三角形及其性質(zhì)知識(shí)講解

1、三角形及其性質(zhì)（基礎(chǔ)）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解三角形及與三角形有關(guān)的概念 , 掌握它們的文字、符號語言及圖形表述方法2. 理解三角形內(nèi)角和定理的證明方法；3. 掌握并會(huì)把三角形按邊和角分類4. 掌握并會(huì)應(yīng)用三角形三邊之間的關(guān)系5. 理解三角形的高、中線、角平分線的概念，學(xué)會(huì)它們的畫法 【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、三角形的定義 由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形要點(diǎn)詮釋：（1）三角形的基本元素： 三角形的邊：即組成三角形的線段； 三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角； 三角形的頂點(diǎn)：即相鄰兩邊的公共端點(diǎn) .（2）三角形的定義中的三個(gè)要求： “

2、不在同一條直線上” 、“三條線段” 、“首尾順次相接” . （3）三角形的表示：三角形用符號“”表示，頂點(diǎn)為A、B、C 的三角形記作“ ABC”，讀作“三角形 ABC”，注意單獨(dú)的沒有意義； ABC的三邊可以用大寫字母 AB、BC、 AC 來表示， 也可以用小寫字母 a、b、c 來表示， 邊 BC用 a 表示， 邊 AC、AB 分別用 b、c 表示 要點(diǎn)二、三角形的內(nèi)角和三角形內(nèi)角和定理： 三角形的內(nèi)角和為 180°要點(diǎn)詮釋： 應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理可以解決以下三類問題： 在三角形中已知任意兩個(gè)角的度數(shù)可以求出第三個(gè)角的度數(shù)； 已知三角形三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，可以求出其內(nèi)角的度數(shù)； 求一個(gè)三

3、角形中各角之間的關(guān)系要點(diǎn)三、三角形的分類1. 按角分類：直角三角形三角形斜三角形銳角三角形鈍角三角形要點(diǎn)詮釋：銳角三角形：三個(gè)內(nèi)角都是銳角的三角形 鈍角三角形：有一個(gè)內(nèi)角為鈍角的三角形2. 按邊分類：三角形不等邊三角形等腰三角形底邊和腰不相等的等腰三角形等邊三角形要點(diǎn)詮釋：不等邊三角形：三邊都不相等的三角形； 等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊 叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角 ; 等邊三角形：三邊都相等的三角形 . 要點(diǎn)四、三角形的三邊關(guān)系 定理 ：三角形任意兩邊之和大于第三邊 .推論： 三角形任意兩邊之差小于第三邊 . 要點(diǎn)詮釋：（

4、1）理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短 .（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長 線段的長， 則這三條線段可以組成三角形； 反之，則不能組成三角形 當(dāng)已知三角形兩邊長， 可求第三邊長的取值范圍（3）證明線段之間的不等關(guān)系要點(diǎn)五、三角形的三條重要線段 三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供了重要的線段或 角的關(guān)系， 為我們以后深入研究三角形的一些特征起著很大的幫助作用， 因此， 我們需要從 不同的角度弄清這三條線段，列表如下：線段 名稱三角形的高三角形的中線三角形的角平分線文字 語言從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的 對邊所在的直線作垂線，頂 點(diǎn)和垂

5、足之間的線段三角形中，連接一個(gè)頂 點(diǎn)和它對邊中點(diǎn)的線 段三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線 與它的對邊相交，這個(gè)角 的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線 段圖形 語言作圖語言過點(diǎn) A 作 ADBC于點(diǎn) D取 BC 邊的中點(diǎn) D，連接 AD作 BAC 的平分線 AD，交 BC于點(diǎn) D標(biāo)示 圖形符號 語言1AD是 ABC的高2AD是 ABC中 BC邊上的 高3 ADBC于點(diǎn) D4 ADC 90°， ADB 90°1AD是 ABC的中線 2AD 是 ABC中 BC邊 上的中線13 BD DC BC24點(diǎn) D是 BC邊的中點(diǎn)1AD是 ABC的角平分線 2AD 平分 BAC，交 BC 于點(diǎn) D3 12 1 BA

6、C2（ 或 ADC ADB 90°）推理 語言因?yàn)?AD是 ABC的高， 所以 ADBC（ 或 ADB ADC 90°）因?yàn)?AD是 ABC的中線，1所以 BD DC BC2因?yàn)?AD平分 BAC，所以11 2 BAC2用途 舉例1線段垂直2角度相等1線段相等2面積相等角度相等注意 事項(xiàng)1與邊的垂線不同2不一定在三角形內(nèi)與角的平分線不同重要 特征三角形的三條高 （ 或它們的 延長線 ） 交于一點(diǎn)一個(gè)三角形有三條中 線，它們交于三角形內(nèi) 一點(diǎn)一個(gè)三角形有三條角平分 線，它們交于三角形內(nèi)一 點(diǎn)1證明：三角形的內(nèi)角和為180答案與解析】類型一、三角形的內(nèi)角和證法 1：如圖 1所示

