0 、)xB. lim 1x 0 xC. lim(1)2xex 02x強(qiáng)化訓(xùn)練41下列極限計(jì)算正確的是A. lim (11)xe B. lim (1x 0 vxD. lim(1 ) xeex 2x).1. sin x .x)x e C. limxsin- 1 D. lim 1xvx v1 x - 11 典型例題2.15求極限lim0

34、(1-)x分析利用指數(shù)運(yùn)算法則,1X _ 11(1 丁211(1個(gè)戶(1個(gè))11,其中l(wèi)im(1可以利用第22x 02二個(gè)重要極限求解，但要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危蛊涑蔀榈诙€(gè)重要極限的擴(kuò)展形式；而lim (11X 二解lim (1 一)xx o 211Xm0(11/(1鏟Xm0(11X.xX11二)x lim(1 -)2 x o 2x -( 則(1 2)xlim(1x、112)解題指導(dǎo)可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤:x 1 11x 2 (-)x 11-(1) lim (1-)x lim (1)x2 lim(1 )e2 1 e2x o2x o2 x o 2(沒有記清第二個(gè)重要極限的擴(kuò)展形式,1g(mo(1 g(x)

35、由e，它只在指數(shù)上乘2、除2,但忽視了底應(yīng)為1 g(x),所以必須在指數(shù)上同乘2,同除2)。(2)錯(cuò)誤計(jì)算lim(1歹1的結(jié)果為11,所以Hm(1111-11Te 11 TT強(qiáng)化訓(xùn)練42求極限3 x 1 2 叫(J強(qiáng)化訓(xùn)練43求極限lim (1x強(qiáng)化訓(xùn)練44求極限2 x 1 1 lim(丁)x x o 2典型例題2.16求極限 lim( x x1)解先進(jìn)行恒等變形，在利用第2個(gè)重要極限。即x 1 x !”)11ximyx1 - xlimx(1 1)x(11)x x強(qiáng)化訓(xùn)練45求極限lim xix 2 x 2 _強(qiáng)化訓(xùn)練46求極限lim(1) 2x 2y -x2x 6 (x 3)(x 2)x 0

36、2x24i5.函數(shù)的連續(xù)性和間斷點(diǎn)f(x)在 x0 連續(xù):lim f (x) f(x0) x x強(qiáng)化訓(xùn)練47設(shè)MM kx尸 e3,則k lim f (x)f(x0)左連續(xù)x xlim f (x)f(x0)右連續(xù)x)f(x0)0x x)lim y lim f (x0 x 0x 0'f(x)在x0處間斷，是指出現(xiàn)下列三種情況之一：(1)在x0處無定義。(2)在x0處極限不存在。(3)在x0處有定義，且lim f(x)存在，但lim f(x) f (x0) X xX %初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都連續(xù)。x 2典型例題2.17函數(shù)y -的連續(xù)區(qū)間是()x x 6A. (,)B. (, 3)( 3,

37、)C- (,2)(2,)D. (, 3)( 3,2) (2,)分析根據(jù)函數(shù)連續(xù)性的結(jié)論，“初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的”進(jìn)行判別。 x2解因?yàn)楹瘮?shù)y 是初等函數(shù)，所以其定義區(qū)間就是連續(xù)區(qū)間。又x x 6函數(shù)的定義域?yàn)?3)( 3,2)(2,),所以B選項(xiàng)正確。強(qiáng)化訓(xùn)練48函數(shù)f(x)3x3 x的連續(xù)區(qū)間是A. 0 , 1) J(1，2B. 0 , 2C. 0 , 1)D. (1,2強(qiáng)化訓(xùn)練49函數(shù)y1 一 、口的連續(xù)區(qū)間是(ln(x 1)A.1,2)(2,B.(1,2)(2,C.(1,)D. 1,典型例題2.18求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)x2 9,xy x 3,2, x分析函數(shù)的間斷點(diǎn)即為不連續(xù)的

