條件極值多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法ppt課件

1、多元函數(shù)的極值和最值多元函數(shù)的極值和最值條件極值條件極值 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法小結(jié)小結(jié) 思索題思索題 作業(yè)作業(yè)第八節(jié)第八節(jié) 多元函數(shù)的極值與多元函數(shù)的極值與 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法第八章第八章 多元函數(shù)微分法及其運用多元函數(shù)微分法及其運用一、多元函數(shù)的極值和最值一、多元函數(shù)的極值和最值1.極大值和極小值的定義極大值和極小值的定義一元函數(shù)的極值的定義一元函數(shù)的極值的定義:是在一點附近是在一點附近將函數(shù)值比大小將函數(shù)值比大小.定義定義點點P0為函數(shù)的極大值點為函數(shù)的極大值點. 類似可定義極小值點和極小值類似可定義極小值點和極小值.設(shè)在點設(shè)在點P0的某個鄰域的某個鄰域, ),()(0P

2、fPf 為極大值為極大值.那么那么稱稱)(0Pf多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法 注注 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的 函數(shù)的極大值點與極小值點統(tǒng)稱為函數(shù)的函數(shù)的極大值點與極小值點統(tǒng)稱為函數(shù)的多元函數(shù)的極值也是部分的多元函數(shù)的極值也是部分的, 普通來說普通來說:極大值未必是函數(shù)的最大值極大值未必是函數(shù)的最大值.極小值未必是函數(shù)的最小值極小值未必是函數(shù)的最小值.有時有時,極值極值. .極值點極值點. .內(nèi)的值比較內(nèi)的值比較.是與是與P0的鄰域的鄰域極小值能夠比極大值還大極小值能夠比極大值還大.多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法xyzOxyz

3、O例例2243yxz 例例22yxz 例例xyz 函數(shù)函數(shù) 存在極值存在極值, 在在(0,0)點取極小值點取極小值. 在在(0,0)點取極大值點取極大值. (也是最大值也是最大值).在在(0,0)點無極值點無極值.橢圓拋物面橢圓拋物面下半個圓錐面下半個圓錐面馬鞍面馬鞍面在簡單的情形下是在簡單的情形下是容易判別的容易判別的.函數(shù)函數(shù)函數(shù)函數(shù)(也是最小值也是最小值).函數(shù)函數(shù)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法 xyzO 2.極值的必要條件極值的必要條件證證定理定理1 1( (必要條件必要條件) ),(),(00yxyxfz在在點點設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) 具有具有處處且在點且在點),

4、(00yx那么它在那么它在該該點的偏導(dǎo)數(shù)必然為零點的偏導(dǎo)數(shù)必然為零:, 0),(00 yxfx. 0),(00 yxfy,偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),有有極極值值處處在在點點),(),(00yxyxfz 有極大值有極大值,無妨設(shè)無妨設(shè)的某鄰域內(nèi)任意的某鄰域內(nèi)任意則對于則對于),(00yx),(),(00yxyx 都有都有),(),(00yxfyxf 多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法,00時時故當(dāng)故當(dāng)xxyy ),(),(000yxfyxf 有有闡明一元函數(shù)闡明一元函數(shù)處處在在00),(xxyxf 有極大值有極大值,必有必有; 0),(00 yxfx. 0),(00 yxfy類似地

5、可證類似地可證推行推行 假設(shè)三元函數(shù)假設(shè)三元函數(shù)),(),(000zyxPzyxfu在在點點 具有偏導(dǎo)數(shù)具有偏導(dǎo)數(shù),那么它那么它在在),(000zyxP有極值的必要條件有極值的必要條件為為, 0),(000 zyxfx, 0),(000 zyxfy. 0),(000 zyxfz多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法均稱為函數(shù)的均稱為函數(shù)的駐點駐點極值點極值點仿照一元函數(shù)仿照一元函數(shù),凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點點,駐點駐點.如何斷定一個駐點能否為極值點如何斷定一個駐點能否為極值點如如,的的是是函函數(shù)數(shù)點點xyz )0 , 0(駐點駐點, 但不是極

