復(fù)雜電力系統(tǒng)的潮流計算

1、第四章 復(fù)雜電力系統(tǒng)的潮流計算復(fù)雜電力系統(tǒng)是一個包括大量母線、支路的龐大系統(tǒng)。對這樣的系統(tǒng)進行潮流分析時，采用第三章中 人工計算的方法已不適用。目前，隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，計算機算法已逐漸成為分析復(fù)雜系統(tǒng)潮流分布 的主要方法，其中包括建立數(shù)學(xué)模型、確定計算方法和編制計算程序三方面的內(nèi)容。本章主要講述前兩方面的內(nèi)容，同時為了方便分析，針對計算機解法作如下規(guī)定： 所有參數(shù)（功率、電壓、電流、阻抗或?qū)Ъ{）都以標幺值表示； 電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運行時，可以把負荷作恒定功率處理，也可作恒定阻抗處理； 所有電源（發(fā)電機、調(diào)相機、電力電容器等）均向母線注入功率（或電流） ，取正號； 作恒定功率處理的負荷，均為從母線

2、“吸取”功率，是向母線注入負的功率（或電流） ，取負號； 母線總的注入功率（或電流）為電源注入功率（或電流）與負荷“吸取”功率（或電流）代數(shù)和； 輸電線路、變壓器用型等值電路表示。第一節(jié) 電力網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型電力網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型是指將網(wǎng)絡(luò)的有關(guān)參數(shù)和變量及其相互關(guān)系歸納起來所組成的、 可反映網(wǎng)絡(luò)性能 的數(shù)學(xué)方程組。電力網(wǎng)絡(luò)屬于線性網(wǎng)絡(luò)， 因此，電路理論中關(guān)于線性網(wǎng)絡(luò)的分析方法也適用于分析電力 網(wǎng)絡(luò)。目前，普遍采用的有兩種方法：一是節(jié)點電壓法；二是回路電流法。一、節(jié)點電壓方程和回路電流方程1. 節(jié)點電壓方程是依據(jù)基爾霍夫電流定律，通過節(jié)點導(dǎo)納矩陣（或節(jié)點阻抗矩陣）反映節(jié)點電流與節(jié) 點電壓之間關(guān)系的數(shù)

3、學(xué)模型。 用節(jié)點導(dǎo)納矩陣描述的節(jié)點電壓方程：4-1)?I n ） T為節(jié)點注入電流的 n 維列向量； UB=（U1Y11 Y 12Y21 Y 22YB =Yi1 Y i2般地，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中的獨立節(jié)點數(shù)（即母線數(shù)）為n 時，在式（ 4-1 ）中： I B =（ I 1 ， I 2 ，i，?U2， U i Un ）T為節(jié)點電壓列向量； Y 1i Y 1n Y 2i Y 2nI B YBUB為 n×n 階節(jié)點導(dǎo)納矩陣 （4-2 ）Y ii Y in由以上分析可知，對 n 母線電力系統(tǒng)有 n 個獨立的節(jié)點電壓方程式（以大地為參考節(jié)點） 用節(jié)點阻抗矩陣描述的節(jié)點電壓方程：將式（ 4-1 ）兩邊同乘

4、 YB1（前提為 YB的逆陣存在） ，則有 YB1IB=YB1YB UB。又令 YB1=ZB為節(jié)點阻抗矩陣，其表達Z11 Z 12 Z 1i Z 1nZZB=21Z 22 Z 2i Z 2nZi1Z i2 Z ii Z inZn1Z n2 Z ni Z nn則 n 母線系統(tǒng)的節(jié)點方程又表示為：仍為 n×n 階方陣UB=ZB I B4-3)4-4)2. 回路電流方程是依據(jù)基爾霍夫電壓定律，通過回路阻抗矩陣ZL 反映回路電流與回路電壓之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，其方程式為：EL=ZLIL4-5 )若網(wǎng)絡(luò)為 n 母線（即 n 個獨立節(jié)點）系統(tǒng)，且等值電路有 ? ? ?程數(shù)為 L=b-n 。則在式（

5、 4-5 ）中： EL=（ E11， E22 Eiib 條支路，則基本回路數(shù)即獨立的回路方? E LL ） T 為 L 維回路電勢列向量，它的第 i 個元素 Eii是第 i 個回路所含電源電勢的代數(shù)和， 其中與回路電流的繞行方向相同的支路電勢 取正號；反之取負號。回路中沒有電源時則為零。? ? ? ?I L =（ I 1 ，I 2 I i I L ）T為 L 維回路電流列向量，其中每個元素為各自回路某一選定繞行方向的電流向量。Z11 Z 12 Z 1i Z 1L21 Z 22 Z 2i Z 2LZL=為 L×L 階回路阻抗矩陣（4-6 ）Zi1Z i2 Z ii Z iLZL1Z L

6、2Z Li Z LL兩種方程在電力系統(tǒng)分析中都有應(yīng)用，但各有優(yōu)缺點，現(xiàn)從以下三個方面進行比較。n，支路數(shù)為 b 從方程式的數(shù)目來說，我們希望方程式的數(shù)目越少越好。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的獨立節(jié)點數(shù)為 時，節(jié)點電壓方程數(shù)為 n 個，回路電流方程數(shù)為 L=b-n 個。當(dāng) b2n時，Ln；當(dāng) b2n時，Ln。在實際電力系統(tǒng)中，各母線之間的支路一般為變壓器或輸電線路。如果發(fā)電機、負荷、線路電容以及變壓器的勵磁支路等都用節(jié)點對地支路表示時，常有b 2n；但有某些情況下，例如短路計算中常略去線路電容和變壓器勵磁支路，甚至略去負荷。這樣支路數(shù)b 大為減少，可能出現(xiàn) b 2n 的情況。 就狀態(tài)變量來說，節(jié)點方程可以節(jié)點電壓為

