導(dǎo)數(shù)習題+答案

1、一 .解答題(共9小題)1 .已知 a>0,函數(shù) f (x) =lnx ax2, x>0.(I )求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(n)若存在均屬于區(qū)間1,3的“，&且3- “牛，使f(a) =f ( 3),證明皿二!足紅532 .已知函數(shù) f (x) =xlnx - 2x+a,其中 aC R.(1)求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若方程f (x) =0沒有實根，求a的取值范圍；(3)證明：ln1+21n2+3ln3+ -+nlnn > (n1) 2,其中 n或.3 .已知函數(shù) f (x) =ax1nx (a加).(I )求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間和最值；(n )若 m>

2、0, n>0, a>0,證明：f (m) +f (n) +a (m+n) In2f (m+n)4 .已知函數(shù)f (x) =2ex-x(1)求f (x)在區(qū)間T, m (m> - 1)上的最小值；(2)求證：對 L>lnP k>1 口2時，恒有 2- 友一2>(1+102)萋.5 .設(shè) a 為實數(shù)，函數(shù) f (x) =ex-2x+2a, xCR.(1)求f (x)的單調(diào)區(qū)間及極值；(2)求證：當 a>1n21 且 x>0 時，ex> x2 - 2ax+1 .6 .已知函數(shù) f (x) =1n (x+2) - a (x+1) (a>0).

3、(1)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若 x> - 2,證明：1 - -L-Vn (x+2)a+1 .s+27 .已知函數(shù) f (x) =1n (x+1) - x.(I )求函數(shù)f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(n )若 x> - 1,證明：1一(<+1).8 .已知函數(shù)f (k) =ax+(社AO)(1)當a=1時，利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f (x)在(0, 1內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)；(2)當xC (0, +8)時f (x)力恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.2八. r / 、 芯二+2x+a9.已知函數(shù) f (x)=x(1)當av0, xC1, +oo)時，判斷并證明函數(shù) f (x)的

4、單調(diào)性(2)若對于任意xC1, +8),不等式f (x) >0恒成立，求實數(shù) a的取值范圍.參考答案與試題解析一 .解答題(共9小題)1 .已知 a>0,函數(shù) f (x) =lnx - ax2, x>0.ln3- ln2 . . In25-4 a4尸(I )求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(n )若存在均屬于區(qū)間1 , 3的“，&且3- a中，使f( a)=f ( 3),證明考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。 專題：綜合題。分析:2(口由 =-2aL -2axx2xE CO, 48)，令 f'(x)=0,解得x=2a列表討論能求出f (x)

5、的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間.解答:(II)由 f (")小值為f (a).In3 - ln2(I)解:=f ( 3)及(I)的結(jié)論知 立制沁 ,從而f (x)在由a第 a,代1 , 3,知1W a2< 33由此能夠證明2£' (k) - 2az=-2a .,hE S, 十00， x2=0,解得x=2a(X,向上的最當x變化時,xf (x), f (x)的變化情況如下表:f (x) f (x)2a0極大值嚕,+8)所以，f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(O, 乂在),f的單調(diào)遞減區(qū)間是 2a(II)證明：由f ( a) =f ( 3)及(I)的結(jié)論知 Q<返!

6、< B ,2a從而f (x)在a,日上的最小值為f (a). 又由3-"第a,代1 , 3,知1 < a2<建f >£ (a) >1 f (2) >P>f U)從而In5-ln2 . . In253點評:本題考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法和利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用,考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識.2 .已知函數(shù) f (x) =xlnx - 2x+a,其中 aC R.(1)求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若方程f (x) =0沒有實根，求a的取值范圍；(3)證明：ln1

7、+21n2+3ln3+ -+nlnn > (n 1) 2,其中 n或.考點：不等式的綜合；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；數(shù)學(xué)歸納法。專題：證明題；綜合題；轉(zhuǎn)化思想。分析：(1)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，然后求 f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若方程f (x) =0沒有實根，由(1)可得f (x)在x=e處取得極小值，且f (x)=0沒有實根，即可求 a的取值范圍；(n-1) 方法二： 可.解答：解：(1) 則當xC(3)方法一：利用 ？x>0, xlnx >2x - 3 恒成立，即可證明 1n1+21n2+31n3+ -+n1nn > 2.利用數(shù)學(xué)歸納法驗證 n=2成立，然后通過

