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1、不等式知識點與題型歸納一、不等式的有關(guān)概念1、不等式的立義:用數(shù)學(xué)符號“工、>、<、 S ”連接的兩個數(shù)或代數(shù)式表示不等關(guān)系的式子叫不等式。不等式的泄義所含的兩個要點:(1)不等符號<、S、>、或工;(2) 所表示的關(guān)系是不等關(guān)系。2、不等式ab的含義:不等式ab應(yīng)讀作“"大于或者等于英含義是指“或者a>b,或者=b', 等價于“不小于方,即若a>b或=方之中有一個正確,則ab正確。不等式中的文字語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換:大于大于等于小于小于等于至少至多不少于不多于><例1.判斷(正確的打錯誤的打“X")(1) 某隧道
2、入口豎立著“限高4.5米“的警示牌,是指示司機要安全通過隧道,應(yīng)使車的整體髙度力滿足關(guān)系為4.5用不等式表示“"與方的差是非負(fù)數(shù)'為a-b>O°(3) 不等式2的含義是指X不小于2。若a<b或=Z?之中有一個正確,則abE確?!窘馕觥?I)Vlt限髙4.5米"即為“髙度不超過4.5米"。不超過用“"表示,故此說法正確。(2) “非負(fù)數(shù)“即為“不是負(fù)數(shù)“,a-bQ,故此說法錯誤。(3) .不等式x = 2表示x>2或x = 2,即X不小于2,故此說法是正確的。(4) T不等式b表示 V”或 = Z?,故若a<b或
3、= /?中有一個正確,貝IIdSb泄止確。二、實數(shù)比較大小的依據(jù)與方法1、實數(shù)的兩個特征任意實數(shù)的平方不小于0,即aeRa20o(2) 任意兩個實數(shù)都可以比較大小,反之,可以比較大小的兩個數(shù)一左是實數(shù)。2、實數(shù)比較大小的依據(jù)如果a_b是正數(shù),那么>5 如果a_b等于零,那么 = d 如果ab是負(fù)數(shù),那么v幾反之也成立,即 -">0o a>b : -" = 0o a=b : -Z?VoVO a<b <>比較兩個實數(shù)“與b的大小,需歸結(jié)為判斷它們的差"的符號,至于差的值是什么無關(guān)緊要。歲果那么a>b依據(jù):何1果-6<0那
4、么a<b結(jié)論:確定任意兩個實數(shù) 4的大小關(guān)系只偌 確定它們的星-6與O的大小關(guān)系如果"6=0,那么G二b3、比較兩數(shù)(式)大小的方法作差比較法作商比較法乘方比較法依據(jù)a-b>O <=> a>h a-b = O Oa=ZJ a-b<O <<> a<b>O, b>0->I => a>b b=> a=b b-<1 => a<b b<0 , b<0>1 => a<b bf = 1 => =Z? b-<=>a>b b >
5、O, /?>0若Cr <b2,貝)ia>b<0, /?<0若 Cr >h2,則 a<b應(yīng)用范圍數(shù)(式)符號不明顯,作 差后可通過配方、因式 分解等恒等變形手段將 差化積或商的形式。同號兩數(shù)比較大小或只是式之間比較大 小。要比較的兩數(shù)(式)中 有根號。步驟作差T變形T定號T下結(jié)論作商T變形T判斷商值與1的大小T下結(jié)論乘方T用作差比較法或作商比較法例 2.比較(4 + 3)(4 5)與(4 + 2)(4 一 4)的大小。【解析】(" + 3)(d-5)-(d + 2)(d-4) = ( -2“- 15)-(/廠 -2"-6) = -7
6、<0 »( + 3)(z 5) V ( + 2)( 4) ©變式1比較,+3與3兀的大小,英中xeR.【解析】V (x2 +3)-3x = x2 -3x + 3 = (x-)2+->->O, ° x2 +3>3o 24 4變式2.已知“方為正數(shù),且CHd 比較ai+b3與b + "2°【解析】(a3 + 3) - (Crb +) = a7f + Z?3 - a2 b - ab2 = a1(a - h) - Ir (a - b) = (a - b)(a2 -b2) = (a- b)2 (U + b)T>O, b>
7、;Oab > (a-b)2 >0 , a+b>O , : (a3 +b3)-(a2b + ab2) > O ,即 a3 +bi > a2b+ab2?!拘〗Y(jié)】作差法比較兩個數(shù)大小時做差后變形的方法:(D因式分解:配方:通分:對數(shù)與指數(shù)的運算性質(zhì);分母或分子有理化;分類討論。Jd 1 _ Ja +1(ya + +a)(ya + Ja-I)鞏固1比較J" + l與需-Jd-I的大小,其中«>1 o【解析】 T (J" + l -苗)-(苗-血 -1) = - 1=ya +1 + yja yja +Jd-IJd + - >a &l