7、狀態(tài)變量，節(jié)點電流可以直接由電源及負荷的情況確 定，且節(jié)點導(dǎo)納（或阻抗）矩陣的形成與修改，從后面的分析可以發(fā)現(xiàn)其優(yōu)越性；節(jié)點電壓方程中求解出 各母線電壓后，支路電流、功率以及母線功率容易算出，而回路電流方程不具備此優(yōu)點。 應(yīng)用回路電流方程要預(yù)先選定回路方向，使計算機程序設(shè)計復(fù)雜化，而節(jié)點電壓方程無此缺點。 基于以上原因，目前的潮流分析計算一般多采用節(jié)點電壓方程，本書中僅就節(jié)點電壓法進行分析。二、節(jié)點導(dǎo)納矩陣的形成和修改 節(jié)點電壓方程是依靠節(jié)點導(dǎo)納（或阻抗）矩陣來建立節(jié)點電流與節(jié)點電壓之間關(guān)系的，因此須先確定 節(jié)點導(dǎo)納（或阻抗）矩陣。1. 節(jié)點導(dǎo)納矩陣的形成節(jié)點導(dǎo)納矩陣如式（ 4-2 ）。其中對

8、角元素 Yii （i=1 ，2， n）稱為節(jié)點 i 的自導(dǎo)納；非對角元素Yij (i ，j=1，2， n ；i j） 稱為互導(dǎo)納。 自導(dǎo)納 Yii將式（ 4-1 ）展開得：? n ?Ii =Yik U kk1(i=1 ，2 n)4-7)若在節(jié)點 i 加電壓 U i ，其它節(jié)點都接地，Uk =0k=1，2 n ， k i ），則：所以? i 1I i = Yik ·0 + k1kiYik ·0 + Yii Ui1即 Ii =Yii UiYii=IiYii = ?UiU k =0 ，ki4-8)? ?=I iUk =0，ki；U i=104-9)? I i 當(dāng)U i=10時，Y

9、ii = ?iUii 注入網(wǎng)絡(luò)的電所以自導(dǎo)納 Yii 的物理意義是：在節(jié)點 i 施加單位電壓，其它節(jié)點都接地時，經(jīng)節(jié)點 流。實際計算中，由電路原理課程已知，節(jié)點 i 的自導(dǎo)納在數(shù)值上就等于與該節(jié)點直接相連的所有支路導(dǎo) 納的總和。 互導(dǎo)納 Yij?U k =0（k=1，2 n，kj ），由式（ 4-7 ）可知：?Iij1=Yik ·0k1n+Yik ·0 +k j 1?Yij U j? 即Ii = Yij U j?所以Yij = I?i ij ?UjU k =0，k j?I?當(dāng)U j =10時，Yij = I i ij ?=Ii若在節(jié)點加電壓 U j ，其它節(jié)點都接地，即U

10、j U k =0，k j ；U j =104-10)4-11)因此，互導(dǎo)納 Yij 的物理意義是：在節(jié)點 j 施加單位電壓，其它節(jié)點都接地時，經(jīng)節(jié)點 i 注入網(wǎng)絡(luò)的 電流。實際計算中， 節(jié)點 i、j 之間的互導(dǎo)納 Yij 在數(shù)值上就等于連接節(jié)點 i 與 j 的支路導(dǎo)納 yij 的負值。 取 ?依互導(dǎo)納的物理意義可知負號的原因是節(jié)點注入網(wǎng)絡(luò)的電流為正， 而當(dāng) i 接地且 U j =10 時，Ii 的方向為流出網(wǎng)絡(luò) （即注入大地） 。Yij =- yij ，即 Yij =Yji ；特別地，當(dāng)節(jié)點i 、 j 之間無直接支路相連時，Yij =Yji =0。在復(fù)雜電力網(wǎng)中，這種情況較多， 從而使矩陣中出

11、現(xiàn)大量的零元素，節(jié)點導(dǎo)納矩陣成為稀疏矩陣。一般來說Yii Yij ，即對角元素的絕對值大于非對角元素的絕對值，使節(jié)點導(dǎo)納矩陣成為具 有對角線優(yōu)勢的矩陣。因此，節(jié)點導(dǎo)納矩陣是一個對稱、稀疏且具有對角線優(yōu)勢的方陣。這將給以后的分 析計算帶來很大的方便，它有利于節(jié)省內(nèi)存、提高計算速度以及改善收斂等。2. 節(jié)點導(dǎo)納矩陣的修改在電力系統(tǒng)中，接線方式或運行狀態(tài)等均會發(fā)生變化，從而使網(wǎng)絡(luò)接線改變。比如一臺變壓器支路的 投入或切除，均會使與之相連的節(jié)點的自導(dǎo)納或互導(dǎo)納發(fā)生變化，而網(wǎng)絡(luò)中其它部分的結(jié)構(gòu)并沒改變，因 此不必重新形成節(jié)點導(dǎo)納矩陣，而只需對原有的矩陣作必要的修改就可以了?，F(xiàn)就幾種典型的接線變化說 明具

