三元一次方程及其解法

1、三元一次方程及其解法三元一次方程組及其解法1. 三元一次方程的定義：含有三個(gè)未知數(shù)的一次整式方程2. 三元一次方程組：由三個(gè)一次方程（一元、二元或三元）組成并含有三個(gè)未知 數(shù)的方程組叫做三元一次方程組3. 三元一次方程組的解：能使三個(gè)方程左右兩邊都成立的三個(gè)未知數(shù)的值 解題思路：利用消元思想使三元變二元，再變一元4. 三元一次方程組的解法：用代入法或加減法消元，即通過消元將三元一次方 程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，再轉(zhuǎn)化為一元一次方程.例題解析 一、三元一次方程組之特殊型x+y + z = 12例1：解方程組< x + 2y + 5z = 22x = 4y分析：方程是關(guān)于X的表達(dá)式，通過代人

2、消元法可直接轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，因此確定“消X”的目標(biāo)。解法代入法,消X把分別代入、得5y + z = 2 6y + 5z = 22 解得FJz = 2.把y二2代入，得x=8.X = &< y = 2,是原方程組的解.Z = 2.根據(jù)方程組的特點(diǎn)，可歸納出此類方程組為: 類型一：有表達(dá)式，用代入法型針對上例進(jìn)而分析，方程組中的方程里缺Z,因此利用、消Z,也能 達(dá)到消元構(gòu)成二元一次方程組的U的。解法2：消乙×5 得 5x+5y+5z=60 -得4x+3y=38山、得X = 4y 4x + 3V = 38解得嚴(yán)Iy = 2.把X二& y二2代入得Z二2.牙=&a

3、mp; y = 2,是原方程組的解.Z = 2.根據(jù)方程組的特點(diǎn)，可歸納出此類方程組為: 類型二：缺某元，消某元型.2x + y + z = 15例2：解方程組x + 2y + z = 16 x + y + 2z = l 分析：通過觀察發(fā)現(xiàn)每個(gè)方程未知項(xiàng)的系數(shù)和相等；每一個(gè)未知數(shù)的系數(shù) 之和也相等，即系數(shù)和相等。具備這種特征的方程組，我們給它定義為“輪換 方程組”，可采取求和作差的方法較簡潔地求出此類方程組的解。解：由+得4x+4y+4z二48,即 x+y+z二12 . -得x-3, -得y二4, -得Z二5, X = 3,y = 4,是原方程組的解.Z = 5.x+ y = 20,典型例題舉

4、例：解方程組y + z = 19,X + Z = 21 解：由+®+得 2 (x+y+z)二60 ,即 x+y+z二30 . -得z=10,-©得 y=ll,得 X 二 9,X = 9,<)=11,是原方程組的解.Z = 10根據(jù)方程組的特點(diǎn)，山學(xué)生歸納岀此類方程組為: 類型三：輪換方程組，求和作差型. 例3：解方程組?：>，：Z = 1：2：7J2x-y + 3z = 2分析1：觀察此方程組的特點(diǎn)是未知項(xiàng)間存在著比例關(guān)系，根據(jù)以往的經(jīng) 驗(yàn)，看見比例式就會(huì)想把比例式化成關(guān)系式求解，即由x：y二1:2得y=2x；由 x:Z二1:7得zhx.從而從形式上轉(zhuǎn)化為三元一

5、次方程組的一般形式，即>'=2a<z = 7x,，根據(jù)方程組的特點(diǎn)，可選用“有表達(dá)式，用代入法”2x - y + 3z = 21.求解。解法1：由得y=2x, Z二7x ,并代入，得X=I.把 x=l,代入 y=2x,得 y二2；把 x=l,代入 Z二7x,得 z=7. = l,<)=2,是原方程組的解.z = l.分析2：由以往知識(shí)可知遇比例式時(shí)，可設(shè)一份為參數(shù)k,因此由方程 x:y:z=l： 2： 7,可設(shè)為x=k,y=2k, z=7k.從而也達(dá)到了消元的目的,并把三元 通過設(shè)參數(shù)的形式轉(zhuǎn)化為一元，可謂一舉多得。解法2：由設(shè)x=k, y=2k, z=7k,并代入，

6、得k=l.把k=l,代入x=k,得x=l；把 k二 1,代入 y=2k,得 y二2；把21,代入Z二7k,得Z二7.x = l,<y = 2,是原方程組的解.z = 7.X + y + Z = 111 典型例題舉例：解方程組y : JV = 3: 2y: Z = 5:4分析1：觀察此方程組的特點(diǎn)是方程、中未知項(xiàng)間存在著比例關(guān)系，由例3的解題經(jīng)驗(yàn)，易選擇將比例式化成關(guān)系式求解，即由得X =- y； 3得z=ly.從而利用代入法求解。解法1：略.分析2：受例3解法2的啟發(fā)，想使用設(shè)參數(shù)的方法求解，但如何將、轉(zhuǎn)化為x：y：Z的形式呢通過觀察發(fā)現(xiàn)、中都有y項(xiàng)，所以把它作為橋 梁，先確定未知項(xiàng)y比