8、t; yfa - y a -1強化1比較Ju-3-Ja-4與Ju-4-Ja-5的大小,其中>5° 【解析】e. (Ja-3 、/"-4) (Ja-4 -Ja-5) = (J"-3 + J-5)-2jd-4 »XV67 + >OK2M-4>O,貝IJ (Ja-3 + Ja-5)2 =U-3 + 2j(-3)(-5) + -5 = 2“一8 + 2j(-3)("-5), (2t 4)2 = 4“ 16 = 2a-8 + 2(a 4),乂 J( 3)(“ -5) = u &/ + 15 (t 4) = Cr +16 , .*
9、 JU _3 Ja _4 < Jd 4 Ja 5。鞏固2.已知a0,試比較"與丄的大小。a【解析】= = uzI)U/-1), .>o,當(dāng)>時,(" + Im j)>o,有°>丄, a aaaa當(dāng) = 時,m_i=0,有d =丄,當(dāng)oVdVl時,ULm/J)<o,有丄 aaaa綜上,當(dāng)>l時,a>-,當(dāng) = l時, a當(dāng)OVaVl時,1強化2比較Iog( + 1)logfl(2 + l)的大小,其中>0且U【解析】.Tg(+l) - IOga(2+l) = 10g 冷斗, + 1當(dāng)al時,3 + 1>2
10、+ 1, 4±1>, IOgIOgj2+1)>log.( + l),6+1rtl當(dāng) O VaVl 時,3 + 1<2 + 1, O<il<b loguTIl>0, IOg(+ 1)> logfl(+ 1) o6+1J 6T+1綜上當(dāng) aO 且 a H 1 時,10gfl (a2 +1) > logfl(t/2 +1) o鞏固3.已知今X叫,試求乎的取值范圍?!窘馕觥縏X0即T煜 itctP<, 乂CtVp, ct-p<0, Jta PV0,a-I-<0, a-'2的取值范圍是PO)O乙強化 3.設(shè) f(x) =
11、 ax2+bx 且 1( 一 1)2, 2(1)4,求 /(一 2)的取值范用。法一:設(shè)/(一2)=吋(一 1) + Md)(加、川為待定系數(shù)),貝IJ 4a-2b = m(a-b) + n(a+b) = (m+n)a + (U一m)b,于是得n+n=4, HI-II=-2 ,解得m = 3 , n = , /(-2) = 3/(-1) + /(1),又.T(-1)2, 2(1)4,. 5 3/(1)+ /(I)S 10,即/(-2)的取值范圍是5,10 0法二:由f(-) = a-b, /(l) = a+方得:d = *(-1) + /(1), b = *(l)- 厶乙(-2) = 4a-2
12、 = 3/(-1) + /(1),又T(-1)52, 2(1)4,53(-l) + (l)l 0,即 /(-2)的取值范用是5,10。三、常用不等式的垂要性質(zhì)名稱式子表達(dá)性質(zhì)1(對稱性)a>b 0b<a性質(zhì)2(傳遞性)a>b > b>c => a>c性質(zhì)3(可加性)ab => a+c>b+c推論 1: a+h>c => a>c-b推論 2: a>b , c>d => a+c>b+d性質(zhì)4(可乘性)a>b , c>0 => ac>bca>b , CVo => ac&
13、lt;bc推論 1: a>b>0 , c>d>0 => ac>bd推論 2: a>b>0 => an >b,t (HeN )推論 3: a>b>0 => ,ci>'Jb (neN)例3.用不等號填空:(1) 若a>Z?,則仇丄bc1: (2)若a+方>0, /?<0< 則Z?(3) 若a>b » c<d ,則CI-Cb-d ;(4) 已知xvl,則X2 +23XQ【解析】(I)V當(dāng)/>0時,有ac2>bc29當(dāng)/=0時,有ac2=bc29故應(yīng)填W
14、;(2) V+Z7>O, b<O, >O,故應(yīng)填=(3) .cv", -c>-d,又 Ta", :a-c>b-d ,故應(yīng)填“ >";(4) V X2 -3x + 2 = (x-2)(x-l),而XV1, x-2<O , x-l<O 則Cr-2)Cr 1)0, 即 x2-3 + 2>0 x2 + 2>3x,故應(yīng)填“八四、解一元二次不等式1、按項的系數(shù)"的符號分類,即d>0, d = o, a<0o例 4解不等式:Cix2 + (U + 2)x+1 > 0 【解析】當(dāng)d = o時,
15、不等式為2x+l>0,解集為xlx>-,當(dāng)qhO時, = G + 2)2-4t = 62+4>0,恒有兩個實根K = -2-加+4 ,-<i-2÷+4 O2a2a.AXrt, A7JM . I "2 + Jd+4q " 2 Jg+4當(dāng)&0時,解集為xlx<或開>:2a2a. CrtA7J r Xi . 一 _ 2 + JaJ +4_ _ 2 _ JCr +4當(dāng)v0時.解集為xl<x<o2a2a2、按判別式的符號分類,即>(), = (), <0o例5.解不等式+tu +4>0o【解析V =