12、體的修改方法。 從原有網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點 i引出一條導(dǎo)納為 Yij 的支路，j 為新增加的節(jié)點，如圖 4-1 （a）。由于新增加 了一個節(jié)點，所以節(jié)點導(dǎo)納矩陣增加一階，矩陣作如下修改： 原有節(jié)點 i 的自導(dǎo)納 Yii 的增量 Yii = yij ； 新增節(jié)點 j 的自導(dǎo)納 Yjj=yij ； 新增的非對角元 Yij =Yji =- yij ；其它新增的非對角元均為零。 在原有網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點 i與j之間增加一條導(dǎo)納為 yij 的支路，如圖 4-1( b)。則與 i 、j 有關(guān)的元素應(yīng) 作如下修改： 節(jié)點 i、j 的自導(dǎo)納增量 Yii =Yjj =yij ； 節(jié)點 i 與 j 之間的互導(dǎo)納增量 Yij = Y

13、ji =- yij ； 在網(wǎng)絡(luò)的原有節(jié)點 i 、j 之間切除一條導(dǎo)納為 yij 的支路，如圖 4-1 (c)，其相當(dāng)于在 i 、j 之間增 加一條導(dǎo)納為 - yij 的支路，因此與 i 、 j 有關(guān)的元素應(yīng)作如下修改： 節(jié)點 i 、 j 的自導(dǎo)納增量 Yii = Yjj =- yij ； 節(jié)點 i 與 j 之間的互導(dǎo)納增量 Yij =Yji =yij ； 原有網(wǎng)絡(luò)節(jié)點 i 、j 之間的導(dǎo)納由 yij 改變?yōu)?yij ，相當(dāng)于在節(jié)點 i 、j 之間切除一條導(dǎo)納為 yij 的支 路，再增加一條導(dǎo)納為 yij 的支路，如圖 4-1 ( d)。則與 i 、j 有關(guān)的元素應(yīng)作如下修改： 節(jié)點 i、j 的

14、自導(dǎo)納增量 Yii = Yjj = yij - yij ； 節(jié)點 i 與j 之間的互導(dǎo)納增量 Yij =Yji=yij- yij ；y ij(a)(b)yij(b) 增加支路；(d)(a) 增加支路和節(jié)點； 原有網(wǎng)絡(luò)節(jié)點 i、 j 之間變壓器的變比由-yij-yijy ij電力網(wǎng)絡(luò)接線的改變(c) 切除支路；(d)改變支路參數(shù)k* 變?yōu)?k*，即相當(dāng)于切除一臺變比為k* 的變壓器，再投yT為與變壓器原邊基準電壓對應(yīng)的變壓器導(dǎo)納標幺值，則與i 、 j 有關(guān)的元素應(yīng)作如下修改：入一臺變比為 k*的變壓器， k*=(U/U)/ ( UB/U B)，如圖 4-1 ( e)變壓器型等值電路，圖中 節(jié)點

15、i 的自導(dǎo)納增量 Yii =0；節(jié)點 j 的自導(dǎo)納增量 Yjj =(k*2 - k 2*)yT； 節(jié)點 i 與j 之間的互導(dǎo)納增量 Yij =Yji =( k* - k *)yT；（1- k *）yTk*（k*-1 ）yT圖 4-1 （ e） 改變變壓器變比三、節(jié)點阻抗矩陣的形成和修改支路追加法節(jié)點阻抗矩陣元素的物理意義節(jié)點阻抗矩陣如式（ 4-3 ），其中對角元素 Zii （i=1，2 n）稱為節(jié)點 i 的自阻抗；非對角元素 Zij i、j=1，2 n ；i j ），稱為互阻抗?，F(xiàn)討論自阻抗和互阻抗的物理意義。 自阻抗 Zii? n ?將式（4-4）展開得： Ui= Zik Ik（i=1 ，2

16、 n）（ 4-12 ）k1?若在節(jié)點 i 加注入電流 I i ，而其它節(jié)點的注入電流均為零，即I k =0（k=1，2 n ， k i ），則由式?4-12 ）可知： Ui =Zii Ii所以Zii=U?iii ?Ii4-13）當(dāng)Ii =10時，Zii=U?iii ?IiI k =0，k i?=U iI =0，k i ； I =10 I kIi4-14 ）因此，自阻抗 Zii 的物理意義是：在節(jié)點 i 加單位注入電流，而其它節(jié)點的注入電流均為零時，節(jié)點? i 的電壓 U i 。 互阻抗 Zij?若在節(jié)點 j 加注入電流 I j ，而其它節(jié)點的注入電流均為零時，即I k =0（k=1，2 n ，

17、k j ），則由? 式（ 4-12 ）可知： Ui= Zij I j?UiI k =0，k j所以 Zij = ? i ? （4-15 ）?當(dāng) I j =10時，Zij=U?iij ?Ij? ?=U iIk =0，kj ； I j =104-16 )因此，互阻抗 Zij 的物理意義是：在節(jié)點 j 加單位注入電流 I j ，而其它節(jié)點的注入電流均為零時，節(jié)?點 i 的電壓 U i 即是節(jié)點 i 與 j 之間的互阻抗 Z ij 。依次在各節(jié)點單獨注入電流， 計算出網(wǎng)絡(luò)中的電壓分布， 從而可求得阻抗矩陣的全部元素。 由此可見， 節(jié)點阻抗矩陣元素的計算是相當(dāng)復(fù)雜的，不可能從網(wǎng)絡(luò)的接線圖和支路參數(shù)直觀的

