(完整word)MIMO非線性系統(tǒng)的反饋線性化初步理論

1、非線性系統(tǒng)控制理論第五章 MIMO非線性系統(tǒng)的反饋線性化初步理論引言: 對于多輸入多輸出系統(tǒng)仍可以用下列緊縮的形式的方程來描述:108x f(x) g(x)uy h(x)(*)x Rn若輸入的個數(shù)與輸出的個數(shù)的數(shù)目相同時，可令uCol(U|,.,um)(m1)yCol(yi,.,ym)(m1)g(x)gi(x),gm(x)(nm)f (x)Colfi(x),.,fn(x)(n1)h(x)Colhi(x),.,hm(x)(m 1)f (x), g1 (x),., gm(x)均是光滑的向量場，h1(x)，,hm(x)是光滑的函數(shù)均定義在Rn的某個開集上5.1向量相對階和總相對階：一個多變量非線性系

2、統(tǒng)(*)，在x處有向量相對階r1,., rm是指:1jm(i)LgjLfhi (x)0對所有：1i mx x的鄰域kri1(ii)m m矩陣L®Lfgx)Lg1h1(x)LgA(x)g1L：1 h2(x).Lgm口h(x)LgLrfhm(X)LgmLrfm1hm(x)在x x處是非奇異的即行向量不是零向量，否則矩陣A(x )就是奇異的了。所以對某個yi來 說至少有一個Uj，對這樣的單輸入單輸出系統(tǒng)說來，它在x處的相對 階就是ri，而對于其他可以選擇的Uk說來，其在x處相應(yīng)的相對階如 果存在的話，一定大于或等于這個 *(3) ri也是在t t0時刻，從yi(t)的微分中得到至少u(t&

3、#176;)中一個分量 的顯式表示時所需要微分的次數(shù)。(4) 若系統(tǒng)在x x0處有向量相對階口,.,肯，則行向量dhi(x0),dLf hi(x0),dLf gx0) dh2(x0),dLfh2(x0),.,dL； %&0)dhm(x0),dLfhm(x0dLf h(x0)是線性無關(guān)的。證明該性質(zhì)可以仿照單輸入單輸出的思路：若riri， 2 im，構(gòu)造兩個矩陣：Q Col(dh1(x),.,dLr； 1h1 (x), dh2 (x),.,dLrf整數(shù)r1,.,rm中的某個斤是與系統(tǒng)第i個輸出hi(x)有關(guān)的。行向:Lg1Lrf 1 2hi (x),.,Lgm Lrf1 hi (x)，至

4、少有一個元素是非零的， 1h2 (x),.,dhm(x),.,dLrfn 1hm(x)P Col(gi(x),.,gm(x),.,ad；1 1gi(x),.,adf1 1gm(x)然后將QP相乘，再對它的行重新排列后，矩陣就呈現(xiàn)一個塊三角的 結(jié)構(gòu)，其對角線上的塊組成A(x)矩陣的行。由A(x)的非奇異性即可證 明QP的行是線性無關(guān)的，因而Q的行也是線性無關(guān)的。(5) 當(dāng)系統(tǒng)的輸入數(shù)目大于輸出數(shù)目時，向量相對階定義中的條件(ii),A(x0)陣的非奇異性用該矩陣的秩等于它的行數(shù)(也就是輸出通道的個數(shù))來代替。實際多輸入多輸出系統(tǒng)關(guān)鍵的是輸入的數(shù)目。所 謂輸出是看效果的地方，所以采集某個量、觀察某

5、個量都可以看作是 輸出。(6) rri 2 . rm稱為總相對階，且有r n。5.2局部坐標(biāo)變換和標(biāo)準(zhǔn)形若系統(tǒng)在x0處有向量相對階ri,., rm，稱r ria . rm為總相對階，則r n。設(shè)1 i m ,貝U對于某一指定的i，取下列映射:1(x) hi(x)2(x) Lfhi(x)r(x)Lf1h(x)當(dāng)r嚴(yán)格小于n時，總可以找到另外n r個函數(shù)r i(x). n(x)，使得z (x)Col：(x), i2(x),，im(x),，m(X),，r 1(X),，n(x)在x0處的雅可比矩陣是非奇異的，則(X)就有資格作坐標(biāo)變換。一般來說，附加的變換函數(shù)r l(x),., n(x)是可以任選的，

