中考數(shù)學(xué)壓軸題：圓的綜合

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題：圓的綜合1.如圖，矩形 ABC珅，AD= 10, CD= 15, E是邊CD上一點，且 DE= 5, P是射線 AD上一動點，過 A P, E三點的。O交直線AB于點F,連結(jié)PE EF, PF.(1)當(dāng)AP= 6時，求AF的長；(2) tan / PFE的值是否改變？若不變，求出它的值；若改變，求出它的變化范圍.(3)在點P的整個運動過程中.當(dāng)矩形ABC胎好有2個頂點落在。O上時，求AP的長.解：(1)過點F作FGL CD點G則四邊形 AFGD1矩形，則 DG= AF, FG= AD= 10, . / EDP= / EGF= 90 ,.PF是直徑， ./ PEF= 90

2、6; , / DEP/ GEF= 90 , . / GEFfZ EFG= 90 , ./ DEP= / EFGDEm GFEEG= 8,. DG= DREG= 5+8,.AF= 13.(2) tan/PFE的值不變.如圖1中，連接 AE理由：如圖1中，,呢二五,./ PFE=Z DA=nF i在 RtADE中，tan Z DAR AD 2tan Z PFE= tan Z DAM(3)如圖2中，當(dāng)O。經(jīng)過A、D時，點P與D重合，此時 AF10,. tan Z PFE=i'pc>7pe2-de2=& J如圖4中當(dāng)。經(jīng)過AC時，作FIVLDC交DC的延長線于 M根據(jù)對稱性可知，

3、DEE= CM= BF= 5,在 Rt EFM中,EF=;WH，PE= EF= &展,22'.-.PD=7pp-DE2=-，.AP= AD-5綜上所述，AP的值為10或5或卞時，矩形ABCg好有2個頂點落在。O上,2.如圖，AB是圓O的直徑，弦CD!AB于G射線DOW直線CE相交于點E,直線DB與CE 交于點H,且/ BDC= / BCH(1)求證：直線CE是圓O的切線.(2)如圖1,若OG= BG BH= 1,直接寫出圓 O的半徑；(3)如圖2,在(2)的條件下，將射線 DO繞D點逆時針旋轉(zhuǎn)，得射線DM DM與AB交 于點M與圓O及切線CF分別相交于點 N, F,當(dāng)GIM=

4、GW,求切線 CF的長.解：(1)如圖1,E. CDLAB / 4= 2/2,.Z 1 = Z 2, / 4=2/1,. / 1 = / BCH ./ DCH= 2/ 1,.Z 4=Z DCH, / 3+7 4=90° ,，/3+/DCH= 90° ,即/ OCH= 90° ,直線CE是圓O的切線；(2) OG= BG 且 OBLCG. OC= BC又.OC= OB .OBC1等邊三角形， / 1 = /2 = /3=/ BCH= 30° , Z 4=60° ,H= 90° ,. BH= 1,. OC= BC= 2BH= 2,即圓O的

5、半徑為2;(3)如圖2,過點F作FEI DC交DC延長線于點E,國2 ./ CFE+Z FCE= 90 ,OCL FG，/ OCGZ FCE= 90 ,/ CFE= / OCGs .tan / CFE= tan / OCG 即（；g -3EF設(shè)CEx,則EF=心,. GM= GD MG_ CD / MDG 45 , .FE± ED ./ DFE= 90° -Z MDG45° =Z MDGEF= ED= EGCD又CD= 2CG= 2X22T2=2、上,.V3x=x+2V3,解得x= 3+JI .FC=2EC= 6+2 ：；.3.如圖1,在矩形紙片 ABCD3, A

6、B= 3cm AD= 5cm折疊紙片使 B點落在邊 AD上的E處,折痕為PQ 過點E作EF/ AB交PQF F,連接BF.(1)求證：四邊形 BFEF菱形；(2)當(dāng)點E在AD邊上移動時，折痕的端點 R Q也隨之移動；當(dāng)點Q與點C重合時(如圖2),求菱形BFEP勺邊長；若限定P、Q分別在邊BA BC上移動，求RtCED勺內(nèi)切圓半徑的取值范圍.(2)(1)證明：二折疊紙片使 B點落在邊AD上白E E處，折痕為PQ，點B與點E關(guān)于PQ對稱， .PB= PE, BF= EF, / BPF= Z EPF又 EF/ AB, ./ BPF= / EFP ./ EPF= / EFPEP= EF,. BP= B

