2019-2020年北京初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽九年級(jí)圓的專(zhuān)題

1、2019-2020 北京初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽 九年級(jí) 圓的專(zhuān)題(含答案)1. 求證：若半徑為 R 的圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線垂直，則以對(duì)角線交點(diǎn)到四邊射影為頂點(diǎn)的四邊形有內(nèi) 切圓，且此圓半徑不大于 R 2解析 如圖，已知圓內(nèi)接四邊形 ABCD， AC BD ，垂足為 P，P在 AB 、 BC 、 CD 、 DA上的射影 分別為 E、F 、 G 、 H ，則由幾組四點(diǎn)共圓易知AC BDEH FG APsin BAD CP sin BCD AC sin BAD ，同理 EF HG 也是此值， 因此四2R邊形 EFGH 有內(nèi)切圓由于 FEP CBD CADHEP ，故EP平分 FEH ，同理 HP 、GP 、 F

2、P平分另外 3個(gè)角，P為 ADPF PC sin ACB2R四邊形 EFGH 的內(nèi)心于是內(nèi)切圓半徑 r PF sin PFG PF sin ACD2 AD PC AB AD PC PA R R取到等號(hào)僅當(dāng) P 為圓心時(shí)2R 2R 22R4R22. 如圖(a) ，已知e O的直徑為 AB ，e O1過(guò)點(diǎn)O ，且與 e O內(nèi)切于點(diǎn) BC為eO上的點(diǎn)，OC與eO1 交于點(diǎn) D，且滿足 OD CD，點(diǎn) E在線段 OD上，使得 D為線段 CE 的中點(diǎn)，連結(jié) BE并延長(zhǎng)，與 e O1交于點(diǎn) F ，求證： BOCDO1F BMABOO1F D C解析 如圖 (b) ，連結(jié) BD，因?yàn)?OB為e O1的直徑，

3、所以 ODB 90 ，結(jié)合 DC DE，可得 BDE BDC 設(shè) BC 與 e O1交于點(diǎn) M ，連結(jié) OM ，則 OMB 90 ，于是 OM 平分 COB ，從而有BOC 2 DOM 2 DBM 2 DBC 2 DBE 2 DBF DO1F 又因?yàn)?BOC， DO1F 分別是等腰 BOC，DO1F 的頂角，所以 BOC DO1F 3. I是 ABC的內(nèi)心，線段 AI延長(zhǎng)交 ABC的外接圓于 D，若AB 3，AC 4 ，且SIBC SDBC ， 求 BC 解析 如圖，設(shè) BC與 AD交于 E，則 IE ED x， BD CD ID 2x，又設(shè) AE y ，由于在等腰三 角 形 BCD 中 ，

4、有 熟 知 的 結(jié) 論 BD2 DE 2 BE CE AE ED ， 此 即 3x2 yx ， y 3x ， 故AB ACBCAIIE2， BCAD4. 在平面上給定等腰三角形ABC ，其中 AB AC ，試在平面上找到所有符合要求的點(diǎn) M ，使ABM 、ACM 都是等腰三角形解析 要使 ABM 為等腰三角形， M 必定在 AB的垂直平分線上，或在以 A、 B為圓心、 AB為半徑 的圓上 ACM亦然這樣得到 3個(gè)圓 eA、eB、eC在 e A上除了 B 、C及其對(duì)徑點(diǎn) B 、C ，其余的點(diǎn)都符合要求 此外，還有 6個(gè)點(diǎn)，即 AB中垂線與 eC 的兩個(gè)交點(diǎn) M 1 、M 2 ，AC的中垂線與 e

5、 B的兩個(gè)交點(diǎn) M3 、M4 ，e B與e C的另一個(gè)交點(diǎn) M6（不是 A）， 兩條中垂線的交點(diǎn) M5（即 ABC之外心），如圖何時(shí) M1在直線 AB上或 A、C、M2共線，此時(shí) A是三邊長(zhǎng)分別為 1: 2: 2的等腰三角形的底角，此時(shí) M1、M2、M3、M4均不符合要求； 又 A 120 時(shí)，六點(diǎn)變一點(diǎn)， 且在eA上， A 120 時(shí)，只有M5 與 M 6 兩點(diǎn)評(píng)注 讀者可考慮 ABC 為不等邊三角形時(shí)的情形5. 已知： ABC中， AB AC ， AD是高， P為 AC上任一點(diǎn)， PC的中垂線 RQ交AD于R，求證： RPB DAC 解析 如圖，易知 RP RC RB， R為PBC外心，