6、值點但不是極值點. 注注3.極值的充分條件極值的充分條件定理定理2 2( (充分條件充分條件) ),(),(00yxyxfz在在點點設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) 的某鄰域內(nèi)延續(xù)的某鄰域內(nèi)延續(xù), 有一階及二階延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有一階及二階延續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 0),(00 yxfx又又, 0),(00 yxfy,),(00Ayxfxx 令令,),(00Cyxfyy ,),(00Byxfxy ),(),(00yxyxf在在點點則則處能否獲得極值的條件如下處能否獲得極值的條件如下:(1)時時02 BAC有極值有極值,時時當(dāng)當(dāng)0 A有極大值有極大值,時時當(dāng)當(dāng)0 A有極小值有極小值;(2)時時02 BAC沒有極值沒有極值;(3)時時0

7、2 BAC能夠有極值能夠有極值,也能夠無極值也能夠無極值.多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)求函數(shù) 極值的普通步驟極值的普通步驟: :),(yxfz 第一步第一步解方程組解方程組 0),(0),(yxfyxfyx求出實數(shù)解求出實數(shù)解,得駐點得駐點.第二步第二步 對于每一個駐點對于每一個駐點),(00yx求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值.CBA、第三步第三步 定出定出2BAC 的符號的符號,再斷定能否是極值再斷定能否是極值.多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法例例 解解又又在點在點(0,0)處處, 在點在點(a,a)處處, )0(3),

8、(33 ayxaxyyxf求函數(shù)求函數(shù) 03303322yaxfxayfyx).,(),0 , 0(aa駐駐點點 xxf xyf yyf229aBAC 故故),(yxf2227aBAC aA6 且且故故),(yxf即即.),(3aaaf 的極值的極值.0 在在(0,0)無極值無極值;0 在在(a,a)有極大值有極大值,0 ,6x ,3a.6y 多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法04222 xxzzzx解解求由方程求由方程010422222 zyxzyx.),(的極值的極值確定的函數(shù)確定的函數(shù)yxfz 將方程兩邊分別對將方程兩邊分別對x, y求偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù),04222

9、 yyzzzy 由函數(shù)取極值的必要條件知由函數(shù)取極值的必要條件知,駐點為駐點為),1, 1( P將上方程組再分別對將上方程組再分別對x, y求偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù),21|zzAPxx , 0| PxyzB,21|zzCPyy 多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法法一法一故故22)2(1zBAC )2( z函數(shù)在函數(shù)在P有極值有極值.0 010422222 zyxzyx)1, 1( P將將代入原方程代入原方程,6, 221 zz有有,21時時當(dāng)當(dāng) z41 A, 0 2)1, 1( fz為極小值為極小值;,62時時當(dāng)當(dāng) z41 A, 0 6)1, 1( fz為極大值為極大值.zz

10、APxx 21|0| PxyzBzzCPyy 21|多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法所以所以所以所以求由方程求由方程010422222 zyxzyx.),(的的極極值值確確定定的的函函數(shù)數(shù)yxfz 多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法解解 法二法二 配方法配方法 方程可變形為方程可變形為16)2()1()1(222 zyx 于是于是22)1()1(162 yxz,1, 1時時當(dāng)當(dāng) yx 顯然顯然, 根號中的極大值為根號中的極大值為4,由由可知可知,42 z為極值為極值.即即6 z為極大值為極大值,2 z為極小值為極小值.獲得獲得. .然而然而

11、, ,如函數(shù)在個別點處的偏導(dǎo)數(shù)不存在如函數(shù)在個別點處的偏導(dǎo)數(shù)不存在, ,這些點當(dāng)然不是駐點這些點當(dāng)然不是駐點,如如: 函數(shù)函數(shù)22yxz 不存在不存在, ,但函數(shù)在點但函數(shù)在點(0,0)(0,0)處都具有極大值處都具有極大值. . 在研討函數(shù)的極值時,除研討函數(shù)的駐點外,還應(yīng)研討偏導(dǎo)數(shù)不存在的點.注注由極值的必要條件知由極值的必要條件知,極值只能夠在駐點處極值只能夠在駐點處但也能夠是極值點但也能夠是極值點.在點在點(0,0)(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法2019年考研數(shù)學(xué)年考

