高考二次求導

1、高考二次求導一解答題（共40小題）1已知函數(shù)f（x）=ax2+lnx，g（x）=bx，其中a，bR，設h（x）=f（x）g（x），（1）若f（x）在x=處取得極值，且f（1）=g（1）2求函數(shù)h（x）的單調區(qū)間；（2）若a=0時，函數(shù)h（x）有兩個不同的零點x1，x2求b的取值范圍；求證：12設a，bR，函數(shù)，g（x）=ex（e為自然對數(shù)的底數(shù)），且函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象在x=0處有公共的切線（）求b的值；（）討論函數(shù)f（x）的單調性；（）若g（x）f（x）在區(qū)間（，0）內恒成立，求a的取值范圍3已知函數(shù)（1）若y=f（x）在（0，+）恒單調遞減，求a的取值范圍；（2）若函數(shù)y

2、=f（x）有兩個極值點x1，x2（x1x2），求a的取值范圍并證明x1+x224已知函數(shù)（1）設G（x）=2f（x）+g（x），求G（x）的單調遞增區(qū)間；（2）證明：當x0時，f（x+1）g（x）；（3）證明：k1時，存在x01，當x（1，x0）時，恒有5已知函數(shù)（） 當a=0時，求曲線f （x）在x=1處的切線方程；（） 設函數(shù)h（x）=alnxxf（x），求函數(shù)h （x）的極值；（） 若g（x）=alnxx在1，e（e=2.718 28）上存在一點x0，使得g（x0）f（x0）成立，求a的取值范圍6設函數(shù)f（x）=eax+lnx，其中a0，e是自然對數(shù)的底數(shù)（）若f（x）是（0，+）上的單

3、調函數(shù)，求的取值范圍；（）若0，證明：函數(shù)f（x）有兩個極值點7已知函數(shù)（a為常數(shù)，a0）（）當a=1時，求函數(shù)f（x）在點（3，f（3）的切線方程（）求f（x）的單調區(qū)間；（）若f（x）在x0處取得極值，且，而f（x）0在e+2，e3+2上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）8已知函數(shù)（1）若g（x）在點（1，g（1）處的切線方程為8x2y3=0，求a，b的值；（2）若b=a+1，x1，x2是函數(shù)g（x）的兩個極值點，試比較4與g（x1）+g（x2）的大小9已知函數(shù)f（x）=xalnx1，其中a為實數(shù)（）求函數(shù)g（x）的極值；（）設a0，若對任意的x1、x23，4（x1x2）

4、，恒成立，求實數(shù)a的最小值10已知函數(shù)f（x）=xlnxk（x1）（1）求f（x）的單調區(qū)間；并證明lnx+2（e為自然對數(shù)的底數(shù)）恒成立；（2）若函數(shù)f（x）的一個零點為x1（x11），f'（x）的一個零點為x0，是否存在實數(shù)k，使=k，若存在，求出所有滿足條件的k的值；若不存在，說明理由11已知函數(shù)f（x）=（x2）ex+a（x1）2（）討論f（x）的單調性；（）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍12設函數(shù)f（x）=ax2alnx，g（x）=，其中aR，e=2.718為自然對數(shù)的底數(shù)（）討論f（x）的單調性；（）證明：當x1時，g（x）0；（）確定a的所有可能取值，使得f（x）g

5、（x）在區(qū)間（1，+）內恒成立13設函數(shù)f（x）=（x1）3axb，xR，其中a，bR（1）求f（x）的單調區(qū)間；（2）若f（x）存在極值點x0，且f（x1）=f（x0），其中x1x0，求證：x1+2x0=3；（3）設a0，函數(shù)g（x）=|f（x）|，求證：g（x）在區(qū)間0，2上的最大值不小于14設函數(shù)f（x）=acos2x+（a1）（cosx+1），其中a0，記|f（x）|的最大值為A（）求f（x）；（）求A；（）證明：|f（x）|2A15設函數(shù)f（x）=x3axb，xR，其中a，bR（1）求f（x）的單調區(qū)間；（2）若f（x）存在極值點x0，且f（x1）=f（x0），其中x1x0，求證：x

6、1+2x0=0；（3）設a0，函數(shù)g（x）=|f（x）|，求證：g（x）在區(qū)間1，1上的最大值不小于16已知函數(shù)f（x）=（x2）ex+a（x1）2有兩個零點（）求a的取值范圍；（）設x1，x2是f（x）的兩個零點，證明：x1+x2217已知f（x）=a（xlnx）+，aR（I）討論f（x）的單調性；（II）當a=1時，證明f（x）f（x）+對于任意的x1，2成立18已知函數(shù)f（x）=lnx+x2（）若函數(shù)g（x）=f（x）ax在其定義域內為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（）在（）的條件下，若a1，h（x）=e3x3aexx0，ln2，求h（x）的極小值；（）設F（x）=2f（x）3x2kx（k

