固體物理習題選講2016614

1、固體物理_習題選講固體物理學固體物理學習題選講習題選講固體物理_習題選講1、 證明：體心立方晶格的倒格子是面心立方證明：體心立方晶格的倒格子是面心立方 面心立方晶格的倒格子是體心立方面心立方晶格的倒格子是體心立方 由倒格子定義由倒格子定義2311232aabaaa3121232aabaaa1231232aabaaa 體心立方格子原胞基矢體心立方格子原胞基矢)(2),(2),(2321kjiaakjiaakjiaa固體物理_習題選講 倒格子基矢倒格子基矢231123022()()22aaaabijkijkaaav202()()4aijkijkv)(2kja同理同理)(22321132kiaaaa

2、aab32()bija可見由可見由 為基矢構成的格子為面心立方格子為基矢構成的格子為面心立方格子 321,bbb固體物理_習題選講面心立方格面心立方格子原胞基矢子原胞基矢123()/2()/2()/2aa jkaa kiaa ij倒格子基矢倒格子基矢2311232aabaaa)(21kjiab同理同理)(22kjiab)(23kjiab可見由可見由 為基矢構成的格子為體心立方格子為基矢構成的格子為體心立方格子 321,bbb 固體物理_習題選講2、 證明倒格子原胞體積證明倒格子原胞體積 其中其中v0為正格子原胞體積為正格子原胞體積 03(2 )v 倒格子基矢倒格子基矢2311232aabaaa

3、3121232aabaaa1231232aabaaa倒格子體積倒格子體積*0123()vbbb3*023311230(2 )() ()()vaaaaaav3*00(2 )vv固體物理_習題選講3、 如果基矢如果基矢 構成簡單正交系構成簡單正交系 證明晶面族證明晶面族 的面間距為的面間距為 說明面指數(shù)簡單的晶面，其面密度比較大，容易解理說明面指數(shù)簡單的晶面，其面密度比較大，容易解理c,b,a)(hkl2221/ ( )( )( )hkldabc 簡單正交系簡單正交系cbakcaj bai aa321,倒格子基矢倒格子基矢2311232aabaaa3121232aabaaa1231232aabaa

4、a固體物理_習題選講kcbjbbiab2,2,2321倒格子矢量倒格子矢量321b lbkbhG222hikjlkabc晶面族晶面族 的面間距的面間距)(hklGd22221/ ( )( )( )hklabc 面指數(shù)越簡單的晶面，其晶面的間距越大面指數(shù)越簡單的晶面，其晶面的間距越大 晶面上格點的密度越大，這樣的晶面越容易解理晶面上格點的密度越大，這樣的晶面越容易解理倒格子基矢倒格子基矢固體物理_習題選講4、 指出立方晶格指出立方晶格(111)面與面與(100)面面 (111)面與面與(110)面的交線的晶向面的交線的晶向 (111)面與面與(100)面的交線的面的交線的ABABajak 晶向指

5、數(shù)晶向指數(shù) AB平移，平移，A與與O點重合點重合BRajak (111)面與面與(100)面的交線的晶向面的交線的晶向011B點位矢點位矢固體物理_習題選講(111)面與面與(110)面的交線的面的交線的ABABaiaj 晶向指數(shù)晶向指數(shù) 將將AB平移，平移，A與原點與原點O重合，重合，B點位矢點位矢BRaiaj (111)面與面與(110)面的交線的晶向面的交線的晶向110固體物理_習題選講5、做出簡單立方晶格、面心立方晶格和體心立方晶格的維、做出簡單立方晶格、面心立方晶格和體心立方晶格的維格納格納 塞茨塞茨 (Wingner-Seitz)原胞原胞 維格納維格納 塞茨原胞：選取某一個格點為中

6、心，做出最近各塞茨原胞：選取某一個格點為中心，做出最近各點和次近各點連線的中垂面，這些所包圍的空間點和次近各點連線的中垂面，這些所包圍的空間二維格子二維格子維格納維格納 塞茨原胞塞茨原胞 固體物理_習題選講簡單立方晶格簡單立方晶格維格納維格納 塞茨原胞塞茨原胞原點和原點和6個近鄰格點連線的垂直平分面圍成的立方體個近鄰格點連線的垂直平分面圍成的立方體固體物理_習題選講面心立方格子面心立方格子維格納維格納 塞茨原胞塞茨原胞原點和原點和12個近鄰格點連線的垂直平分面圍成的正十二面體個近鄰格點連線的垂直平分面圍成的正十二面體固體物理_習題選講體心立方格子體心立方格子原點和原點和8個近鄰格點連線的垂直平