12、研數(shù)學(xué)(一一), 4分分選擇題選擇題知函數(shù)知函數(shù)f (x, y)在點在點(0, 0)的某個鄰域內(nèi)延續(xù)的某個鄰域內(nèi)延續(xù), 1)(),(lim22200 yxxyyxfyx且且那那么么(A) 點點(0, 0)不是不是f (x, y)的極值點的極值點.(B) 點點(0, 0)是是f (x, y)的極大值點的極大值點.(C) 點點(0, 0)是是f (x, y)的極小值點的極小值點.(D) 根據(jù)所給條件無法判別點根據(jù)所給條件無法判別點(0, 0)能否為能否為f (x, y)的極值點的極值點.其中最大者即為最大值其中最大者即為最大值, , 與一元函數(shù)相類似與一元函數(shù)相類似,可利用函數(shù)的極值來可利用函數(shù)的

13、極值來求函數(shù)的最大值和最小值求函數(shù)的最大值和最小值.4.多元函數(shù)的最值多元函數(shù)的最值求最值的普通方法求最值的普通方法最小者即為最小值最小者即為最小值. .將函數(shù)在將函數(shù)在D D內(nèi)的一切嫌疑點的函數(shù)值及內(nèi)的一切嫌疑點的函數(shù)值及在在D D的邊境上的最大值和最小值相互比較的邊境上的最大值和最小值相互比較, ,多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法解解 (1) 求函數(shù)在求函數(shù)在D內(nèi)的駐點內(nèi)的駐點 由于由于所以函數(shù)在所以函數(shù)在D內(nèi)無極值內(nèi)無極值.(2) 求函數(shù)在求函數(shù)在 D邊境上的最值邊境上的最值(現(xiàn)最值只能在邊境上現(xiàn)最值只能在邊境上)與與在在求求函函數(shù)數(shù)0, 0212 yxyxx

14、z1 yx直直線線圍成的三角形閉域圍成的三角形閉域D上的上的0 最大最大(小小)值值.例例xzx21 2 yz 多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法1 yxDxyO在邊境限在邊境限在邊境限在邊境限由于由于最小最小, 由于由于又在端點又在端點(1,0)處處,yxxz212 所以所以,最大最大.yz21 21xxz ,21ddxxz ,21 x43)0 ,21( z有駐點有駐點 函數(shù)值有有, 0 x單調(diào)上升單調(diào)上升.2dd yz, 0 yz21 1)0 , 0( z3)1 , 0( z, 0 y. 1)0 , 1( z,10上上 y,10上上 x多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)

15、法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法1 yxDxyO在邊境限在邊境限所以所以, 最值在端點處最值在端點處.yxxz212 )1(212xxxz由于由于 函數(shù)單調(diào)下降函數(shù)單調(diào)下降,)0 ,21( z及及43)0 ,21(min zz3)1 , 0(max zz, 1 yx233xx xxz23dd 0 ),10( x(3)比較比較),0 , 0( z),0 , 1( z)1 , 0( z,10上上 x43)0 ,21( z1)0 , 0( z3)1 , 0( z1)0 , 1( z多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法1 yxDxyO解解, 02 xfx令令08 yfy)0 ,

16、 0(),(422yxfyx代代入入將將 133),(2yyxf2 , 2 yyyg6)( 令令0 y此時此時24yx ,2時時當(dāng)當(dāng) y9)0 , 0( f. 9,25),(最最小小值值為為上上的的最最大大值值為為在在故故Dyxf13)0 , 2( f25)2, 0( f的最大值與最小值的最大值與最小值.駐點駐點得得)(yg0 2 0 x均有均有多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法上上在在求求4:94),(2222 yxDyxyxf對自變量有附加條件的極值對自變量有附加條件的極值.其他條件其他條件.無條件極值無條件極值對自變量除了限制在定義域內(nèi)外對自變量除了限制在定義域