6、BRP 2 C 180BAC，故 A、 B、R、P共圓，于是 RPB BAD DAC 6. D、E、F分別在 ABC的邊BC 、 CA、 AB上，則 AEF、BFD、CDE的外接圓共點(diǎn) 解析 如圖，設(shè)AEF 、 BFD 的外接圓除F 之外，還交于 P，連結(jié)PD、 PE、 PF，則 PEC AFPBDP，故 E、P、 D 、 C共圓，證畢A7. 平面上有一條光線穿過(guò)該平面上的一圓，打在一條直徑上并發(fā)生反射，最后穿出圓去，求證：這 條光線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)、與直徑的接觸點(diǎn)以及圓心，該四點(diǎn)共圓解析 如圖，設(shè)這條光線為 APB， EOF 是題設(shè)中的直徑，延長(zhǎng) AP至 eO 于 C ，則 BPF APE C

7、PF ， B 與 C 關(guān) 于 EF 對(duì) 稱(chēng) 于 是 BPO CPO 這 樣 一 來(lái) ， 便 有 OBP OCP OAP ，于是 A、 O、 P 、 B四點(diǎn)共圓BFC評(píng)注 本題亦可利用圓心角證8. 已知P為ABC外接圓的 B?C上一點(diǎn)，則 P在直線 AB、 BC、 CA的射影 L、M 、N共線 解析 如圖，連結(jié) LM 、MN，BP，CP，則由L、M、P、B共圓， M、P、N、C共圓及 A、B、 P 、 C 共圓，得 LMP NMP LMB 90 PCN LPB ABP 90 180 ，故 L 、 M 、 N 共 線評(píng)注 此線稱(chēng)為西摩松線反之，若三垂足共線，則P在 ABC 外接圓上9. 四邊形 A

8、BCD對(duì)角線交于 O，AO CO BO DO，O在 AB、BC、CD、DA 上的垂足分別是E、F 、 G 、 H ，求證： EF GH EH FG 解析 如圖，易知 A、 B、C、 D共圓D由 A、E、O、H 共圓，得 EH AO sin A （ A即 BAD ，余同），同理 FG CO sin CCOsin(180 A) CO sin A，故 EH FG AC sin A ，同理 EF GH BD sin B 評(píng)注 讀者不妨研究由 EFGH EHFG能否得出 A、 B、C、10.已知凸四邊形 ABCD ，BAC 2BDC ， CAD2 CBD ，ABAC AD 解析如圖， BCD 180(

9、CBD1CDB ) 1802BAD ，故接圓，A 在圓內(nèi)、延長(zhǎng) CA至圓于 P 連結(jié) PB、 PD，則 P 、 B 、C、 D四點(diǎn)共圓D 共圓 求證：而 AC BD ，于是上述結(jié)論成立 sin B sin ABCD BAD 180 ，作 BCD 外PC1APD CBD CAD ，故 APD2即 BCD 之外心，于是 AB AC AD 11. 設(shè)圓內(nèi)接 ABC的垂心為 H ，P為圓周上任一點(diǎn)， 解析 是高， 得HLADP，PA AD，同理 PA AB A為PBD 外心，也求證： PH 被 P 關(guān)于該三角形的西摩松線平分 如圖，不妨設(shè) P在 B?C上 P在直線 AB 、 BC上的射影分別是 M、N

10、，MN 即為西摩松線 AL 延長(zhǎng)后交圓于 D ，PN延長(zhǎng)后交圓于 Q，連結(jié) PD 、QA 、CD 、 BP 則 HCB BAD DCB，LD E又易知 M 、 N、 P、 B共圓，因此 ENP ABPAQP，故 MN AQ又作 HR AQ ，于是由四邊形 AQPD 為等腰梯形，知四邊形 HRPD也是等腰梯形，于是由知 BC垂 直平分 HD ，從而 BC 垂直平分 RP由PN NR及MNE RH ，知MN必將 PH平分12. 已知MON為e O直徑， S在ON上，弦ASB MN，P在B?M 上， PS延長(zhǎng)后交圓于 Q，PN交AB 于 R ，求證： QS RN 解析 如圖，連結(jié) MP 、 MR，知