16、2-16, :,®當(dāng)AvO即當(dāng)a (-4,4)時,解集為R, 當(dāng)A = O即當(dāng)=4時,解集為AA-eKx-2,當(dāng)d = *時,解集為xlXGR且JrH2, 當(dāng)>()即 >4 或時 xl = a-2i , x2 = u + y 1 x1<x2解集為x I X V"',"或龍 >-小丁-16 O3、按方程UA2 + hx + c = 0的根“、勺的大小來分類,即曲兀2,Xl=兀2,舛勺。 例 6.解不等式X2 -5ax + 6a2 0(0)o【解析】A = "2>0,原不等式可化為(x-2cI)(X-3a)>0,對
17、應(yīng)方程的兩根為2d、3d,當(dāng)>0時,即2a<3af 解集為xIx>3ax<2a:當(dāng) <0時,即 2a >3c,解集為x > 2或x<3“。【小結(jié)】對含字母的二元一次不等式,一般有這樣幾步: 泄號:對二次項系數(shù)大于零和小于零分類,確泄了二次曲線的開口方向; 求根:求相應(yīng)方程的根。當(dāng)無法判斷判別式與0的關(guān)系時,要引入討論,分類求解: 沱解:根據(jù)根的情況寫出不等式的解集:當(dāng)無法判斷兩根的大小時,引入討論。鞏固.解下列關(guān)于X的不等式:(I) X2 -2ax <-a2 + 1: (2)x2 -v +1 >0 ; (3)r2 -( + l)x +
18、 <0?!窘馕觥吭坏仁娇苫癁?+i)-k-i)o, 原不等式的解集為s-,+i°(2) = 2-4;當(dāng) = (),即 = 2或一2時,原不等式解集為(_oo上)U(2+),2 2當(dāng)>(),即>2或d<-2時,原不等式解集為(_異-丫R)U(WR,+co),2 2當(dāng)<(),即一2<a<2時,原不等式解集為R:(3) (x-1)(x-)<0,當(dāng)>l時,原不等式解集為(14);當(dāng)d<時,原不等式解集為,D;當(dāng)=時,原不等式解集為0。 鞏固2.解關(guān)于X的不等式:x2-(a + l)x+l<0(0)aa【解析】原不等式化為(I
19、d)(X-I)VO,a = 1或a = -時,解集為0:當(dāng)0 VdVl或v-l時,a<-,解集為():aa 當(dāng)>l或-IVavO時,a>-,解集為(丄4)。aa鞏固3.解關(guān)于X的不等式:x2- + )x + >0(fl?)O【解析】原不等式化為U-U)(X-12)>0,當(dāng)QV0或>時解集為(-8,“)U3,+8);當(dāng) a=Q 時解集為(-,0) U (0+oo):當(dāng) 0 V“ V1 時解集為(-2)U (a9+);當(dāng) = 1 時解集為(_ooJ) U (l,+oo) O五、二元一次不等式表示的平面區(qū)域及確定1、宜線/: Ax + By +C = O把直角坐標(biāo)
20、平面分成了三個部分:(1) 直線/上的點Cv,y)的坐標(biāo)滿足Ar + -+C = 0 ;直線I 一側(cè)的平而區(qū)域內(nèi)的點(x, y)的坐標(biāo)滿足Av + + C>O,直線/另一側(cè)的平而區(qū)域內(nèi)的點(兒刃的坐標(biāo)滿足Ar + >+C<0o2、二元一次不等式Ax+>+C>0表示的平面區(qū)域二元一次不等式組表示的平而區(qū)域是各個不等式表示的平而區(qū)域的公共部分。(1) 在直角坐標(biāo)平面內(nèi),把直線/: Ax + By +C = 0畫成實線,表示平而區(qū)域包括這一邊界直線;畫成虛線表 示平而區(qū)域不包括這一邊界直線。(2) 對于直線Ax + By +C = 0同一側(cè)的所有點,把它的坐標(biāo)(兒刃代入
21、Ax + By +C所得的符號都相同。(3) 作二元一次不等式Ax + By+C> 0表示的平面區(qū)域的方法: 直線左界:畫直線Ax +血+ C = O (注意實線和虛線之分):特殊點圮域:取特殊點(,.v0)(當(dāng) CHO時常取原點(0.0)作測試點:當(dāng)C = O時,可取(LO)或(0,1)作測試點)代入二元一次不等式 Ar + >, + C>0 ,如果滿足Ar + B+C>0 ,則點A)所在的平面區(qū)域就是A +, + C>0表示的平而區(qū)域, 否則是點人所在的平而區(qū)域的另一側(cè)的平而區(qū)域。 簡記為:直線定界,特殊點左域。例7.下列說法正確的是()0A、由于不等式2x-
22、l>0不是二元一次不等式,故不能表示平面的某一區(qū)域B、點(1,2)在不等式2x+y-l>0表示的平而區(qū)域內(nèi)C、不等式Ax + By +C>0與Ax + By +C0表示的平面區(qū)域是相同的D、第二、四象限表示的平而區(qū)域可以用不等式小>0表示【解析】A選項,不等式2x-l>0雖然不是二元一次不等式,但它表示直線X = I右側(cè)的區(qū)域,錯,2B選項,(1,2)是不等式2x+y->0的解,對,C選項,不等式Ax + By +C>0表示的平而區(qū)域不包括邊界Ax + B +C = 0,而不等式Ax + By +C0表示的平而區(qū)域包括邊界A +>+C = O,錯