17、內(nèi)外, 并無并無條件極值條件極值多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法二、條件極值二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法解解,18 zyxyxz 18xyzV ：區(qū)區(qū)域域D02182 yxyyVx02182 xyxxVy)18(yxxy 2218xyyxxy 例例 知長方體長寬高的和為知長方體長寬高的和為18,問長、寬、高問長、寬、高各取什么值時長方體的體積最大？各取什么值時長方體的體積最大？設(shè)長方體的長、寬、高分別為設(shè)長方體的長、寬、高分別為, zyx、由題意由題意長方體的體積為長方體的體積為18, 0, 0 yxyx)6 , 6(駐駐點點 多元函數(shù)的極值與拉格朗日

18、乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法且長方體體積且長方體體積一定有最大值一定有最大值,體體積最大體體積最大.故當(dāng)?shù)拈L、寬、高都為故當(dāng)?shù)拈L、寬、高都為6時長方時長方由于由于V在在D內(nèi)只需一個駐點內(nèi)只需一個駐點,xyzV 18 zyx上例的極值問題也可以看成是求三元函數(shù)上例的極值問題也可以看成是求三元函數(shù)zyx、但但的極值的極值,要遭到條件要遭到條件的限制的限制, 這便是一個條件極值這便是一個條件極值問題問題.目的函數(shù)目的函數(shù)約束條件約束條件多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法 有時條件極值有時條件極值目的函數(shù)中化為無條件極值目的函數(shù)中化為無條件極值.可經(jīng)過將約束條件代入可

19、經(jīng)過將約束條件代入但在普通情形但在普通情形甚至是不能夠的甚至是不能夠的. 下面要引見處理條件極值問題的普通下面要引見處理條件極值問題的普通方法方法:下下,這樣做是有困難的這樣做是有困難的,拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法: :現(xiàn)要尋求目的函數(shù)現(xiàn)要尋求目的函數(shù)),(yxfz 0),( yx 在約束條件在約束條件 下獲得下獲得利用隱函數(shù)的概念與求導(dǎo)法利用隱函數(shù)的概念與求導(dǎo)法 如函數(shù)如函數(shù)(1)在在),(00yx0),(00 yx 由條件由條件0),( yx (1)(2)極值的必要條件極值的必要條件.獲得所求的極值獲得所求的極值,那末首先有那末首先有(3)確定確定y是是x的隱

20、函數(shù)的隱函數(shù)).(xyy 多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法 不用將它真的解出來,那么于是函數(shù)于是函數(shù)(1),(00yx在在0 xx 即即, 獲得所獲得所獲得極值獲得極值.求的極值求的極值.),(,(xyxfz 其中其中 0ddxxxy代入代入(4)得得:)5(0),(),(),(),(00000000 yxyxyxfyxfyxyx 0),( yx 由一元可導(dǎo)函數(shù)獲得極值的必要條件知由一元可導(dǎo)函數(shù)獲得極值的必要條件知: 0ddxxxz00yyxxxf (4)000ddxxyyxxxyyf 0 ),(),(0000yxyxyx 多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極

21、值與拉格朗日乘數(shù)法0 xx 獲得極值獲得極值.在在(3) ,(5)兩式兩式),(00yx在在獲得極值的必要條件獲得極值的必要條件.就是函數(shù)就是函數(shù)(1)在條件在條件(2)下的下的)3(0),(00 yx )1(),(yxfz )2(0),( yx )(,(xyxfz 設(shè) ),(),(0000yxyxfyy上述必要條件變?yōu)樯鲜霰匾獥l件變?yōu)? (6)中的前兩式的左邊正是函數(shù)中的前兩式的左邊正是函數(shù):0),(),(),(),(00000000 yxyxyxfyxfyxyx 0),(),(0000 yxyxfxx 0),(00 yx 0),(),(0000 yxyxfyy(6)多元函數(shù)的極值與拉格朗日