7、F= EF= ER 四邊形BFEP為菱形；(2)解：四邊形 ABCDI矩形， .BC= AD= 5cmi CD= AB= 3cmi / A= / D= 90 , 點B與點E關(guān)于PQ對稱， CE= BO 5cm在 RtCDE中，DE= VCE2''CB2=4cmi . AE= AD- DE= 5cmi- 4cm= 1cmi在 RtAPE中，AE= 1, AP= 3- PB= 3 - PE,.E1= 12+ (3 - EB 2,解得：EF= cmi 35菱形BFE用邊長為二-cm當(dāng)點Q與點C重合時，如圖，點 E離點D最遠(yuǎn)，此時RtCED勺內(nèi)切圓半徑最大;圖由知，在 RtCE計,ED

8、= 4cmi CE= 5cmi CD= 3cm易得四邊形OMDG正方形,設(shè)邊長為 rcm,則 EG= EH= 4- r, CM= CH= 3- r,4 - r+3 r = 5,解得r =1;當(dāng)點P與點A重合時，如圖，點 E離點D最近，此時RtCEM內(nèi)切圓半徑最小;可知，在 RtACED, ED= 2cm CD= 3cmi則 ce=Vcd2+ed2=Vncmi同理易得四邊形OMDG：正方形，設(shè)邊長為 rcm,則 EG= EH= 2- r, CM= CH= 3- r, - 2 - r+3- r = dl3,解得=生”；. RtCED勺內(nèi)切圓半徑r的取值范圍為一工wrw1.4.如圖，AB AC是。O

9、的兩條切線， B C為切點，連結(jié) CO并延長交AB于點D,交O O于 點E,連結(jié)BE AO(1)求證：AO/ BE;(2)若 tan /BEO=DE= 2,求 CO的長.AB AC是。O的兩條切線，B, C為切點,.AB= AC。叱分/ BAC. OALBC .CE是O O的直徑， ./ CBE= 90 ,BE! BC . OA/ BE;(2) OA/ BE/ BEO= / AOC. tan / BEO=y, .tan / AO0血，在 RtAAOO,設(shè) OG= r,則 AC= &r, OA=同, .在 RkOEB中,E5空1r, sH BE/ OADBP DAO 理圖DO OA

10、9;273 - 1 ,DO - VJi,. DO= 3,. OC= OE= DO- DE= 32=1.5.如圖，AB是O O的弦，點O為半徑OA勺中點，過點O作ODLOA交弦AB于點E,連接BD且 DE= DB.(1)判斷BD與。O的位置關(guān)系，并說明理由.5(2)若 OD= 15, BE= 10, tan A=yy,求。O的直徑.解：（1） BD是。的切線.理由如下：連接 OB OB= OA DE= DB/ A= / OBA / DEB= / ABD又.ODL OA/A+/ AEO= /A+/DE降 90° , / OBA/ABD= 90 ,. OBL BQBD是O O的切線.(2)

11、如圖，過點 D作DGL BE于點G. DE=DBEG=BE=5,21 . Z ACE=Z DGE=90 , Z AEG= Z GEQ2 .Z GDE=Z A,.'.A ACEA DGE3 .tan ZEDG=tanA=,即 DG=12,在 RtAEDGF,/DG=VdE2-EG2= 12,. DE=13,CD=15,CE=2, AC DGE,AC _CE"DGCE 94.AO*?DG=U，96.。0的直徑為20七4AG=.6.如圖，四邊形 ABCDJ接于。O, BD是。O的直徑，AEE! CD于點E, DA平分/ BDE(1)求證：AE是。O的切線;O的半徑.1 = / 2.