7、分面圍成的正八面體個近鄰格點連線的垂直平分面圍成的正八面體沿立方軸的沿立方軸的6個次近鄰格點連線的垂直平分面割去八面?zhèn)€次近鄰格點連線的垂直平分面割去八面體的六個角，形成的體的六個角，形成的14面體面體 八個面是正六邊形八個面是正六邊形, , 六個面是正四邊形六個面是正四邊形固體物理_習題選講維格納維格納 塞茨原胞塞茨原胞 14面體面體 八個面正六邊形八個面正六邊形 六個面正四邊形六個面正四邊形固體物理_習題選講6、 若一晶體兩個離子之間的相互作用能可以表示為若一晶體兩個離子之間的相互作用能可以表示為nmrrru)(計算計算1) 平衡間距平衡間距r02) 結合能結合能W（單個原子的）（單個原子的

8、）3) 體彈性模量體彈性模量4) 若取若取 計算計算 的值的值 ,eVWnmrnm4,3 . 0,10, 20固體物理_習題選講1) 平衡間距平衡間距r0的計算的計算平衡條件平衡條件)(2)(nmrrNrU00rrdrdU01010nmrnrm2) 單個原子的結合能單個原子的結合能01( )2Wu r 1(1)()2mn mmnWnmmnmnr10)(晶體內能晶體內能00( )()mnr ru rrr 固體物理_習題選講3) 體彈性模量體彈性模量0220)(VVUKV晶體的體積晶體的體積3NArV A為常數(shù)，為常數(shù)，N為原胞數(shù)目為原胞數(shù)目VrrUVU1121()23mnNmnrrNAr2211

9、21()23mnUNrmnVVrrrNAr)(2)(nmrrNrU晶體內能晶體內能固體物理_習題選講91200020220220nmnmVVrnrmrnrmVNVU031)(22010100NArrnrmNVUnmVVnmrnrm00體彈性模量體彈性模量0220)(VVUKV由平衡條件由平衡條件912020220220nmVVrnrmVNVU固體物理_習題選講9120020220nmVVrnnrmmVNVU920020nmrrVnmNnmrnrm00)(2000nmrrNU)(9020220UVmnVUVV009VmnUK 體彈性模量體彈性模量0220)(VVUKV912020220220nm

10、VVrnrmVNVU固體物理_習題選講4) 若取若取 計算計算 的值的值eVWnmrnm4,3 . 0,10, 20,mnmnr10)(1(1)()2mn mmnWnm1002rW210020Wrr95101.18 10eV m1929.0 10eV mnmrnrm00固體物理_習題選講7、 已知有已知有N個離子組成的個離子組成的NaCl晶體，其結合能為晶體，其結合能為 現(xiàn)以現(xiàn)以 來代替排斥項來代替排斥項 ，且當晶體處于平衡時，且當晶體處于平衡時， 這兩者對互作用勢能的貢獻相同，試求這兩者對互作用勢能的貢獻相同，試求n和和 的關系。的關系。 20( )()24nNeU rrrrcenr 將結合

11、能在平衡位置處展開將結合能在平衡位置處展開)()()()(000rrrUrUrUrr固體物理_習題選講)4(2)( 02rcereNrU以以 代替代替 后后rce0nr)()()( )( 000rrrUrUrUrr根據(jù)題意根據(jù)題意)( )(00rUrU結合能結合能0)()(00rrrrrUrU00rncer010rnncer固體物理_習題選講00rncer010rnncernr 01()nen c兩式相比兩式相比n和和 的關系的關系固體物理_習題選講/2a8、 質量相同兩種原子形成一維雙原子鏈，最近鄰原子間的質量相同兩種原子形成一維雙原子鏈，最近鄰原子間的 力常數(shù)交錯等于力常數(shù)交錯等于 和和