8、假設(shè)，證明n=k+1不等式也成立即由題意可知：f (x) =1nx - 1,令 f (x) =0,得 x=e, (1 分) (0, e)時，f' (x) v 0, f (x)單調(diào)遞減；(2 分)當 xC (e, +oo)時，(x) > 0, f (x)單調(diào)遞增(4 分)(2)由(1)可得f (x)在x=e處取得極小值，且f (x) =0沒有實根，(6分)貝U minf (x) =f (e) >0,即 a - e>0,解得：a>e (8 分)(3)方法 1 ：由(2)得，令 a=3>e, f (x) =x1nx 2x+3 > 0 成立，貝U?x>

9、0, x1nx>2x 3 恒成立(10 分)故 1n1+21n2+31n3+n1nn=21n2+31n3+n1nn > (2?2- 3) + (2?3-3) + (2?4- 3) + (2?n 3) =2*'"2)_G-D -3 (n-1) = (n1) 2,即得證.(14 分)方法2:數(shù)學(xué)歸納法2(1)當 n=2 (2)時，1n1+21n2 >12 (3)成立；(4)當 n=k (5)時，1n1+21n2+31n3+k1nk > (k1) 2 (6)成立，當 n=k+1 時，ln1+21n2+3ln3+klnk+ (k+1) ln (k+1 ) &g

10、t; ( k1) 2+ (k+1) 1n (k+1) 同理令 a=3>e, xlnx >2x- 3,即(k+1) ln (k+1) > 2 (k+1) - 3, (10 分) 則(k-1) 2+ (k+1) ln (k+1 ) > ( kT) 2+2 (k+1) 3=k2, (12 分) 故 1n1+21n2+31n3+k1nk+(k+1) ln (k+1) > k2,即 1n1+21n2+31n3+k1nk > (k1) 2對 n=k+1 也成立，綜合(1) (2)得：？n 或，1n1+21n2+31n3+n1nn > (n-1) 2 恒成立.(14

11、 分) 點評：本題是中檔題，考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的綜合應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考 查計算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.3 .已知函數(shù) f (x) =ax1nx (a加).(I )求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間和最值；(n )若 m>0, n>0, a>0,證明：f (m) +f (n) +a (m+n) ln2f (m+n)考 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；不等式的證明。點綜合題。分(1)求出f (x),然后讓其大于0得到遞增區(qū)間，小于 0得到遞減區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增析 減性得到函數(shù)的極值即可；(2)要證明此結(jié)論成立，只需證 f (m) +f (n) +a

12、 (m+n) ln2'-f m m+n) 0,設(shè)把不等式左邊化簡得到anklnk+ (k+1) lnj ,設(shè) g ( k) =klnk+ (k+1 )In k',得到其導(dǎo)函數(shù)大于 0, g (k)均(1) =0,又,a>。，n>0,左邊-右邊 用， 得證.解解：(I ) .1 f (x) =alnx+a (x>0),令 f (x)司,當 a>0 時，即 lnx >- 1=lne 1. 耳e T.宣己，.同理，令f (x)旬可得(0,. e，f (x)單調(diào)遞增區(qū)間為+8)，單調(diào)遞減區(qū)間為(Q, 1.由此可知 尸£ (直),二£ (

13、-)無最大值. e e當 av 0 時，令 f (x)涮即 lnxw l=lne 1.，賓( 已-10,.同理，令f (x)4可得xW已，4-00).f (x)單調(diào)遞增區(qū)間為(明工，單調(diào)遞減區(qū)間為工，+8). ee由此可知y=£ (x ) =f (-)此時無最小值. mats e e(n )證：不妨設(shè) m曲>0,則 m=kn ( k*)左邊-右邊 =amlnm+nlnn+ (m+n) ln2 - (m+n) In(m+n) =aknlnknfnlnn+ (k+1) nln=r-=anklnk+ (k+1) In2(k+1)Ik+1) naknlnk4- (k+1) nln： l

14、k+1 i令.I. ：1 - ' ' j ' iI k+1 J，(k-三(k+1)2(k+1) £QOK1證+1門%幣嗾丁>0" (k)為(1) =0,又a>0, n>0,左邊-右邊斗，得證.點考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，利用導(dǎo)數(shù)求比區(qū)間上函數(shù)最值的能力，掌握 評 證明不等式方法的能力.4.已知函數(shù) f (x) =2ex-x(1)求f (x)在區(qū)間T, m (m> - 1)上的最小值；(2)求證：對 L>ln1口2時，恒有 2eK 一=/一2> (1+1門2)苴考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；導(dǎo)數(shù)在最