7、R），若函數(shù)F（x）存在兩個零點m，n（0mn），且2x0=m+n問：函數(shù)F（x）在點（x0，F(xiàn)（x0）處的切線能否平行于x軸？若能，求出該切線方程；若不能，請說明理由19g（x）=2lnxx2mx，xR，如果g（x）的圖象與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）（x1x2），AB中點為C（x0，0），求證g（x0）020已知函數(shù)f（x）=alnxax3（aR）（）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；（）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2）處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t1，2，函數(shù)g（x）=x3+x2（f'（x）+）在區(qū)間（t，3）上總不是單調函數(shù)，求m的取值范圍；（）求

8、證：××××（n2，nN*）21設函數(shù)f（x）=（1+x）22ln（1+x）（1）若關于x的不等式f（x）m0在0，e1有實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍（2）設g（x）=f（x）x21，若關于x的方程g（x）=p至少有一個解，求p的最小值（3）證明不等式：（nN*）22已知函數(shù)，f（x）=alnxax3（aR）（1 ）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2）處的切線的傾斜角為45°，問：m在什么范圍取值時，對于任意的t1，2，函數(shù)在區(qū)間（t，3）上總存在極值？23已知函數(shù)f（x）=x3+x2+ax+b（

9、a，b為常數(shù)），其圖象是曲線C（1）當a=2時，求函數(shù)f（x）的單調減區(qū)間；（2）設函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f（x），若存在唯一的實數(shù)x0，使得f（x0）=x0與f（x0）=0同時成立，求實數(shù)b的取值范圍；（3）已知點A為曲線C上的動點，在點A處作曲線C的切線l1與曲線C交于另一點B，在點B處作曲線C的切線l2，設切線l1，l2的斜率分別為k1，k2問：是否存在常數(shù)，使得k2=k1？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由24已知函數(shù)f（x）=alnxax3（a0）（）討論f（x）的單調性；（）若f（x）+（a+1）x+4e0對任意xe，e2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍（e為自然常數(shù)）；（）求證ln

10、（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+ln（n2+1）1+2lnn!（n2，nN*）（n!=1×2×3××n）25已知函數(shù)f（x）=lnxxlna，a為常數(shù)（1）若函數(shù)f（x）有兩個零點x1，x2，且x1x2，求a的取值范圍；（2）在（1）的條件下，證明：的值隨a的值增大而增大26已知函數(shù)f（x）=e1x（a+cosx），aR（）若函數(shù)f（x）存在單調減區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍；（）若a=0，證明：，總有f（x1）+2f（x）cos（x+1）027已知函數(shù)f（x）=（e為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）若a=，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；（2）若f（1）

11、=1，且方程f（x）=1在（0，1）內有解，求實數(shù)a的取值范圍28已知函數(shù)f（x）=，g（x）=ln（x+1），曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線方程是5x4y+1=0（1）求a，b的值；（2）若當x0，+）時，恒有f（x）kg（x）成立，求k的取值范圍；（3）若=22361，試估計ln的值（精確到0.001）29設aR，函數(shù)f（x）=lnxax（）求f（x）的單調遞增區(qū)間；（）設F（x）=f（x）+ax2+ax，問F（x）是否存在極值，若存在，請求出極值；若不存在，請說明理由；（）設A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)g（x）=f（x）+ax圖象上任意不同的兩點，線段AB的中點為

12、C（x0，y0），直線AB的斜率為為k證明：kg（x0）30已知函數(shù)f（x）=x3+（1a）x2a（a+2）x（aR），f（x）為f（x）的導數(shù)（）當a=3時證明y=f（x）在區(qū)間（1，1）上不是單調函數(shù)（）設，是否存在實數(shù)a，對于任意的x11，1存在x20，2，使得f（x1）+2ax1=g（x2）成立？若存在求出a的取值范圍；若不存在說明理由31已知函數(shù)f（x）=x2（a+2）x+alnx，其中常數(shù)a0（）當a2時，求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間；（）設定義在D上的函數(shù)y=h（x）在點P（x0，h（x0）處的切線方程為l：y=g（x），若0在D內恒成立，則稱P為函數(shù)y=h（x）的“類對稱點”當

13、a=4時，試問y=f（x）是否存在“類對稱點”，若存在，請至少求出一個“類對稱點”的橫坐標；若不存在，請說明理由32已知函數(shù)f（x）=2ex+2axa2，aR（1）當a=1時，求f（x）在點（0，f（0）處的切線方程；（2）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；（3）若x0時，f（x）x23恒成立，求實數(shù)a的取值范圍33已知aR，函數(shù)f（x）=exa（x+1）的圖象與x軸相切（）求f（x）的單調區(qū)間；（）若x0時，f（x）mx2，求實數(shù)m的取值范圍34已知函數(shù)h（x）=ax2+1，設f（x）=h'（x）2alnx，g（x）=ln2x+2a2，其中x0，aR（1）若f（x）在區(qū)間（2，+）上單調遞增