18、求出。另外，我們考慮 的電力網(wǎng)絡(luò)一般是連通的，網(wǎng)絡(luò)的各部分之間存在著電的或磁的聯(lián)系。單獨在某一點注入電流，網(wǎng)絡(luò)中任 一獨立節(jié)點均會出現(xiàn)電壓，因此阻抗矩陣沒有零元素，是一個滿矩陣。又根據(jù)線性電路的互易定理可知， 阻抗矩陣是對稱矩陣。 用支路追加法形成節(jié)點阻抗矩陣目前常用的求取節(jié)點阻抗矩陣的方法有兩種： 一是間接法， 利用節(jié)點導(dǎo)納矩陣求逆形成； 二是直接法， 利用支路追加法由計算機自動形成。這里主要分析支路追加法。支路追加法是將復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分解， 從簡單到復(fù)雜。 它根據(jù)網(wǎng)絡(luò)拓樸的原理， 將網(wǎng)絡(luò)分解成樹支與連支 （具 體含義參閱電路原理課程） 。從一條支路 （指接地支路或與參考節(jié)點相連的支路） 、一個節(jié)

19、點 （母線） 開始， 逐步追加支路、節(jié)點而形成網(wǎng)絡(luò)。在形成網(wǎng)絡(luò)的過程中，根據(jù)節(jié)點阻抗矩陣元素的物理意義逐步形成相應(yīng) 的阻抗矩陣。以圖 4-2 （a）所示網(wǎng)絡(luò)為例，說明用支路追加法形成節(jié)點阻抗矩陣的過程。從圖（b） 圖（h）為一種追加順序，每次追加一條支路，則依此順序依次求出相應(yīng)的節(jié)點阻抗矩陣。圖（b）對應(yīng)的節(jié)點阻抗矩陣為一階；在圖（ b）的節(jié)點 1 新增加一條樹支形成圖（ c），阻抗矩陣增加為二階；在原有節(jié)點 2 與 0 之間增加連支形成圖（ d），矩陣階數(shù)仍為二階，但需修改圖（ c）矩陣的元素；從節(jié)點 2 引出一條樹支， 新增加一個節(jié)點 3形成圖（e），阻抗矩陣增加為三階； 從節(jié)點 2 增加

20、一條樹支， 新增一節(jié)點 4 形成圖（ f ）， 阻抗矩陣增加為四階；在節(jié)點 3 和 4之間增加一條連支形成圖（ g），矩陣階數(shù)仍為四階，但需修改圖（ f ） 矩陣的元素；在（ g）圖中的原有節(jié)點 4 和 0 之間增加一條連支形成圖（ h），矩陣階數(shù)仍為四階，但需作 再一次的修改，從而形成了整個網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點阻抗矩陣。從上述追加過程可得出幾點結(jié)論： 直接利用自、互阻抗的物理意義形成節(jié)點阻抗矩陣；30(c)(a)(b)(d)(e)4(h)圖 4-2 支路追加法 追加支路分兩種形式：一是追加樹支，增加新節(jié)點，阻抗矩陣需增加一階；二是追加連支，不增加新節(jié)點，矩陣階數(shù)不變，但要對矩陣元素作修改； 追加順序是

21、任意的，因此中間過程隨追加順序的不同而不同，但最后結(jié)果是唯一的，其間有一個最佳順序問題。面推導(dǎo)一般公式：設(shè)原有無源網(wǎng)絡(luò)已形成了p 個節(jié)點的阻抗矩陣 ZBp，即已知：Z11121i1P21222i2P 追加樹支ZBp=Zi1ZP1現(xiàn)從節(jié)點 i 引出一條樹支i2iiIpP2PiPPziq ，新增加一個節(jié)圖 4-3 追加樹支點 q（見圖 4-3 ），這時網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點阻抗矩陣將擴大 一階，即由 p 階變?yōu)?p+1=q階，設(shè)為 ZBq，其形式 如下：Z21Z 22 Z 2i Z 2PZ2qZBq= Z i1Z i2 Z ii Z iPZiqZP1Z P2 Z Pi Z PPZ pqZq1 Z q2 Z q

22、iZ qp Z qq其中第 q 行及第 q 列為新增的，現(xiàn)討論阻抗矩陣中各元素的計算。在網(wǎng)絡(luò)原有部分的任一節(jié)點k 單獨注入電流 Ik ，而其余節(jié)點的電流均為零時，由于支路ziq 并無電流通過，因此該支路的引入并不會ZBq中對應(yīng)于網(wǎng)絡(luò)原有部分的全部元素（即矩陣中虛ZBP中的對應(yīng)元素。矩陣中新增的第q 行和第 q 列改變網(wǎng)絡(luò)原有部分的電流、電壓分布，即阻抗矩陣線左上方部分）將保持原有數(shù)值不變，即仍等于元素可以這樣求得 互阻抗 Zqk網(wǎng)絡(luò)原有部分的任一節(jié)點k 單獨注入電流 Ik 時，因 ziq 中無電流通過，則節(jié)點 q 的電壓 Uq 等于節(jié)點 i 的電壓Ui，即Uq=Ui；而根據(jù)互阻抗的定義式4-1

23、2 )知：Uq =Zqk Ik，Ui =Zik Ik ，所以有 Zqk Ik =Zik Ikqk =Zik ( k=1， 2 p)(4-17)Zqk為第 k行的互阻抗。又根據(jù)阻抗矩陣的對稱性，ZBq中第 q列的互阻抗 Zkq=Zqk（k=1，2 p）。 自阻抗 Zqq? ? ? ? ? 由其定義可知，應(yīng)等于節(jié)點 q單獨注入電流 I q時，節(jié)點 q的電壓 Uq與Iq的比值，即 Zqq=Uq/ Iq。? ? ? ? ?而Uq=Ui+ Ziq Iq ；對于式中的電壓 Ui ，由于從節(jié)點 q 注入電流 I q直接流入節(jié)點 i ，相當(dāng)于節(jié)點 i 的注Uq = Z ii Iq + Z iq IqZii +