11、M 、 S、 R、 P共圓，于是RNSNQS，于是RNMR1MRSPMSQSMSMB13. 已知銳角三角形 ABC中， AB AC，AD BC于D，G、F 分別在 AB 、 AC上， GC 、BF 、 AD 交于 H ，若G、B、C、F 共圓，則 H為ABC之垂心解析 如圖，易知 BD CD，今在 BD上找一點(diǎn) E，使ED CD，連結(jié) AE、HE，則E與C關(guān)于 AD對(duì) 稱(chēng)于是由對(duì)稱(chēng)及 G、B、C、F共圓，得 ABH ACH AEH ，于是 A、B、E、H共圓，故 BAD HEC HCE ，于是 AGH HDC 90 ， H 為垂心14. 已知 ABC與 ACD均為正三角形， 過(guò)D任作一直線，

12、分別交 BA、 BC延長(zhǎng)線于 E、F ，CE與 AF 交于 G ，求證： GB 平分 AGC解析設(shè) AB BC AC a ，AEx， CFy，由 ADBF ， CDBE，則xyxa y aEDDF 1 ，去分母整理得xy2a2 此即AEACAC ，又 EAC 120ACF，故 EAC ACF ，EFEFACCFAGE GAC ACGGACAFC60，故 A 、B 、C 、G 共圓，AGBACB 60BACCGB15. 設(shè)圓內(nèi)接四邊形 ABCD， AB 、 DC延長(zhǎng)交于 E ， AD 、 BC延長(zhǎng)交于 F ， EF中點(diǎn)為 G，AG與 圓又交于 K，求證： C、E、F、 K四點(diǎn)共圓解析 如圖，延長(zhǎng)

13、AG一倍至 J ，作平行四邊形 AEJF 連結(jié)CK ，則 CEJ ADE AKC ，于是 E、 C、K、 J共圓，或 K在CEJ的外接圓上A又 EJF EAF 180 BCD 180ECF ，故 E 、 C 、 F 、 J 共圓，或 F 亦在 CEJ 的外接圓上 于是 16.解析C、E、 J、 F、 K五點(diǎn)共圓，結(jié)論成立AD 、 BE是銳角三角形 ABC的高， D 、E是垂足， D在AB 、 AC上的射影分別是 M 、N，E在 QN PM DEC ABC ，BC、如圖，AB 上的射影分別是 P、 Q 連結(jié) ED、 PN ，則易知，求證： NPC故 NP AB欲證四邊形MPNQ 為等腰梯形，只需

14、證PQ 即可MN由于 A、M、D、 N共圓， AD為直徑，故MN AD sin AAD BC2RSABC ， R為ABC 外接圓 R半徑，同理 PQ 也是此值，因此結(jié)論成立17. 過(guò)兩定點(diǎn) A、 B的圓與定圓交于 P、 Q，解析 如圖，延長(zhǎng)（或不延長(zhǎng)）AP 、BAP PQN 180M ，故 AB BQ ， MN 求證： AP AQ 為定值BP BQ可與定圓再分別交于M、N 兩點(diǎn)，則由四點(diǎn)共圓知BN sin B(于是四邊形 ABNM 為梯形， AM sin A故 AP AM 為定值，此即 BQ BN定值， BQ BN 亦為定值，又由定圓性質(zhì)知 AP sinB sin AA 即 BAP ，余類(lèi)似）

15、；AP sin B 為定值但由正弦定理， BQ sin AAM 為AQ ，BP ，于是 AP AQ 為定值BP BQ18. 直角三角形 ABC 中， 垂線，垂足分別是 M 、 N、P、 Q證明： 解析 因 A、E、N 、P 共圓，故 CNP EAPE、F 分別是直角邊 AB、 MAC上的任意點(diǎn)，自 A向 BC 、CE 、 EF 、 、N、 P 、 Q四點(diǎn)共圓AFP ，因A 、N 、 M 、C共圓，故 CNM CAM ，F(xiàn)B引又 A、B、M 、 MNP( CAMMQPMAB)Q 共圓，故( CNM( AFPMQB MAB CNP ) ( MQB FAP ) 90 90由 A、 P、 Q 、 PQ