14、，求實數(shù)a的取值范圍；（2）記F（x）=f（x）+g（x），求證：F（x）35已知函數(shù)f（x）=lnxx+1，函數(shù)g（x）=axex4x，其中a為大于零的常數(shù)（）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；（）求證：g（x）2f（x）2（lnaln2）36已知x（1，+），函數(shù)f（x）=ex+2ax（aR），函數(shù)g（x）=|lnx|+lnx，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)（1）若a=，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；（2）證明：當a（2，+）時，f（x1）g（x）+a37已知函數(shù)f（x）=x2+mlnx+x（1）求f（x）的單調區(qū)間；（2）令g（x）=f（x）x2，試問過點P（1，3）存在多少條直線與曲線y=g（x）相切？并

15、說明理由38已知函數(shù)（）若f（x）在點（2，f（2）處的切線與直線x2y+1=0垂直，求實數(shù)a的值；（）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；（）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間1，e2上零點的個數(shù)39已知函數(shù)f（x）=（2a）lnx+2ax（a0）（1）當a=0時，求f（x）的極值；（2）當a0時，討論f（x）的單調性；（3）若對于任意的x1，x21，3，a（，2）都有|f（x1）f（x2）|（m+ln3）a2ln3，求實數(shù)m的取值范圍40已知函數(shù)f（x）=lnxax（）若函數(shù)f（x）在（1，+）上單調遞減，求實數(shù)a的取值范圍；（）當a=1時，函數(shù)有兩個零點x1，x2，且x1x2求證：x1+x212017年02月

16、13日數(shù)學的高中數(shù)學組卷參考答案與試題解析一解答題（共40小題）1（2017南京一模）已知函數(shù)f（x）=ax2+lnx，g（x）=bx，其中a，bR，設h（x）=f（x）g（x），（1）若f（x）在x=處取得極值，且f（1）=g（1）2求函數(shù)h（x）的單調區(qū)間；（2）若a=0時，函數(shù)h（x）有兩個不同的零點x1，x2求b的取值范圍；求證：1 解：（1）由已知得f，（x0），所以，所以a=2由f（1）=g（1）2，得a+1=b2，所以b=1所以h（x）=x2+lnx+x，（x0）則，（x0），由h（x）0得0x1，h（x）0得x1所以h（x）的減區(qū)間為（1，+），增區(qū)間為（0，1）（2）由已知h

17、（x）=lnx+bx，（x0）所以h，（x0），當b0時，顯然h（x）0恒成立，此時函數(shù)h（x）在定義域內遞增，h（x）至多有一個零點，不合題意當b0時，令h（x）=0得x=0，令h（x）0得；令h（x）0得所以h（x）極大=h（）=ln（b）10，解得且x0時，lnx0，x+時，lnx0所以當時，h（x）有兩個零點證明：由題意得，即，×得因為x1，x20，所以b（x1+x2）0，所以，因為0b，所以eb1，所以x1x2e2，所以12（2017四川模擬）設a，bR，函數(shù)，g（x）=ex（e為自然對數(shù)的底數(shù)），且函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象在x=0處有公共的切線（）求b的值；

18、（）討論函數(shù)f（x）的單調性；（）若g（x）f（x）在區(qū)間（，0）內恒成立，求a的取值范圍 （）f'（x）=x2+2ax+b，g'（x）=ex，由f'（0）=b=g'（0）=1，得b=1（2分）（）f'（x）=x2+2ax+1=（x+a）2+1a2，當a21時，即1a1時，f'（x）0，從而函數(shù)f（x）在定義域內單調遞增，當a21時，此時若，f'（x）0，則函數(shù)f（x）單調遞增；若，f'（x）0，則函數(shù)f（x）單調遞減；若時，f'（x）0，則函數(shù)f（x）單調遞增（6分）（）令h（x）=g'（x）f'（x）=

19、exx22ax1，則h（0）=e01=0h'（x）=ex2x2a，令u（x）=h'（x）=ex2x2a，則u'（x）=ex2當x0時，u'（x）0，從而h'（x）單調遞減，令u（0）=h'（0）=12a=0，得先考慮的情況，此時，h'（0）=u（0）0；又當x（，0）時，h'（x）單調遞減，所以h'（x）0；故當x（，0）時，h（x）單調遞增；又因為h（0）=0，故當x0時，h（x）0，從而函數(shù)g（x）f（x）在區(qū)間（，0）內單調遞減；又因為g（0）f（0）=0，所以g（x）f（x）在區(qū)間（，0）恒成立接下來考慮的情況，此