15、大值、最小值問題中的應(yīng)用。專題：計算題；證明題。分析：(1)求出f (x)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為 。求出根，通過討論根與定義域的關(guān)系，判 斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值.(2)將不等式變形，構(gòu)造新函數(shù) g (x),求出g (x)的導(dǎo)函數(shù)，通過判斷導(dǎo)函數(shù)的 符號判斷出其單調(diào)性，進一步求出其最小值，得證.解答：解(1)當 f (x) =2ex- 1=0,解得工二1人f (x) < 0, f (x)在-1, m上單調(diào)減,貝U f (x)的最小值為f (m) =2em - m當時，(一1, 1寸 上遞減，嗚上遞增，則f (x)的最小值為f (1門)二1 一 ln-(2)二工 :二二 二 .-L

16、.-g'(x) =2ex-x- 1 - ln2=f (x) - 1 - ln2由(1)知當叩>1口5時，f (x)的最小值為f (ln)=1 In4=l+ln2，所以當x>ln2時g' (x) >0, g (x)在(ln2, +°°)上單調(diào)遞增, 所以 s (k) >g(Ln2) =2- (ln2 ) 2 - ln2>0所以 Cl+ln2)苴點評：求函數(shù)在區(qū)間上的最值，常利用導(dǎo)函數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進一步求出函數(shù)的最值;證明不等式問題常通過構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.5 .設(shè) a 為實數(shù)，函數(shù) f (x) =ex- 2

17、x+2a, xCR.(1)求f (x)的單調(diào)區(qū)間及極值；(2)求證：當 a>ln2-1 且 x>0 時，ex>x2-2ax+1.考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用。專題：計算題。分析：(1)由 f (x) =ex- 2x+2a, x R,知 f'(x) =ex- 2, xCR.令 f'(x) =0,得 x=ln2 ,列 表討論能求出f (x)的單調(diào)區(qū)間區(qū)間及極值.(2)設(shè) g (x) =exx2+2ax 1, xC R,于是 g' (x) =ex - 2x+2a, xC R.由(1)知 當 a> ln2-1 時，g&#

18、39; (x)最小值為 g'(ln2) =2(1-ln2+a) >0.于是對任意 xCR, 都有g(shù)' (x) >0,所以g (x)在R內(nèi)單調(diào)遞增.由此能夠證明 ex>x2- 2ax+1.解答：(1)解：f (x) =ex - 2x+2a , x R, f' (x) =ex- 2, xC R.令 f' (x) =0,得 x=ln2 .于是當x變化時，f'(x), f (x)的變化情況如下表：(1n2 , +00)+單調(diào)遞增R內(nèi)單調(diào)遞增.x(- 8,成) ln2f' (x)-0f (x)單調(diào)遞減2 (1 - ln2+a)故f (x)

19、的單調(diào)遞減區(qū)間是(- ln2),單調(diào)遞增區(qū)間是(ln2, +8),f (x)在x=ln2處取得極小值，極小值為 f (ln2) =e1n2- 2ln2+2a=2 (1-ln2+a).(2)證明：設(shè) g (x) =ex- x2+2ax - 1, x R,于是 g ' (x) =ex - 2x+2a , x C R.由(1)知當a>1n2-1時，g'(x)最小值為 g'(1n2) =2 (1-1n2+a) >0.于是對任意xC R,都有g(shù)' (x) > 0,所以g (x)在于是當a>1n2-1時，對任意xC (0, +8),都有g(shù) (x) &

20、gt;g (0).而 g (0) =0,從而對任意 xC (0, +8), g (x) >0.即 ex - x2+2ax- 1 >0,故 ex >x2 - 2ax+1 .點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值的求法和不等式的證明，具體涉及到導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)增減區(qū)間的判斷、極值的計算和不等式性質(zhì)的應(yīng)用.解題時要認真審題，仔細解答.6 .已知函數(shù) f (x) =1n (x+2) - a (x+1) (a>0).(1)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若 x> 2,證明：1 Mn (x+2)a+1 .工+2考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。專題：

