專題15圓錐曲線大題專項(xiàng)練習(xí)(理)(解析版)

1、專題15圓錐曲線大題專項(xiàng)練習(xí)一、鞏固基礎(chǔ)知識條直線/經(jīng)過6與橢圓交于A、3兩點(diǎn)。1.如圖所示，橢圓二+二=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳、F, 16 91求的周長；若直線/的傾斜角為45。，求總鉆入的面積，22【解析】由橢圓方程二+二=1知：。=4、。= 3、c=",16 9(1)AABF2(m>jAB + AF2 + BF2UAF + AF2 + BF I + IBF, I=4d=4x4 = 16 ；(2)由0 ="知6(-77,0)、B訴。)，又勺=tan450=l,直線/的方程為x y +后=0,x-y + y/7 =0由v2聯(lián)立消去x并整理得：25y2 - 18近丁-

2、81=0, ()恒成立，4 *、18s811乂4（內(nèi)，力）、8（*2,刈），一力十力二）r>2=" 工 J1 - >2 1= >/()+力)2-4)、,)>2哼7筆72而252 .已知點(diǎn)M到點(diǎn)F（3Q）的距離比點(diǎn)M到直線x+4 = 0的距離小1,求點(diǎn)M的軌跡。的方程：（2）若曲線。上存在兩點(diǎn)A、4關(guān)于直線/： x-4y-12 = 0對稱，求直線A3的方程?！窘馕觥縿狱c(diǎn)”（X, y）到點(diǎn)尸（3,0）的距離比點(diǎn)M到直線x+4 = 0的加禽小1，動點(diǎn)M（x, y）到點(diǎn)尸（3,0）的距離與到直線x+3=0的距離相等，二動點(diǎn)M（x, y）在以點(diǎn)尸（3,0）為焦點(diǎn)，工=一

3、3為準(zhǔn)線的拋物線C上運(yùn)動,，拋物線。的方程為丁 = 12.設(shè)A（再,力）、B（x?,力），則代入做差可得（%十 %）（11一%）=12（七一工2），又直線A5的斜率為- 4,.一4（%+為）=12,即兇+%=-3,3345A8中點(diǎn)的坐標(biāo)為（6,-力，直線AB的方程為：y + - = -4（x-6）, U|J4a + v- -= 0,222經(jīng)檢驗(yàn),此時(shí)直線A3勺拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，滿足題意。B,3 .已知石、F?分別是橢圓:+ / = 1的左、右焦點(diǎn)，過定點(diǎn)"(0,2)的直線/與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、 且403(0為坐標(biāo)原點(diǎn))為銳角，求直線/的斜率A的取值范圍。【解析】顯然直線x=

4、0I' ,故設(shè)直線析.v = M+2, 4再，%)、5(如 力)，+ 4kx+ 3 = 0,9由& =(軟)212(22+1)=軟2-3>0,得&>士或k<一史. 422.4A3 X +x)=-r，X =r-,，1f 2 1k-+-k- + 44_ 8K - _&二+1He又0<ZA04<90° = cosZAOB>0 = OA OB>0. ：.OA OB = x x2 + yx y2>0,3A乂 » 刈=(kq +2)(kx4 + 2) = &X X)+ 24(再 +x<) +

5、4 = r + ， 1一T+" ：0.即d<4,，-2女<2, k- + - 4_+_44綜合®。得直線，的斜率&的取值范圍為-與Ug，2)4 .如圖所示，橢圓E經(jīng)過點(diǎn)42,3),對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)£、行在x軸上，離心率e = g。(1)求橢圓石的方程：求的角平分線所在直線的方程°r* v*'1C I【解析】(1)由題意可設(shè)橢圓方程為r + 4 = l(a>>0)，% =大，即上=工，cr b2a 2：.a = 2c,又2=/-。2=3(,2, J橢圓方程為二 + 二=i,41 3149nr* V*又;橢圓過點(diǎn)4

6、2,3),，k + l = 1,解得J=4.橢圓方程為一+二=1：4l 3c16 12由知片(-2,0)、Q(2,0),，直線的方程>，=3(* + 2),即3x4y + 6 =。，直線AA的方程為x = 2, 4-設(shè)P(x, y)為角平分線卜任意一點(diǎn)，則點(diǎn)尸到兩直線的距離相等, =lx-2l,，3x-4y + 6 = 5x(x-2)a£3x-4y + 6 = 5x(2-x),即 x + 2y-8 = 0或2x-y -1 = 0,由圖形知，角平分線的斜率為正數(shù)，故所求ZFAF2的平分線所在直線方程為2x -），-1 =0。二、擴(kuò)展思維視野5 .已知橢圓C：二+二=1（。>