38、點(diǎn)，在這樣的點(diǎn)上，一定有l(wèi)im f (x)f (x0)。x x0對(duì)于題中的函數(shù)在 x3處有l(wèi)imx 3x2 9x 3lim (x 3) 6, x 3且f (3) 2 ,所以x 3是間斷點(diǎn)。. x 9解因?yàn)閘imx 3 x 3lim (x 3) x 3f (3)，所以x3是間斷點(diǎn)。解題指導(dǎo)可能發(fā)生的錯(cuò)誤:_x2 9 ,因?yàn)閒(x)在xx 33處沒有定義，所以 x3是間斷點(diǎn)。錯(cuò)誤在于函數(shù)在x 3是有定義的，f(3) 2M3x2 9x 3螞(x 3)6 ,所以x 3是間斷點(diǎn)。錯(cuò)誤在于沒有指明極限值不等于函數(shù)值。強(qiáng)化訓(xùn)練50函數(shù)1f(x) -Z1 e1 x的間斷點(diǎn)是強(qiáng)化訓(xùn)練51f(x)x 4 x2 3

39、x的間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)是A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 3個(gè)2一 , x強(qiáng)化訓(xùn)練52函數(shù)f(x) X 2 ,ln xXA.無間斷點(diǎn)B. x 2x 11 x 2 的間斷點(diǎn)是 c2 xC. x 1 D. x 1 , x 2典型例題2.19當(dāng)k 時(shí)，f(x)0處連續(xù).xsin k, x 0 x，在x1,x 0解由連續(xù)函數(shù)的定義，函數(shù)f (x)在x 0處連續(xù)的充分必要條件是lim f(x) f(0) x 01在題目中 f (0) 1,且 limf(x) lim (xsin- k) 0 k xx x即當(dāng)k 1時(shí)，有l(wèi)imf(x) f(0),即f(x)在x 0連續(xù). x 0正確答案：1x2 1強(qiáng)化訓(xùn)練53已知

40、f (x) x 1 a若f (x)在()內(nèi)連續(xù)，則a .強(qiáng)化訓(xùn)I練54函數(shù)f (x)11 2x C,x 0 ,x在x = 0處連續(xù)，則k =(k,x 0)A. -2 B. -1 C. 1D. 2強(qiáng)化訓(xùn)練55設(shè)f (x)A. 1 B.強(qiáng)化訓(xùn)練56若f(x)在x 0處連續(xù)，則k_1_1 C. e D. e1(1 2x)x x 0在點(diǎn)x 0處連續(xù)，則k ().A. e12B. e C. e2D. e典型例題2.20當(dāng)k 時(shí)，f (x)x 1x2 k解因?yàn)楹瘮?shù)是左連續(xù)的，即f (0 ) lim (x 1) 1 f (0) x 0若 f(0 )lim(x2k) k 1x 0即當(dāng)k 1時(shí)，f(x)在x 0

41、不僅是左連續(xù)，而且是連續(xù)的.所以，只有當(dāng)k 1 時(shí)，f(x)在 x0僅僅是左連續(xù)的.正確答案：1強(qiáng)化訓(xùn)練57設(shè)f(x)x2 1,-1xsin k,xx 0x 0 ,若f(x)在x 0處連續(xù)，則k強(qiáng)化訓(xùn)練58當(dāng)k 時(shí)，f (x)x 1 x 0,在x 0處僅僅是右連續(xù).x2 k x 0強(qiáng)化訓(xùn)練59當(dāng)kA . 0()時(shí)，f (x)x 1 x 0,在x 0處連續(xù).x2 k x 0強(qiáng)化訓(xùn)練60設(shè)f (x)3x 10e x ，若f(x)在x 0處連續(xù)，則kk x 06.導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)定義：y dy f (x) dx則 (存在)f (x0)lim""x)-f(x)令x x0x lim 投