20、時，h'（0）0，令x=a，則h'（a）=ea0由零點存在定理，存在x0（a，0）使得h'（x0）=0，當x（x0，0）時，由h'（x）單調遞減可知h'（x）0，所以h（x）單調遞減，又因為h（0）=0，故當x（x0，0）時h（x）0從而函數(shù)g（x）f（x）在區(qū)間（x0，0）單調遞增；又因為g（0）f（0）=0，所以當x（x0，0），g（x）f（x）綜上所述，若g（x）f（x）在區(qū)間（，0）恒成立，則a的取值范圍是（14分）3（2017達州模擬）已知函數(shù)（1）若y=f（x）在（0，+）恒單調遞減，求a的取值范圍；（2）若函數(shù)y=f（x）有兩個極值點x1，

21、x2（x1x2），求a的取值范圍并證明x1+x22 解：（1）因為f'（x）=lnxax+1（x0），所以由f'（x）0在（0，+）上恒成立得，令，易知g（x）在（0，1）單調遞增（1，+）單調遞減，所以ag（1）=1，即得：a1（5分）（2）函數(shù)y=f（x）有兩個極值點x1，x2（x1x2），即y=f'（x）有兩個不同的零點，且均為正，f'（x）=lnxax+1（x0），令F（x）=f'（x）=lnxax+1，由可知1）a0時，函數(shù)y=f（x）在（0，+）上是增函數(shù)，不可能有兩個零點2）a0時，y=F（x）在是增函數(shù)在是減函數(shù)，此時為函數(shù)的極大值，也是

22、最大值當時，最多有一個零點，所以才可能有兩個零點，得：0a1（7分）此時又因為，令，（a）在（0，1）上單調遞增，所以（a）（1）=3e2，即綜上，所以a的取值范圍是（0，1）（8分）下面證明x1+x22由于y=F（x）在是增函數(shù)在是減函數(shù)，可構造出構造函數(shù) 則，故m（x）在區(qū)間上單調減又由于，則，即有m（x1）0在上恒成立，即有成立由于，y=F（x）在是減函數(shù)，所以所以成立 （12分）4（2017大理州一模）已知函數(shù)（1）設G（x）=2f（x）+g（x），求G（x）的單調遞增區(qū)間；（2）證明：當x0時，f（x+1）g（x）；（3）證明：k1時，存在x01，當x（1，x0）時，恒有 解：（1）

23、由題意知，（1分）從而（2分）令G'（x）0得0x2（3分）所以函數(shù)G（x）的單調遞增區(qū)間為（0，2）（4分）（2）令（5分）從而（6分）因為x0，所以H'（x）0，故H（x）在（0，+）上單調遞增（7分）所以，當x0時，H（x）H（0）=0，即f（x+1）g（x）（8分）（3）當k1時，令（9分）則有（10分）由F'（x）=0得x2+（1k）x+1=0，解之得，（11分）從而存在x0=x21，當x（1，x0）時，F(xiàn)'（x）0，故F（x）在1，x0）上單調遞增，從而當x（1，x0）時，F(xiàn)（x）F（1）=0，即（12分）5（2017茂名一模）已知函數(shù)（） 當a=0

24、時，求曲線f （x）在x=1處的切線方程；（） 設函數(shù)h（x）=alnxxf（x），求函數(shù)h （x）的極值；（） 若g（x）=alnxx在1，e（e=2.718 28）上存在一點x0，使得g（x0）f（x0）成立，求a的取值范圍 解：（） 當a=0時，f （x）=，f （1）=1，則切點為（1，1），（1分），切線的斜率為k=f'（1）=1，（2分）曲線f （x）在點（1，1）處的切線方程為y1=（ x1），即x+y2=0 （3分）（）依題意，定義域為（0，+），（4分）當a+10，即a1時，令h'（x）0，x0，0x1+a，此時，h（x） 在區(qū)間（0，a+1）上單調遞增，令h

25、'（x）0，得 x1+a此時，h（x）在區(qū)間（a+1，+）上單調遞減（5分）當a+10，即a1時，h'（x）0恒成立，h（x）在區(qū)間（0，+）上單調遞減（6分）綜上，當a1時，h（x）在x=1+a處取得極大值h（1+a）=aln（1+a）a2，無極小值；當a1時，h（x）在區(qū)間（0，+）上無極值（7分）（） 依題意知，在1，e上存在一點x0，使得g（x0）f（x0）成立，即在1，e上存在一點x0，使得h（x0）0，故函數(shù)在1，e上，有h（x）max0（8分）由（）可知，當a+1e，即ae1時，h（x）在1，e上單調遞增，（9分）當0a+11，或a1，即a0時，h（x）在1，e上

