三角形的概念及基本性質(zhì)-教案

1、個(gè)性化教案三角形相關(guān)的概念適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級(jí)初中二年級(jí)適用區(qū)域全國課時(shí)時(shí)長（分鐘）120分鐘知識(shí)點(diǎn)1、 三角形中幾條重要的線段2、 三角形的一般性質(zhì)3、 三角形邊角關(guān)系、性質(zhì)的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)理解掌握三角形的相關(guān)的概念；能夠利用三角形相關(guān)的概念解決一些實(shí)際問題教學(xué)重點(diǎn) 三角形相關(guān)知識(shí)的點(diǎn)的靈活掌握教學(xué)難點(diǎn)三角形的邊角關(guān)系、性質(zhì)的靈活應(yīng)用教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)二、知識(shí)講解考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)1 1. 三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。 2. 三角形中的幾條重要線段： （1）三角形的角平分線（三條角平分線的交點(diǎn)叫做內(nèi)心） （2）三角形的中線（三條中線的交點(diǎn)叫重心

2、） （3）三角形的高（三條高線的交點(diǎn)叫垂心） 3. 三角形的主要性質(zhì) （1）三角形的任何兩邊之和大于第三邊，任何兩邊之差小于第三邊； （2）三角形的內(nèi)角之和等于180° （3）三角形的外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角，等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和； （4）三角形中，等角對(duì)等邊，等邊對(duì)等角，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角； （5）三角形具有穩(wěn)定性。 4. 補(bǔ)充性質(zhì)：在中，D是BC邊上任意一點(diǎn)，E是AD上任意一點(diǎn)，則。 三角形是最常見的幾何圖形之一，在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中都有廣泛的應(yīng)用。三角形又是多邊形的一種，而且是最簡單的多邊形，在幾何里，常常把多邊形分割成若干個(gè)三角形，利用三角形的性質(zhì)去研

3、究多邊形。實(shí)際上對(duì)于一些曲線，也可以利用一系列的三角形去逼近它，從而利用三角形的性質(zhì)去研究它們。因此，學(xué)好本章知識(shí)，能為以后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)?？键c(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)2 三角形邊角關(guān)系、性質(zhì)的應(yīng)用三、例題精析【例題1】【題干】銳角三角形ABC中，C2B，則B的范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】因?yàn)闉殇J角三角形，所以 又C2B， 又A為銳角，為銳角 ，即 ，故選擇C。【例題2】【題干】已知三角形的一個(gè)外角等于160°，另兩個(gè)外角的比為2:3，則這個(gè)三角形的形狀是（ ） A. 銳角三角形B. 直角三角形C. 鈍角三角形D. 無法確定【答案】C【解析】由于三角形的外角和等于3

4、60°，其中一個(gè)角已知，另兩個(gè)角的比也知道，因此三個(gè)外角的度數(shù)就可以求出，進(jìn)而可求出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，從而可判斷三角形的形狀。 解：三角形的一個(gè)外角等于160° 另兩個(gè)外角的和等于200° 設(shè)這兩個(gè)外角的度數(shù)為2x，3x 解得： 與80°相鄰的內(nèi)角為100° 這個(gè)三角形為鈍角三角形【例題3】 【題干】如圖，已知：在中，求證：?！敬鸢浮孔C明：作ABC的角平分線BE交AC于E，過點(diǎn)A作AF/BE交CB的延長線于F 又BE平分ABC，EBCABE FFAB，ABBF 又ABFBAF，即2ABAF 又 ，又 【解析】欲證，可作ABC的平分線BE交AC于E

5、，只要證即可。為與題設(shè)聯(lián)系，又作AF/BE交CB的延長線于F。顯然EBCF，只要證即可。由可得證?！纠}4】【題干】已知：如圖，在中，D是BC上任意一點(diǎn)，E是AD上任意一點(diǎn)。求證： （1）BECBAC； （2）ABACBEEC。【答案】證明：（1）BED是的一個(gè)外角， 同理， 即 （2）延長BE交AC于F點(diǎn) 即【解析】在（1）中，利用三角形內(nèi)角和定理的推論即可證出在（2）中，添加一條輔助線，轉(zhuǎn)化到另一個(gè)三角形中，利用邊的關(guān)系定理即可證出?！纠}5】【題干】求證：直角三角形的兩個(gè)銳角的相鄰?fù)饨堑钠椒志€所夾的角等于45°。 已知：如圖，在中，是的外角，AF、BF分別平分EAB及ABD。

6、求證：AFB45°【答案】 證明：EABABCC ABDCABC ABCCCAB180°，C90° AF、BF分別平分EAB及ABD 在中，【解析】欲證，須證 AF、BF分別平分EAB及ABD 要轉(zhuǎn)證EABABD270° 又C90°，三角形一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和 問題得證四、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1. 已知：三角形的三邊長為3，8，求x的取值范圍。 分析：本題是三邊關(guān)系的應(yīng)用問題，只需用三邊關(guān)系確定第三邊的取值范圍即可。 解：三邊長分別為3，8，由三邊關(guān)系定理得： 2. 已知：中，D點(diǎn)在BC的延長線上，使，求和間的關(guān)系為？解： 又 ，又

