雙曲線講義教師版

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載一、雙曲線知識點總結(jié)：1.雙曲線的定義(1)第一定義：當(dāng)|PFJ_|PF2|=2a<|FiF2|時，P的軌跡為雙曲線當(dāng)IIPFil IPF2 |=2a HF1F2 |時，P的軌跡不存在當(dāng)| PF1 PF2 |=2a = F1F2時，P的軌跡為aF.F2為端點的兩條射線土0)(2)雙曲線的第二義標(biāo)準(zhǔn)方程2222 =1(a, b > 0)a b22-yr -3 =1(a,b >0) a b性質(zhì)焦點(C,0),(Y,0)，(0,c),(0Y)焦距2c范圍|x H y w R| y 戶 a,xw R頂點(a,0), (a,0)(0,旬,(0,a)對稱性關(guān)于x軸、y軸和

2、原點對稱離心率e =£ w (1,也) a準(zhǔn)線2 .a x = ±c2 .a y = 土一 c漸近線by 二 土一 x aa y = ± x b_平面內(nèi)到定點 F與定直線l (定點F不在定直線l上)的距離之比是常數(shù)e(e>1)的點的軌跡為雙曲線2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)22與雙曲線x2-4=1共漸近線的雙曲線系方程為: a b222222與雙曲線x2冬=1共軻的雙曲線為4-4=1 a bb a等軸雙曲線x2-y2 = ±a2的漸近線方程為 y=±x ,離心率為e=V2.;1 .注意定義中“陷阱問題1:已知F1(-5,0), F2(5,

3、0), 一曲線上的動點 P到F1，F(xiàn)2距離之差為6,則雙曲線的方程為2 .注意焦點的位置3問題2:雙曲線的漸近線為 y =±±x ,則離心率為 2二、雙曲線經(jīng)典題型：1.定義題:學(xué)習(xí)必備歡迎下載1 .某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到 了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其他兩觀測點晚4s.已知各觀測點到該中心的距離都是1020m.試確定該巨響發(fā)生的位置.（假定當(dāng)時聲音傳播的速度為340m/ s :相關(guān)各點均在同一平面上）【解題思路】時間差即為距離差，到兩定點距離之差為定值的點的軌跡是雙曲線型的.解析如圖，以接報中心為原點 O,正東

4、、正北方向為 x軸、y軸正向，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A、B、C 分別是西、東、北觀測點，則 A ( 1020, 0), B (1020, 0), C (0, 1020)設(shè)P （x,y）為巨響為生點，由 A、C同時聽到巨響聲，得|PA|二|PC|,故P在AC的垂直平分 線PO上，PO的方程為y=-x,因B點比A點晚4s聽到爆炸聲，故|PB| |PA|=340X4=1360 由雙曲線定義知P點在以A、B為焦點的雙曲線2 X-2 a2-=1 上, b 2依題意得 a=680, c=1020,2222.b =c -a =102022-680 =5 3402故雙曲線方程為J6802_ 12 一 15 340

5、B. 16 C. 18D. 27圖2用丫=一x 代入上式，得 x = ±680Q'5 ,|PB|>|PA|,: x = -680V5, y =680逐，即P(-680高,68075)，故PO = 680710答：巨響發(fā)生在接報中心的西偏北450距中心680jT0m處.22 .設(shè)P為雙曲線x2=1上的一點Fi、F2是該雙曲線的兩個焦點，若|PFi|: |PF2|=3: 2,12則PF1F2的面積為（）A. 6V3B. 12C. 1273D. 24解析：a =1,b =正儲=713，由 | PFi |:| PF2 | = 3: 2 又|PFi |T PF2 |=2a=2,由

6、、解得 | PFi |= 6,| PF2 |= 4. . | PFi |2 + | PF2 |2 = 52,| F1F2 |2 = 52,二 PFiF2為11直角二角形 二 S加/2 =-| PFi | '| PF2 |=&乂6乂4 = 12.故選 Bo223 .如圖2所示，F(xiàn)為雙曲線C :、一=1的左916焦點，雙曲線C上的點Pi與P7,（i =1,2,3慶于y軸對稱,則 PF + P2F + P3F - P4F - P5F P6F 的值是（）學(xué)習(xí)必備歡迎下載解析PF -P6F =|2F -P5F = P3F P4F =6,選 C224. P是雙曲線 與y =1（a >

7、0,b >0）左支上的一點，F(xiàn)i、F2分別是左、右焦點，且焦距 a b為2c,則APF1F2的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)為（）(A) -a (B) -b(C) -c(D) a + b-c解析設(shè)APFiF2的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)為 x0,由圓的切線性質(zhì)知，PF2-PFi=|c-xo|-|xo-(-c)|=2a=x0=-a2222x y x y5.若橢圓 +匚=1(m > n > 0)與雙曲線 '=1 (a Ab0)有相同的焦點 F, F2, m na bP是兩條曲線的一個交點，則|PF1| |PF2|的值是()A. m - a b. 1 (m - a) C. m2 -a2 d