26、單調遞減，h（x）max=h（1）=11a0，a2（10分）當1a+1e，即0ae1時，由（）可知，h（x）在x=1+a處取得極大值也是區(qū)間（0，+）上的最大值，即h（x）max=h（1+a）=aln（1+a）a2=aln（1+a）12，0ln（a+1）1，h（1+a）0在1，e上恒成立，此時不存在x0使h（x0）0成立（11分）綜上可得，所求a的取值范圍是或a2（12分）6（2017佛山一模）設函數(shù)f（x）=eax+lnx，其中a0，e是自然對數(shù)的底數(shù)（）若f（x）是（0，+）上的單調函數(shù)，求的取值范圍；（）若0，證明：函數(shù)f（x）有兩個極值點 解：（）f（x）=aeax+=，（x0），若0

27、，則f（x）0，則f（x）在（0，+）遞減，若0，令g（x）=axeax+，其中a0，x0，則g（x）=aeax（1+ax），令g（x）=0，解得：x=，故x（0，）時，g（x）0，g（x）遞減，x（，+）時，g（x）0，g（x）遞增，故x=時，g（x）取極小值也是最小值g（）=，故0即時，g（x）0，此時f（x）0，f（x）在（0，+）遞增，綜上，所求的范圍是（，0，+）；（）f（x）=aeax+=，（x0），令g（x）=axeax+，其中a0，x0，求導得：g（x）=aeax（1+ax），令g（x）=0，解得：x=，x（0，）時，g（x）0，g（x）遞減，x（，+）時，g（x）0，g（x）

28、遞增，x=時，g（x）取得極小值，也是最小值g（）=，0，g（）=0，又g（0）=0，g（）g（0）0，函數(shù)f（x）有兩個極值點7（2017南充模擬）已知函數(shù)（a為常數(shù)，a0）（）當a=1時，求函數(shù)f（x）在點（3，f（3）的切線方程（）求f（x）的單調區(qū)間；（）若f（x）在x0處取得極值，且，而f（x）0在e+2，e3+2上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)） 解：（x2）（）當a=1時，f'（3）=2.，所以，函數(shù)f（x）在點（3，f（3）處的切線方程為：，即4x+2y3=0（3分）（）=，因為x2，所以x20，當a0時，（x1）2（a+1）=x（x2）a0在x2上

29、成立，所以f'（x）當x2恒大于0，故f（x）在（2，+）上是增函數(shù)（5分）當a0時，因為x2，所以，a（x2）0，當時，f'（x）0，f（x）為減函數(shù)；當時，f'（x）0，f（x）為增函數(shù)（7分）綜上：當a0時，f（x）在（2，+）上為增函數(shù)；當a0時，f（x）在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)（8分）（）由（）知x0處有極值，故a0，且，因為且e+22，所以f（x）在e+2，e3+2上單調（10分）當e+2，e3+2為增區(qū)間時，f（x）0恒成立，則有當e+2，e3+2為減區(qū)間時，f（x）0恒成立，則有解集為空集綜上：當ae6+2e3時滿足條件（12分）8（2017本溪模擬）

30、已知函數(shù)（1）若g（x）在點（1，g（1）處的切線方程為8x2y3=0，求a，b的值；（2）若b=a+1，x1，x2是函數(shù)g（x）的兩個極值點，試比較4與g（x1）+g（x2）的大小 （1）根據(jù)題意可求得切點，由題意可得，即，解得a=1，b=1（3分）（2）證明：b=a+1，則根據(jù)題意可得x2ax+a=0在（0，+）上有兩個不同的根x1，x2即，解得a4，且x1+x2=a，x1x2=a（5分）（6分）令，則f'（x）=lnx+1x1=lnxx，令h（x）=lnxx，則當x4時，h（x）在（4，+）上為減函數(shù)，即h（x）h（4）=ln440，f'（x）0，f（x）在（4，+）上為

31、減函數(shù)，即f（x）f（4）=8lnx12，g（x1）+g（x2）8ln212，（10分）又，即，g（x1）+g（x2）4（12分）9（2017本溪模擬）已知函數(shù)f（x）=xalnx1，其中a為實數(shù)（）求函數(shù)g（x）的極值；（）設a0，若對任意的x1、x23，4（x1x2），恒成立，求實數(shù)a的最小值 解：（），令g'（x）=0，得x=1，列表如下：x（，1）1（1，+）g'（x）+0g（x）極大值當x=1時，g（x）取得極大值g（1）=1，無極小值；（4分）（）當m=1時，a0時，f（x）=xalnx1，x（0，+），在3，4恒成立，f（x）在3，4上為增函數(shù)，設，在3，4上恒成