12、 DA平分 / BDE 2=7 3.Z 1 = / 3.OA/ DE / OA號 / ADE. AE! CD ./ ADE= 90° . / OAE 90° , 即 OAL AE.又.點A在O O上， .AE是。O的切線，(2)解：.BD是。O的直徑, ./ BAD= 90° . / 5=90° , ./ BAD= / 5. 又.一/ 2=7 3,BADo AED,BD = BA一皿=蛆' . BA= 6, AE= 3, BD= 2AD在RtABAD中，根據(jù)勾股定理,，。0半徑為2代.7.如圖， ABCrt接于半徑為 灰的。Q AC為直彳5, A

13、B=V10,弦BD與AC交于點E,點P為BD延長線上一點，且/ PAD= /ABD過點A作AD BD于點F,連接OF(1)求證：AP是。0的切線；(2)求證：/ AOF= / PAD(1)證明：: AC是O 0的直徑,ABC= 90° ,即/ABB/CBD= 90 ,CD= CD,/ CAD= / CBD. / PAD= / ABD / PAD/CAD= /ABD/CBD= 90 ,即 PAL AC,.AC是O 0的直徑， .AP是。0的切線；(2)解：.在 RtABC中，AB=V10, AC=2VS,.sin 0=巫=返, AC 2./ C= 45° ,，/ ADB= /

14、 C= 45°.AF71 BD ./ FAD= / ADB= 45 ,FA= FD,連接OD. OA= OD OF= OF FA= FD,. AOm DOF(SSS, ./ AOF= / DOF ./ AOD= 2/AOFAU= AD， .Z AOD= 2/ABD .Z AOF= / ABD. / ABD= / PAD/ AOF= / PAD(3)解：延長OF交AD于點G,. OA= OD / AO& / DOG. OGL AQ . tan / PAA：, / AOF= / PAD.tan ZAOF=AGOG在 RtAAOG, AO=V5,設(shè) AG= x,aG+oG= aO,

15、x2+ (3x) 2= ("2, 解得：x =圖，。冬。邛,FAD= 45 , OGL AD.Z AFG= / FA氏 45FG= A(G=, 2OF= OG FG=:8.如圖1,已知點 A、O在直線l上，且 AO= 6, ODLl于O點，且OD= 6,以O(shè)M直徑在OD勺左側(cè)彳半圓 E, ABJ±AC于A,且/ CAO= 60° .(1)若半圓E上有一點F,則AF的最大值為 6n ;(2)向右沿直線l平移/ BAC導(dǎo)到/ B' A C ;如圖2,若AC截半圓E的谷口的長為兀，求/ A'GO勺度數(shù)； /AOD 90 ,若半圓E上有一點F,當(dāng)F與D重合

16、時，AF的值最大,如圖1所示：最大值=心心與口屋心氣鏟=672；故答案為：6五；(2)連接EH EG DH如圖2所示：則半圓E的半徑ED= E0=O氏3設(shè)/ GEH= n. A' C截半圓E的面的長為兀，田乂 3 一一 兀，180解得：n=60, .Z GEH= 60° ,. EH= EG . EGH1等邊三角形， ./ EGH= 60° =/ C A O= 60 .EG/ l ,. ODL l ,. EGL OD ./ DEH= 90° - 60° =30° ,. ED= EH./ D=y (180° - 30。)= 75&

17、#176; ,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得：/A GO /D= 75。；分兩種情況：當(dāng)半圓 E與A C相切時，如圖3所示:OAOD ODL l , .I是半圓E的切線，. OA=PA, ZOAE=yZC AO 30 ,OA = «OE= 3后，平移距離 AA=A6 OA = 6-a；當(dāng)半圓E與AB相切時，如圖4所示：則/ PAA= 180° 90° 60° =30° ,. OA=PA , ./ POA = 15 , ./ OEA = / PAA= 15 ,tan15 = 2 .OA = 3 ( 2- xf3) =6- 33,，平移距離 AA=AO O

18、A=3V5;6 - 3/3 或 3巧.綜上所述，當(dāng)半圓 E與/ B' A C的邊相切時，平移距離為9.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，半徑為1的。O與x軸正半軸和y軸正半軸分別交于A B兩點，直線l : y=kx+2 (k<0)與x軸和y軸分別交于 P, M兩點.(1)當(dāng)直線與。O相切時，求出點 M的坐標(biāo)和點P的坐標(biāo)；(2)如圖2,當(dāng)點P在線段OAi時，直線1與。O交于E, F兩點(點E在點F的上方) 過點F作FC/ x軸，與。O交于另一點C,連結(jié)EC交y軸于點D.如圖3,若點P與點A重合時，求OD的長并寫出解答過程；如圖2,若點P與點A不重合時，OD勺長是否發(fā)生變化，若不發(fā)