8、4rm-0彳2'【解析】橢圓的長半軸為 而,二PF1 + PF2 =2而 雙曲線的實半軸為PF1 PF2| = ±2ja（2）2211(1 ) -(2 ):4 PF1 PF2 =4(map | PF1 , PF2 =ma ,故選 A.2.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程x21已知雙曲線C與雙曲線16=1有公共焦點，且過點（3 J2 ,42）.求雙曲線C的方程.【解題思路】運用方程思想，列關(guān)于a,b,c的方程組2一一八，. x解析解法一：設(shè)雙曲線方程為 a2 y b2=1.由題意易求c=2、1'5.又雙曲線過點（372,2）,.(32)24 =1 J.又a2+b2= (2 J5 )2

9、, a2=12, b2=8.故所求雙曲線的方程為解法二：設(shè)雙曲線方程為22J J.1282x16 -k 4 k=1,k=4,所以雙曲線方程為2 x122=1.82.已知雙曲線的漸近線方程是y=±| ,焦點在坐標(biāo)軸上且焦距是10,則此雙曲線的方程學(xué)習(xí)必備歡迎下載解析設(shè)雙曲線方程為x2 4y2 =九，22當(dāng)兒：>0時，化為土 匕=1 ,九 A4221 5當(dāng)九<0時，化為上_或=1，,2：吆=10，兒=20,_4 -九44一 42222綜上，雙曲線方程為二上=1或上人=12055203 .以拋物線y2=8j3x的焦點F為右焦點，且兩條漸近線是x±v3y = 0的雙曲線

10、方程為解析拋物線y2 =8J3x的焦點F為(2/3,0),設(shè)雙曲線方程為x2 3y2 二九，4，22，二=(2a/3)2 ,九=9 ,雙曲線方程為 y = 13934 .已知點M (-3,0) , N(3,0) , B(1,0),動圓C與直線MN切于點B ,過M、N與圓C相切的兩直線相交于點 P,則P點的軌跡方程為22A. x2-L=1(x<-1)b, x2 - - = 1(x> 1)8822-2 y ， ，_、_2 yC. x + =1 (x > 0)D. x - =1(x >1)810解析PM PN=BM -BN =2, P點的軌跡是以M、N為焦點，實軸長為2的雙曲

11、 線的右支，選B3.與漸近線有關(guān)的問題 221若雙曲線x2 一 I = 1(a > 0, b > 0)的焦點到漸近線的距離等于實軸長，則雙曲線的離心 a2 b2率為()A. 2B. . 3C. . 5D. 2【解題思路】通過漸近線、離心率等幾何元素，溝通 a,b,c的關(guān)系2卜2解析焦點到漸近線的距離等于實軸長，故b = 2a, e2 =3=1+=5 ,所以e = J5aa【名師指引】雙曲線的漸近線與離心率存在對應(yīng)關(guān)系，通過a, b, c的比例關(guān)系可以求離心率，也可以求漸近線方程222.雙曲線工=1的漸近線方程是()49學(xué)習(xí)必備歡迎下載A. y2=-x3B.C. y-： 3x2D.T

12、x解析選C3.焦點為（0,6）,且與雙曲線2Ay2=1有相同的漸近線的雙曲線方程是1224B.1224-1C.2412D.2412解析從焦點位置和具有相同的漸近線的雙曲線系兩方面考慮，選八，14.過點（1, 3）且漸近線為y = ±-x的雙曲線方程是22【解析】設(shè)所求雙曲線為 -y2 =k 41 一 35點（1, 3）代入:1）：k = 一 9 = 一 一.代入（4435 4y2352x一 =1即為所求.35在雙曲線2-2ab=1中,2-2ab=0即為其漸近線.根據(jù)這一點，可以簡潔地設(shè)待求雙曲線為2.2ab=k ,而無須考慮其實、虛軸的位置4.幾何21.設(shè)P為雙曲線x| PFi |：

13、|PF2| = 3: 2,則 PF1F2的面積為（B. 12【解析】雙曲線的實、虛半軸和半焦距分別是:2y =1上的一點，F(xiàn)1,12PF1 =3r, PF2| =2r.7,PF11 - PF2 =2a=26r=2.于是 PF1 =6, PF2|=4.'.' PF12+|PF2 2 =52 =|F1F22,故知 PF1F2是直角三角形，/ F1P F2=90° .八11 ” “, Sff2=-PF1 PF2 =一父6父4=12.選 B.225.求弦221.雙曲線x -y =1的一弦中點為（2, 1）,則此弦所在的直線方程為（）學(xué)習(xí)必備歡迎下載A. y =2x -1 B.

14、y=2x_2 C. y = 2x _ 3 D. y = 2x 3解析設(shè)弦的兩端分別為 A（x1,y1 ）, B（x2, y2 ）.則有:- 22xi - yi = 12 222 .yi - y2 x1 x222= xi - x2 - yi - y2 - 0-.乂2-丫2=1xi -x2 yi 2弦中點為（2,i）,+x2 4.故直線的斜率 k = yi - y2= xi * x2= 2 .yi V2=2xi -x2 yi y2則所求直線方程為：yi=2（x2p y = 2x-3,故選C.“設(shè)而不求”具體含義是：在解題中我們希望得到某種結(jié)果而必須經(jīng)過某個步驟，只要有可能，可以用虛設(shè)代替而不必真地去求它但是，“設(shè)而不求”的手段應(yīng)當(dāng)慎用.不問條件是否成熟就濫用，也會出漏子.請看：22.在雙曲線x2 -匕=i上，是否存在被點 M （i, i）平分的弦？如果存在，求弦所在的直 2線方程；如不存在，請說明理由 .如果不