7、值的最小公倍數(shù)為15,由X5得y:X二15:10 ,由X 3得y:Z二13:12,于是得到x：y：z=10:15： 12,轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的方程組形式，就 能解決了。解法2：由、得x：y：Z=IO:15:12.設(shè) x=10k, y=15k, z=12k,并代入，得 k=3.把 k二3,代入 x=10k,得 x=30：把 k二3,代入 y=15k,得 y二45：把 k二3,代入 Z二 12k,得 Z二36.X = 30,y = 45,是原方程組的解.Z = 36.根據(jù)方程組的特點(diǎn)，山學(xué)生歸納出此類方程組為：類型四：遇比例式找關(guān)系式，遇比設(shè)元型.二、三元一次方程組之一般型例4：解方程組<3x-

8、y + z = 4, x+ y +Z = 6, 2x + 3y-z = 12.分析：對于一般形式的三元一次方程組的求解，應(yīng)該認(rèn)清兩點(diǎn)：一是確立 消元U標(biāo)一一消哪個(gè)未知項(xiàng)；二是在消元的過程中三個(gè)方程式如何正確的使用，怎么才能做到“目標(biāo)明確，消元不亂”,為此歸納出：（一）消元的選擇1. 選擇同一個(gè)未知項(xiàng)系數(shù)相同或互為相反數(shù)的那個(gè)未知數(shù)消元;2. 選擇同一個(gè)未知項(xiàng)系數(shù)最小公倍數(shù)最小的那個(gè)未知數(shù)消元。（二）方程式的選擇采取用不同符號(hào)標(biāo)明所用方程，體現(xiàn)出兩次消元的過程選擇。3x-y + g = 4 V解：*+y + g = 6 2x + 3y - z = 2 V （明確消z,并在方程組中體現(xiàn)出來一一畫線

9、）+ 得 5x+2y=16,（體現(xiàn)第一次使用在后做記號(hào)）+ 得 3x+4y=18,（體現(xiàn)第二次使用在后做不同記號(hào)）由、得嚴(yán)3 = 16,3 + 4y = 18.解得 把x=2 , y二3代人，得z=l.X = 2,< y = 3,是原方程組的解. z = l.V 2x + 4y + 3z = 9, 典型例題舉例：解方程組3x-空+ 5z = ll,5-6y+ 7z = 13.分析：通過比較發(fā)現(xiàn)未知項(xiàng)y的系數(shù)的最小公倍數(shù)最小，因此確定消y。 以方程作為橋梁使用，達(dá)到消元求解的目的。解：X2 得 6-4y+10z=22,2x +4y+ 3z-9,®+ 得 8x +13z=31 X

10、3 得 9-6y+15z=33 ,5-6y+7z =13,一得4x+8z =20+2z=5山、得彳0x+13z = 31,x + 2z = 5.解得廠7 Z = 3.把X二-1 , Z二3代人，得y = .2X = -.<),=*,是原方程組的解.Z = 3.在此需要說明的是，每一個(gè)三元一次方程組的求解方法都不是唯一的，需 要進(jìn)一步的觀察，但是學(xué)生只要掌握了最基本的解方程組思想和策略，就可以 以不變應(yīng)萬變，就可以很容易的學(xué)會(huì)三元一次方程組的解法。課堂練習(xí)1解下列方程組x+ y = 6 < y + z = 8 x+ 乙=10x + y + z = 17 < 2x-y-2z =

11、3x+y-4z = 3-2 = 0 (1) < .V +V = O y z = O2解下列方程組z = +y(1) <x+y + z = 6-y = 33 有這樣一個(gè)數(shù)學(xué)題：在等式y(tǒng) = ax2+bx + c中，當(dāng)X二1時(shí)，y二1 ；當(dāng)y二3時(shí),y=9,當(dāng)X二5時(shí)，y二5(1)請你列岀關(guān)于a, b, C的方程組這是一個(gè)三元三次方程組嗎(2)你能求出a,b,c的值嗎4x+y + z = 44. 解方程組 < 2x->, + 2z = 8x + 2y-z = -52x + y - z = 16.解方程組 < x + 2y + 3z = 143x+y + z = 83x

12、 + 2y + 4z = 85. 解方程組2x + 3y + 4z = 85x + 5y + 6z = 22 a + b = 37.解方程組b + c = 4,G + C = 5三元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用EGOl:某車間有60人，生產(chǎn)甲乙丙三種零件，每人每小時(shí)能生產(chǎn)甲24個(gè), 或乙20個(gè)，或丙16個(gè)，現(xiàn)用零件甲9個(gè)，乙15個(gè)，丙12個(gè)，裝配成某機(jī) 件，如何安排勞動(dòng)力，才能使每小時(shí)生產(chǎn)的零件恰好成套共有多少套解：設(shè)生產(chǎn)甲、乙、丙三種零件各有X人，y人，Z人.根據(jù)題意得x+y+z二6024x9=20y15=16z12解得 X= 12, y二24, z=2424X12/9二32答：安排生產(chǎn)甲、乙、丙三