32、立，h（x）在3，4上為增函數(shù)，不妨設x2x1，則等價于：f（x2）f（x1）h（x2）h（x1），即f（x2）h（x2）f（x1）h（x1），（6分）設，則u（x）在3，4上為減函數(shù)，在3，4上恒成立，恒成立，x3，4，（8分）設，v'（x）0，v（x）為減函數(shù)，v（x）在3，4上的最大值，a的最小值為（12分）10（2017瀘州模擬）已知函數(shù)f（x）=xlnxk（x1）（1）求f（x）的單調區(qū)間；并證明lnx+2（e為自然對數(shù)的底數(shù)）恒成立；（2）若函數(shù)f（x）的一個零點為x1（x11），f'（x）的一個零點為x0，是否存在實數(shù)k，使=k，若存在，求出所有滿足條件的k的值；

33、若不存在，說明理由 解：（1）f（x）=lnx+1k，x（0，ek1）時，f（x）0，此時h（x）遞減，x（ek1，+）時，f（x）0，此時h（x）遞增，令k=2，則f（x）=xlnx2（x1），故x=e時，f（x）有最小值是f（e），故f（x）=xlnx2（x1）f（e）=2e，即lnx+2恒成立；（2）由題意得：x1lnx1k（x11）=0，lnx0+1k=0，假設存在k，使得=k，（k0）成立，消元得：ek1lnkek1+1=0，設m（k）=ek1lnkek1+1，則m（k）=ek1（lnk+1），設F（k）=lnk+1，則F（x）=，k（0，1）時，F(xiàn)（x）0，即此時函數(shù)F（k）遞減，

34、k（1，+）時，F(xiàn)（x）0，此時函數(shù)F（k）遞增，F(xiàn)（k）F（1）=0，m（k）0，故函數(shù)m（k）在（0，+）遞增，m（1）=0，k=1，但k=1時，x1=ek1k=1，與已知x11矛盾，故k不存在11（2016新課標）已知函數(shù)f（x）=（x2）ex+a（x1）2（）討論f（x）的單調性；（）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍 解：（）由f（x）=（x2）ex+a（x1）2，可得f（x）=（x1）ex+2a（x1）=（x1）（ex+2a），當a0時，由f（x）0，可得x1；由f（x）0，可得x1，即有f（x）在（，1）遞減；在（1，+）遞增；當a0時，若a=，則f（x）0恒成立，即有f（x）

35、在R上遞增；若a時，由f（x）0，可得x1或xln（2a）；由f（x）0，可得1xln（2a）即有f（x）在（，1），（ln（2a），+）遞增；在（1，ln（2a）遞減；若a0，由f（x）0，可得xln（2a）或x1；由f（x）0，可得ln（2a）x1即有f（x）在（，ln（2a），（1，+）遞增；在（ln（2a），1）遞減；（）由（）可得當a0時，f（x）在（，1）遞減；在（1，+）遞增， 且f（1）=e0，x+，f（x）+；x，f（x）+f（x）有兩個零點；當a=0時，f（x）=（x2）ex，所以f（x）只有一個零點x=2；當a0時，若a時，f（x）在（1，ln（2a）遞減，在（，1），（

36、ln（2a），+）遞增，又當x1時，f（x）0，所以f（x）不存在兩個零點；當a時，f（x）在（1，+）單調遞增，又x1時，f（x）0，所以f（x）不存在兩個零點綜上可得，f（x）有兩個零點時，a的取值范圍為（0，+）12（2016四川）設函數(shù)f（x）=ax2alnx，g（x）=，其中aR，e=2.718為自然對數(shù)的底數(shù)（）討論f（x）的單調性；（）證明：當x1時，g（x）0；（）確定a的所有可能取值，使得f（x）g（x）在區(qū)間（1，+）內恒成立 （）解：由f（x）=ax2alnx，得f（x）=2ax=（x0），當a0時，f（x）0在（0，+）成立，則f（x）為（0，+）上的減函數(shù)；當a0時，

37、由f（x）=0，得x=，當x（0，）時，f（x）0，當x（，+）時，f（x）0，則f（x）在（0，）上為減函數(shù)，在（，+）上為增函數(shù)；綜上，當a0時，f（x）為（0，+）上的減函數(shù)，當a0時，f（x）在（0，）上為減函數(shù)，在（，+）上為增函數(shù)；（）證明：要證g（x）0（x1），即0，即證，也就是證，令h（x）=，則h（x）=，h（x）在（1，+）上單調遞增，則h（x）min=h（1）=e，即當x1時，h（x）e，當x1時，g（x）0；（）解：由f（x）g（x），得，設t（x）=，由題意知，t（x）0在（1，+）內恒成立，t（1）=0，有t（x）=2ax=0在（1，+）內恒成立，令（x）=，則（

