點直線圓與圓的位置關(guān)系—知識講解基礎

1、點、直線、圓與圓的位置關(guān)系一知識講解（基礎）【學習目標】1 .理解并掌握點與圓、直線與圓、圓與圓的各種位置關(guān)系；2 .理解切線的判定定理、性質(zhì)定理和切線長定理，了解三角形的內(nèi)切圓和三角形的內(nèi)心的概念，并熟練掌握以上內(nèi)容解決一些實際問題；3.了解兩個圓相離（外離、內(nèi)含），兩個圓相切（外切、內(nèi)切），兩圓相交，圓心距等概念.理解兩圓的位 置關(guān)系與d、ri、2等量關(guān)系的等價條件并靈活應用它們解題.【要點梳理】要點一、點和圓的位置關(guān)系1 點和圓的三種位置關(guān)系：由于平面上圓的存在，就把平面上的點分成了三個集合，即圓內(nèi)的點，圓上的點和圓外的點，這三類點各具有相同的性質(zhì)和判定方法；設。 。的半徑為r,點P到圓

2、心的距離為d,則有p(x, y)L1）點尸在圓內(nèi)=d s O舊4r（2）點尸在圓上Odf =尸=&= r；（3）點尸在圓外O d > r =+> r.2 .三角形的外接圓經(jīng)過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心.三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等 要點詮釋：（1）點和圓的位置關(guān)系和點到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對應的，即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系； 知道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系；（2）不在同一直線上的三個點確定一個圓.要點二、直線和圓的位置關(guān)系1.直線和圓的三種位置關(guān)系：（1）相交：直線與圓有兩個公共點

3、時，叫做直線和圓相交.這時直線叫做圓的割線.（2）相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切. 這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做切點.（3）相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離.2.直線與圓的位置關(guān)系的判定和性質(zhì).直線與圓的位置關(guān)系能否像點與圓的位置關(guān)系一樣通過一些條件來進行分析判斷呢？由于圓心確定圓的位置， 半徑確定圓的大小， 因此研究直線和圓的位置關(guān)系， 就可以轉(zhuǎn)化為直線和點（圓心） 的位置關(guān)系.下面圖（1）中直線與圓心的距離小于半徑；圖 （2）中直線與圓心的距離等于半徑；圖 （3）中直線與圓 心的距離大于半徑.如果。的半徑為r,圓心O到直線，的距離為d,那么(1)直線，

4、和日掰交od<n(2)直綁和。相切o d三門(3直線/和口。相離今dr,要點詮釋：這三個命題從左邊到右邊反映了直線與圓的位置關(guān)系所具有的性質(zhì)；從右邊到左邊則是直線與圓的位置關(guān)系 的判定.要點三、切線的判定定理、性質(zhì)定理和切線長定理1 .切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線要點詮釋：切線的判定定理中強調(diào)兩點：一是直線與圓有一個交點，二是直線與過交點的半徑垂直，缺一不可2 .切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑 .3 .切線長：經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長要點詮釋：切線長是指圓外一點和切點之間的線段的長，不是“切線的

5、長”的簡稱.切線是直線，而非線段.4 .切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.要點詮釋：切線長定理包含兩個結(jié)論：線段相等和角相等5 .三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓6 .三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心到三邊的距離都相等.要點詮釋：(1)任何一個三角形都有且只有一個內(nèi)切圓，但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形；(2)解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即S二2Pr(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r

6、為內(nèi)切圓的半徑).(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)另1J:內(nèi)心(三角形 內(nèi)切圓的圓三角形三條角平分線 的交點(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB OC分別平分/ BAC / ABC /ACB (3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.要點四、圓和圓的位置關(guān)系1 .圓與圓的五種位置關(guān)系的定義兩圓外離：兩個圓沒有公共點，且每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外離.兩圓外切：兩個圓有唯一公共點，并且除了這個公共點外，每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩 個圓外切.這個唯一的公共點叫做切點.兩圓相交：兩個圓有兩個公共點時，叫做這兩圓相交兩圓內(nèi)切：兩個圓有唯一公共點，并且除了這個公共點外，一個圓上的點

7、都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩 個圓內(nèi)切.這個唯一的公共點叫做切點.兩圓內(nèi)含：兩個圓沒有公共點，且一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)含.2 .兩圓的位置與兩圓的半徑、圓心距間的數(shù)量關(guān)系：設。O的半徑為ri,。Q半徑為2, 兩圓心OQ的距離為d,則：兩圓外離 Qd>ri+r2兩圓外切 ="d=ri+r2兩圓相交 Q r i-r 2< dv ri+r2 (r i> r 2)兩圓內(nèi)切d=ri-r 2 (r i>r2)兩圓內(nèi)含d<r i-r 2 (r i>2)要點詮釋：(i)圓與圓的位置關(guān)系，既考慮它們公共點的個數(shù)，又注意到位置的不同，若以兩