19、生變化，請求出OD勺 長并寫出解答過程；若發(fā)生變化，請說明理由.（3）如圖4,在（2）的基礎(chǔ)上，連結(jié) BF,將線段BF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90。到BQ若點Q在CE的延長線時，請用等式直接表示線段FQ FQ之間的數(shù)量關(guān)系.圖1圖2圉3H4解：（1） 半徑為1的。與x軸正半軸和y軸正半軸分別交于 A, B兩點.A (1, 0) , B (0, 1), OA= OB= 1 直線 l : y=kx+2 (k<0)中，當(dāng) x=0 時，y=2 點M坐標(biāo)為（0, 2）, O限2點P坐標(biāo)為（當(dāng)kx+2=0時，解得:設(shè)直線l與與。O相切于點N, . ONL MP ON= 1 ./ ON隨 Z :ONP= 90

20、RtAOMFN, sin/OMN粵金 Uln A / OMN30 np «RtAMOF, tan / OMP=上g _石解得：k= 712 二 32 2 2如"I a2V3，點P坐標(biāo)為(-一,0)（2）.一P與A重合，F(xiàn)C/ x軸.P (1, 0),-看=1,點 F與 R A重合 k=- 2, C( - 1, 0). .直線 l : y= - 2x+2 點E在直線l上，且在。O上 設(shè) E (e, 2e+2),貝U有 e2+ ( 2e+2) 2= 1解得：e1=1 (即為點A,舍去)，e2= 2e+2= - *2X+2 =言 點E坐標(biāo)為(圣枷D (0, 1)解得:y=ax+b

21、-a4b0，直線CE與y軸交點OD= 一2OD勺長度不變.設(shè)點(x, V)在。O上，則有x2+y2= 1 求直線l： y = kx+2與。O的交點E、F,即求兩方程的公共解，y=k"2 22x2+y -1整理得：(1+k2) x2+4kx+3= 0設(shè) E (e, ke+2),F (t , kt+2)e+t =4k1+k，et =. FC/ x軸且C在O O上- C F關(guān)于y軸對稱，即C(-t, kt+2)設(shè)直線CE解析式為：y=ax+bI ae+b=kei 2©x e得：-aet+be= ket+2e x t 得：aet +bt = ket +2t +得：(e+t) b=2

22、ket+2 (e+t)把式代入得：b=2k(-)+2= -4+2=' 4k '22 .D (0,:7)即OD=長度不變.J(3)過點Q作QRLy軸于R,設(shè)CF與y軸交點為S ./ BRQ= / FSB= 90° 線段BF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°到BQZ FBQ= 90° , BQ= BF,即 BFQ等腰直角三角形 / RBQ/ SBF= / RBQ/ RQB= 90° ./ RQB= / SBF在 RQB< SBF(ZBEQ=ZFSBZrqb=Zsbf即二 EFRQ屋 SBF (AAS. RQ= SR BR= SF設(shè) F (t, s)

23、, C( t, s)則 FO2t , RQ= SB= 1 -s, BR= SF= t在(2)的基礎(chǔ)上有D (0, 77). DR= BF+BD- t+f-, S>i-s. CS/ RQ C D Q在同一直線上.CDSo QDRCS _SDQR -DR整理得：2s2-2t2- 3s-t+1 = 0 點 F (t , s)在。O上，滿足 s2+t2= 1,2代入整理得：s= 一32 .FQ= BF+BQ= 2BQ= 2 (BR+RQ) = 2t2+ (1 s) 2 =4-4s = L§£ _目33FC= 2t, FC2= 4t2 .3FQ= 4FC2+2FC10.在平面直