16、B) ( 180 故CAMM、N、F 共圓，得 PQB FAP 所以AFP) ( MAB FAP ) P、Q 共圓19. ABCD 是圓內(nèi)接四邊形， 上，連結(jié) BF ， G 在 BA 的延長(zhǎng)線上，使得 B、E、 F、 H四點(diǎn)共圓AC 是圓的直徑，BD AC ，DGBF，AC與BD的交點(diǎn)為 E，F(xiàn) 在DA的延長(zhǎng)線 H 在 GF 的延長(zhǎng)線上， CH GF 證明：FA 解析 如圖，連結(jié) BH 、 EF、 CG因?yàn)?BAF GAD ，所以 FAABDA ，AG ，ACB又因?yàn)?ABE ACD ，所以 AB AC ，EA DA ，從而得FAEA因?yàn)锳C AG FAE 由題設(shè)知，BHFBGCFEA180

17、，CAG ，所以 FAE CBGBEF9090所以， B 、 20. 四邊形 足， MCAG ，于是CHG 90 ，所以 B、C、G 、 BHC 90 BEFBEFBEFFEA CGA H 四點(diǎn)共圓，得BHCBGC 于是E、ABCD內(nèi)接于圓， 是線段 PG 和 EF 的交點(diǎn)，求證：F、H 四點(diǎn)共圓P是 AB的中點(diǎn)， PEME MF AD，PFBCPG CD，E，F(xiàn) ，G為垂解析 如圖，作 AF1 BC ， BE1AD ( E1 、因 A、 B、 F1、 E1共圓，所以 中點(diǎn)（因 PE1F1為等腰三角形） 點(diǎn)），因此 ME MF 1AB2180C，因此 E1F1CD ， PKF1 為垂足），則P

18、E1PF1設(shè)PG與E1F1交于 K，E1F1 ， K 是 E1F1 的CF1E1 A，故PEKF為平行四邊形（因 P、E、K、F 為四邊形 ABF1E1各邊中DGCAPB評(píng)注 本題亦可用面積法快速解決21. ABC 中， AD、 AE 分別是高和中線， 且都在三角形內(nèi)部，求證： 若 DAB CAE，則 ABC 或者是等腰三角形，或者是直角三角形解析 如圖， D與E無(wú)非是三種位置關(guān)系，由對(duì)稱(chēng)性，可歸結(jié)為兩種：D與E重合，或 D位于 E的左側(cè)若 D 與 E重合時(shí)， ABC 顯然為等腰三角形若 D 在 E 的左側(cè)，設(shè) AB 中點(diǎn)為 F ，連接 FD 、 FE . 則 EF 為中位線，由條件，知AEF

19、 CAE DAB ADF ，故 A、 F 、 D 、 E 共圓，于是BAC BAE EAC FDB ADF 90 22. 設(shè) A 、B 、C 、D 、 E是單位半圓上依次五點(diǎn)， AE是直徑，且AB a，BC b，CD c，DE d ， 證明： a2 b2 c2 d 2 abc bcd 4 解析 如圖，連接 CA 、 CE ，則 AC CE，設(shè) CAE ， CEA ，則由四點(diǎn)共圓及余弦定理，有：E4 AE2AC2CE2a2 b2222ab cos c d 2cd cos22a2 b22 cd 2 ab CE cd AC由于 ABC ，CDE 90 ，故 CECEc ， ACBC b ，代入，即得

20、224 a2 b22 c2d abc bcd 23. 已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓，點(diǎn)E、F 分別為AB 、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足 AE CF ，又點(diǎn) P在EFEB FDPE AB 上且滿足 ，證明： APD與BPC的面積之比與點(diǎn) E、F 無(wú)關(guān)PF CD解析 如圖，不妨設(shè) AD 、 BC延長(zhǎng)后交于 S ，由四點(diǎn)共圓知 ABSCSF，又 E 、 F分別是對(duì)應(yīng)點(diǎn)， 故ASECSF于是 ES AS AB PE ，于是 SP平分 ESF進(jìn)而平分 ASB，于是 P至 AD 、 FS CS CD PFBC距離相等， SAPD AD ，與E、 F無(wú)關(guān)（圖中 SE、 SF 、 SP未畫(huà)出）S BPC BCASADBC 時(shí)，結(jié)論不變24. AB是圓O的直徑， C為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)， 過(guò)點(diǎn)C作圓O的割線，與圓 O交于 D、E兩點(diǎn)，OF 是BOD的外接圓 O1的直徑，連接 CF 并延長(zhǎng)交圓 O1于點(diǎn) G.求證： O、 A、E 、 G四點(diǎn)共圓 解析 如圖，連接 AD、 DG 、GA