24、 Z iq ) I q = Z qq Iq? ? ? ? ? ?入電流 Ii=Iq，而 Zii =Ui/ Ii=Ui / Iq，所以 Ui= Zii Iq。由此可得Zqq = Z ii + Z iq（ 4-18 ）綜上所述，當(dāng)增加一條樹支時，節(jié)點阻抗矩陣的原有部分保持不變，新增的一行（列）各非對角元素 分別與引出該樹支的原有節(jié)點的對應(yīng)行（列）各元素相同。而新增的對角元素則等于該樹支的阻抗與引出 該樹支的原有節(jié)點的自阻抗之和。特別地，如果節(jié)點 i 是參考節(jié)點（接地點） ，則稱新增支路為接地樹支。?由于 Ui 0，根據(jù)自阻抗和互阻抗的定義可知：Zkq = Zqk=0k=1，2 p )4-19) 追

25、加連支在已有的節(jié)點 k 和 m之間追加一條阻抗為Zkm 的連支（如圖 4-4 ），由于不增加新節(jié)點，因此節(jié)點阻抗矩陣的階次不變。如果原有各節(jié)點的注入電流不變，連支 Zkm的接入將改變網(wǎng)絡(luò)中的電壓分布，從而原有矩陣的Ik - IkmIk kkmIkm m各元素要作相應(yīng)的修改，具體修改方法闡述如下。I?m+Ikm I m如果保持各節(jié)點的注入電流不變，連支的引入對網(wǎng)絡(luò)原圖 4-4追加連支有部分的影響就在于，把節(jié)點k 和 m 的注入電流分別從Ik 和 Im 改變?yōu)椋?IkIkm )和( I m+ Ikm )。這時網(wǎng)絡(luò)中任一節(jié)點 i 的電壓可以利用原有的阻抗矩陣元素寫出如下式：Ui = Z i1 I 1

26、 +Zi2 I 2 + + Z ik ( Ik - Ikm )Z im ( I m + Ikm ) + + Z ip Ipp?Zij Ij j1- ( Zik - Zim ) Ikm(4-20)現(xiàn)在要設(shè)法將Ikm 用原有的節(jié)點注入電流代替，就可以建立起各節(jié)點電壓和節(jié)點注入電流的對應(yīng)關(guān)系，從而確定接入連支后節(jié)點阻抗矩陣的各元素。由于式（4-20 )對網(wǎng)絡(luò)的任何節(jié)點都適用，現(xiàn)將它用于節(jié)點k 和 m可得：?pUk =Zkjj1?Ij -Z kkZ kmIkm又知?pUm =Zmjj1Ij -Z mkZ mmIkm? ? ?Uk - Um =zkm Ikm將、式代入式可得出：IkmZkk Zkm 2Z

27、km zkm(Zkjj1Zmj ) Ij將 Ikm的表達式代入式 （4-20 ），經(jīng)整理得U?i = p Zij (Zik Zim)(Zkj Zmj) j1Zkk Zmm 2ZkmzkmIjp?Z ij Ij j1所以Z ij =（Zik Zim）（Zkj Zmj）Z ij =ZijZkk Zmm 2Zkm zkm這就是追加連支 zkm后阻抗矩陣元素 Zij 與原有阻抗矩陣元素以及追加支路阻抗的關(guān)系式，用來i 、 j=1 ， 2 p)4-21)確定追加連支后的節(jié)點阻抗矩陣。特別地，如果追加連支所接的節(jié)點中，有一個是零電位，例如是接地點，即 Um =0，則稱此連支為接地連支。設(shè)其阻抗z km=z

28、 k0 ，則公式（ 4-21 ）變?yōu)椋ㄗ⒁猓捍藭r，原節(jié)點阻抗矩陣中無互阻抗 Zim 即 Zim=0 ）。順便指出，如果在節(jié)點Zij =ZijZik ZkjZkkzk0(4-22)k、m之間接入一條短路線 （zkm= 0） ，則相當(dāng)于k、m合為一個節(jié)點，根據(jù)式4-21 ）可知：另外，第 k 列和第 m列的元素分別為：ZikZim ZkjZmjZkkZmm2Zkm(Zik - Zim)( Z kk- Z mk)Zkk +Z mm - 2Zkm(Z ik -Z im )( Zkm - Z mm)Zkk+ Z mm- 2Z kmZij =ZijZ im= Z im-Z ik = Z ik -(4-23

29、)4-24 )Zik= Z im ，根據(jù)互易定理，又由于 k、m 合為一點，因此其電壓及注入電流分別相等，所以Z ki Z mi Z ik 這一關(guān)系說明，如果 k、 m兩節(jié)點短接，第 k 行（列）和第 m行（列）完全相同，因此可 以刪去其中一個節(jié)點（ k 或 m）對應(yīng)的行和列，使矩陣降低一階，其它元素的修改仍按式（4-23 ）進行。由以上分析可見，追加連支的計算量大大超過追加樹支的計算量，因此，在計算機形成節(jié)點阻抗矩陣 時，其速度主要取決于追加連支的計算速度。應(yīng)合理安排追加支路的次序。一般第一步從接地樹支開始， 盡可能在階數(shù)低（節(jié)點少）時追加連支，以減少計算工作量。利用支路追加法避免了矩陣求逆

30、，同時能適應(yīng)系統(tǒng)運行方式的改變，如果切除一條阻抗為zij 的線路時，可利用原有矩陣追加一阻抗為 -z ij 的連支（與 z ij 并聯(lián)）對矩陣進行修改即可。各阻抗參數(shù)如下： Z1=Z2=Z3=-j20 ，Z4=j2 ， 例 4-1 用支路追加法形成圖中三母線系統(tǒng)的節(jié)點阻抗矩陣。Z5=j4 ， Z6=j3 。解：（ a）追加樹支， i=1Z11=z 1=-j20形成矩陣 ZB1=-j20b）追加樹支，引入新節(jié)點j=2 （接地樹支）Z 11 不變， Z12=Z21=-j20 ， Z22 =z 2=-j20z4ZB2=0 -j20c）追加連支，k=1 ， m=2 z 1 z 3 z 2 例 4-1

