格林公式知識點(diǎn)總結(jié)

1、第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用教學(xué)目的：理解和掌握格林公式及應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)：格林公式教學(xué)難點(diǎn)：格林公式的應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容：、Green公式單連通區(qū)域.設(shè)D為單連通區(qū)域，若 D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于D .稱D為單連通區(qū)域（不含洞），否則稱為復(fù)連通區(qū)域 （含洞）規(guī)定平面D的邊界曲線L的方向，當(dāng)觀看者 沿L行走時(shí)，D內(nèi)在他近處的那一部分總在他的左邊，如定理1.設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，函數(shù)P（x, y）和Q（x, y）在D上具有一階連Q P（）dxdy 口 Pdx續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有D x y = LD的取正向的邊界曲線即格林公式既為x-型又為y-型區(qū)域l2 : yL1: y 1 （x）Pdx又LPdxd

2、yPdxQdy.L 為P2（x）/ y 連續(xù),嚴(yán)y=adx i（x）十dybaPXi, 2（X）沿，！（x）dxPdxL1LPdxbPX1,1 （x）dxbPX1, 2（x）dxab+ a1（x）PX1, 2（x）dx/12vD-dxdy oQdx對于y-型區(qū)域，同理可證y = L原式成立對于一般情況，可引進(jìn)輔助線分成有限個(gè)符合上述條件區(qū)域，在D1, D2，d3, D4上應(yīng)用格林公式相加，由于沿輔助線積分是相互抵消，即可得證dxdy xdy ydxD= Lydx2幾何應(yīng)用，在格林公式中，取 P y,Q x,.1A xdy2 l 3dxdy說明：1）格林公式對光滑曲線圍成的閉區(qū)域均成立、十丄 口

3、 xdy ydx2 ）記法L=3 ）在一定條件下用二重積分計(jì)算曲線積分，在另外條件下用曲線積分計(jì)算二重積分.4 ）幾何應(yīng)用.例 1 計(jì)算 C（y x）dx（3x y）dy(x 1)2(yp4)29例1.計(jì)算星形線 y1A xdy2 Lo (3 1)dxdy解：原式=D3 .a cos tasin t圍成圖形面積18(01 2 3 2ydx(a cos t 3a sin t cost3 a2=8a si n2123acos tsint)dt平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件1）與路無關(guān)：是G為一開區(qū)域，P（x, y）, Q（x, y）在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，若G內(nèi)任意指定兩點(diǎn) A, B及G內(nèi)從A到

4、B的任意兩條曲線L1丄2Pdx Qdy Pdx QdyPdx QdyL1L2恒成立，則稱l丫在g內(nèi)與路徑無關(guān)否則與路徑有關(guān).例 1. L（x y）dx（X y）dyL1 :從 （1,1）到（2,3）的折線x解:L2從(1,1)到(2,3)的直線3(2 y)dyL Pdx Qdy _ 1L2 :(1)(2)(3)（4）證明:y 3 2(xy)dx (x2),即 yy)dy212x5x)dx 一51)2(1 x)dx221（x定理：設(shè)P（x, y） , Q（x, y）在單連通區(qū)域階偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個(gè)條件相互等價(jià)內(nèi)任一閉曲線C , CPdx Qdy = 0.LPdx Qdy與路徑無關(guān)對內(nèi)任一曲線L,

5、在DP(1)由（1）(2)（x，y）后，則2xD內(nèi)有連續(xù)的一內(nèi)存在某一函數(shù)（x,y）使d （x, y） Pdx Qdy在d內(nèi)成立.Qx，在D內(nèi)處處成立.A，B ,及連接A，B的任意兩條曲線 AEB , AGB（2）在D內(nèi)任取兩點(diǎn)BG(3 )若(x,y)Pdx(勺0)C AGB BGA為D內(nèi)一閉曲線什 0 Pdx知CQdyPdxAGBQdy+PdxBEAQdy=oPdxAGBQdyPdxBEAQdyLPdx Qdy在D內(nèi)與路徑無關(guān).當(dāng)起點(diǎn)固定在（xo, yo ）占終占為下證：u(x,y) =u. P(x,y) , Q(x, y)連續(xù)，只需證 xxxQdy是x, y的函數(shù)，記為u(x, y).(x