12、，并且最近鄰間距，并且最近鄰間距 1) 求出色散關系和分析計算求出色散關系和分析計算 處格波的頻率值處格波的頻率值2) 大致畫出色散關系圖大致畫出色散關系圖 1c210c0,qqa 綠色綠色標記的原子位于標記的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 紅色標記原子位于紅色標記原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 固體物理_習題選講 第第2n個原子和第個原子和第2n1個原子的運動方程個原子的運動方程212222112121122112222()()nnnnnnnnmm 1(2 )221(21)221itnaqnitnaqnAeBe 體系體系N個原胞，有個原胞，有2N個獨立的方程個獨立的方程 方

13、程的解方程的解令令221122/,/mm固體物理_習題選講11222222212121122222221212()()0()()0i aqi aqi aqi aqAeeBeeAB11222222212121122222221212(),()(),()0i aqi aqi aqi aqeeee1111222 222222222121212()()0()i aqi aqi aqi aqeeee A、B有非零的解，系數(shù)行列式滿足有非零的解，系數(shù)行列式滿足固體物理_習題選講1111222 222222222121212()()0()i aqi aqi aqi aqeeee 1c210c22220120

14、10,10ccmm22244000(11)20(10c01)osaq 220(1120cos101)qa 兩種色散關系兩種色散關系 固體物理_習題選講220(1120cos101)qa0q 220(11121)0220qa220(1181)00202 色散關系圖色散關系圖 兩種色散關系兩種色散關系 固體物理_習題選講9、 設三維晶格的光學振動在設三維晶格的光學振動在q=0附近的長波極限有附近的長波極限有20)(Aqq002/102/320)(14)(AVf證明：頻率分布函數(shù)證明：頻率分布函數(shù) 三維晶格振動的態(tài)密度三維晶格振動的態(tài)密度3/(2 )Vdq間隔內的狀態(tài)數(shù)間隔內的狀態(tài)數(shù)dqqV234)

15、2(對對 兩邊微分兩邊微分20)(Aqq固體物理_習題選講Aqdqqd2)(1/2)( )dqAq dq 01Aq將將dq和和 代入代入dqqV234)2()()(144)2(2/102/3223qdAVdqqV得到得到02/102/32)(14)(AVf時時 為虛數(shù)，有為虛數(shù)，有02/10)( )0f固體物理_習題選講方法方法 2振動模式密度函數(shù)振動模式密度函數(shù) q空間的等頻率面是球面，空間的等頻率面是球面，q為常數(shù)為常數(shù)3( )(2 )( )qVdsfq已知三維色散關系已知三維色散關系20)(Aqq( )2qqAq 0()/qA3( )(2 )2VdsfAq3(2 ) 2VqA固體物理_習

16、題選講1/2023/21( )()4VfA 對于光學波，在對于光學波，在 處振動頻率具有最大值處振動頻率具有最大值0q 01/20023/201()( )40VfA頻率分布函數(shù)頻率分布函數(shù)固體物理_習題選講10、在低溫下金屬鉀的摩爾熱容量的實驗結果可寫成、在低溫下金屬鉀的摩爾熱容量的實驗結果可寫成KmolmJTTC/57. 208. 23如果一個摩爾的金屬鉀有如果一個摩爾的金屬鉀有 個電子個電子求鉀的費米溫度求鉀的費米溫度 和德拜溫度和德拜溫度23106NFTD 一摩爾的電子對熱容的貢獻一摩爾的電子對熱容的貢獻BFBVkETkNC)(2020固體物理_習題選講BFBBkTkTkN)(22020

17、31962422.08 10BFkTNK32.08 10/mJ mol K費米溫度費米溫度 與實驗結果比較與實驗結果比較KmolmJTTC/57. 208. 23固體物理_習題選講德拜定律德拜定律43012()5BVDN kTC4333012()2.57 10/5BDN kTTmJ mol K41/30312()9152.57 10BDN kK 與實驗結果比較與實驗結果比較KmolmJTTC/57. 208. 23德拜溫度德拜溫度固體物理_習題選講310.5/mg cm661.61 102950.038 1020cmTKcmTK 銀的質量密度銀的質量密度 原子量原子量 電阻率電阻率 107.8