31、圖( -j20-0 )( -j20-0 ) = -j9.47-j20-j20+j2( -j20 )( j20 ) = -j10.53 -j20-j20+j2-j20 )(j20 ) = -j9.47 -j20-j20+j2(Z 11 Z 12)( Z 11 Z 21)11 = Z 11- = -j20 -Z 11 + Z 22 - 2Z 12 + Z 4(Z 11 Z 12)( Z 12 Z 22 )12 = Z 21 = Z 12 - = 0 -Z 11 + Z 22 - 2Z 12+ Z 4(Z 21 Z 22)( Z 12 Z 22)22 = Z 22 - = -j20 -Z 11 +

32、Z 22 - 2Z 12 + Z 4修改矩陣 -j9.47 -j10.53ZB2=10.53 -j9.47d）追加樹支， j=3 （接地樹支），不變Z11=-j9.47 ， Z12 =Z21=-j10.53 ，Z22= -j9.47Z13=Z31 =Z23=Z32=0，Z33 =Z3=-j20形成矩陣-j9.47-j10.53 0ZB3=-j10.53 -j9.47 00 0 -j20e）追加連支，k=1， m=3(Z 11 Z 13)( Z 11 Z 31)11 = Z 11- Z= -j9.47 -j9.47 )( -j9.47 ) = -j5.5912= Z21Z= Z1213= Z 3

33、1= Z 13(Z22Z= Z 22 -11 + Z 33 - 2Z 13 + Z 5-j9.47-j20+j421(Z 11 Z 13)( Z 12 Z 32) = -j10.5311 + Z 33 - 2Z 13+ Z 5(Z 11 Z 13 )( Z 13 Z 33)Z11 + Z 33 - 2Z 13+ Z 5= 0 -j9.47-j20+j4 Z23)( Z 12 Z32) = -j9.47-j9.47-j20+j411 + Z 33 - 2Z 13 + Z 5-j9.47 )( -j10.53 ) = -j6.61-j9.47-j20+j4-j9.47 )( j20 ) = -j7

34、.44-j10.53 )( -j10.53 ) = -j5.1223 = Z 32 = Z 23(Z 21 Z 23 )( Z 13 Z 33) = 0 -j10.53 )( j20 ) = -j8.2733 = Z 33 - Z修改矩陣(Z 31 Z 33)( Z 13 Z 33)11 + Z 33 - 2Z 13+ Z 5( j20 )( j20 )= -j20-j9.47-j20+j4= -j4.30-j5.59 -j6.61-j7.44ZB3=-j6.61-j5.12 -j8.27-j7.44 -j8.27 -j4.30f ）追加連支， k=2 ， m=311= Z 11-Z(Z 12

35、 Z 13)( Z 21 Z 31) = -j5.59 -j5.12-j4.30-222 + Z 33 - 2Z 23 + Z6(Z12 Z 13)( Z 22 Z 32)12= Z21 = Z12Z22 + Z 33 - 2Z 23 + Z613= Z31 = Z1322= Z2223-j6.61+j7.44 )( -j6.61+j7.44-j8.27 ) +j3-j6.61+j7.44 )( -j5.12+j8.27= -j6.61 - -j5.12-j4.30-2(Z 12 Z 13)( Z 23 Z 33) = -j7.44Z22 + Z 33 - 2Z 23+ Z 6-j5.12-j

36、4.30-2(Z 22 Z 23) ( Z 22 Z 32) = -j5.12-j5.12-j4.30-2Z22 + Z 33 - 2Z 23+ Z 6=Z32 =Z23-j8.27 ) +j3-j6.61+j7.44 )( -j8.27+j4.30-j8.27 ) +j3-j5.12+j8.27)( -j5.12+j8.27)-j8.27 ) +j3)= -j6.02)= -j6.87)= -j7.11= -j6.10(Z 22 Z 23) ( Z 23 Z 33) =-j8.27-j5.12-j4.30-2Z22 + Z 33 - 2Z 23 + Z6-j5.12+j8.27 )( -j8

37、.27+j4.30 )= -j7.03-j8.27 ) +j3(Z 32 Z 33) ( Z 23 Z 33)-j8.27+j4.30)( -j8.27+j4.30)33= Z 33Z22 + Z 33 - 2Z 23 + Z6=-j4.30 - -j5.12-j4.30-2= -j5.86-j8.27 ) +j3例 4-1 圖的節(jié)點阻抗矩陣j6.02-j6.87 -j7.11ZB3=-j6.87 -j6.10 -j7.03-j7.11 -j7.03 -j5.86第二節(jié) 功率方程和變量節(jié)點的分類一、功率方程前面已知節(jié)點電壓方程為 I B=YBUB。在建立了節(jié)點導(dǎo)納矩陣 YB 后，如 UB或 I

38、 B 已知，則方程可解。由第三章可知，在工程計算中 I B是未知的， UB 中的元素大多數(shù)也未知，因此無法直接應(yīng)用公式（4-1 ）進行求解。電力系統(tǒng)分析計算中常以節(jié)點注入功率SB代替電流 I B（ SB為節(jié)點注入功率的列向量） 。根據(jù)復(fù)功率的* 注 * S ，所以節(jié)點電壓方程為 YBUB= S ，從而將各節(jié)點的 UB? ? SiS定義 SB=Ui Ii ，所以 I i = ? 。對應(yīng)有 IB =U?iU B注入功率 S 引入了節(jié)點電壓方程。參照式（ 4-1 ），將SYBUB=展開可得功率方程的一般形式為：Pi jQi= n YijU?jUi j 1i=1 ， 2， n）4-25）以下面兩端供電