6、,y)(xo,yo)Pdx Qdy 的全微分為 du(x, y) = Pdx Qdy .uP(x,y)-y Q(x,y),u(x x) u(x,y)lim由定義 xu(x x, y)(x x,y)Pdx(x,y)xPdx(x x,y)Pdx(xo,y)Qdyu(x, y) +Qdyx xx Pdx=px, P P(xx,y) (01)(3)PP(x,y)（4）P，同理yQ(X, y)x y,Q故y = x上_若 du（x, y） = Pdx Qdy，往證 y =二,PQ Qx y x ,由P,Q具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)x2ux yQQ y2uy x(4)(1)設(shè)C為D內(nèi)任一閉曲線，D為C所圍成的區(qū)

7、域.匕 （2 d x yPdx Qdy)dxdy=0x)dx解:(xeX 2y)dyL 為過（，）,eyeyQ xey 2y,I與路徑無關(guān)(1)(2)(0,1)和(1,2)點(diǎn)的圓弧.Q yex ，y取積分路徑為OA AB.Pdx Qdy+ ABOA10(1 x)dxPdx Qdy2(ey 2y)dyc為以（0,0）為心的任何圓周 c為以任何不含原點(diǎn)的閉曲線yf廠*f、1 Jo/xxdy ydxC 2例2. 計(jì)算 x解:P(1)令2 y (x22x2、2y),x2 2x y2 2y x2 2 2(x y ),P Q在除去（0,）處的所有點(diǎn)處有為半徑作足夠小的圓使小圓含在C內(nèi)，2 2 2 .r c

8、os x r sin2r2：c Pdx Qdy 0Q（2）v y = x三、二元函數(shù)的全微分求積c PdxQdy 0y = x，做以0為圓心，r嚴(yán)Qdy=0，即Ay(x,y)/ C Pdx Qdy與路徑無關(guān)，則Pdx Qdy為某一 函數(shù)的全微分為(Xo,y)(x,y)x/、Pdx Qdy Pdxu(x, y) = %0)= x0注：u(x, y)有無窮多個(gè).yQdy Pdx Qdy+ yo驗(yàn)證：(2x 解：令Psin y)dx2x sin y , Qxcosydy是某一函數(shù)的全微分，并求出一個(gè)原函數(shù)xcosyAy(x, y)P cosy yQ cosy x,原式在全平面上為某一函數(shù)的全微分，取

9、(X0,y)(0,0)(x.0)例5.u(x, y)(x,y)(0,0)PdxQdyxxdx0y0 xcosydy=x2xsin y計(jì)算C(y3e解：令Pmy)dy (3y2ex m)dymmy , Q2 x3y ec為從E到F再到G , FG是半圓弧c 2 x3y ec 2 x3y e原式=(1例6.設(shè)f (x)在(Qx添GE pdx(! Py加QdyGE d mdxdymJ 2 12中m(1)m430dx1m(1)41 mb)上連續(xù)可導(dǎo)，求L yA(3,)B(1 2)x 2石y2f(x, y)dy y其中為從點(diǎn) 3到B(1,2)的直線段.p解；令1 y f(x,y)x 2Q 2y f (x

10、, y) 1 y2yf(x,y)xy2f (x,y)y 1 y2f(x,y) y2f(x,y) xy3f(x,y) 11 22y2f(x, y) 1 yQ22y3fy(x, y)原式=CB故原積分與路徑無關(guān)，添2y2f(y)AC =3 yAC1dy1 3223 f(：x)dx3 23311.證明： f (x2c2.確定Ix(xc3小結(jié)：作業(yè):y2 f (x, y) xy3 f (x, y) 1CB構(gòu)成閉路，.原式;|1 吟+ BCAC 022f(y)31dyy322f(u)du22 f (y)dy3 y23f(u)為連續(xù)函數(shù)，而C為無重點(diǎn)的按段光滑的閉曲線，則2)(xdxydy) 0n值2 nQdxy使在x2(x2不經(jīng)過直線y2 ny )20的區(qū)域上，dy與路徑無關(guān),并求當(dāng)C為從點(diǎn)(11)到點(diǎn)