2019年高考理數(shù)——概率統(tǒng)計(jì)(解答)

1、2019 年高考理數(shù)概率統(tǒng)計(jì)1. (19 全國一 理 21( 12 分) )為治療某種疾病， 研制了甲、 乙兩種新藥， 希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試 驗(yàn) 試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn) 對(duì)于兩只白鼠， 隨機(jī)選 一只施以甲藥，另一只施以乙藥 一輪的治療結(jié)果得出后， 再安排下一輪試驗(yàn) 當(dāng)其中 一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多 4 只時(shí)，就停止試驗(yàn)， 并認(rèn)為治愈只數(shù)多的 藥更有效為了方便描述問題，約定： 對(duì)于每輪試驗(yàn)， 若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙 藥的白鼠未治愈則甲藥得 1 分，乙藥得 1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白 鼠未治愈則乙藥得 1 分，甲藥得

2、1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0 分甲、乙兩種藥的治愈率分別記為a和伏一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.(1) 求 X 的分布列；(2) 若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分， pi(i 0,1,L ,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為 i 時(shí)，最終認(rèn)為甲 藥比乙藥更有效”的概率，則 p00， p81，pi api 1 bpi cpi 1 (i 1,2,L ,7) ， 其 中 a P(X 1) ， b P(X 0) ， c P(X 1) .假設(shè)0.5，0.8.(i) 證明：Pii Pi (i 0,1,2,L ,7)為等比數(shù)列；(ii) 求P4，并根據(jù)P4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.102. （19 全

3、國二理 18.（ 12 分）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束.（1）求 P（ X=2）；（2）求事件X=4且甲獲勝”的概率.3. （ 19全國三理17 .（ 12分）為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A, B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液， B組小鼠給服乙離子溶液， 每只小鼠給服的溶液

4、體積相同、 摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測算出 殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到 P （ C）的估計(jì)值為0.70.（1） 求乙離子殘留百分比直方圖中a, b的值；（2）分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值 為代表）.4. （19北京理（17）（本小題13分）改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一為了解某校學(xué)生上個(gè)月A, B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了 100人，發(fā)現(xiàn)樣本中 A, B兩種支付

5、方式都不使用的有5人，樣本中僅使用 A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：、支付金額（元）支付方式(0, 1000(1000, 2000大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人（I）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月 A, B兩種支付方式都使用的概率；（H）從樣本僅使用 A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取 1人，以X表示這2人中上個(gè) 月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（川）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中,隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額

6、大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由.5. （ 19天津理16.（本小題滿分 13分）2設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7 : 30之前到校的概率均為 -假定甲、乙兩位同3學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.（I）用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7： 30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（n）設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7： 30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7: 30之前到校的天數(shù)恰好多 2”，求事件 M發(fā)生的概率.6. ( 19江蘇 23.(本小題滿分 10分) )在 平 面 直 角 坐 標(biāo) 系 xOy 中 ， 設(shè) 點(diǎn) 集 An (0,0),(1,0),(2

7、,0), ,( n,0) Bn(0,1),(n,1),Cn (0,2),(1 ,2),(2,2), L ,(n,2), n N .令M n An U Bn U Cn 從集合M沖任取兩個(gè)不同的點(diǎn)，用隨機(jī)變量 X表示它們之間的距 離.(1 )當(dāng)門=1時(shí)，求X的概率分布；(2)對(duì)給定的正整數(shù) n (n3，求概率P (xq)(用n表示).參考答案:1 解：X的所有可能取值為1,0,1 .P(X 1) (1),P(X 0)(1)(1),P(X 1)(1),所以X的分布列為(2)(I-仗)(1-/0%i-0)（門由（1）得a 0.4,b 0.5, c 0.1.因此 Pi =0.4 p 1+0.5 Pi+0

8、.1Pi故 0.1 口 1Pi0.4 Pi 口 1 ，即pi 1Pi 4 Pi|pi 1.又因?yàn)閜1P0P10,所以p1 P'i (i比數(shù)列.(ii)由（i）可得P8P8P7 P7P6 L P1P0P0由于P8=1，故P138，丿所以41P4P4P3P3 P2P2P10,1,2,L ,7）為公比為4，首項(xiàng)為P1的等P6L48 1P8P7P7P1P03 P1P1 P044113p1257.由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為P4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率,0.5，乙藥治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為P412570.0039，此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗(yàn)方案合理2解：