7、方>0）的左右焦點(diǎn)分別為月、工，橢圓。過點(diǎn)夕（1,空），直線交），軸cr lr2于Q,且運(yùn)=2而，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。（1）求橢圓。的方程：設(shè)M是橢圓C的上頂點(diǎn)，過點(diǎn)"分別作出直線M4、交橢圓于4、5兩點(diǎn)，設(shè)這兩條直線的斜率分別為勺、,且勺+您=2,證明：直線A8過定點(diǎn)。1【解析】PE=2QO，c = l. = +三=1, a2=b2+c2=b2 + . cr b2b2 = 1 >=2 , HI- + y- = 1 ；2由題意可知直線A4 一定存在斜率，設(shè)A3方程為y = H+/2,代入橢圓方程得（-+ k2）x2 + 2kbx+ / - 1 = 0 , A0成立， 2一 2k

8、b從一1設(shè)人（玉，川）、力），則X+x）=-j, X, -Xj = -,一 一 一 ,， 一 ，x + k-k + Z22*/-1_白+-1卜八一, 八9.L l 7, _ &N + - 1,女修+人一 1 _ 2h;q 勺+（。-1）（玉+片）_勺 Akj + k、-+= 2,Nx2z x2解得&= + l,代入y=&x+Z?得：y = h+I,，直線必過（一 1,一1）。6.已知拋物線七：/ = 2/次（>0）,直線x = S + 3與E交于A、3兩點(diǎn)，且方麗=6,其中。為坐 標(biāo)原點(diǎn)。（1）求拋物線上的方程：己知點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-3,0）,記直線。4、C3的斜率

9、分別為勺、K，證明：工+上-2加2為定值。 . k1/【解析】（1）聯(lián)立方程組卜-=2x ,消元得：y2-2pmy-6p = 0, A>0恒成立，匕="少+ 3i» A(X, V)、B(x2, 力)， X + % = 2Pm , y y2 = -6/? *-< OA OB = x -X2 + y y2 = -1 ?)+ 川力=9-6P = 6 , 二 =1, 從ifij v2 = x ； 4p-2(2)V k = - X: =，k-> = -=-=, = m + , = zzz + , $ + 3 myI +6 x2 +3 my2 +6 k y k2 y2

10、L +-2m2 = (m + )2 + (m + )2 - 2廣= 2m( + ) + 36(+)k6J 乃Ji H X )5=12,h(1 +，) + 36(± + ±) = 12,« . 211A + 36 (川+%)：二2», 凹 為 yf )5 M 為yfy；乂 y + >S =2pm = m . y1 - y2 = -6p = -3 , 則 L + 1 - 2"F = 24 , k右即+ 為定值24。 k右7 .已知點(diǎn)尸(0,1)直線/： y = -1,尸為平面上的動點(diǎn)，過點(diǎn)。作直線/的垂線，垂足為。，且滿足爐存=FP FQ o

11、求動點(diǎn)尸的軌跡方程：(2)A、4是軌跡M上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的不同兩點(diǎn)，軌跡"在點(diǎn)A、5處的切線分別為4,且乙，/2, /1、/)相交于點(diǎn)。，求點(diǎn)。的縱坐標(biāo)?！窘馕觥吭O(shè)尸(X, y)，則QC*-1)，0?而屈，Z. (0, y + l)(x,2) = (x, y-1)(乂-2),即 2()，+ 1) = d 2()，- 1), HP x2 = 4y，動點(diǎn)P的航跡M的方程x2 = 4y ：(2)設(shè)4(再,%)、5(，刈)，'I、分別是拋物線C在點(diǎn)A、5處的切線,，直線/|得斜率占=y'=3、,"、得斜率% = yf =之, i 22& 七=一1,即Nx)=

12、y, A、區(qū)是拋物線C上的點(diǎn)，X =工六直線乙的方程為9=3*7),直線/，的方程為)一£2紅4 2至4 y y. 二. I由工一七)解得6一)42-42;. .點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為一1。=一128 .已知橢圓C： %的離心率為多且橢圓C過點(diǎn)(L爭。求橢圓C的方程：若直線/與橢圓。交于P、。兩點(diǎn)（點(diǎn)尸、。均在第一象限），且直線OP、/、。的斜率成等比數(shù)列, 證明：直線/的斜率為定值.c出【解析】（1）由題意可得J"2,又/=從+。2,解得卜=2,故橢圓二+/=1：L*u=,4cr 4一出題總可知，宜.線/的斜率存在且不為0,故可設(shè)直線/的方程為尸息+/（30）,設(shè)。（a，y。、Q

13、（x2, y2）,聯(lián)立，y = kx + mS+ v2 = ii4 -,消去 yW： (1 + 4/)F + Skmx+4(m2-l) = 0f則 A = (-8kM2 -4 (1 + 4代).4-1) = 16(422-m2 + l)>0,1一84？4(廣一 1)I !. x. + AS = 內(nèi)不)=7-1+4K-1 + 4&2故 M 力=(kx+ m) (kx2 + w) = k2x - x2 + km(x + x)+ m2，又直線QP、/、。的余；：等比數(shù)列，則也.21J2演+府區(qū)+ Z） + "整理得一軟2，+機(jī)2=0,又加=0,得公=, 4乂結(jié)合圖像可知女=一