22、乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法,0),(00 yx ),(),(),(yxyxfyxL 的兩個一階偏導(dǎo)數(shù)在的兩個一階偏導(dǎo)數(shù)在),(00yx的值的值. 參數(shù)參數(shù)函數(shù)函數(shù)),(yxL稱為拉格朗日函數(shù)稱為拉格朗日函數(shù),稱為拉格朗日乘子稱為拉格朗日乘子, 是一個待定常數(shù)是一個待定常數(shù).拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法: :),(yxfz 0),( yx 極值的必要條件極值的必要條件在條件在條件要找函數(shù)要找函數(shù)下的能夠極值點下的能夠極值點, 先構(gòu)造函數(shù)先構(gòu)造函數(shù)),(),(),(yxyxfyxL 為某一常數(shù)為某一常數(shù),其中其中可由可由 解出解出, yx其中其中就是能夠的極值點的坐標(biāo)就是能夠的極值點的坐

23、標(biāo).yx,多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法, 0),(),( yxyxfxx , 0),(),( yxyxfyy. 0),( yx 如何確定所求得的點如何確定所求得的點實踐問題中實踐問題中, 非實踐問題我們這里不做進(jìn)一步的討論非實踐問題我們這里不做進(jìn)一步的討論.拉格朗日乘數(shù)法可推行拉格朗日乘數(shù)法可推行: :斷定斷定.可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來的情況的情況. .自變量多于兩個自變量多于兩個能否為極值點能否為極值點多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法例例 將將正正數(shù)數(shù) 12 分分成成三三個個正正數(shù)數(shù)zyx,之之和和 使使得得zy

24、xu23 為為最最大大. 解解.691224623max u那那么么故故最最大大值值為為又是實踐問題又是實踐問題,解得獨一駐點解得獨一駐點)2 , 4 , 6(一定存在最值一定存在最值.令令 ),(zyxLzyx23)12( zyx 023 yzxLy0322 zyxLx023 yxLz12 zyx此題能否也可化為無條件極值做此題能否也可化為無條件極值做多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法解解),(000zyxP設(shè)設(shè)為橢球面上的一點為橢球面上的一點,令令1),(222222 czbyaxzyxF那么那么,2|20axFPx ,2|20byFPy 202|azFPz 的切

25、平面方程為的切平面方程為),(000zyxP過過在第一卦限內(nèi)作橢球面在第一卦限內(nèi)作橢球面的的使切平面與三個坐標(biāo)面所圍成的使切平面與三個坐標(biāo)面所圍成的例例1222222 czbyax切平面切平面,四面體體積最小四面體體積最小, 求切點坐標(biāo)求切點坐標(biāo).0)()()(020020020 zzczyybyxxax多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法目的函數(shù)目的函數(shù)該切平面在三個軸上的截距各為該切平面在三個軸上的截距各為化簡為化簡為1202020 czzbyyaxx,02xax ,02yby 02zcz 所求四面體的體積所求四面體的體積xyzV61 0002226zyxcba 約

26、束條件約束條件在條件在條件1220220220 czbyax下求下求V 的最小值的最小值,多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法約束條件約束條件1220220220 czbyax令令000lnlnlnzyxu ),(000zyxL000lnlnlnzyx 1220220220czbyax 由由 , 00 xL01220220220 czbyax, 00 yL00 zL目的函數(shù)目的函數(shù),6000222zyxcbaV 多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法可得可得即即當(dāng)切點坐標(biāo)為當(dāng)切點坐標(biāo)為)3,3,3(cba四面體的體積最小四面體的體積最小abcV23

27、min ),(000zyxL000lnlnlnzyx 1220220220czbyax 021200 axx 021200 byy 021200 czz 01220220220 czbyax 30ax 30by 30cz 多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法.)21, 1 , 1(22的的最最短短距距離離到到曲曲面面求求點點yxz 解解 d為簡化計算為簡化計算,令令222)21()1()1(),( zyxzyxf22yxz ),(zyx設(shè)設(shè)是曲面上的點是曲面上的點,它與知點的間隔為它與知點的間隔為問題化為在問題化為在),(zyxf下求下求的最小值的最小值.222)21(