23、,D選項,第二、四象限區(qū)域內(nèi)的點(x,y)中x、y異號,故小<0,錯。故選B。變式.已知點A(1.0), B(-2tm),若A、B兩點在直線x+2y + 3 = 0的同側(cè),則加的取值范圍是()。A、(-1,0)B、(-,+)C、(0,+)D、(L+)【解析1 V. B兩點在直線 + 2y + 3 = O的同側(cè),把點A(LO). B(2代入可得x + 2y + 3的符號相同,即(l + 20 + 3)(2 + 2 + 3)>0,解得川>一丄,故選 Be2例&畫出不等式3x + 2y + 6>0表示的區(qū)域。【解析】第一步:畫出直線3x + 2y + 6 = 0(注意
24、應(yīng)畫成虛線),第二步:直線不過原點,把原點坐標(biāo)(0,0)代入3x+2y + 6得6>0,不等式表示的區(qū)域為原點所在的一側(cè)。變式寫出下列表示平面區(qū)威的二元一次不等式。 【解析】x + y-lSO;x-2y + 2v: ()x+yO .六. 簡單線性規(guī)劃K線性規(guī)劃問題求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約朿條件下的最大值和最小值的問題,統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。名稱意義約朿條件由變量X, y組成的不等式組線性約束條件由X, y的一次不等式(或方程)組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值所涉及的變量X, y的函數(shù)解析式線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于X , V的一次解析式*可行解滿足線性約束條件的解(兒刃可行域所有可行解組成的集
25、合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解線性規(guī)劃問題任線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題例9.判斷:(1)可行域是一個封閉的區(qū)域。(X)(2) 在線性約束條件下,最優(yōu)解是唯一的。(X)(3) 最優(yōu)解一定是可行解,但可行解不一定是最優(yōu)解。()(4) 線性規(guī)劃問題一定存在最優(yōu)解。(X)2.線性目標(biāo)函數(shù)的最值線性目標(biāo)函數(shù)z = q +加(什0)對應(yīng)的斜截式直線方程是y =+它表示斜率為 斗 在y軸上b bb的截距是三的一條直線.當(dāng)Z變化時,方程表示一組互相平行的直線。b(1) 當(dāng)b>0,截距最大時,Z取得最大值,截距最小時,Z取得最小值:(2) 當(dāng)b<0,截距最大時,Z取
26、得最小值,截距最小時,Z取得最大值。線性規(guī)劃問題一般用圖解法,北步驟如下:(1) 算:根據(jù)題意,設(shè)出變Sa, y:列出線性約束條件:確定線性目標(biāo)函數(shù) =/Uy):(2) 畫:畫岀可行域(即各約朿條件所示區(qū)域的公共區(qū)域)和線性目標(biāo)函數(shù)ax + by = 0;(3) 移:利用線性目標(biāo)函數(shù)作平行直線系y = f(x)( Z為參數(shù))平行移動,找到直線y = ()( Z為參數(shù))在可行域上使Z取得欲求最值的位苣,以確定最優(yōu)解,給出答案:(4) 求:求岀取得最大值或最小值的點的坐標(biāo)(解方程組)及最大值和最小值;(5) 答:給出正確答案。 + 2y8例1()若目標(biāo)函數(shù)Z = X+y中變量八y滿足約束條件l0&
27、lt;x4 。0<y3(1)試確定可行域的面積;(2)求岀該線性規(guī)劃問題中所有的最優(yōu)解°【解析】作出可行域:對應(yīng)得區(qū)域為直角MBC,其中B(43), A(2,3), C(4,2), 可行域而積SMe =加C AB =卜1x2 = 1 :乙乙(2)由z=x+y ,得y=-x+z,則平移直線y=-x,則由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點A(2,3)時y = -x+z得截距最小,ZmIn = 2 + 3 = 5,當(dāng)直線經(jīng)過點3(4,3)時y = _x+Z得截距最大,Zmax = 4 + 3 = 7,故該線性規(guī)劃問題中所有的最優(yōu)解為(4,3)、(2,3) o變式1設(shè)z = 2x+y ,式中變量X、
28、y滿足條件4x+y62-y4求Z的最大值和最小值。【解析】作圖,可行域如圖中的四邊形ABCD.當(dāng)Z過點C即當(dāng)x = 3,y = l 時 Zrnin=7,當(dāng) Z 過點 A 當(dāng) x = 5, y = l 時 ZmaX = IlO變式2.設(shè)A【解析】作圖,直線z = 3x + 5y在經(jīng)過不等式組所表示公共區(qū)域內(nèi)的點時,9 17過點(-2,-1)的直線所對應(yīng)的Z最小,過點(<y)的直線所對應(yīng)的Z最大,8 8917 Zlnin=3×(-2)+5x(-1) = -11, ZmaX = 3×-+5×- = 14.3. 非線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解問題(1) Z = (X-)2+