7、 根據(jù)三角形內(nèi)角和，得： 3. 如圖，中，的平分線交于P點(diǎn)，則 （ ） A. 68°B. 80°C. 88°D. 46°答案:C解析: 又BP、CP為B、C的平分線 4. 已知：如圖，AD是的BC邊上高，AE平分。 求證：證明： AE平分BAC， 又ADBC， 又 【鞏固】1. 求證：三角形的兩個(gè)外角平分線所成的角等于第三個(gè)外角的一半。 證明：如圖，設(shè)的BAC和ABC的外角平分線交于點(diǎn)D 則 又 。2. 在ABC中，AC5，中線AD7，則AB邊的取值范圍是（ ） A.1AB29 B.4AB24 C.5AB19 D.9AB19分析: 在解三角形的有關(guān)中線問

8、題時(shí)，如果不能直接求解，則常將中線延長一倍，借助全等三角形知識(shí)求解，這也是一種常見的作輔助線的方法.答案:D3. 如圖，將一副三角板折疊放在一起，使直角的頂點(diǎn)重合于點(diǎn)O，則AOC+DOB= 度答案:180解析:本題考查了角度的計(jì)算問題，因?yàn)楸绢}中AOC始終在變化，因此可以采用“設(shè)而不求”的解題技巧進(jìn)行求解解：設(shè)AOD=a，AOC=90°+a，BOD=90°-a，所以AOC+BOD=90°+a+90°-a=180°故答案為180°4. 如圖，在ABC中，D為BC上一點(diǎn)，1=2，3=4，BAC=63°，試求DAC，ADC的度數(shù)

9、答案: 解：1=2，3=1+2=21=4，23+CAD=21+22+BAC-1=41+63°-1=31+63°=180°，1=39°=2，3=4=78°，DAC=63°-1=63°-39°=24°，ADC=3=78°解析: 由三角形的內(nèi)角和是180°，和三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，可求1=39°，3=78°，所以DAC=24°，ADC=3=78°【拔高】1. 如圖，已知ABC中，ABC45°，ACB61°，延

10、長BC至E，使CEAC，延長CB至D，使DBAB，求DAE的度數(shù).分析：用三角形內(nèi)角和定理和外角定理，等腰三角形性質(zhì)，求出DE的度數(shù)，即可求得DAE的度數(shù).2. 如圖，已知P是等邊ABC的BC邊上任意一點(diǎn)，過P點(diǎn)分別作AB、AC的垂線PE、PD，垂足為E、D.問：AED的周長與四邊形EBCD的周長之間的關(guān)系？分析：（1）DE是AED與四邊形EBCD的公共邊，只須證明ADAEBEBCCD （2）既有等邊三角形的條件，就有60。的角可以利用；又有垂線，可造成含30°角的 直角三角形，故本題可借助特殊三角形的邊角關(guān)系來證明.答案: 過P作PMAC，PNABPMB=A=B，PNC=A=CPM

11、=PB，PN=PCPEAB，PDACBE=EM，CD=DN四邊形AMPN為平行四邊形，AN=PM，AM=PN三角形AED的周長=AE+ED+AD=AM+ME+ED+DN+AN=PC+BE+ED+DC+PB=BE+BC+CD+ED=四邊形EBCD的周長3. 觀察圖中每一個(gè)大三角形中白色三角形的排列規(guī)律，則第5個(gè)大三角形中白色三角形有 個(gè)答案:121解析: 解決此題關(guān)鍵在觀察、分析已知數(shù)據(jù)，尋找它們之間的以及與第一個(gè)圖形的相互聯(lián)系，探尋其規(guī)律解：第1個(gè)大三角形中白色三角形有1個(gè)；第2個(gè)大三角形中白色三角形有（1+3）個(gè)；第3個(gè)大三角形中白色三角形有（1+3+32）個(gè)；那么第5個(gè)大三角形中白色三角形

12、有（1+3+32+33+34）=121個(gè)4. 如圖，有兩個(gè)長度相同的滑梯（即BCEF），左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，則ABCDFE_ 分析：ABC與DFE分布在兩個(gè)直角三角形中，若說明這兩個(gè)直角三角形全等則問題便會(huì)迎刃而解解答：在RtABC和RtDEF中，BCEF，ACDF， ABCDEF，ABCDEF，ABCDFE90°，因此填90°課程小結(jié)知識(shí)點(diǎn)1:三角形的邊、角關(guān)系三角形任何兩邊之和大于第三邊；三角形任何兩邊之差小于第三邊；三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°；三角形三個(gè)外角的和等于360°；三角形一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角

