七上第2講絕對值幾何意義突破

1、百度文庫-讓每個人平等地提升自我領(lǐng)先中考培優(yōu)課程MATHEMATICS絕對值幾何意義突破知識目標(biāo)目標(biāo)一 熟練絕對值式子的幾何意義一一距離，理解最值的含義目標(biāo)二 掌握幾何意義求多個絕對值之和的最小值的方法目標(biāo)三掌握一般的絕對值式子求最值、定值的方法一一零點分段法百度文庫-讓每個人平等地提升自我思維引入一一最值的含義/八、知識導(dǎo)航最大值與最小值統(tǒng)稱為最值，一個代數(shù)式一般能取到無數(shù)個值，我們把其中最大的值叫做最大值，最小的值叫做最小值，例如：當(dāng)x等于任意數(shù)時，代數(shù)式J x 2能取到無數(shù)個值.但其中最小的值是0.因此可以說，僅當(dāng)x=2時.x 2取得最小值為0;此時x 2可以無窮大.因此它沒有最大值.當(dāng)

2、1WxW3時，2x3能取到無數(shù)個值，但當(dāng) x= 1時2x 3取得最小值為一1;當(dāng)x= 3時，2x3取得最大值為3.這里也可以描述為.當(dāng)IWxW 3時，1 <2x -3<3. 練習(xí)最值的含義的理解1. 2x |的最小值是,當(dāng)x= 時它取得最小值；2一 3 x的最大值是 ,當(dāng)x=時它取得最大值；當(dāng)x=時，（13x）2 +2取得最小值為 ;當(dāng)x=時，3 x 1取得最大值為;2 .先化簡x 3 x 4 ,再求它的最值，并說明相應(yīng)的x的取圍.3 . 先化簡x 1 x 5 ,再求它的最值，并說明相應(yīng)的 x的取值范圍總結(jié)歸納雖然“最值”這個概念是代數(shù)層面上的，通過代數(shù)計算來找最值是最本質(zhì)的方法，

3、但通 過上面的練習(xí)不難發(fā)現(xiàn)，如果純通過代數(shù)計算來找最值，有時過程會比較繁瑣，計算量也較 大，耗時又易錯.初中知識兩大主線一一幾何與代數(shù)各成體系又相輔相成，例如數(shù)軸就是用形來表示數(shù), 后面學(xué)習(xí)坐標(biāo)系與函數(shù)后會有更多數(shù)與形的結(jié)合.現(xiàn)階段，絕對值的代數(shù)運算意義和它在數(shù) 軸上表示距離的幾何意義，就架起了數(shù)與形的橋梁.靈活運用絕對值的代數(shù)意義與幾何意義， 融會貫通，就能使二者相得益彰，不僅能為解題帶來很大幫助，這種思維間的轉(zhuǎn)換對以后的 學(xué)習(xí)也大有裨益.百度文庫-讓每個人平等地提升自我本講要學(xué)習(xí)的主要就是僅含絕對值的式子求最值的方法絕對值的幾何意義.模塊一絕對值的幾何視角一一距離知識導(dǎo)航通過前面的學(xué)習(xí).我

4、們對絕對值的代數(shù)意義已經(jīng)很熟悉.a b a b(a b),這 讓我們看到/飛、b a(a< b)一個含絕對值式子的第一反應(yīng)就是，我們可以把它拆開.例如，當(dāng) x 1這個式子出現(xiàn)在我們眼前，它就/ x 1(x 1)被我們強(qiáng)迫癥般的在腦海中變成了x 1.誠然，這種利用代數(shù)意義進(jìn)行的轉(zhuǎn)換在做絕對值,X11 x(x<1)化簡時是必要且實用的.但在做最值類題型時反而繞了，轉(zhuǎn)換為距離更簡.實際上，前面我們已經(jīng)多次接觸了絕對值的幾何意義，上一講更是大量用到了絕對值來表示數(shù)軸上點的距離，因此當(dāng)我們看到要“表示數(shù)軸上的距離”時.會不自覺的想到“可以用絕對值來表示”反過來,我們也應(yīng)該認(rèn)識到，當(dāng)一個絕對使