13、種零件各有12人，24人，24人，共有32套.EG02:甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的和是35,甲數(shù)的2倍比乙數(shù)大5,乙數(shù)的1/3 (三分之一)等于丙數(shù)的1/2 (二分之一)，求這三個(gè)數(shù)。解：設(shè)甲是X,乙是y,丙是Z則 x+y+z二35 (1)屮數(shù)的2倍比乙數(shù)大52-y二5 (2)乙數(shù)的1/3 (三分之一)等于丙數(shù)的1/2y3=z2 (3)由(2)和(3)得到y(tǒng)二2-5, Z二2y3二(4-10)3代入x+2x5+4x/3-10/3=3513x3=1303x=10y=2-2=15Z二2y3二10所以屮是10,乙是15,丙是10EX:1. 有中乙丙三種貨物，若購物屮種3件，乙種7件，丙1件需要元，如果購 買

14、甲4件，乙10件，丙1件共需要42元，若購甲乙丙各一件，需要元。問甲 乙丙每件各多少元2. 汽車在平路上每小時(shí)行30公里，上坡時(shí)每小時(shí)行28公里，下坡時(shí)每小時(shí) 行35公里，現(xiàn)在行駛142公里的路程用去4小時(shí)三十分鐘，回來使用4小時(shí) 42分鐘，問這段平路有多少公里去時(shí)上下坡路各有多少公里3. 某校初中三個(gè)年級(jí)一共有651人，初二的學(xué)生數(shù)比初三學(xué)生數(shù)多10%,初一的學(xué)生數(shù)比初二的學(xué)生數(shù)多5%。求三個(gè)年級(jí)各有多少人AW: 1 式子：3x+7y+z= 4x÷10y+z=42 x+y+z二答案：這題有問題，多解的（只要符合x+3y二就行，真不知樓上怎么算出來 的2：去時(shí)上坡X平路y下坡Zx+y

15、+z=142 x28+y30+z35= z28+y30+x35= 答案：X二42 y二30 Z二703:初一：X 初二：y 初三：Z x+y+z-651 y二 X= 答案：x=231 y二220 z=200訓(xùn)練集中營1。現(xiàn)有1角，5角，1元硬幣各10枚.從中取出15枚，共值7 元，1角，5角，1元各取兒枚2。甲地到乙地全稱是，一段上坡，一段平路，一段下坡，如果保持上坡每 小時(shí)行3KM,平路每小時(shí)行4KM,下坡每小時(shí)行5KM,那么，從甲地到乙地需行 51分，從乙地到甲地需行分，求從甲地到乙地時(shí)的上坡。平路。下坡的路程各 是多少3。水費(fèi)價(jià)格：不超過6立方米部分，每立方米2元。超過6立方米至10立

16、方米部分，每立方米4元。超過10立方米部分，每立方米8元。某居民三月和 四月共用水15立方米，交水費(fèi)44元，（四月用水量多于三月用水量），求三 月和四月用水量如果某居民某月用水量是立方米，則他需要交水費(fèi)多少元4。某足球聯(lián)賽一個(gè)賽季共進(jìn)行26場比賽（即每隊(duì)均賽26場），其中勝一 場得三分，平一場得一分，負(fù)一場得O分。某隊(duì)在這個(gè)賽季中平局的場數(shù)比負(fù) 的場數(shù)多7場，結(jié)果共得34分。這個(gè)隊(duì)在這個(gè)賽季中勝，平，負(fù)各多少場5o學(xué)校的籃球數(shù)比排球數(shù)的2倍少3個(gè)，足球數(shù)與排球數(shù)的比是2： 3,三 種球共41個(gè)，求三種球各有多少6。一個(gè)水池裝有甲、乙進(jìn)水管和丙出水管，若打開甲管4小時(shí)，乙管2小 時(shí)和丙管2小時(shí)，

17、則水池中余水5噸；若打開甲管2小時(shí)，乙管3小時(shí)，丙管 1小時(shí)，則池中余水1噸，求打開甲管22小時(shí)，乙管5小時(shí)，丙管11小時(shí)， 池中余水多少噸7。小紅買了面值為50分和230分的郵票共8枚，共用去9元4角問50分 和230分的郵票各買兒枚8。運(yùn)往某地的兩批貨物，第一批為440噸，用8節(jié)火車車廂和10輛汽車正 好運(yùn)完；第二批貨物520噸，多用了 2節(jié)火車車廂而少用了 5輛汽車，正好運(yùn) 完。求每節(jié)火車車廂和每輛汽車平均各裝多少噸9。1、有一批零件共420個(gè)，若甲先做2天，乙加入，合作2天可以完成； 若乙先做2天，甲加入，合作3天可以完成，求二人每天平均做多少個(gè)10。、張紅用7元錢買2角和5角一張的郵票共20張，問兩種郵票各買多 少張IK有甲乙兩數(shù)，甲數(shù)的3倍與乙數(shù)的2倍之和是47,甲數(shù)的5倍比乙數(shù)