21、綜合題。分析：一一，二- a lx -)(1) 函數(shù) f (x) 的定義域為( 2, +0°), f (x) = a=,k+2HZ由a> 0,能求出函數(shù)f (x)的單調(diào)遞區(qū)間. (2)由(1)知，a=1時，f (x) =1n (x+2) (x+1),此時f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-2, - 1),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1, +00).所以，x>2時，,由此能證明當x> 一 2 時，1Mn(x+2)蟲+1 .解答：解：(1)函數(shù)f (x)的定義域為(-2, +8),令 f' (x) > 0,得-2vxv1 . Os令 f' (x) V 0,得宣a+

22、8)I - n所以函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-2,上三)，單調(diào)遞減區(qū)間為a(2)由(1)知，a=1 時，f (x) =ln (x+2) ( x+1),此時f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-2, - 1),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1, +°°).所以，x>2時,、-1 _ 1皂'計2(x+2) 2(H2) 2 當 xC (2, 1)時，g' (x) v 0, 當 xC ( 1 , +00)時，g' (x) > 0. .當 x> 2 時，g (x)再(1),即 ln (x+2) +- 1 涮，x+2 " ln x x+2)工+2所

23、以，當 x>- 2 時，1-Lvn (x+2)蟲+1 .k+2點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，證明不等式.考查運算求解能力，推理論證能力； 考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較 高，是高考的重點.解題時要認真審題，仔細解答.7.已知函數(shù) f (x) =ln (x+1) - x.(I )求函數(shù)f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(n )若 x> - 1,證明：1一(x+1)了K41考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；對數(shù)函數(shù)的定義域；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。專題：綜合題。'析,(I )函數(shù)f (x)的定義域為(-1, +8). f (x)=卜

24、也丁由此能求出函數(shù) f (x) 的單調(diào)遞減區(qū)間.(n )由(I )知，當 xC ( 1 , 0)時，f (x) > 0,當 xC (0, +oo)時，f (x)< 0,故 ln (x+1 ) x<0, In (x+1)蟲.令耳(k) =1n) + 一 1 ,貝Ux+1葭（工）二二7一2工+1Ck+1） 2.由此能夠證明當 x> - 1時,In (x+1) 工工解答：（I ）解：函數(shù)f （x）的定義域為（-1, +8）f (x)葉1（2分）由 f (x) V0及 x> - 1,得 x>0.當xC (0, +8)時，f (x)是減函數(shù)，即f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間

25、為(0, +°°). -4 (II )證明：由(I )知，當 xC ( 1, 0)時，f (x) >0,當 xC (0, +8)時，f (x) v 0, 因此，當 x> - 1 時，f (x) f (0),即 In (x+1) - x碼,In (x+1)雙.(6 分)令百（工）=ln工十1）十L-i,有1.一(工+1)°，當 xC ( 1 , 0)時，g' (x) V 0,10In (富+1)(12分)點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查運算求解能力，推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性.綜

26、合性強，難度大，是高考的重點.解題時要認真審題，仔細解答.8,已知函數(shù)f （k） =ax+（社口）（1）當a=1時，利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f （x）在（0, 1內(nèi)是單調(diào)減函數(shù);（2）當xC （0, +8）時f （x）力恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.考 函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)恒成立問題。點：專計算題。題：分(1)先任意取兩個變量，且界定其大小，再作差變形看符號，注意變形到等價且到位.析：(2)先化簡不等式，f (x) >0,再由分式不等式等價轉(zhuǎn)化整式不等式ax2-x+1再恒成立，然后采用分離常數(shù)法求實數(shù)a的取值范圍即可.解解：(1)任意取 Xi, X2C (0, 1且 X1VX2.答：£(芯1)-f- (kh + ) - ( Kp J-)-(工廠富 0)(1 - -)=(工一工)1d.1 vV1.匕v v一鼻2一孔員2因為 X1VX2,所以 X1-X2V00VX1X2V1,所以 X1X2- 1 < 0所以 f(X1) f(X2) > 0,即 f(X1)> f(X2),所以f(X)在(0, 1上是單調(diào)減函數(shù).1241(2) ,xC (0, +oo), f (x) =aH+-= 恒成立，XX等價于當xC (0, +8)時ax2-x+1可 恒成立即可，y - 11a>