28、)1()1( zyx目的函數(shù)目的函數(shù)約束條件約束條件多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法 ),(zyxL)(22yxz 02)1(2 xxLx 得得由由)2(),1(22xz 得得由由 )1(xx1 得得代代入入)3(xxxz212121 222)21()1()1( zyx設(shè)設(shè)02)1(2 yyLy 0212 zLz22yxz (1)(2)(3)(4)yx 得得代入代入)4(多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法由于問題確實存在最小值，由于問題確實存在最小值，與與由由22xz xxxz212121 故故xx2122 有最小值有最小值d得獨一駐點得獨

29、一駐點24,41,41 zyx333222141412 33處處，故在點故在點 244141333多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法還有別的簡一方法嗎還有別的簡一方法嗎用幾何法用幾何法!解解22)1(yxz 先求函數(shù)先求函數(shù) 0202yzxzyx駐點駐點22)2(yxz 再再求求 為此作拉格朗日乘函數(shù)為此作拉格朗日乘函數(shù): ),(yxL上的最大值與最小值上的最大值與最小值.在圓內(nèi)的能夠的極值點在圓內(nèi)的能夠的極值點;在圓上的最大、最小值在圓上的最大、最小值.22yx 9)2()2(22 yx )0 , 0(多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法9)

30、2()2(2222 yxyxz在圓在圓求函數(shù)求函數(shù))(0)2(22axxLx 可可知知由由)(),(ba得得代代入入)(c225 yx比比較較)3(,25 z. 0 z, yx 22 yx和和)(0)2(22byyLy )(9)2()2(22cyx 最大值為最大值為最小值為最小值為、)0 , 0( z、 225,225z 22,22z多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法9)2()2(),(2222 yxyxyxL 22yxz 函數(shù)函數(shù)上，上，在圓在圓9)2()2(22 yx多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法2019年考研數(shù)學(xué)年考研數(shù)學(xué)(一一),

31、 7分分 設(shè)有一小山設(shè)有一小山,取它的底面所在的平面為取它的底面所在的平面為xOy坐標(biāo)坐標(biāo)面面,其底部所占的區(qū)域為其底部所占的區(qū)域為,75),( 22 xyyxyxD 小山的高度函數(shù)為小山的高度函數(shù)為.75),(22xyyxyxh (1) 設(shè)設(shè)M(x0 , y0)為區(qū)域為區(qū)域D上一點上一點,問問h(x, y)在該在該點沿平面上什么方向的方導(dǎo)游數(shù)最大點沿平面上什么方向的方導(dǎo)游數(shù)最大? 假設(shè)記此方導(dǎo)游假設(shè)記此方導(dǎo)游數(shù)數(shù)的最大值為的最大值為g(x0 , y0),試寫出試寫出g(x0 , y0)的表達(dá)式的表達(dá)式. (2) 現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動,為此需求在為此需求在山腳尋

32、覓一上山坡度最大的點作為攀爬的起點山腳尋覓一上山坡度最大的點作為攀爬的起點.是說是說,要在要在D的邊境限的邊境限7522 xyyx上找出使上找出使(1)中中的的g(x, y)到達(dá)最大值的點到達(dá)最大值的點.試確定攀巖起點的位置試確定攀巖起點的位置.也就也就多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法解解 (1) 由梯度的幾何意義知由梯度的幾何意義知, 方向的方導(dǎo)游數(shù)最大方向的方導(dǎo)游數(shù)最大,h(x, y)在點在點M(x0 , y0)處沿梯度處沿梯度)2,2(),(grad0000),(00yxxyyxhyx 方導(dǎo)游數(shù)的最大值為該方導(dǎo)游數(shù)的最大值為該梯度的模梯度的模, 所以所以20020000)2()2(),(yxxyyxg .855002020yxyx (2) 令令,855),(),(222x