18、711、 若將銀看成具有球形費米面的單價金屬計算以下各量若將銀看成具有球形費米面的單價金屬計算以下各量1) 費米能量和費米溫度費米能量和費米溫度2) 費米球半徑費米球半徑3) 費米速度費米速度4) 費米球面的橫截面積費米球面的橫截面積5) 在室溫以及低溫時電子的平均自由程在室溫以及低溫時電子的平均自由程固體物理_習題選講 1) 費米能量和費米溫度費米能量和費米溫度2022/3(3)2FEnm6293313410.5100.586 10/107.879.11 101.05 10AnNmmkgJ s0198.82 105.5FEJeV046.4 10FFBETKk費費米米能量能量費米溫度費米溫度2

19、10/3(3)Fkn固體物理_習題選講 2) 費米球半徑費米球半徑020()2FFkEm0022FFmEk 01011.2 10Fkm0198.82 10FEJ3) 費米速度費米速度0FFkvm61.38 10/Fvm s固體物理_習題選講 4) 費米球面的橫截面積費米球面的橫截面積02022(sin )sinFFSkk 是是 與與 軸之間的夾角軸之間的夾角 Fkz021/3(3)Fkn22/32(3)sinSn固體物理_習題選講 5) 在室溫以及低溫時電子的平均自由程在室溫以及低溫時電子的平均自由程1201()FnqEm02()FmEnq0()FFlvE2Fknq01011.2 10FFkk

20、m電導率電導率弛豫時間弛豫時間平均自由程平均自由程2Fmvlnq0 K到室溫之間的費到室溫之間的費米米半徑變化很小半徑變化很小固體物理_習題選講02Fklnq平均自由程平均自由程1929334010162956201.6 100.586 10/1.05 101.2 101.61 100.038 10FTKTKqCnmJ skmcmcm829563205.24 1052.42.2 102.210TKTKlmnmlmnm固體物理_習題選講12、設、設N個電子組成簡并電子氣，體積為個電子組成簡并電子氣，體積為V，證明，證明T=0K時時 1) 每個電子的平均能量每個電子的平均能量 2) 自由電子氣的壓

21、強滿足自由電子氣的壓強滿足053FEU UNpV32 自由電子的能態(tài)密度自由電子的能態(tài)密度2/12/32)2(4)(EhmVENT=0 K，費米分布函數(shù)，費米分布函數(shù))(0)(1)(00FFEEEEEf固體物理_習題選講電子平均能量電子平均能量053FEU 0)()(dEEfENN將電子氣看作是理想氣體，壓強將電子氣看作是理想氣體，壓強Unp32UVNp32UNpV32dEEhmVdEEENUFFEE0002/12/320)2(4)(電子總數(shù)電子總數(shù)固體物理_習題選講13、已知鈉晶體是體心立方結構、已知鈉晶體是體心立方結構 晶格常數(shù)晶格常數(shù) ，若電阻率，若電阻率 鈉晶體的電子又可看作自由電子，

22、試計算鈉晶體電子的鈉晶體的電子又可看作自由電子，試計算鈉晶體電子的 弛豫時間及費米面上電子的平均自由程。弛豫時間及費米面上電子的平均自由程。0.43anm64.3 10cm319.11 10mkg161.6 10eC 341.05 10J s 電子的質量電子的質量 電子電量電子電量 普朗克常數(shù)普朗克常數(shù) 固體物理_習題選講301231()2vaaaa2mnq6283031194.3 1012.52 10/9.11 101.6 10cmnmvmkgqC143 10s 體心立方格子的原胞體積體心立方格子的原胞體積9 331(0.43 10 )2m弛豫時間弛豫時間固體物理_習題選講02Fklnq34

23、lnm 費米面上電子的平均自由程費米面上電子的平均自由程002FFmvlvnq021/362833119(3)4.3 102.52 10/9.11 101.6 10FkncmnmmkgqC固體物理_習題選講14、 寫出一維近自由電子近似，第寫出一維近自由電子近似，第n個能帶（個能帶（n=1,2,3）中）中 簡約波矢簡約波矢 的零級波函數(shù)的零級波函數(shù)ak2 一維近自由電子近似中，用簡約波矢表示的波函數(shù)一維近自由電子近似中，用簡約波矢表示的波函數(shù) )2(21 (1)(22222xaninnmxaixk ikeankkmVeeLx 第第n個能帶零級波函數(shù)個能帶零級波函數(shù)mxaixk ineeLx20