7、，延長 BC到E，作 CDAB因?yàn)?AB CD（已作），所以 1=A（兩直 線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） ， B= 2（兩直線平行，同位角相等） 又ACB+1+2=180°（平角定義） ，所以 ACB+ A+ B=180°（等量代換） 證法2：如圖 2所示，在BC邊上任取一點(diǎn) D，作DE AB，交AC于E，DFAC，交AB于點(diǎn) F 因?yàn)?DFAC（已作），所以 1= C（兩直線平行，同位角相等） ， 2=DEC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） 因?yàn)?DEAB（已作）所以 3=B， DEC=A（兩直線平行，同位角相等） 所以 A= 2（等量代換） 又 1+2+3=180°（平角定

8、義） ，所以 A+ B+C=180°（等量代換） 已知 A+ B 80°， C2B，試求 A，B和 C的度數(shù) C2B，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于 B和 C的度數(shù)【思路點(diǎn)撥】 題中給出兩個(gè)條件： A+ B80°， 180°，即 A+B+ C180°就可以求出 A， 【答案與解析】 解：由 A+B80°及 A+B+ C180°， 知 C 100° 又 C2B， B50° A 80°- B80° 【總結(jié)升華】 解答本題的關(guān)鍵是利用隱含條件 A80°-x，C2x 建立方程求解 【變式】

9、 已知，如圖 ，在ABC中，C=ABC=2A，BD是 AC邊上的高， 求 DBC的度數(shù).-50° 30°A+ B+C 180°本題可以設(shè) B x，則【答案】解：已知 ABC 中， C=ABC=2 A 設(shè)A=x 則C=ABC=2x x+2x+2x=180° 解得： x=36° C=2x=72° 在 BDC中， BD是 AC邊上的高，BDC=9°0 ， DBC=18°0 90°- 72°=18°類型二、三角形的分類3. 一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別是 75°、 30°、 7

10、5°，這個(gè)三角形是（）A 銳角三角形 B 等腰三角形 C 等腰銳角三角形【答案】 C【變式】一個(gè)三角形中， 一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)等于另外兩個(gè)內(nèi)角的和的 2 倍，這個(gè)三角形是 （ ） 三角形A 銳角 B 直角 C 鈍角 D 無法判斷【答案】 C【解析】 利用三角形內(nèi)角和是 180°以及已知條件， 可以得到其中較大內(nèi)角的度數(shù)為120°，所以三角形為鈍角三角形 .類型三、三角形的三邊關(guān)系4. （ 四川南充 ）三根木條的長度如圖所示，能組成三角形的是（ ）思路點(diǎn)撥】 三角形三邊關(guān)系的性質(zhì)， 即三角形的任意兩邊之和大于第三邊， 任意兩邊之差 小于第三邊注意這里有“兩邊”指的是任意

11、的兩邊，對于“兩邊之差”它可能是正數(shù)，也 可能是負(fù)數(shù)，一般取“差”的絕對值答案】 D【解析】 要構(gòu)成一個(gè)三角形 必須滿足任意兩邊之和大于第三邊 在運(yùn)用時(shí)習(xí)慣于檢查較短 的兩邊之和是否大于第三邊 A、B、 C三個(gè)選項(xiàng)中，較短兩邊之和小于或等于第三邊故不 能組成三角形 D 選項(xiàng)中， 2cm+3cm> 4cm故能夠組成三角形【總結(jié)升華】 判斷以三條線段為邊能否構(gòu)成三角形的簡易方法是： 判斷出較長的一邊； 看較短的兩邊之和是否大于較長的一邊，大于則能夠成三角形，不大于則不能夠成三角形舉一反三： 【變式】判斷下列三條線段能否構(gòu)成三角形 .（1） 3，4，5； （2） 3，5，9 ； （3） 5 ，

12、5，8.【答案】（1）能； （2）不能；（3）能 .5. 若三角形的兩邊長分別是 2 和 7, 則第三邊長 c 的取值范圍是 【答案】 5 c 9解析】 三角形的兩邊長分別是2和 7, 則第三邊長 c的取值范圍是2-7 <c<2+7, 即5<c<9總結(jié)升華】三角形的兩邊 a、b，那么第三邊 c 的取值范圍是a - b<c<a+b.舉一反三：【變式】 （浙江金華 ）已知三角形的兩邊長為 4，8，則第三邊的長度可以是 （ 寫出一個(gè)即可 ）【答案】 5，注：答案不唯一，填寫大于4，小于 12 的數(shù)都對類型四、三角形中重要線段6. （江蘇連云港 ） 小華在電話中問小