24、角坐標(biāo)系 xOy中，對于P、Q兩點給出如下定義：若點 P至Ux、y軸的距離中的最大值等于點 Q到x、y軸的距離中的最大值，則稱 P、Q兩點為“等距點”，如圖中的P、Q兩點即為“等距點”(1)已知點A的坐標(biāo)為(-3, 1)在點E (0,3)、F (3, -3)、G (2,-5)中，點A的“等距點”是E、F ;若點B在直線y=x+6上，且A、B兩點為“等距點”，則點B的坐標(biāo)為(-3,3)(2)直線l ： y=kx-3 (k>0)與x軸交于點C,與y軸交于點D.若Ti (T, t，、T2 (4, t2)是直線l上的兩點，且 Ti、T2為“等距點”，求k的值；當(dāng)k=1時，半徑為r的。O上存在一點

25、 M線段CD上存在一點N,使得M N兩點為“等 距點”，直接寫出r的取值范圍.解：(1);點A(- 3, 1)到x、y軸的距離中最大值為 3,與A點是“等距點”的點是 E、F.點B在直線y=x+6上，當(dāng)點B坐標(biāo)中到x、y軸距離其中至少有一個為 3的點有(3,9)、(-3, 3)、( - 9, - 3),這些點中與A符合“等距點”的是(-3, 3).故答案為E、F;(-3, 3);(2) Ti (-1, t1)、T2 (4, t2)是直線 l 上的兩點， . 11= - k - 3 , t = 4k - 3. k>0,| - k- 3| = k+3> 3, 4k- 3> 3.依

26、據(jù)“等距點”定義可得：當(dāng)-3V 4k - 3<4 時，k+3= 4,解得 k = 1;當(dāng) 4k 3>4 時，k+3=4k- 3,解得 k=2.綜上所述，k的值為1或2.; k=1, .y = x- 3 與坐標(biāo)軸交點 C (0, -3)、D (3, 0),線段 CD= 3/2.N點在CD上，則N點到x、y軸的距離最大值中最小數(shù)為 彳，若半徑為r的。O上存在一點M與N是“等距點”，則r最小值為巨，L-rr的最大值為CDK度麗.所以r的取值范圍為1-<r<3/2.故答案為E、F; (- 3, 3)11.如圖，在 ABC43, AB= AC以AB為直徑的。O交BC于點D,過點D

27、作DEL AC交AC于點E, AC的反向延長線交。O于點F.(1)試判斷直線 DE與。的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若/ C= 30° , O O的半徑為6,求弓形AF的面積.理由是：連接AQ.AB為。O的直徑,Z ADB 90° ,即 ADL BC,.AB= AC. BD= CD. A0= BQDO/ AC. DEL AC，Da ODODi Q，直線DE與。O的位置關(guān)系是相切;(2)連接OF過O作OHL AF于H, / C= 30° , AC= AB.B= / C= 30 , ./ FAB= / B+Z C= 60 ,. OF= OA . FO蝠等邊三角形，.A

28、F= OA= OF= 6, Z FOA= 60° ,OHL AF,.AH= FH= 3,由勾股定理得：OH=&I=3上鼠，弓形 AF 的面積 S= S扇形 foa S>afo產(chǎn)60n M 6_ -二 x 6 X 3V? = 6 兀, .360212 .如圖，以 ABCW一邊AB為直徑的半圓與邊 AC BC分別交于點 D, E,且弧DE=f=弧BE設(shè)/ ABD= a , / C= 3 -(1)用含3的代數(shù)式表示“，并直接寫出 3的取值范圍;(2)若AB= 10, BC= 12,求點 O到弦BE的距離.解：(1)連接AEDE 二 BE，/ CAE= / BAE= / BDE

29、= / DBE .Z DAB= 2 / DBE.AB是。O的直徑，/ ADB= 90° . ./ DAB a = Z DBE-3 = 90° .90° - a = 2 (90 - 3 ). a = 2 3 - 90 .3的取值范圍為45° <3< 90° .(2)作 OF! BE,垂足為 F,則 BF= FE. .OF= -;AE/ ABC= a + (90° - 3 ) = 2 3 90 + ( 90 - 3 ) AB= AC. BE= EC= BC2在 RtABE中， AB= 10, BE=BC= 6,2.AE= 8.

