8年級數(shù)學(xué)將軍飲馬專題復(fù)習(xí)(優(yōu)選.)

1、八年級數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：將軍飲馬一.求線段和最值（一）兩定一動型例1：如圖，AM丄EF, BN丄EF,垂足為M、N,MN = 12m, AM = 5m, BN=4m, P是EF上任意一點，則PA + PB的最小值是m分析：這是最基本的將軍飲馬問題，A, B是定點，P 是動點，屬于兩定一動將軍飲馬型，根據(jù)常見 的“定點定線作對稱”，可作點A關(guān)于EF的對稱 點A',根據(jù)兩點之間，線段最短，連接A'B, 此時A,P + PB即為AB 最短.而要求AB 則 需要構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決.解答：作點A關(guān)于EF的對稱點A',過點A'作A'C丄BN 的延長線于C.

2、易知A,M=AM = NC = 5m, BC = 9m, A,C = MN = 12m, 在RtA,BC中，A,B = 15m,即PA÷PB的最小值是1 5m變式：如圖，在邊長為2的正三角形ABC中，E, F,G為各邊中點，P為線段EF上一動點，則bpg周長的最小值為分析：考慮到BG為定值是1,則ABPG的周長最小轉(zhuǎn) 化為求BP+PG的最小值，又是兩定一動的將軍飲馬型，考慮作點G關(guān)于EF的對稱點，這里有些同學(xué)可能看不出來到底是哪個點，我們不妨連接AG,則AG丄BC,再連接EG,根據(jù)"直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半”，可得AE= EG,則點A就是點G關(guān)于EF的對稱點.最后

3、計算周長時，別忘了加上BG的長度.解答：連接AG,易知PG = PA, BP + PG = BP + PA, 當(dāng)B, P, A三點共線時，BP+PG = BA,此時 最短，BA = 2, BG = 1,即ABPG周長最短為 3. （二）一定兩動型分析：這里的點C是定點，P, E是動點，屬于一定兩 動的將軍飲馬模型，由于AABC是等腰三角 形，AD是BC中線，則AD垂直平分BC,點C關(guān) 于AD的對稱點是點B, PC + PE=PB+PE,顯 然當(dāng)B, P, E三點共纟戔時，BE更短.但此時還 不是最短，根據(jù)"垂線段量短”只有當(dāng)BE丄AC 時，BE最短.求BE時，用面積法即可解答：作BE

4、丄AC交于點E ,交AD于點P ,易知 AD.LBC, BD = 3, BC = 6,則 ADBC = BEAC,4×6 = BE5, BE = 4.8ABDC變式：如圖，BD平分ZABC, E, F分別為線段BC,BD上的動點，AB = 8, AABC的周長為20, 求EF÷CF的最小值B EC分析：這里的點C是定點，F(xiàn), E是動點，屬于一定兩 動的將軍飲馬模型，我們習(xí)慣于“定點定線作 對稱"，但這題這樣做，會出現(xiàn)問題.因為點C 的對稱點C'必然在AB上，但由于BC長度未 知，BC'長度也未知，則C'相對的也是不確定 點，因此我們這里可以

5、嘗試作動點E關(guān)于BD的 對稱點.解答：如圖，作點E關(guān)于BD的對稱點E',連接FF,則 EF + CF = E'F + CF,當(dāng)E', F, C三點共線時， ET + CF = E,C,此時較短.過點C作CE”丄AB 于當(dāng)點E'與點E”重合時，E”C最短,E”C 為AB邊上的高，E"C = 5.AB ECO （三）兩定兩動型例3：女口 圖，AOB = 30° , OC = 5 , OD = 12,點 E , F分別是射線OA, OB上的動點，求CF÷ EF÷DE的最小值.OFDB分析：這里的點O,點D足定點，F(xiàn), E足動點，

6、居于 兩定兩動的將軍歡馬樓聖，依舊可以用”定點 定線作對稱”來考慮. 作點C關(guān)于OB的對稱 點，點。關(guān)于OA的對稱點解答：作點C關(guān)于OB的5?寸稱點C',點D關(guān)于OA的稱 點Dr 連接CrDJ CF÷EF÷DE= C,F÷ EF÷ DrE,當(dāng)C', F, E, D'四點共纟戔B寸，CF÷EF÷ DE = CQ 最矢豆易知上 D9C" = 900, OD" = 12, OCf = 5, CQ=H 3 , CF÷ EF+ DE最小值 為H 3變式：（原創(chuàng)題）如圖，斯諾克比賽桌面AB寬