13、明： “已知一個(gè)三角形三邊長分別為4， 9，12，如何求這個(gè)三角形的面積” 小明提示：“可通過作最長邊上的高來求解 ”小華根據(jù)小明的提示答案】 C；解析】 三角形的高就是從三角形的頂點(diǎn)向它的對邊所在直線作垂線， 頂點(diǎn)和垂足之間的線 段解答本題首先應(yīng)找到最長邊， 再找到最長邊所對的頂點(diǎn) 然后過這個(gè)頂點(diǎn)作最長邊的垂 線即得到三角形的高【總結(jié)升華】 銳角三角形、直角三角形、 鈍角三角形都有三條高， 并且三條高所在的直線交于一點(diǎn)這里一定要注意鈍角三角形的高中有兩條高在三角形的外部【變式】如圖所示，已知 ABC，試畫出 ABC各邊上的高解：所畫三角形的高如圖所示7. 如圖所示，CD為 ABC的 AB邊上

14、的中線， BCD的周長比 ACD的周長大 3cm， BC 8cm，求邊 AC的長【思路點(diǎn)撥】 根據(jù)題意，結(jié)合圖形，有下列數(shù)量關(guān)系：AD BD， BCD的周長比ACD的周長大 3【答案與解析】解：依題意： BCD的周長比 ACD的周長大 3cm， 故有： BC+CD+BD-(AC+CD+AD)3又 CD 為 ABC的 AB邊上的中線， AD BD，即 BC-AC 3又 BC 8， AC 5答：AC 的長為 5cm【總結(jié)升華】 運(yùn)用三角形的中線的定義得到線段 ADBD 是解答本題的關(guān)鍵，另外對圖形中 線段所在位置的觀察， 找出它們之間的聯(lián)系， 這種數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解幾何題常用的方 法舉一反三：

15、變式】如圖所示，在 ABC中，D、E分別為 BC、AD的中點(diǎn)，且 SABC 4，則 S陰影 為一、選擇題1一位同學(xué)用三根木棒拼成如圖所示的圖形，其中符合三角形概念的是( )( )A1個(gè) B 2 個(gè) C 3 個(gè) D 4個(gè)3任何一個(gè)三角形至少有()個(gè)銳角A1 B 2 C3 D 不能確定4已知三角形兩邊長分別為( )A 13 cm B 6 cm 5為估計(jì)池塘兩岸 A、B 間的距離， 那么 AB間的距離不可能是 ( ) A5m B 15m C4 cm 和 9 cm ，則下列長度的四條線段中能作為第三邊的是5 cm D 4 cm楊陽在池塘一側(cè)選取了一點(diǎn) P，測得 PA16m，PB 12m，20m6三角形

16、的角平分線、中線和高都是A 直線 B 線段 C 射線 7下列說法不正確的是 ( )A 三角形的中線在三角形的內(nèi)部C 三角形的高在三角形的內(nèi)部 8如圖， AM是 ABC的中線，那么若用 S1 和 S2 的大小關(guān)系是 ( )第八題以上答案都不對D三角形的角平分線在三角形的內(nèi)部三角形必有一高線在三角形的內(nèi)部S1 表示 ABM的面積，用 S2 表示 ACM的面積，則AS1>S2 B S1<S2 C S1 S2 D 以上三種情況都有可能 9若 ABC的 A60°，且 B: C 2:1 ，那么 B的度數(shù)為 ( )A 40° B 80° C 60° D 1

17、20°二、填空題10三角形的三邊關(guān)系是 ，由這個(gè)定理我們可以得到三角形的兩邊之差 第三邊，所以，三角形的一邊小于 并且大于 11如果三角形的兩邊長分別是 3 cm和 6 cm，第三邊長是奇數(shù)，那么這個(gè)三角形的第三邊 長為 cm12. 已知等腰三角形的兩邊分別為 4cm和 7cm，則這個(gè)三角形的周長為 13. 如圖， AD是 ABC的角平分線，則 1 ；BE是 ABC的2中線，則1；CF是ABC的高，則 214. 如圖， AD、 AE分別是 ABC的高和中線，已知 AD5cm，CE6cm，則 ABE和 ABC的 面積分別為 15. 在 ABC中，(1) 若 A: B: C 1:2:3 ，則 A，B，C此三角形為 三角形；(2) 若 A 大于 B+ C，則此三角形為 三角形三、解答題16判斷下列所給的三條線段是否能圍成三角形(1)5cm ， 5cm， a cm(0 <a< 1