42、匕3x 0x= x x0 x x0典型例題2.21設(shè)f(x)x2,則lim f(xf-(2)()x 2 x 2A. 2x B. 2C. 1 D. 4分析極限式limf-(x)一f(2)是f(x) x2在x 2處導(dǎo)數(shù)的定義式，x 2 x 2解limfxf-(2)f (2)x 2 x 2又因?yàn)閒(x) x2,則f(x) 2x, f (2) 2xx 24,所以正確選項(xiàng)為 Do 解題指導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)一定是一個(gè)數(shù)值，而不是函數(shù)，所以不能選擇 Ao強(qiáng)化訓(xùn)練61設(shè)f (x) ln x ,則limf®()。x 1 x 1A. 11B. e 2C. 0D.不存在強(qiáng)化訓(xùn)練62設(shè)f(x)在X 0處可

43、導(dǎo)，且f (0)A.不存在 B. f (0)C.0D.任意x強(qiáng)化訓(xùn)練63右 lim X 0 f(x) f (0)強(qiáng)化訓(xùn)練 64設(shè) f(x) x(x 1)(x 2)(x 3)，求 f (0)f (x x)f (x),).cos是常數(shù)函4典型例題 2.22若 f (x) cos,貝U lim - (4 x 0 xD. sin 4A 2.A. B. 0C. sin 24分析這個(gè)極限的表達(dá)式正是函數(shù)f (x)在x處導(dǎo)數(shù)的定義，且f(x)數(shù)，常數(shù)函數(shù)是可導(dǎo)的，而且它的導(dǎo)數(shù)是0.解由導(dǎo)數(shù)定義可得lim f(xx)f-(x)f (x) = (cos) = 0x 0 x4所以，正確的選項(xiàng)是 B.一. x 1

44、c強(qiáng)化訓(xùn)練65設(shè)f (x)，則f (0)()。x 1A.不存在B. 1C. 0D. 1強(qiáng)化訓(xùn)練66極限lim 蜜8x) sin x ()x 0xA. 1B. cos xoC. sin x° D. 不存在強(qiáng)化訓(xùn)練67若函數(shù)y ln <3，則y = 7 .導(dǎo)數(shù)的幾何意義f'(xo)的幾何意義是表示曲線 y f (x)在(xo,yo)處的切線斜率，其切線方程為:y yof'(xo)(x Xo)典型例題2.23曲線y x3 x在點(diǎn)(1,0)處的切線是().A . y 2x 2B. y 2x2C . y 2x 2D.y 2x 2解由導(dǎo)數(shù)的定義和它的幾何意義可知,y(1)

45、(x3 x) (3x2 1)2x 1x 1是曲線y x3 x在點(diǎn)（1,0）處的切線斜率，故切線方程是0 2( x 1),即 y 2x 2故正確的選項(xiàng)是A.強(qiáng)化訓(xùn)練68曲線y e2x 1在x2處切線的斜率是（4A. eB. e2 C. 2e4 d.21強(qiáng)化訓(xùn)練69曲線y x 2在點(diǎn)（1,1）處的切線斜率是 強(qiáng)化訓(xùn)練70曲線y = sinx在點(diǎn)（0, 0）處的切線方程為（）.A. y = x B. y = 2x C. y = 1x D. y = -x2強(qiáng)化訓(xùn)練71函數(shù)f（x）ln x在x1處的切線方程是（).A. x y 1B. x y 1C. x y 1D. x y 11),求 y解因?yàn)?G1)4.x1)所以_1_2、x3-) x強(qiáng)化訓(xùn)練72過曲線y x4上一點(diǎn)（2,3）的切線的斜率是，4 xA. 2B. 2C. 1D. 1強(qiáng)化訓(xùn)練73曲線yVx在點(diǎn)（4, 2）處的切線方程是8 .導(dǎo)數(shù)基本公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則解題指導(dǎo)求導(dǎo)數(shù)時(shí)，要先觀察函數(shù),看看能否將函數(shù)化簡(jiǎn)