8、圓的公共點個數(shù)分類,又可以分為：相離(含外離、內(nèi)含)、相切(含內(nèi)切、外切)、相交；(2)內(nèi)切、外切統(tǒng)稱為相切，唯一的公共點叫作切點；(3)具有內(nèi)切或內(nèi)含關(guān)系的兩個圓的半徑不可能相等，否則兩圓重合 【典型例題】類型一、點與圓的位置關(guān)系i.已知圓的半徑等于 5 cm,根據(jù)下列點 P到圓心的距離:(i)4 cm； (2)5 cm； (3)6 cm,判定點 P與圓的位置關(guān)系，并說明理由【答案與解析】(1)當d=4 cm時，dv r,，點P在圓內(nèi);(2)當 d=5 cm 時，d=r, .點 P在圓上；(3)當 d=6 cm 時，d> r, .點 P在圓外.【總結(jié)升華】利用點與圓的位置關(guān)系，由點到圓

9、心的距離與半徑的大小比較舉一反三：【變式】 點A在以。為圓心，3為半徑的。0內(nèi)，則點A到圓心O的距離d的范圍是.【答案】0<d< 3.類型二、直線與圓的位置關(guān)系C2,在RtABC中，/ C=90° , AC=3厘米，BC=4厘米，以C為圓心，r為半徑的圓與 AB有怎樣的位置關(guān) 系？為什么？(1)r=2 厘米；(2)r=2.4 厘米；(3)r=3 厘米【答案與解析】過C點作CDL AB于D,在 RtABC中，/ C=90° , AC=3, BC=4 彳A AB=5CD=AC?BC = LAB=2.4 (cm),S.丸= , CD = AC ' ECAB C

10、D=AC BC(1)當 r =2cm 時 CD>r, .圓 C與 AB相離;(2)當 r= 2.4cm 時，CD=r,圓 C與 AB相切；(3)當 r=3cm 時，CD< r, .,.圓 C 與 AB 相交.【總結(jié)升華】 欲判定。C與直線AB的關(guān)系，只需先求出圓心 C到直線AB的距離CD的長，然后再與r比較即可.舉一反三：【變式】如圖，P點是/ AOB的平分線OC上一點，PEL OA于E,以P為圓心，PE為半徑作。P .求證：OP與OB相切?！敬鸢浮?作PF, OB于F,則可證明 OE四 OFP所以PF=PE即F在圓P上，故。P與OB相切。3.如圖所示，在 RtABC中，/ B=

11、90° , / A的平分線交BC于D,以D為圓心，DB長為半彳5作。D.求 證：AC是0D的切線.過D作D。AC于F./ B= 90° , DB ±AB.又AD平分/ BACDF = BD=半徑. AC與0D相切.【總結(jié)升華】 如果已知條件中不知道直線與圓有公共點，其證法是過圓心作直線的垂線段，再證明垂線段的長等于半徑的長即可.可簡記為：作垂直，證半徑.類型三、圓與圓的位置關(guān)系【答案與解析】 4. (1)已知兩圓的半徑分別為 3cm, 5cm,且其圓心距為7cm,則這兩圓的位置關(guān)系是 ()A.外切 B.內(nèi)切 C.相交D.相離(2)已知。Oi與。O2相切，O Oi的

12、半徑為3cm,。2的半徑為2cm,則O1O2的長是()A . 1cm B. 5cmC. 1cm 或 5cm D . 0. 5cm 或 2. 5cm【答案】(1) C ;(2) C.【解析】(1)由于圓心距 d=7cm, R+r = 5+3= 8(cm), R-r= 5-3= 2(cm). R-rvdvR+r,故這兩圓的位置關(guān)系是相交.(2)兩圓相切包括外切和內(nèi)切，當O。1與。O2外切時，d=OO2= R+r=3+2=5(cm);當O O1 與。02 內(nèi)切時，d = O1O2 = R-r= 3- 2= 1(cm).【總結(jié)升華】 由數(shù)量確定位置或由位置確定數(shù)量的依據(jù)是：兩圓外離d>R+r；兩