30、 OF= 4.即點O到弦BE的距離為4.13 .如圖，AB, BC, C»別與。O相切于 E, F, G,且 AB/ CQ BO= 2cm Cd 2cm(1)求BC的長；(2)求圖中陰影部分的面積.解：(1) AB, BC CD分別與。O相切于E F, G,. AB/ CQ / EBF/ GCF180 , . Z OBFZ OCFZ EBF+Z GCF= 90 ,/ BOC 90° ,BC=五口”代加十已付,em(2)連接OFBCWOO相切于 F,. OF! BC又 SAbo -BO?CO=二-BC?OF 22. 9 2X2=x4X0FOF=百，, , S 陰影=SABOL

31、 SA BOCJ扇形= =X2X26-觸幾小生嚴(yán)2360=(2/3- -j) cm2.D GC14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點，點 A B分別為直線y=Wx+6與x軸、4y軸的交點.動點 Q從點Q動點P從點A同時出發(fā)，分別沿著 OA方向、AB方向均以1個單位長度/秒的速度勻速運動， 運動時間為t秒(0<t<5),以P為圓心，PA長為半徑的。P與AR OA勺交點分別為 C D,連接CD QC(1)求當(dāng)t為何值時，點Q與點D重合？(2)設(shè)4QC面面積為S試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求 S的最大值；(3)若。P與線段QCR有一個交點，請直接寫出 t的取值范圍.3解：(1)

32、,一點 A B分別為直線y=1x+6與x軸、y軸的交點,A (8, 0), B (0, 6),. OA= 8, OB= 6,AB= Joa'+oM 印爐10， AC為O P的直徑,.ACM直角三角形.，AD= AC?cos/BAO= 2t.5 5當(dāng)點Q與點D重合時，OQAD= OA 即：t+一解得：t=f，.t二時，點Q與點D重合. 13(2)在 RtAACD, CD= AC?sin Z BAO 2tx3 6t5 區(qū)當(dāng) 0vtw 駁，DQ OA- OQ AD= 8- t t1355j-LQ-Oy(8-y-t)二一條 2 號 上普0型9，2a 131313 當(dāng)t=22時，s有最大值為 奧

33、；13；13：當(dāng)警二十45時，DQ= OQAD- AO= t+Lg二孕 1一8號呼，同電F)得39 2 241355 .所以S隨t的增大而增大，r 48 當(dāng)t = 5時，S有最大值為15,又15,綜上所述，S的最大值為15.(3)當(dāng)C*OP相切時，有CQLAB / BAO= / QAC / AOB= / ACQ= 90 , . ACQ AOB.AC _AQ 0蜴't的取值范圍為。(土式"即當(dāng)磊,解得-川所以，o P與線段QCR有一個交點,15.已知 AB是圓O的一條弦，P是圓O上一點，過點 O作MNLAP,垂足為點 M 并交射線AB于點N,圓O的半徑為5, AB= 8.(1)

34、當(dāng)P是優(yōu)弧贏的中點時(如圖)，求弦AP的長；q(2)當(dāng)點N與點B重合時，試判斷：以圓O為圓心，首為半徑的圓與直線 AP的位置關(guān)系，并說明理由；(3)當(dāng)/ BNO= / BON且圓N與圓O相切時，求圓 N半徑的長.p解：(1)連接PO并延長交弦 AB于點H,如圖1所示:.P是優(yōu)弧菽的中點，PH經(jīng)過圓心QPHLAB AH=BH在4AO俳，/ AHO= 90 , AH=AB= 4, AO= 5,OH= Vao2-ah2= 3，在APH43, /AHP90 , PH=OF+OH=5+3=8,AP= Jfh2+kM=*+產(chǎn)=4 通(2)當(dāng)點N與點B重合時，以點 O為圓心，)為半徑的圓與直線 AP相交；理由如下:作OGL AB于G,如圖2所示： / OBG / ABM / OGB= / AMB. OB® ABM.盟典明典上"AB 0E，即 W 5，32解得：BM=普，。嗎-5=i>5 2，當(dāng)點N與點B重合時，以點O為圓心,為半徑的圓與直線AP相交;(3)當(dāng)圓N與圓O相外切時，作 OtX AB于D,如圖3所示:OA= OB=