9、（1） X=2就是10 : 10平后，兩人又打了 2個(gè)球該局比賽結(jié)束，則這2個(gè)球均由甲得分,或者均由乙得分.因此 P （X=2） =0.5 X 0.4+（ 1 -0.5） X （1 -0.4） =0.5 (2) X=4且甲獲勝，就是10 : 10平后，兩人又打了 4個(gè)球該局比賽結(jié)束，且這4個(gè)球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得 1分，后兩球均為甲得分.因此所求概率為0.5 ( 1 -0.4) + ( 1 -0.5) X 0.4 X 0.5 X 0.4=0.13 .解：(1 )由已知得 0.70=a+0.20+0.15，故 a=0.35.b=1 -0.05 -0.15 -.70=0.10 .(2)

10、甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為2 X 0.15+3 X 0.20+4 X 0.30+5 X 0.20+6 X 0.10+7 .X 0.05=4.05乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為3 X 0.05+4 X 0.10+5 X 0.15+6 X 0.35+7 X 0.20+8 .X 0.15=6.004.解：(I)由題意知，樣本中僅使用A的學(xué)生有18+9+3=30人，僅使用B的學(xué)生有10+14+仁25人，A, B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有 5人.故樣本中A, B兩種支付方式都使用的學(xué)生有100-30-25-5=40 人.所以從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取 1人，該學(xué)生上個(gè)月A, B兩種支付方式都使用

11、的概率估計(jì)為401000.4.(n) x的所有可能值為0, 1, 2.記事件C為 從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1000元”，事件D為從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1000”兀 9 3141由題設(shè)知，事件 C, D相互獨(dú)立，且 P(C)0.4, P(D)0.6 .3025所以 P(X 2) P(CD) P(C)P(D) 0.24 ,P(X 1) P(CD UCD)P(C)P(D) P(C)P(D)=0.4 ( 1-0.6 )+ (1-0.4 ) X 0.6=0.52,P(X 0) P(CD) P(C)P(D) 0.24 .所以X的

12、分布列為X0P0.24120.520.24故X的數(shù)學(xué)期望 E (X) =0X 0.24+1 X 0.52+2 X 0.24=1.(川)記事件E為 從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽查3人，他們本月的支付金額都大于2000元”.假設(shè)樣本僅使用A的學(xué)生中，本月支付金額大于 2000元的人數(shù)沒有變化，則由上個(gè)月的樣本數(shù)據(jù)得P(E)14060答案示例1：可以認(rèn)為有變化.理由如下：P (E)比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為本月的支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變化.所以可以認(rèn)為有變化.答案示例2:無法確定有沒有變化.理由如下：事件E是隨機(jī)事件，P (E)比較小，一般不容易發(fā)生，但

13、還是有可能發(fā)生的，所以無法 確定有沒有變化.5 .本小題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡單實(shí)際問題的能力滿分13分.(I)解：因?yàn)榧淄瑢W(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨(dú)立，且每天7: 30之前到校的2 22 k 1 3 k概率均為一，故 X B 3,，從而 P(X k) C3k,k 0,1,2,3 .3 333所以，隨機(jī)變量X的分布列為X0123P12482799272隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X) 3 -2 .32(H)解：設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7: 30之前到校的天數(shù)為 Y，則YB 3,23且 M X 3,Y1UX

14、2,Y0.由題意知事件X 3,Y1與X 2,Y0互斥，且事件 X 3與 Y 1，事件 X 2與Y 0均相互獨(dú)立,從而由(I)知2,Y0)P(M) P(X 3,Y1 UX 2,Y0) P(X 3,Y1) P(XP(X 3)P(Y1) P(X 2)P(Y0)_8 _2里丄279927202436解：(1)當(dāng)n 1時(shí)，X的所有可能取值是1,2 ,2,5 .77r 4X的概率分布為P(X 1)2 ，P(X 2)2C6 15C6415，2 2P(X 2) & 亦，P(X215(2)設(shè)A(a ,b)和B(c，d)是從M.中取出的兩個(gè)點(diǎn).因?yàn)镻(X n) 1 P(X n)，所以僅需考慮X n的情況. 若b d，貝U AB n，不存在X n的取法； 若b 0 ,d 1 ,則ab . (a c)2 1 n2 1 ,所以X n當(dāng)且僅當(dāng) AB 一 1，此時(shí)a 0 , c n或a n ,c 0，有2種取法； 若 b 0,d 2 ,則 ab . (a c)2 4 n2 4 ,因?yàn)?/p>