13、圓外切 d=R+r；兩圓相交R-rvdvR+r;兩圓內(nèi)切d=R-r;兩圓內(nèi)含 dvR-r.點、直線、圓與圓的位置關(guān)系一鞏固練習(基礎)【鞏固練習】一、選擇題1 .已知：如圖，PA PB分別與。O相切于A, B點，C為。O上一點，/ ACB=65 ,則/ APB等于().A. 65°B, 50°C, 45°D , 40°2 .如圖，AB是。的直徑，直線 EC切。于B點，若/ DBC=z ,則().o 1A. / A= a B . / A=90 a C . / ABD= a D. / ABD 90o 一2£ESC第1題圖第2題圖3 .設。0的半徑為

14、3,點O到直線l的距離為d,若直線l與。0至少有一個公共點，則d應滿足的條件是()A.d=3 B. d <3 C. d <3 D.d >34 .在RtABC中，/C=90 , AB=10 AC=6,以C為圓心作0C和AB相切，則0C的半徑長為（）A.8B.4C.9.6D.4.85 .已知。0 i和。0 2的半徑分別為1和5,圓心距為3,則兩圓的位置關(guān)系是 （）A.相交 B. 內(nèi)切 C. 外切 D. 內(nèi)含6 .已知：A, B, C, D, E五個點中無任何三點共線，無任何四點共圓，那么過其中的三點作圓，最多能作出（）.A. 5個圓B. 8個圓C. 10個圓D. 12個圓二、填空

15、題7 .銳角三角形的外心在三角形的 部，鈍角三角形的外心在三角形的 部， 直角三角形的外心在 .8 .若 ABC中，/ C=90° , AC=10cm BC=24cm則它的外接圓的直徑為 .9 .若 ABC內(nèi)接于。O, BC=12cm O點到BC的距離為8cm,則。的周長為 .10 .如圖所示，以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦是小圓的切線，C為切點，若兩圓的半徑分別為 3cm和5cm,則AB的長為 cm.11 .如圖所示，已知直線 AB是。的切線，A為切點，OB交。O于點C,點D在。0上，且/ OBA= 40° ,則/ ADC第10題圖第11題圖第12題圖12 .如圖，施

16、工工地的水平地面上，有三根外徑都是1 m的水泥管，兩兩相切地堆放在一起，其最高點到地面的距離是 三、解答題13 .如圖所示，四邊形 ABC比平行四邊形，以 AB為直徑的。O經(jīng)過點D, E是。上一點，且/ AED= 45° ,試判斷CD與。的關(guān)系，并說明理由.14 . AB是。O的直徑，BC切。于B, AC交。于D點，過 D作。O的切線DE交BC于E.求證：CE=BE.15.如圖所示,AB是。的直徑,P為AB延長線上任意占八）AB于點E,求證：PA PE.【答案與解析】 一、選擇題1 .【答案】B;【解析】連結(jié) OA OB 則/ AOB=130 , / PAOW PBO=90 ,所以/

17、 P=50° .2 .【答案】A;【解析】 AB是。的直徑，ADB=90 , /A+/ABD=90 ,又二.直線 EC切。于 B 點，. a +Z ABD=90 ,A=a,故選 A.3 .【答案】C;【解析】直線l可能和圓相交或相切.4 .【答案】D;【解析】作 CDLAB于 D,貝U CD為OC 的半徑，BC4rAB2AC2 = 102 62 =8,由面積相等，得 AB- CD=AC BC.CD=6=4.8.105 .【答案】D;【解析】內(nèi)切、外切分別對應d=H r, d=Rr,它們起著分界作用.在。0 i和。0 2相對運動時依次產(chǎn)生外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含五種位置關(guān)系，圓心距

18、逐漸變小，而相內(nèi)切和外切起著分界作用，所以先計算d+r和dr,因為圓心距 d=3< R- r,所以"內(nèi)含".6 .【答案】C.【解析】過其中的三點作圓，最多能作出 10個，即分別過點 ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE的圓.二、填空題7 .【答案】內(nèi)，外，它的斜邊中點處.8 .【答案】26cm.9 .【答案】20兀cm.10 .【答案】8.【解析】因為 AB切小。于C,連OA OC如圖，由切線的性質(zhì)知 OCLAB,又由垂徑定理得 AC= BC, 在 RtAOC中,AO= 5, OC= 3.AB =2AC= 8(cm).11 .【答案】25° .【解析】: OALAB, Z OBA= 40° ,/ BOA= 50° , ,1 /ADC= / BOA= 25 .212.【答案】(1+ 221) m.【解析】由于三個圓兩兩外切，所以圓心距等于半徑之和，所以三個圓心為頂點的三角形是邊長為1 m的等邊三角形，最高點到地面距離是等邊三角形的高加上一個直徑.等邊三角形的高是 卜-J）2 =也,故最高