29、(y-)2型的目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為點(無,刃與點(,b)距離的平方,特別地,zx2 + y2型的目 標(biāo)函數(shù)表示可行域內(nèi)的點到原點的距離的平方。(2) z = - 型的目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為點(x,y)與點(Gb)連線的斜率。x-a(3) Z=IAY + G + CI可轉(zhuǎn)化為點(x,y)到直線Ax + By +C = O的距離的yl2 + B2倍。2x+y + 20例11.如果點P在平而區(qū)域x-2y + O上,點Q在曲線x2+(y + 2)2=l上,那么IPQl的最小值為()。x+y-30A、2-lB、孚一 1C、z5-lD、2、伍-15y2ry+2二O【解析】作圖,點P到Q的距離最小為到(Q-2)的最小
30、值減去圓的半徑1.由圖可知圓心(0-2)到直線-2y + l = 0的距離(I = 7T + H = 5 l2+(-2)2此時點P恰好是(一 1,0),符合,IP0lmin=J-l = 5-l,故選C例12.若x、y滿足約束條件x-y0,則丄的最大值為()。Xx+y-40A、2B、3C、413-1kI 2 3 4J【解析】做圖,由V-V則最大值為3。X x-0fx-lOD. 54. 線性規(guī)劃中的參數(shù)問題 當(dāng)最值是已知時,目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)往往與直線斜率有關(guān),解題時應(yīng)充分利用斜率這一特征加以轉(zhuǎn)化。 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)與最值都是已知,且約朿條件中含有參數(shù)時,因為平面區(qū)域是變動的,所以要抓住目標(biāo)函數(shù) 及最值已
31、知這一突破口,先確泄最優(yōu)解,然后變動參數(shù)范囤,使得這樣的最優(yōu)解在該區(qū)域內(nèi)即可。 平而區(qū)域的確泄方法是“直線左界、特殊點泄域“,二元一次不等式組所表示的平而區(qū)域是各個不等式所表 示的半平而的交集。(1) 條件不等式組中含有參變嵐y例13.若實數(shù)X. y滿足)V2x-l,目標(biāo)函數(shù)Z=X-V的最小值為一1,則實數(shù)加=()。x +y nA、1B、3D、5【解析】作圖,由題意得y=X-S當(dāng)Z = -I時y = x+l,此時對應(yīng)的區(qū)域在直線y = x + l的下方,由 J 得彳一 J即A(23),同時A也在直線 + 3=上,即加= 2 + 3 = 5,故選6 y = Zx -1 y = 3(2) 目標(biāo)參數(shù)
32、中設(shè)置參變量x-y+60例14.已知實數(shù)兀、y滿足hr+yO ,若z = + y的最大值為3+9,最小值為33,則實數(shù)“的 x30取值范圍為()A、(Yo,2D、H,+)【解析】作圖,A(3, - 3)、B(3,9). C(-3,3),設(shè) Z = FUy) = r+y,把A、B、Q代入得Z = Fgy) = v + y, F(3,9) = 3+9,F(-33) = 3d+3,由題意得3+9n-%+3n3-3,解得一ISaS1,實數(shù)"的取值范圍為-11,故選C。鞏固1以下各點不在3x + 2y<6表示的平而區(qū)域內(nèi)的是()oA、(Qo)B、(Ll)C. (0,2)D.(2.0)【解
33、析】將點的坐標(biāo)代入.ABC均滿足上述不等式,故選D。鞏固2.已知點(1,2)和點(1,1)在直線y-3x加=0的異側(cè),則加的取值范圍是()°A. (一2,-1)B. (70)C、(0,+oc)D.(13)【解析】要使(1,2)、(IJ)兩點在y3xH=0的異側(cè),則代入后它們的符號相異,由此得到關(guān)于加的不等式:(-1-加)(-2-加)<0, 即(m+l).(7H + 2)<0,解得一25<1,故加的范圍為(-2-1),故選A。(x + y-70鞏固3.設(shè)x、y滿足約束條件 A-3y + l0 ,貝z = 2x-y的最大值為()。3x-y-50A. 2B、3D. 10【