14、?，直線/的斜率為定值. 2三、提升綜合素質(zhì)9 .已知橢圓拋物線g的焦點(diǎn)均在X軸上，G的中心和。2的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)。，從G、。2上分別取兩 個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：X3-24V J-2V30-4娓 T求孰、。2的標(biāo)準(zhǔn)方程:（2）若直線/： y = Ax+機(jī)（AwO）與橢圓G交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段A/N的垂直平分線過定點(diǎn)G（：,0）, 8求實(shí)數(shù)A的取值范圍。2【解析】設(shè)拋物線G：產(chǎn)=2N（=0）,則有二= 2p（xw0）,x據(jù)此驗(yàn)證4個(gè)點(diǎn)知（3,-2/）、（4-4）在拋物線上,易求g： /=4x,設(shè)橢圓G：+ - = l(n>/?>0),把點(diǎn)(2,0)、(施亞)代入得： cr

15、 /?-22a1 + 4/72=1解得a=4,狼=3 , C的方程為:+ - = 1 ：（2）設(shè),1）、N（x2, y2）»將，=依+加（4工0）代入橢圓方程，消去y得:(3 + 4A2 )x2 + 8kmx+ 4m2 -12 = 0,A = (Skni)2 - 4(3 + 4k2 )(4m2-12)>0,即 nr v 4、' + 3 ,由根與系數(shù)關(guān)系得取"一黑則號.段MN的中點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（4km 3m3 + 心3 + 46)'9又線段的垂直平分線/'的方程為y =-（x- K O由點(diǎn)尸在直線/'上,得3m 1 z 4km 1即 4k2

16、 + 8A?+3 = 0 , A zm = -L(4A2+ 3)由得啥花+3,.一4即小斛&普, .實(shí)數(shù)2的取值范惘是（一8,-奈U哈，+ 8）。10 .已知橢圓C： +二=1（。匕0）的離心率為©，過右焦點(diǎn)廠的直線/與C相交于A、3兩點(diǎn).當(dāng) cr -3，的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)。到/的距離為絲。 2（1）求4、Z?的值;C上是否存在點(diǎn)尸，使得當(dāng)/繞廠轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有加=況+而成立？若存在,求出所有點(diǎn)P的坐 標(biāo)與/的方程；若不存在，說明理由?！窘馕觥浚?）橢圓的右焦點(diǎn)為尸（c,0），直線/的斜率為1時(shí)，則其方程為y=xc，即工一）1=0，原點(diǎn)。到/距離：4 =io-0-d 4

17、ic 41V2又& 二a/3TG ：.b = y/2 ：22由知橢圓的方程為5+、= 1，設(shè)弦A5的中點(diǎn)為Q（x, y）.由麗=次+ 55可知，點(diǎn)。是線段。尸的中點(diǎn)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2x,2'v）,. 4x2+ 2/=1 ,1線/的斜率不存在，則/Lx軸，這時(shí)點(diǎn)。與尸（1,0）重合，OP = （2,0） >點(diǎn)尸不在橢圓匕故直線/的斜率存在,由3+=一/得:3由和解得：x = 44上2 = 一三，9=一二（/一）,x- x 33+應(yīng)、），=y ='時(shí)，g8="一=一1 E，點(diǎn)夕坐標(biāo)為（土衛(wèi)）.44x-12 2直線/的方程為VL:+y-應(yīng)=0,=v = -時(shí)，

18、kAB = - = 42 .點(diǎn) P 坐標(biāo)為（:，一三44X一122直線/的方程為、既-）"a = 0。），2）已知直線尸一川與橢圓C：相交于A、B兩點(diǎn)。若橢圓的離心率為包，焦距為2,求線段A3的長:31 %歷若向量OA與向量08相互垂直（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)橢圓C的離心率=二時(shí)，求橢圓C長軸長2 2的最大值?！窘馕觥浚?）由題意可知& =二，2f = 2. c = 1 > a = y/3 , h = V3-1 = >/2 , J22工橢圓的為三+匕=1,32/ 2L = i32，消去 y 得：5£-6工-3 = 0,設(shè) A（m，弘）、B（x2,乃），y = -x +1則$+占=4,為多=g JJAl AB 1= yj-x+ty.-y,）2 = & - 7（x,+x2）2-4x,-x2 =、歷. J（1）28退 + =55(2)設(shè)其)、B(xv y2) , OA LOB. ：.OAOB = 0,即司 + X=。，由，消去 y 得(a2 + b2)x2-2a2x +/J(l /)=0 ,W+白 cr 二 t + 1由 A = (-2a2 x)2 - 4 - (a2 +b2)a2(-b2)>Q 9 整理得 / +> 1 ,上2z/2_t/2(l-b2)'x, 2