24、1)(xamaineLx)22(01)(固體物理_習題選講xaieLxm2011)(0 xamaineLx)22(01)(第一個能帶第一個能帶xaieL21ak2固體物理_習題選講xaaieLxm)22(021)(1第二個能帶第二個能帶xaieL231ak2xaaieLxm)22(031)(, 1第三個能帶第三個能帶xaieL251xamaineLx)22(01)(固體物理_習題選講15、 電子在周期場中的勢能函數(shù)電子在周期場中的勢能函數(shù)bnaxbanbnaxbnanaxbmxV) 1(0)(21)(222 且且a=4b， 是常數(shù)。是常數(shù)。1) 畫出此勢能曲線，并計算勢能的平均值；畫出此勢能曲

25、線，并計算勢能的平均值；2) 用近自由電子模型用近自由電子模型 計算晶體的第一個和第二個帶隙寬度計算晶體的第一個和第二個帶隙寬度 固體物理_習題選講bnaxbanbnaxbnanaxbmxV) 1(0)(21)(222固體物理_習題選講 勢能的平均值勢能的平均值LikxikxdxeLxVeLV01)(1222111() 2na bikxikxna bVNembxnae dxLLLNa固體物理_習題選講勢能的平均值勢能的平均值222111() 2na bikxikxna bVNembxnae dxLL222() 2na bna bNVmbxnadxL令令nax 2221()2bbVmbda229

26、6aVm固體物理_習題選講 近自由電子近似中，勢能函數(shù)的第近自由電子近似中，勢能函數(shù)的第n個傅里葉系數(shù)個傅里葉系數(shù) akkidVeanV0)()(1)(nakk2bbnaidbeamnV)(2)(22222221( )() 2V xmbxnanabxnabnax固體物理_習題選講bbnaidbeamnV)(2)(2222bbaidbeamV)(222221bbaidbeamV)(222422第一個帶隙寬度第一個帶隙寬度第二個帶隙寬度第二個帶隙寬度3221182bmVEg222222bmVEg固體物理_習題選講16、 用緊束縛近似求出面心立用緊束縛近似求出面心立方晶格和體心立方晶格方晶格和體心立

27、方晶格s態(tài)原子態(tài)原子能級相對應的能帶能級相對應的能帶 函數(shù)函數(shù) )(kEs面心立方晶格面心立方晶格 s態(tài)原子能級相對應的能帶函數(shù)態(tài)原子能級相對應的能帶函數(shù)NearestRRk issssseRJJkE)()(0固體物理_習題選講 任選取一個格點為原點任選取一個格點為原點O 最近鄰格點有最近鄰格點有12個個0*01()() ( )( )( )0sisiJJ RRUVd 01( )ssik RssRNearestE kJJe s原子態(tài)波函數(shù)具有球對稱性原子態(tài)波函數(shù)具有球對稱性固體物理_習題選講12個最鄰近格點的位置個最鄰近格點的位置0,2,20,2,20,2,20,2,2aaaaaaaa2,2,0

28、2,2,02,2,02,2,0aaaaaaaa2,0,22,0,22,0,22,0,2aaaaaaaaO固體物理_習題選講01( )4(coscoscoscoscoscos)222222ssyyxxzzEkJk ak ak ak ak ak aJ 類似的表示共有類似的表示共有12項項() (0 )22()2(cossin)(cossin)2222xyzsxyaai k ik j k kijkik Raikkyyxxeek ak ak ak aeii 022saaRijk01( )ssik RssRNearestE kJJe 歸并化簡后得到面心歸并化簡后得到面心立方立方s態(tài)原子能級相對應的能帶態(tài)

29、原子能級相對應的能帶固體物理_習題選講 對于體心立方格子對于體心立方格子 任選取一個格點為原點任選取一個格點為原點 有有8個最鄰近格點個最鄰近格點O2,2,22,2,22,2,22,2,2aaaaaaaaaaaa2,2,22,2,22,2,22,2,2aaaaaaaaaaaa 最近鄰格點的位置最近鄰格點的位置固體物理_習題選講() ()()2222(cossin)(cossin)(cossin)222222xyzxyzsaaaai k ik j k kijkikkkik Ryyxxzzeeek ak ak ak ak ak aiii 類似的表示共有類似的表示共有8項項kajaiaRs22201