6、但是當(dāng)分布Spangi ,.,gm在x0處是對合的, 則與SISO情況相似，總可以找到 r i(x)，n(x)，使Lgji(X)0r 1 i n1 j m11x x0的鄰域11r1則利用上述坐標(biāo)變換后,n r新坐標(biāo)表示的系統(tǒng)方程可以分成 (m+1 )組:d 11dtd 212(t)dt3(t)?nL；h1(X)mLgjLr； 1h1(x) Ujj 1md(z)a1j(z) Ujj 11y11其中d(z)d(,)Lr； h1 (1(,)an(z)a1 j(,)LgjLfh1(1(,)1n1 M)注意前式Uj中所乘的系數(shù)Lgj Lr； 1h1(x)正是A(x)陣中的第(1, j)項 第i組：? i

7、1 2(t)? i2 3(t)iri 1iriyimLr；hi(x)LgjLrf 1hi(x) Ujj 1 Ji1mbi(z)aj(z) Ujj 1再令1r 1(X)nrn對一般情況下：?mq( , )Pj( , ) Uj q( , ) P( , )uj i若分布GSpangi,.,gm是對合的，又由此可得i (x)滿足:Lgj i (x)0則該方程可簡化成?q(,)將以上各組合并起來就得到多輸入多輸出系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形。5.3零動態(tài)由輸出零化的概念同樣可以定義零動態(tài)。由于輸出及其各階導(dǎo)數(shù)為零，可得：m(x) Lfh'x) . Lr； 1m(x)0hm(x) Lf hm(x) . Lrfm

8、1hm(x) 0 m及 y(ri)(t) bi(0, )aj(0, ) Uj 0(共 m個)j i寫成矩陣和向量的形式則有：b(0, )A(0, )u 0其中Lr1 h (x)b(x)1(1(0,)rLmhm(x)A(x)其中就是以前定義向量相對階時的矩陣，所以:1u(t) A(0,)b(0,)是 qo(0, (t)在(0)0下的解對一般情況：1q( , ) P( , )A( , ) b(,)對零動態(tài)，則在 (0) 0, (0)0下求解。5.4參考輸出復(fù)制問題若參考輸出 yR(t)Col(yiR(t),.,ymR(t)其中R(t)R(t)yiR)(t)yip(t)R(t)i；R(t)1R(t)

9、(UyiRi)m(t)r(0),而內(nèi)動態(tài) (0)0可以任取則類似推導(dǎo)后可得：(i)初始時刻對準(zhǔn)，即(0) (ii)取u(t) A1( R(t),(t)( b( R(t),(t).)其中為下列方程的解:ymrR)(t)ylR) (t)q( R(t), ) p( R(t), ) A1( R(t), )( b( R(t),).)ymrR) (t)(0)同樣可以將yRu(t) .u(t)解釋為原系統(tǒng)的逆實現(xiàn)。5.5反饋線性化：當(dāng)ri 2. rm r n時，可以實現(xiàn)狀態(tài)反饋精確線性化(此時沒有內(nèi)部動態(tài))。即?。?u(t) (x)(x) A (x) b(x)當(dāng)ri r2. rm r n時，可以實現(xiàn)輸入輸出

10、精確線性化(此時有內(nèi)部動態(tài))，但解的式子與上面的表達式一樣。5.6輸入輸出解耦控制(或互不影響的控制)問題的提法：給定一個非線性系統(tǒng)mx f(x) gi(x)Uii 1yihi( x) ym hm(x)給定初始狀態(tài)x0及x0的鄰域U。，找一個靜態(tài)狀態(tài)反饋控制律mUii(x) j(x) jj 1使閉環(huán)系統(tǒng)xmf(x) gi(x)i 1m mi(x)( gi(x) ij(x) jj 1 i 1y1g(x)Ym hm(x)的每一輸出Yi，1 i m，只受相應(yīng)的輸入i的影響，而與其他j(i j)無關(guān)。這個問題當(dāng)用標(biāo)準(zhǔn)形來研究時是很簡單的，因為：ii1 2iiri 1rimribi( , )aj( , )Ujj 1q( , ) p( , ) u則取:U1u . A1( , ) b(,)U2時，其中為下列方程的解:q( , ) p( , )A1( , )b( , ) p(0)則上述式