34、解析】畫可行域,由z = 2x-y,得y = 2x-z,欲求Z的最大值.可將直線y = 2x向下平移,當(dāng)經(jīng)過區(qū)域內(nèi)的點,且滿足在y軸上的截距-Z最小時,即得Z的最大值,如圖可知當(dāng)過點A時Z最大,'v 即 A(5,2),Jy 2Zn = 2x5-2 = 8,故選C。鞏固4.已知變量Xfx-3v + 40Fy滿足約朿條件* + 2y-in,目標(biāo)函數(shù)z = x+ay(aO)在點(2,2)處取得最大 3x + y-80值,則“的范圍為()。A、(0占)D、(*,+oo)【解析】畫出已知約束條件的可行域為MBC內(nèi)部(包括邊界),如圖,易知當(dāng) = 0時,不符合題意,當(dāng)>0時,由目標(biāo)函數(shù)z =
35、 x+y得y =-丄兀+三,a a則由題意得一3 = kAC<, a>-.故選Daa 3x-yO鞏固5.已知x、y滿足約束條件x + yO,若z = "+y的最大值為4,則“=()。 y0D. 3【解析】不等式組表示的平而區(qū)域如圖陰影部分所示,易知A(ZO),由 I"-'一° 得 B(1,1),由 z=ax+y,得 y = -x+z,X + y = 2當(dāng) = -3或 = -2時,Z = ax+ y在O(Oe)處取得最大值,最大值為zmax = 0,不滿足題意,排除A、B選項,當(dāng) = 2或3時,z=x+y在A(ZO)處取得最大值,2 = 4>
36、; :.a = 2,排除D,故選C。七.基本不等式1. 基本不等式原始形式:(1) 若 a、beR f 則 Cr + b2 Iab : (2)若 a、be R 則"S。22、基本不等式一般形式(均值不等式):若“、7C+,貝J6+72o3、基本不等式的兩個重要變形:(1)若 “、bwRj 則 a + yab : (2)若心 b 已 Rj 則 ab(° 忖 °2 24、利用均值不等式求最值的條件:“一正,二定,三相等”。(1) 一正:各項均為正數(shù),若項均為負(fù)數(shù),則可以提負(fù)號;(2) 二泄:如果兩個正數(shù)的積aJ是泄值P,則a+b有最小值2>/萬。如果兩個正數(shù)的和
37、a+b是泄值S,則db有最大值-S2.4(3) 三相等:當(dāng)且僅當(dāng)a = b時取最值。5、常用結(jié)論:(I)W +丄:若兀>0,則y2 (當(dāng)且僅當(dāng)X = I時取X若XV0,則y-2 (當(dāng)且僅當(dāng)X = _1時取(2)y = ax+- (a>0,X若XV0,貝IJyS-2臨(當(dāng)且僅當(dāng)ax=-即兀=一上時収JrV a/7>0):若x>0,則y 2(當(dāng)且僅當(dāng)ax=-即X = J纟時取 X U(3) y = ax+-(a<0. Z?<0):若 x>0,則 y <-2(當(dāng)且僅當(dāng) ax=-即 X =-、匸時取XXV CI若XVO ,則y 2 (當(dāng)且僅當(dāng)AA = 即
38、X = J-時取 V a若ab>0.則-2(當(dāng)且僅當(dāng)a"時取b a(5) 若 a、bwR,則 ab()2-JL(當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時取“=J2 2(6) 基本不等式鏈:若“、b* 則TAT 寧 fi*佇(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=“)。+ a h½:算術(shù)平均數(shù):a + bT"幾何平均數(shù):應(yīng);調(diào)和平均數(shù):2 2ab1 丄 1a + b十a(chǎn) b平方平均數(shù):證明:(l)>0, b>0=>(ya -4b)1 a + b2>yab :2Od+ 、!FA 212cbClb 2_-(2) yab >0=> = => t=> T-
39、 < Jab :2a+bJaba + byab,* TCC ,> J +b2 (a + b)2Ia2 +h2 a + b(3) Cr +b 2ab => 2(c +b) Iab + Cr +/?'=>=> J;24 V 22綜上,T-,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時成立。1 丄 12V2十a(chǎn) b例15.設(shè)>0, 7>O,證明不等式:>-1 -b2 +【解析】“. b均為正數(shù),=a + b2yb,1 丄 1a + h* a b.112 2xb2ab/_- = = CIb Qa + b2>Jab1 丄1 a + b2yfaba b變式.已知“、b、C
40、為兩兩不相等的實數(shù),求證:a2+b2+c2>ub + bc + cica【解析】V (a2 +b2 +c2)-(ab+bc+ac) = -(2a2 +2b2 +2c1)-(2ab+2bc+2ac)2=-(2 +h2-2ab) + (a1 +c2 -2ac) + (b2 + c2 一2l)c)2= -(a-b)2+(a-c)2 +(b-c)2乙又-abcf 貝j-b)2>O, ("一c)2>O, (b-c)2>O,(a2 +b2 + C2 ) 一 (Ub + he + ac) > 0 > 即 a2 +h2 + c2 > Ub + be + UC