7、1.78m ,白球E距AD邊0.22m J距CD邊 1.4m,有一顆紅球F緊貼BC邊，且距離CD邊 0.1 m,若要使白球E經(jīng)過邊AD，DC,兩次反 彈擊中紅球F,求白球E運動路線的總長度.EOFC分析：本題中，點E和點F是定點，兩次反彈的點雖然 未知，但我們可以根據(jù)前幾題的經(jīng)驗作出，即 分別作點E關(guān)于AD邊的對稱點E',作點F關(guān)于 CD邊的對稱點F',即可畫出白球E的運動路 線，化歸為兩定兩動將軍飲馬型.解答：作點E關(guān)于AD邊的對稱點E'，作點F關(guān)于CD邊 的對稱點F',連接E'F',交AD于點G，交CD于 點H，則運動路線長為EG + GH

8、+ HF長度之 和，即EF長，延長E'E交BC于N,交AD于 M,易知 E,M = EM = 0.22m , E'N = 1.78 + 0.22 = 2m , NF = NC + CF = 1.4 + 0.1 = 1.5m5 則RtE,NF,中,E,F, = 2.5m,即白球 運動路線的總長度為2.5mAEQG D戲、IiBNFCF小結(jié):以上求線段和最值問題，幾乎都可以歸結(jié) 為”兩定一動""一定兩動""兩定兩動”類的將軍飲 馬型問題，基本方法還是”定點定線作對稱”, 利用倆點之間線段最短”“垂線段最短”的2條重 要性質(zhì)，將線段和轉(zhuǎn)化為直角

9、三角形的斜邊， 或者一邊上的高，借助勾股定理，或者面積法 來求解.當(dāng)然，有時候，我們也需學(xué)會靈活變通, 定點對稱行不通時，嘗試作動點對稱.(-)求角度例1：P為ZAOB內(nèi)一定點，M, N分別為射線0A, OB上一點，當(dāng)厶PMN周長最小時，ZMPN = 80°.(1) ZAOB=。(2) 求證：OP平分ZMPN分析：這又是一定兩動型將軍飲馬問題，我們應(yīng)該先 將M, N的位置找到，再來思考ZAOB的度 數(shù)，顯然作點P關(guān)于C)A的對稱點P',關(guān)于OB的 對稱點P”，連接P,P其與OA交點即為OB交點即為N，如下圖，易知ZDPC與ZAOB 互補，則求出上DPC的度數(shù)即可.解答：(I)

10、法1：如圖，ZI +Z2 = 100o, Zi="+Z3 = 2Z3, Z2=ZPm+Z4 = 2Z4,則 Z3 + Z4 = 50o, ZDPC = I30o, ZAOB = 50°.PI I Ii再分析：考慮到第二小問要證明OP平分ZMPN,我們 就連接0P,則要證上5=Z6,顯然很困難， 這時候，考慮到對稱性，我們再連接OP', OPn,則Z5=z7, Z6=Z8,問題迎刃而 解.解答：(1) 法2：易知0P' = 0P", Z7+Z8=Z5+Z6 = 8(, ZP,0PM = IOO°,由對稱性知，Z9 = Z11 ； ZlO =

11、 Zl2, ZAOB = Z9 + Z10 = 50o(2)由 0 P' = OP", ZPoP" = 100。知，Z7=Z8 = 40°, Z15=Z6=40°, OP平分ZMPN.變式：如圖，在五邊形ABCDE中，ZBAE = I36°, ZB = ZE = 90°,在BC、DE上分別找一點M、 N，使得AMN的周長最小時，則ZAMN + ZANM的度數(shù)為分析：這又是典型的一定兩動型將軍飲馬問題，必然 是作A點關(guān)于BC、DE的對稱點A'、Au,連接 A1A爲(wèi)與BC、DE的交點即為 AMN周長最小 時M、N的位置.解答：如圖，ZBAE = 136o, .ZMA,A+ZNA,A = 44o由對稱性知，ZMAA'=Z MAA,ZNAAu = ZNAnA,ZAMN+ ZANM= 2ZMA,A + 2ZNA,A = 88o本講思考題：1.（2017安順）如圖所示，正方形ABCD的邊 長為6，ABE是等邊三