38、x）=2a=，當x2時，（x）0，令h（x）=，h（x）=，函數(shù)在1，2）上單調遞增，h（x）min=h（1）=1又2a1，e1x0，1x2，（x）0，綜上所述，x1，（x）0，（x）在區(qū)間（1，+）單調遞增，t（x）t（1）0，即t（x）在區(qū)間（1，+）單調遞增，a13（2016天津）設函數(shù)f（x）=（x1）3axb，xR，其中a，bR（1）求f（x）的單調區(qū)間；（2）若f（x）存在極值點x0，且f（x1）=f（x0），其中x1x0，求證：x1+2x0=3；（3）設a0，函數(shù)g（x）=|f（x）|，求證：g（x）在區(qū)間0，2上的最大值不小于 解：（1）函數(shù)f（x）=（x1）3axb的導數(shù)為f

39、（x）=3（x1）2a，當a0時，f（x）0，f（x）在R上遞增；當a0時，當x1+或x1時，f（x）0，當1x1+，f（x）0，可得f（x）的增區(qū)間為（，1），（1+，+），減區(qū)間為（1，1+）；（2）證明：f（x0）=0，可得3（x01）2=a，由f（x0）=（x01）33x0（x01）2b=（x01）2（2x01）b，f（32x0）=（22x0）33（32x0）（x01）2b=（x01）2（88x09+6x0）b=（x01）2（2x01）b，即為f（32x0）=f（x0）=f（x1），即有32x0=x1，即為x1+2x0=3；（3）證明：要證g（x）在區(qū)間0，2上的最大值不小于，即證在0

40、，2上存在x1，x2，使得f（x1）f（x2）當a3時，f（x）在0，2遞減，f（2）=12ab，f（0）=1b，f（0）f（2）=2a24，遞減，成立；當0a3時，f（1）=（）3a（1）b=a+ab=ab，f（1+）=（）3a（1+）b=aab=ab，f（2）=12ab，f（0）=1b，f（2）f（0）=22a，若0a時，f（2）f（0）=22a成立；若a時，f（1）f（1+）=成立綜上可得，g（x）在區(qū)間0，2上的最大值不小于14（2016新課標）設函數(shù)f（x）=acos2x+（a1）（cosx+1），其中a0，記|f（x）|的最大值為A（）求f（x）；（）求A；（）證明：|f（x）|2

41、A （I）解：f（x）=2asin2x（a1）sinx（II）當a1時，|f（x）|=|acos2x+（a1）（cosx+1）|a|cos2x|+（a1）|（cosx+1）|a|cos2x|+（a1）（|cosx|+1）|a+2（a1）=3a2=f（0），因此A=3a2當0a1時，f（x）等價為f（x）=acos2x+（a1）（cosx+1）=2acos2x+（a1）cosx1，令g（t）=2at2+（a1）t1，則A是|g（t）|在1，1上的最大值，g（1）=a，g（1）=3a2，且當t=時，g（t）取得極小值，極小值為g（）=1=，（二次函數(shù)在對稱軸處取得極值）令11，得a（舍）或a因此A

42、=3a2當0a時，g（t）在（1，1）內無極值點，|g（1）|=a，|g（1）|=23a，|g（1）|g（1）|，A=23a，當a1時，由g（1）g（1）=2（1a）0，得g（1）g（1）g（），又|g（）g（1）|=0，A=|g（）|=，綜上，A=（III）證明：由（I）可得：|f（x）|=|2asin2x（a1）sinx|2a+|a1|，當0a時，|f（x）|1+a24a2（23a）=2A，當a1時，A=+1，|f（x）|1+a2A，當a1時，|f（x）|3a16a4=2A，綜上：|f（x）|2A15（2016天津）設函數(shù)f（x）=x3axb，xR，其中a，bR（1）求f（x）的單調區(qū)間；

43、（2）若f（x）存在極值點x0，且f（x1）=f（x0），其中x1x0，求證：x1+2x0=0；（3）設a0，函數(shù)g（x）=|f（x）|，求證：g（x）在區(qū)間1，1上的最大值不小于 解：（1）若f（x）=x3axb，則f（x）=3x2a，分兩種情況討論：、當a0時，有f（x）=3x2a0恒成立，此時f（x）的單調遞增區(qū)間為（，+），、當a0時，令f（x）=3x2a=0，解得x=或x=，當x或x時，f（x）=3x2a0，f（x）為增函數(shù)，當x時，f（x）=3x2a0，f（x）為減函數(shù)，故f（x）的增區(qū)間為（，），（，+），減區(qū)間為（，）；（2）若f（x）存在極值點x0，則必有a0，且x00，由題

44、意可得，f（x）=3x2a，則x02=，進而f（x0）=x03ax0b=x0b，又f（2x0）=8x03+2ax0b=x0+2ax0b=f（x0），由題意及（）可得：存在唯一的實數(shù)x1，滿足f（x1）=f（x0），其中x1x0，則有x1=2x0，故有x1+2x0=0；（）設g（x）在區(qū)間1，1上的最大值M，maxx，y表示x、y兩個數(shù)的最大值，下面分三種情況討論：當a3時，11，由（I）知f（x）在區(qū)間1，1上單調遞減，所以f（x）在區(qū)間1，1上的取值范圍是f（1），f（1），因此M=max|f（1）|，|f（1）|=max|1ab|，|1+ab|=max|a1+b|，|a1b|=，所以M=a