39、網(wǎng)絡(luò)為例，分析功率方程的展開式I1S1U11012y20I2S2a）簡單系統(tǒng)b）等值網(wǎng)絡(luò)圖 4-5簡單系統(tǒng)及其等值網(wǎng)絡(luò)如圖 4-5 所示兩端供電網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點 1、2 的注入功率為S1=SG1- SD1=（PG1-PD1）+j （ QG1-QD1）S2 =SG2- SD2=（ PG2-P D2）+j （ QG2-QD2）從而可知節(jié)點 1、2 的注入電流為I?1= S1U1I?2 = S2U2網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點導(dǎo)納矩陣元素4-26）4-27）Y11=y10+y12=y20+y21=Y2212=Y21=-y 12UBUB從而網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點電壓方程為可得? ? ?S2=I 2= Y21U1+ Y22U 2U24-2

40、8)2S1=U1 Y11U1+U1Y12U2= U12Y11+U1U2 Y122S2=U2Y21U1+U2 Y22U2= U22Y22+U1U2 Y214-29)如設(shè) U1=U1ej 1；U2=U2ej 2；Y11 Y22 ySe j 90 S ； Y12 Y21 yme j 90 m (均為極坐標形式），并將它們代入式（ 4-29 ）展開，將有功功率、無功功率分別列出，可得P1=PG1-P D1=y sU12sin s+ymU1U2sin(1-2)-mP2=PG2-PD2=ysU22sin s+ymU2U1sin(2-1)-mQ1=QG1-QD1=ysU12cos s-y mU1U2cos(

41、1-2)-m(4-30)Q2=QG2-QD2=ysU22cos s-y mU2U1cos(2-1)-m這就是圖 4-5（a） 簡單系統(tǒng)的功率方程。U和功率方程的特點 由式（ 4-30 ）可見，功率方程是反應(yīng)節(jié)點注入功率和節(jié)點電壓之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，是關(guān)于 的非線性方程組，一般無法用解析法求解，應(yīng)立足于迭代求解。 將式（ 4-30 ）的第一、二式相加，第三、四式相加，可得這個系統(tǒng)的有功功率、無功功率平衡關(guān) 系：s-2y mU1U2cos( 1- 2)sin mPG1+PG2=PD1+PD2+ys(U12+ U22) sin QG1+QG2=QD1+QD2+ys( U12+ U22)cos s-2

42、y mU1U2cos( 1- 2)cos m(4-31)兩等式右邊第三項、第四項為系統(tǒng)的有功功率損耗 P、無功功率損耗 QP= y s（ U12+ U 22）sin s-2y mU1U2cos（ 1- 2）sin mQ= ys（U12+ U22） cos s-2y mU1U2cos（ 1-2）cos m 在功率方程中，母線電壓的相位角以12=1- 2 的形式出現(xiàn)，即決定功率大小的是相對角而不是? 絕對角，因此在所有電壓相量 Ui 中，應(yīng)選定一個電壓參考相量。 四個方程中，除去網(wǎng)絡(luò)參數(shù) ys、ym、s、 m外共十二個變量，它們分別是： 負荷消耗的有功、無功功率 PD1、PD2、QD1、 QD2；

43、 電源發(fā)出的有功、無功功率 PG1、PG2、QG1、 QG2； 母線或節(jié)點電壓的大小和相位角U1、 U2、 1、 2。因此，除非已知或給定其中的八個變量，否則無法求解，即為 n 母線系統(tǒng)將會列出 2n 個方程，但變 量有 6n 個。必須根據(jù)運行條件，給定其中6n-2n=4n 個變量才可解方程。、變量的分類變量的分類： 前面分析已知， 為了使功率方程有解， 必須要給定某些變量， 而其余變量作為未知量。 給定哪些變量才合理呢？這首先要求我們要了解變量的性質(zhì)。實際變量按控制理論可分為三類：不可控變 量、可控變量和狀態(tài)變量。 不可控變量 dPD、無功功率 QD。它們?nèi)﹄娏ο到y(tǒng)來說是指無法由運行方面來

44、控制的變量。這里指負荷消耗的有功 決于用戶，對系統(tǒng)來說是隨機的，又叫擾動變量。它們的變化將引起系統(tǒng)運行狀態(tài)的變化。一般可根據(jù)運,即 d=( PD1、QD1、PD2、QD2、行經(jīng)驗或預(yù)測做出估計， 作為已知量給定。 對 n 母線系統(tǒng)共有 2n 個不可控變量PDn、 QDn) 。 控制變量 u可由運行人員根據(jù)需要來決定或改變的變量，這里指電源發(fā)出的有功PG、無功功率 QG。對 n 母線系統(tǒng)共有 2n 個控制變量 , 在方程組中一般起自變量的作用， u=(PG1、QG1、 PG2、QG2、 PGn、 QGn) 。 狀態(tài)變量 x能描述和確定系統(tǒng)運行狀態(tài)的變量。這里指各母線電壓的大小u 及相角。 它們是