5、式子出觀時，它也代表著距離.例如，a表示數(shù)軸上數(shù)a對應(yīng)的點到原點的距離，m n的幾何意義是數(shù)軸上表示 m的點與表示n的點之間的距離.所以，當(dāng)x 1這個式子出現(xiàn)在我們眼前，它還應(yīng)該被我們強(qiáng)迫癥般的在腦海中變成“這表示數(shù)軸上x對應(yīng)的點與1對應(yīng)的點之間的距離”.練習(xí)幾何視角1. 1 2的幾何意義是數(shù)軸上表示一 1的點與表示2的點之間的距離，則1 2=;2. x的幾何意義是數(shù)軸上表示 的點與表示 的點之間的距離：x =1的幾何意義是數(shù)軸上表示 的點與表示 的點之間的距離是:3. a b的幾何意義是表示 的點與表示 的點之間的距離，且 a b ba；/a b的幾何意義是表示 的點與表示 的點之間的距離，

6、a b a b；/4. x 2的幾何意義是數(shù)軸上表示 氏與表示 氏之間的距離；若 x 2 =2,則x=5. 當(dāng) x= 1 時， x 5 x 2 =,當(dāng) x= 時， x 5 x 2 =.例 1.(1)數(shù)軸上四個點的位置關(guān)系如右圖，且它們表示的數(shù)分別為/IIiIp, q, r, s.若 p r 10,尸守F 5p s 12, q s 9 貝U q r =(2)有理數(shù)a、b、c、d各自對應(yīng)著數(shù)軸上 X、Y、Z、R四個點，且它們滿足以下三個條件：百度文庫-讓每個人平等地提升自我 b d 比 a b , a c、a d、b c、c d 都大； d a a c d c ；c是a、b、c、d中第二大的數(shù).則

7、點 X、Y、Z、R從左到右依次是 .練滿足a b a b成立的條件是().A. ab>0B. ab >1 C. ab <0D. ab< 1模塊二 /絕對值之和求最小值知識導(dǎo)航/離在同一個數(shù)軸上表示出來，然后把距離相加即可得原式的值當(dāng)IWxW 2時，即P點在線段AB上，此時x 1】11A萬1A-101 耳 23當(dāng)x>2時，即P點在B點右側(cè)，此時x 1 x 2 11"於n-匕-1D123當(dāng)x <1時，即P點在A點左側(cè)，此時x 1 x 2 =.設(shè)A、B、P三點對應(yīng)的數(shù)分別是 1、2、x.x 2 PA PB AB 1;=PA+PB = AB+2PB>

8、AB;、PA + PB = AB+ 2PA> AB;求x 1 x 2的最小值；x 1即數(shù)軸上x與1對應(yīng)的點之間的距離， x 2即數(shù)軸上x與2對應(yīng)的點之間的距離，把這兩個距Fl ' j士_._r0123綜上可知，當(dāng)lvx<2時(P點在線段AB上)，x 1 x此結(jié)論可以推廣：若已知以 avb,則當(dāng)awxw b時，x a題型一 兩個絕對值相加求最小值例2(1)當(dāng)x滿足 時，x 5 |x 200取得最小值為_當(dāng)x滿足時，x 3 x 4取得最小值為 一當(dāng)x滿足時，x 6 x 4取得最小值為_(2)當(dāng)一1WxW 6時，|x 2 x的最小值為2取得最小值為1./x b取得最小值為b a.

9、 /； zr ;_,最大值為.百度文庫-讓每個人平等地提升自我(3)當(dāng)x 1 |x 3取得最小值時，試化簡|x 5 |x 5=.總結(jié)歸納絕對值的最值問題多以選填題的形式考察，上述絕對值幾何意義的方法能迅速求解，但此法不能作為 大題的解題步驟，所以一旦要求寫大題步驟，只能使用零點分段法化簡，分別求出每一段的取值范圍，最后得到最值.練(1)當(dāng)x滿足 時，x 8 x取得最小值為 ; 11當(dāng)x滿足時.x - x取得最小值為 32(2)已知x為整數(shù)，且滿足|x |x 4 4 ,則x的所有可能值之和為 (3)求x 4 x 5的最小值，并寫出相應(yīng)的 x的范圍.挑戰(zhàn)壓軸題(2014武昌七校七上期中壓軸題)數(shù)軸

10、上兩點間的距離等于這兩點所對應(yīng)的數(shù)的差的絕對值，例：如圖所示，點A、B在數(shù)軸上分別又應(yīng)的數(shù)為 a、b,則A、B兩點間的距離表示為| AB |a b,根據(jù)以上知 識解題： (1)若數(shù)軸上兩點 A、B表示的數(shù)為x、一1.A、B之間的距離可用含 x的式子表為 ;若該兩點之間的距離為2,那么x值為./(2) x 1 |x 2的最小值為 ,此時x的取值范圍是 ;已知|x 1 x 211y 3X|y 2 15 ,求x2y的最大值和最小值./拓./已知x2 1 x 9 y 5 1 y,求x+y的最值/.題型二多個絕對值相加求最小值以四個絕對值之和為例，求x1 x 2 x 3 x 4的最小值;百度文庫-讓每個