41、。例 16.已知>0, b>0, a+b = 求證:+ -4oa b【解析】Vfl>0, b>0, a+b = l9 :.- + - = (a + b)(丄 + 丄)=1 + 上 +巴 +1 n2 +2、巴上=4, a bU b a bV a b(當(dāng)且僅當(dāng)a=h = -時等號成立),即丄+ 14< 原不等式成立。2a b變式已知心 b、CeRa+b+c = ,求證:(I-I)(I-I)(I-I)8o a DC【解析】V a+b+c = » 且>0, b>0, c>0,/. a+ b 2>ab > a+ c ijcic h +
42、 c 2ybc ,a+ b 2yfhc 14UC 2ycib= 8 >Z1 IXZ1 IXZ1 八 1一" l_b I-C b + c a + c (-1)(-1)(-1) =ab CU h Ca b即(丄一 1)(丄一 1)(丄一 1)»8,當(dāng)且僅當(dāng) = b = e =丄時取等號。QbC34例17.已知y = x+-,則V的取值范圍為()。XA、(一OoTU4,+)B、(-2C、0,+oC)D、lf6.+)【解析】x>0, y=4 ,若xv, y y的取值范用為(,-4U4,+oo),故選AC變式.已知y = 3"+丄,則y的取值范圍為()o2廠A&
43、gt; (-,-4U4,+)B、(00,2 U2.+oo)C、(0,+oo)D、f.+)【解析】F>0,3F+丄23”.丄=卮 y的取值范圍為盡+8),故選IX 2f V 2f例18.已知y =x2 + 7v 10(x-l),則y的取值范圍為(x+1)°A、(一8,2 U2,+)B、(-,-lU3,+co)CX (YCl,1U7,+8)D、(YJU9,+x)【解析】7÷10兀+1(÷1÷5(x÷1)÷4=(X +1) +U + ) + 5,當(dāng)x+l>Oy4 + 5 = 9,當(dāng)x+l<Oy-4 + 5 = H y的取值
44、范圍為(-elU9,+oc),故選Do變式.已知y = ->則y的取值范圍為()oJT+1A、(。0,2U2.+x>)B、(,-lUL+co)C、(,-IJI+,) D、斗,斗乙乙乙 乙【解析】當(dāng) = OI, y = 0,當(dāng)XHo時,y = -> x>0fx + -2, 0<!i,1X12X+-X+-XXXVO時x +丄5-2, -!<0, y的取值范圍為一、丄,故選D。X2 r. 12 2人十一XJ + 3 F + 3 例19已知J= A +;A 則y的最小值為()。x" + lA. 1B. 2C、2D、3【解析】 令 = - + l,貝IJFn
45、l且=-l, . V =- -=/ + + 1。JC+ 1tItVrl, + l2 = 2,當(dāng)且僅當(dāng)/ =十,即7 = 1時,等號成立,.當(dāng)X = O時,y取得最小值3,故選DC變式.已知正數(shù)“、b、X. y滿足 + 2 = 10, - + - = 1, x+y的最小值為18,則b的值為()。X yA. 8B、12c、14D、16【解析】x+y = (x+y)C + 2) +竺+竺+ “10 +竺+役。/ X > y > U X 方均大于 0, ° x+yhl + 2 = 18 ,即 Jab =4 ,又 +" = 10,. < a $ 或"fl/
46、?= 16,故選 D。b = 8h = 23 4鞏固1.已知x>0 t y >0 >且x + y = l,則二+ 的最小值為()。 X yA、l + 2y3BV 7÷43C、7 + 6JD、7 + 83【解析】Vx>0> y>0,且x + y = l, :.- + - = (- +-)×(x +y) = l+ - + -1+ 2 !. =7 + 43 Xy × y× y YXy當(dāng)且僅當(dāng)即2x = 3y時等號成, - + -的最小值為7 + 43,故選B。X yX y強化1已知>0, >0,且 + 2b =
47、l,貝IJ丄+丄的最小值為()。a bA. 3 + 2B、3 + 4C、3÷62D、3 + 8【解析】Ta。,b>0. ! + 1 = ( + 2)(丄+丄)=1 +纟+越+ 2»3 + 2血即最小值為3 + 2,選A a ba b b a鞏固2.已知y = + (x<2),則y的取值范圍為()。 戈一 2A、(YoTU4Ko)BX (-oc,-2CX 0,+oC)D. 6,+oc)【解析】當(dāng)XV2時,-2<0,4 4r 4r4/÷ X =+ (X 2) + 2 = (2 X)J + 2 2.1(2 兀)+ 2 = 2 *x-2x-22-兀V 2
48、 X4 當(dāng)且僅當(dāng)V- = 2-a,即 = 0時取等號,>,的取值范圍為(yo,-2,故選B。4強化2.已知y = x + -,則y的取值范圍為()。x + 2A. (-g-6 U 2,+)B、(一u7U4'+8)C、(-,一2 U2,+co)D、2,+oo)【解析】y = +-L = ( + 2) + -一2,若x + 2>0,貝J( + 2) + !-2i(x + 2) =4 ,x + 2x + 2A: + 2 Vx + 2若 x+2 V 0,貝 J(- + 2) + -2 ( + 2)-=-4, y 的取值范圍為(YOTU2+oc)故選 A。 x+2 Vx+2鞏固3.已