45、受系統(tǒng)的控制變量所控制的因變量，其中電壓 u 主要受無功功率 QG的控制；相角主要受有功功率PG的控制。對 n 母線系統(tǒng)共有 2n 個狀態(tài)變量 , x=( u1、 1、 u2、2、 un、n)功率方程給定變量的調(diào)整4-25 )求解出狀態(tài)對變量作如上分類后，似乎只要已知擾動變量和控制變量，就可以運用功率方程(變量，其實不然。因為在上述功率方程中，母線(節(jié)點)電壓的相位角以相對值出現(xiàn)，以致使當(dāng)1、2已發(fā)生變化，但 ( 1- 2) 不變時，功率的數(shù)值不變，從而不能用它們求取絕對相位角1、2，當(dāng)然還有其它原因，如功率損耗與相對角的關(guān)系等。為克服以上困難，可對變量的給定稍作調(diào)整： 在具有 n 個節(jié)點的系

46、統(tǒng)中 , 只給定 (n-1) 對控制變量 PGi 、QGi，余下一對控制變量 PGS、QGS待定，由這 一對控制變量維持系統(tǒng)功率平衡。? 指定某節(jié)點的電壓相量為基準相，一般取與PGS、 QGS相同的節(jié)點，即 Us =Uss=1 0(Us 也可按實際需要取 1 附近的某一值 ) 。 給定所有的不可控變量 PDi、QDi 。變量的約束條件在已知了以上 4n 個變量后，就可根據(jù) 2n 個功率方程解出 2n 個未知量，其中包括 2(n-1) 個狀態(tài)變量 和 2 個控制變量。這在抽象的數(shù)學(xué)思維中已經(jīng)滿足方程的要求，但實際電力系統(tǒng)還要受某些條件的約束，當(dāng)方程的解超出這一約束條件時， 對實際系統(tǒng)就無意義了，

47、 即這些約束條件是保證系統(tǒng)正常運行所必須的。 對控制變量的約束條件是PGimin PGi PGimax；Q Gimin QGi QGimax若為沒有電源的節(jié)點則為PGi=0； Q Gi=0其中 PGimax、 PGimin 、 QGimax、 QGimin 的確定由一些技術(shù)條件所確定，在后面兩章將有討論。 對狀態(tài)變量 Ui 的約束條件是Uimin Ui Ui max 即系統(tǒng)中各節(jié)點電壓都要滿足電壓質(zhì)量的要求。 對某些狀態(tài)變量的相對角 ij=i-j 須滿足i - j <i- j max這是為保證系統(tǒng)運行穩(wěn)定性所要求的。除此以外，還可根據(jù)某些要求考慮其它一些約束，如某些線路 的功率限制、經(jīng)濟

48、性要求等?？紤]到這些約束條件后，有時對某些節(jié)點還得調(diào)整它的給定量，如給定PGi和 Ui ，而 QGi和i 待求等。三、節(jié)點的分類從前面的敘述已知， 對不同節(jié)點， 給定量也不同。 這樣， 系統(tǒng)中的節(jié)點就因給定量的不同而分為三類： PQ節(jié)點。這類節(jié)點給定節(jié)點注入功率 Pi 、Qi ，待求的是節(jié)點電壓 Ui 及相角 i 。屬于這一類節(jié)點的有 固定發(fā)電功率的發(fā)電廠母線和沒有其它電源 （無功電源） 的變電所母線。 這類節(jié)點在電力系統(tǒng)中大量存在。 PV節(jié)點。這類節(jié)點給定節(jié)點注入有功功率Pi和電壓 Ui ，待求的是節(jié)點注入無功功率 Qi 和電壓相角i。這類節(jié)點要求有充足的可調(diào)無功電源來維持給定電壓Ui 。屬

49、于這類節(jié)點的有具有一定無功儲備的發(fā)電廠和有一定可調(diào)無功電源設(shè)備的變電所母線。這類節(jié)點在電力系統(tǒng)中為數(shù)不多，甚至可能沒有。?平衡節(jié)點。 在潮流計算中所選的電壓參考節(jié)點， 即 Us=U s s U s 0 的節(jié)點， 也就是電壓大小給 定、相角為零的節(jié)點。待求量是節(jié)點注入功率Ps、 Qs，整個系統(tǒng)的功率平衡由該節(jié)點承擔(dān)，一般選擇系統(tǒng)中的主調(diào)頻發(fā)電廠母線作為平衡節(jié)點。這類節(jié)點在計算中必不可少，但一般只有 1 個。第三節(jié) 高斯塞德爾法潮流計算一、高斯塞德爾迭代法設(shè)有 n 個聯(lián)立的非線性方程f 1(x 1，x2，x n)=0f 2(x 1，x2，x n)=0f n（x 1，x2，x n）=0（4-32）x

50、1=g1（x 1， x2，x2=g2（x 1， x2， xn）， xn）xn=gn（x 1， x2， xn）（4-33）若已經(jīng)求得各變量的第k 次迭代值 x1（k）、 x2（k）、 xn（k）, 則其第（ k+1 ）次迭代值為（k+1）（ k）x1= g 1（x 1 ，（k）x 2 ，（k） ， xn ）x（ k+1）= g （x （k+1），2 = g 2（x 1，x （k ）， x2， xn（k）解此方程組得x式（ 4-34 ）可縮寫為（ k+1）（k+1） （ k+1）x i = g i（x1，x2，只要給出變量的初值 x1（ 0），x2（0），收斂條件： xi（k+1）- x i（k）<即可例 4-2 已知非線性方程組為k+1）（ k+1） （ k+1 ）= gn（x 1，x2，x i-1 （k+1），xi （ k），xn（0）就可按式（k+1），x n-1，x（k） ， xn）k）（i=1， 2， ， n）4-34）4-34 ）迭代計算，一直進行到所有變量都滿足為預(yù)先給定的允許誤差） 。