45、1+|b|2當a3時，由（）、（）知，f（1）=f（），f（1）=，所以f（x）在區(qū)間1，1上的取值范圍是f（），f（），因此M=max|f（）|，|f（）|=max|，|=max|，|=，當0a時，由（）、（）知，f（1）=f（），f（1）=，所以f（x）在區(qū)間1，1上的取值范圍是f（1），f（1），因此M=max|f（1）|，|f（1）|=max|1+ab|，|1ab|=max|1a+b|，|1ab|=1a+|b|，綜上所述，當a0時，g（x）在區(qū)間1，1上的最大值不小于16（2016新課標）已知函數(shù)f（x）=（x2）ex+a（x1）2有兩個零點（）求a的取值范圍；（）設x1，x2是f（x

46、）的兩個零點，證明：x1+x22 解：（）函數(shù)f（x）=（x2）ex+a（x1）2，f（x）=（x1）ex+2a（x1）=（x1）（ex+2a），若a=0，那么f（x）=0（x2）ex=0x=2，函數(shù)f（x）只有唯一的零點2，不合題意；若a0，那么ex+2a0恒成立，當x1時，f（x）0，此時函數(shù)為減函數(shù)；當x1時，f（x）0，此時函數(shù)為增函數(shù)；此時當x=1時，函數(shù)f（x）取極小值e，由f（2）=a0，可得：函數(shù)f（x）在x1存在一個零點；當x1時，exe，x210，f（x）=（x2）ex+a（x1）2（x2）e+a（x1）2=a（x1）2+e（x1）e，令a（x1）2+e（x1）e=0的兩根

47、為t1，t2，且t1t2，則當xt1，或xt2時，f（x）a（x1）2+e（x1）e0，故函數(shù)f（x）在x1存在一個零點；即函數(shù)f（x）在R是存在兩個零點，滿足題意；若a0，則ln（2a）lne=1，當xln（2a）時，x1ln（2a）1lne1=0，ex+2aeln（2a）+2a=0，即f（x）=（x1）（ex+2a）0恒成立，故f（x）單調遞增，當ln（2a）x1時，x10，ex+2aeln（2a）+2a=0，即f（x）=（x1）（ex+2a）0恒成立，故f（x）單調遞減，當x1時，x10，ex+2aeln（2a）+2a=0，即f（x）=（x1）（ex+2a）0恒成立，故f（x）單調遞增，

48、故當x=ln（2a）時，函數(shù)取極大值，由f（ln（2a）=ln（2a）2（2a）+aln（2a）12=aln（2a）22+10得：函數(shù)f（x）在R上至多存在一個零點，不合題意；若a=，則ln（2a）=1，當x1=ln（2a）時，x10，ex+2aeln（2a）+2a=0，即f（x）=（x1）（ex+2a）0恒成立，故f（x）單調遞增，當x1時，x10，ex+2aeln（2a）+2a=0，即f（x）=（x1）（ex+2a）0恒成立，故f（x）單調遞增，故函數(shù)f（x）在R上單調遞增，函數(shù)f（x）在R上至多存在一個零點，不合題意；若a，則ln（2a）lne=1，當x1時，x10，ex+2aeln（2

49、a）+2a=0，即f（x）=（x1）（ex+2a）0恒成立，故f（x）單調遞增，當1xln（2a）時，x10，ex+2aeln（2a）+2a=0，即f（x）=（x1）（ex+2a）0恒成立，故f（x）單調遞減，當xln（2a）時，x10，ex+2aeln（2a）+2a=0，即f（x）=（x1）（ex+2a）0恒成立，故f（x）單調遞增，故當x=1時，函數(shù)取極大值，由f（1）=e0得：函數(shù)f（x）在R上至多存在一個零點，不合題意；綜上所述，a的取值范圍為（0，+）證明：（）x1，x2是f（x）的兩個零點，f（x1）=f（x2）=0，且x11，且x21，a=，令g（x）=，則g（x1）=g（x2）=a，g（x）=，當x1時，g（x）0，g（x）單調遞減；當x1時，g（x）0，g（x）單調遞增；設m0，則g（1+m）g（1m）=，設h（m）=，m0，則h（m）=0恒成立，即h（m）在（0，+）上為增函數(shù)，h（m）h（0）=0恒成立，即g（1+m）g（1m）恒成立，令m=1x10，則g（1+1x1）g（11+x1）g（2x1）g（x1）=g（x2）2x1x2，即x1+x2217（2016山東）已知f（x）=a（xlnx）+，aR（I）討論f（x）的單調性；（II）當a