49、知y = x(4-x),則y的取值范圍為()。A、(-o,-6B、(-oo,-6U2,+oc)CX (一oc,4DX 6,+oC)【解析】TxeR, 4-xeR, /. y = x(4-x)(±)2 = 4, . y 的取值范圍為(8,4,故選 C。 強化3.當(dāng)Ovx<4時,則y = (8-2x)的最大值為()。A. 2B、4C、6D. 8【解析】V0<x<4, 8-2x>0 2y = 2(8-2x)2A + (S"2A)J21 Ay<8,即最大值為8,故選 D。2鞏固4.已知兩正數(shù)X、y滿足x + y = l,則z = (x + l)(y +
50、 -)的最小值為()。X yA. 2B、22-2C、4D.4.QHL Z 1Z 1、1yX1(x+ V)2 一 2xy2O【解析】Z = (X + )(y + ) = xy + + - + - = y + + = + 與 一 2 ,X yXyXyXyXyXy令/=Q,則 OV/ = QS(m)2=丄,2 4O11133又二+在(0白上的最小值為當(dāng)/ =丄時,最小值為8 + 1 = ,t4444175當(dāng)x = y = -時Z有最小值丁,故選IX強化4.已知x>y>O y = 1»求丄上一的最小值及相應(yīng)的、y的值。兀一 y【解析】 j = ” + F -2小+ 2住=(亦+
51、2 =(X_),)*丄,XyXyx_yXyVx>y>O, x-y>O, (a-y) + -2- 22 ,且當(dāng)兀一$ = _ 時等號成立,% y% _ y 6 + 2 6-2.X =y =o2 2一、選擇題2 AB y 01.已知正數(shù)X、y滿足 ' "r J則Z = -2兀一y的最小值為()。x-3y+ 5 0A. -4B、-2C、0D、2【解析】在平而直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出題中的不等式組,表示的平而區(qū)域為以(0,|), (0.0), (1,2)為頂點的三角形區(qū)域(包含邊界),則目標(biāo)函數(shù)Z =-2x-y經(jīng)過平而區(qū)域內(nèi)點(1,2)時,目標(biāo)函數(shù)取最小值ZmIn=-2l-
52、2 = -4,選A2.已知x>0, y>0.且 + - = 1,則Xy的最小值為()QX >,A. 2【解析】Tl =/. yfxy 8 ,C. 16即Q最小值為64,故選IXD、641 11 13已知A =(丄)J B = (IV ,那么A、B的大小關(guān)系是()。23A. A>BB、A = BC、A<BD、無法確定【解析】TA>O, >0, A6 =(I)3 =L 6=(l)2=l, !>1 ,貝IJ A>B,故選 A。28398934.已知y = + =-則y的取值范圍為()。2x + 4A X (co, 21U 2,+8) B、(co,
53、2 U 2+00) C. (co、J U a,÷) D、(,->3 ÷ 1 U ÷ 1÷)【解析】y = x + L_ = (llld + 1) 2,當(dāng)2+4>0, ±i + -1 =6 ,2x + 422x + 422 + 4 2 2x + 2 y的取值范圍為(-x.-216-2),故選兒6. 若 OVXV2,則)=J2(2 - )的最大值為()。A、1B. 2C. 2D、4【解析】V0<x<2, 2-x>0, y = 2-X2)2 ±Z = 2,當(dāng)且僅當(dāng) = 2-即x = l時取等號,.當(dāng)兀=1時,有
54、最大值,故選D。7. 已知實數(shù)"、b、c ,貝J()。A、c2+b + c + a + b2+c,則2+/?2+C2 <100B、若2+b + cl + l+b-cll,則+r+c2<IOOC、a + b + c2 + a + b-c2 ll,則 a2+b2+c2<00D、若la,+b + cl + l +慶一cIl,貝J2 +b2 +c2 <100【解析】取 = 10,方= 10, C = -Iio,可排除選項A;取 = 10, /7 = -100, c = 0,可排除選項B;IR = 10, b = -10, c = 0,可排除選項C,故選D。+ V - 3 08. 若線性目標(biāo)函數(shù)z = x+y在線性約束條件2x-y0,下取得最大值時的最優(yōu)解只有一個,則實數(shù)“ya的取值范囤是()0A、(一8,2B. (Yo,4C、PIJJD、一 1,+8)【解析】作圖,由圖可知直線J =-X與y = -x+3平行,若最大值只有一個則直線>'=必須在直線y = 2x與y = + 3的交點(1,2)的下方故a2,故選A。9. 己知(3-)>0,那么丄+ !的最小值為()。 a 3 。A. 1B. -C. -D.-3 323【解析】T (3-d)>0,貝J(-3)vO,貝IJOVaV3, 1111 ZO XlZ 11 X 1 Z- 3
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