13、的和；三角形一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。知識(shí)點(diǎn)2: 三角形的主要線段和外心、內(nèi)心三角形的角平分線、中線、高；三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的外心，三角形的外心到各頂點(diǎn)的距離相等；三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等；連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半。課后作業(yè)【基礎(chǔ)】1.如圖，為估計(jì)池塘岸邊A、B的距離，小方在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)O，測得OA=15米，OB=10米，A、B間的距離不可能是（）A.20米 B.15米 C.10米 D.5米 答案:D解析: 根據(jù)三角形的三邊關(guān)

14、系，第三邊的長一定已知的兩邊的差，而兩邊的和，求得相應(yīng)范圍，看哪個(gè)數(shù)值不在范圍即可15-10AB10+15，5AB25所以不可能是5米故選D2. 如圖，在RtABC中，B=90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E已知BAE=10°，則C的度數(shù)為（）A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 答案:B解析: 利用線段的垂直平分線的性質(zhì)計(jì)算通過已知條件由B=90°，BAE=10°AEB，AEB=EAC+C=2CED是AC的垂直平分線，AE=CEEAC=C，又B=90°，BAE=1

15、0°，AEB=80°，又AEB=EAC+C=2C，C=40°3. （1）已知：等腰三角形的一邊長為12，另一邊長為5，求第三邊長。（2）已知：等腰三角形中一內(nèi)角為80°，求這個(gè)三角形的另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。分析：利用等腰三角形兩腰相等、兩底角相等即可求得。解：（1）分兩種情況：若腰長為12，底邊長為5，則第三邊長為12。若腰長為5，底邊長為12，則第三邊長為5。但此時(shí)兩邊之和小于第三邊，故不合題意。因此第三邊長為12。（2）分兩種情況：若頂角為80°，則另兩個(gè)內(nèi)角均為底角分別是50°、50°。若底角為80°，則另兩個(gè)

16、內(nèi)角分別是80°、20°。因此這個(gè)三角形的另外兩個(gè)內(nèi)角分別是50°、50°或80°、20°。【鞏固】1. 下面是小強(qiáng)用三根火柴組成的圖形，其中符合三角形概念的是（）下面是小強(qiáng)用三根火柴組成的圖形，其中符合三角形概念的是（）A. B. C. D. 答案:C解析: 因?yàn)槿切蔚亩x為：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所成的圖形解：因?yàn)槿切问怯刹辉谕粭l直線上的三條線段首尾順次相接所成的圖形故選：C2. 三角形外心具有的性質(zhì)是（）A. 到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等B. 到三邊距離相等C. 外心必在三角形外D. 到頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)的

17、距離的兩倍答案:A解析: 三角形的外心是任意兩邊垂直平分線的交點(diǎn)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等故選A3. 已知ABC中，ACB90º，CHAB，HEBC，HFAC。求證：HEF EHC； 分析：從已知條件中可以獲得四邊形CEHF是矩形，要證明三角形全等要收集到三個(gè)條件，有公共邊EH，根據(jù)矩形的性質(zhì)可知EFCH，HFEC。要證明三角形相似，從條件中得FHECHB90º，由全等三角形可知，HEFHCB，這樣就可以證明兩個(gè)三角形相似。證明：HEBC，HFAC，CEHCFH90º。又ACB90º，四邊形CEHF是矩形。EFCH

18、，HFEC，F(xiàn)HE90º。又HEEH，HFE EHC。【拔高】1. 如圖，在ABC中，A=，ABC的平分線與ACD的平分線交于點(diǎn)A1得A1，A1BC的平分線與A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得A2，A2008BC的平分線與A2008CD的平分線交于點(diǎn)A2009，得A2009，則A2009= 答案: 解析: 讀懂題意，根據(jù)角平分線的定義找規(guī)律，按規(guī)律作答利用外角的平分線表示ACA1，再根據(jù)角平分線和三角形內(nèi)角和定理求出A1等于A的一半，同理，可以此類推，后一個(gè)是前一個(gè)的一半，而2的次數(shù)與腳碼相同2. 如圖，正方形網(wǎng)格中，小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，小華按下列要求作圖：在正方形網(wǎng)格的三條不同的實(shí)線上各取一個(gè)格點(diǎn)，使其中任意兩點(diǎn)不在同一實(shí)線上；連結(jié)三個(gè)格點(diǎn)，使之構(gòu)成直角三角形，小華在下面的正方形網(wǎng)格中作出了RtABC請你按照同樣的要求，在右邊的兩個(gè)正方形網(wǎng)格中各畫出一個(gè)直角三角形，并使三個(gè)網(wǎng)格中的直角三角形互不全等 簡析：此題的答案可以有很多種，關(guān)鍵是抓住有一直角這一特征，可以根據(jù)勾股定理的逆定理“若兩邊的平方和等于第三邊的平方，則三角形為直角三角形”構(gòu)造出直角三角形，答案如下圖3.（1）已知如圖，在AOB和COD中，OAOB，OCOD，AOBCOD60º。求證：ACBD，APB60º。（2）如圖