30、( )ssik RssRNearestE kJJe 01( )8cos(/2)cos(/2)cos(/2)ssxyzE kJJk ak ak a 歸并化簡后得到歸并化簡后得到體心立方體心立方s態(tài)原子能級相對應的能帶態(tài)原子能級相對應的能帶固體物理_習題選講 只計入最近鄰格點原子的相互作用時只計入最近鄰格點原子的相互作用時 s態(tài)原子能級相對應的能帶函數(shù)表示為態(tài)原子能級相對應的能帶函數(shù)表示為NearestRRk issssseRJJkE)()(017、 一維單原子鏈，原子間距一維單原子鏈，原子間距a，總長度為，總長度為LNa1) 用緊束縛近似方法求出與原子用緊束縛近似方法求出與原子s態(tài)能級相對應的能

31、帶函數(shù)態(tài)能級相對應的能帶函數(shù)2) 求出其能帶密度函數(shù)求出其能帶密度函數(shù) 的表達式的表達式3) 如每個原子如每個原子s態(tài)中只有一個電子，計算態(tài)中只有一個電子，計算T=0K時的費密能級時的費密能級 和和 處的能態(tài)密度處的能態(tài)密度0FE0FE)(EN固體物理_習題選講對于一維情形對于一維情形, 任意選取一個格點為原點任意選取一個格點為原點 有兩個最近鄰的格點，坐標為：有兩個最近鄰的格點，坐標為：a和和aNearestRRk issssseRJJkE)()(0)()(10ikaikasseeJJkEkaJJkEsscos2)(10dkkaaJkdEs)sin2()(1kaaJkdEdkssin2)(1

32、能帶密度函數(shù)能帶密度函數(shù)的計算的計算固體物理_習題選講2210(1/4( ) )( )sssdkaJEkJdEk42NadZdk22102( )4( )sssNdEkJEkJ102)(cosJJkEkass210)2)(1sinJJkEkasskaJJkEsscos2)(101(1/2sin)( )sdkaJka dEk對于一維格子，波矢為對于一維格子，波矢為 具有相同的能量具有相同的能量此外考慮到電子自旋有此外考慮到電子自旋有2種取向，在種取向，在dk區(qū)間的狀態(tài)數(shù)區(qū)間的狀態(tài)數(shù)k andk固體物理_習題選講22102( )( )4( )sssdZNN EdEkJEkJ能帶密度能帶密度T=0K的

33、費的費米米能級計算能級計算總的電子數(shù)總的電子數(shù)00( )( )FkEsENN E dEk0022102( )4( )FkEssEsNNdE kJE kJ0010102cos2ksskEJJkaJJ其中其中固體物理_習題選講001112arcsinarcsin222FsEJJJJ00012arcsin2FkEssEEJJ00FsEJT=0K的費的費米米能級能級1( )NN EJT=0K費費米米能級處的能態(tài)密度能級處的能態(tài)密度202102( )4()FsNN EJEJ固體物理_習題選講由于能帶的交疊，能帶由于能帶的交疊，能帶1中的部分電子轉移到能帶中的部分電子轉移到能帶2中，而中，而在能帶在能帶1

34、中形成空穴，討論中形成空穴，討論 時的費時的費米米能級能級其中其中 為能帶為能帶1的帶頂，的帶頂， 為能帶為能帶2的帶底的帶底18、 半金屬交疊的能帶半金屬交疊的能帶22111122220022( )(0),0.182( )()() ,0.062kE kEmmmE kE kkkmmm1(0)E20()E k120(0)()0.1EE keV0TK固體物理_習題選講 半金屬的能帶半金屬的能帶1和能帶和能帶2221112222002( )(0)2( )()()2kE kEmE kE kkkm能帶能帶1的能態(tài)密度的能態(tài)密度13( )2(2 )kVdSN EE21kkEm1112(0)( )/km E

35、E k固體物理_習題選講1112(0)( )/kEEE km2131114( )2(2 )2(0)( )/VkN EEE km3121112222( )()(0)( )(2 )VmN EEE k13( )2(2 )kVdSN EE 同理能帶同理能帶2的能態(tài)密度的能態(tài)密度32222202222( )()( )()(2 )VmNEE kE k固體物理_習題選講 如果不發(fā)生能帶重合，電子剛好填滿一個能帶如果不發(fā)生能帶重合，電子剛好填滿一個能帶 由于能帶交疊，能帶由于能帶交疊，能帶1中的電子填充到能帶中的電子填充到能帶2中，滿足中，滿足01(0)02()012( )( )FFkEEEEN E dENE

36、 dE1(0)0312112222()(0)( )(2 )FEEVmEE k dE02()03222202222()( )()(2 )FkEEVmE kE k dE固體物理_習題選講01(0)02()03/23/23/23/21112220(0)( )( )()FFkEEEEmEE kmE kE k0011220(0)()FFm EEm EE k01122012(0)()Fm Em E kEmm120.18,0.06mm mm120(0)()0.1EE keV020()0.075FEE keV固體物理_習題選講19、 設有二維正方晶格，晶體勢場設有二維正方晶格，晶體勢場)2cos()2cos(

37、4),(yaxaUyxU用近自由電子近似的微擾論用近自由電子近似的微擾論近似求出在布里淵頂角近似求出在布里淵頂角( /a, /a)處的能隙處的能隙 晶體布里淵頂角晶體布里淵頂角( /a, /a)處的能隙處的能隙112VEg近自由電子近似中，勢能函數(shù)的第近自由電子近似中，勢能函數(shù)的第n個傅里葉系數(shù)個傅里葉系數(shù)aGidUeanVn02)(1)(nRryxdddnGkk 固體物理_習題選講)(),(2222yaiyaixaixaieeeeUyxU 晶體勢場晶體勢場2211,anyanxnRr)(),(2211222221aiaiaiaieeeeUU)2cos()2cos(4),(yaxaUyxU固體

38、物理_習題選講aGidUeanVn02)(1)(nxykGkkkaa 22nxyGkkaa 布里淵頂角布里淵頂角21bb代入代入yxaaaabbia aaiaiaiaiddeeeeeUaVyxyyxx)11()(0 02222212121)(1xykkkaa固體物理_習題選講yxaaia aaiaiaiaiddeeeeeUaVyxyyxx)22(0 0222221)(1a ayxaiaiddeeUaVyx0 04421)1)(1 (1UV1UEg21布里淵頂角布里淵頂角 處的能隙處的能隙),(aa固體物理_習題選講 將將 改寫為改寫為)(2222yxkkmE2222mEkkyx 給定能量，該方

39、程在波矢給定能量，該方程在波矢k空間表示的是一個圓空間表示的是一個圓22)2(2Lk空間，單位面積內的狀態(tài)數(shù)空間，單位面積內的狀態(tài)數(shù)2k20、限制在邊長為、限制在邊長為L的正方形中的的正方形中的N個電子個電子)(2222yxkkmE1）求能態(tài)密度）求能態(tài)密度2）求二維系統(tǒng)在絕對零度時的費米能量）求二維系統(tǒng)在絕對零度時的費米能量電子的能量電子的能量固體物理_習題選講222)2(2kLZEmLZ2222mEk 半徑半徑 的圓內的狀態(tài)數(shù)的圓內的狀態(tài)數(shù)dEmLdZ22能態(tài)密度能態(tài)密度22)(mLEN能量能量 之間的狀態(tài)數(shù)之間的狀態(tài)數(shù)dEEE固體物理_習題選講能態(tài)密度能態(tài)密度22)(mLEN能量能量 電

40、子的數(shù)目電子的數(shù)目dEEEdEEfENdN)()(dEEfmLdN)(220220220FEEmLdEmLNF絕對零度時的費米能量絕對零度時的費米能量220mLNEF固體物理_習題選講21、設一維晶體的電子能帶可以寫成、設一維晶體的電子能帶可以寫成)2cos81cos87()(22kakamakE式中式中a為晶格常數(shù)，計算為晶格常數(shù)，計算1) 能帶的寬度能帶的寬度2) 電子在波矢電子在波矢k的狀態(tài)時的速度的狀態(tài)時的速度3) 能帶底部和能帶頂部電子的有效質量能帶底部和能帶頂部電子的有效質量固體物理_習題選講)2cos81cos87()(22kakamakE 1) 能帶的寬度的計算能帶的寬度的計算能帶底部能帶底部0k0)0(Eak222)(maaE能帶頂部能