11、人平等地提升自我設(shè)A、B、C、D、P五點對應(yīng)的數(shù)分別為 1、2、3、4、x,在數(shù)軸上畫出各點，排 好序之后由遠(yuǎn)及近依次兩兩一組求和。當(dāng) 1WxW 4 時，|x 1 x 4 =PA + PD = 41=3,取得最小值；當(dāng) 2WxW 3 時，|x 2 x 3 =PB + PC =32= 1,取得最小值；012 x ?4所求的|x 1 x 2 x 3 |x 4 PA PB PC PD ,即上面兩式|x 1 x 4與x 2 |x 3之和，如果這兩式能同時取得最小值，即PA+PD與PB+PC同時最小，那么它們的和必然也取得最小值./ 故當(dāng) 2WxW 3 時，|x 1 x 2 x 3 |x 4 的最小值為

12、(41)+(3 2)= 4.再以三個絕對值之和為例，求x |x 1 |x 2的最小值；設(shè)A、B、C、P四點對應(yīng)的數(shù)分別為 0、1、2、x.當(dāng)0WxW2時，|x |x 2 PA PC 2 0 2,取得最小值；當(dāng)x= l時，|x 1 PB 0,取得最小值；所求的x x 1 x 2 =PA+PB+PC即上面兩式之和，如果這兩式x x 2和x 1能同時取得最小值，即 PA+PC與PB同時最小，那么它們的和必然也取得最小值.故僅當(dāng)x= l時，|x |x 1 x 2的最小值為(2 - 0) + 0=2.例3(1)當(dāng)x滿足時當(dāng)x滿足時當(dāng)x滿足時，(2)當(dāng)x滿足時，當(dāng)x滿足時，(3)當(dāng)x滿足時,x 3 x 1

13、 x 4 x 6取得最小值為;/,'x 3x2x1 x取得最小值為; /1 x x 3 |x 7 4 x取得最小值為/;x2|x1x 5取得最小值為;x2|6x5 x取得最小值為;,x 1 x 2x 2016取得最小值為 ;若求更多的偶數(shù)個或奇數(shù)個絕對值之和，可以用同樣的方法求其最小值.百度文庫-讓每個人平等地提升自我當(dāng)x當(dāng)x滿足時，x 1 xx 101取得最小值為(4)若0V a<10,則當(dāng)x滿足 時，x總結(jié)歸納奇數(shù)個x取“中間點”若 a1<a2<< a2n 1 ,當(dāng) x 滿足 時，x最小值為 a2n 1 a1a2 n a2 a2n 1 a3偶數(shù)個x取“中間段

14、”若a1V a2V < a2n ,當(dāng)x滿足 時，xa x 10 x a 10的最小值是a, x a2 x a2nl取得最小值;an 2 an 0 .axa2x a2n取得最小值;最小值為a2 na1a2n 1a2an 2 an 1an 1 an當(dāng)x滿足 時,x 4取得最小值為 11一當(dāng)x滿足 時，x - x - I x取得取小值為(2)求 x x 4 x 5x 6的最小值，并寫出相應(yīng)的x的范圍.拓.求x 1 2x 1 3x 1的最值； 求x 1 x 1的最值.''23模塊三絕對值之差求最值知識導(dǎo)航求x 1 x 2的最大值：百度文庫-讓每個人平等地提升自我設(shè)A、B、P三點對

15、應(yīng)的數(shù)分別為1、2、x,當(dāng)1 WxW2時，即P點在線段AB上，此時x 1 |x 2 =PA PB,其值在一1到1之間, 其中，當(dāng) x= 1 時，PA-PB=-1 ,當(dāng) x=2 時 PA PB=1,當(dāng) 1vxv2 時，一1 vPA PBv1.012M當(dāng)x>2時，即P點在B點右側(cè)，此時 x 1 x 2 =PA-PB=AB = 1.J-Xii-10123當(dāng)xvl時，即P點在A點左側(cè)，此時|x 1 x 2 =PA-PB=-1.尸尸t一w_-10123綜上可得：當(dāng)xw 1時(P點在A點左側(cè)).x 1 x 2取得最小值為一1：當(dāng)x> 2時(P點在B點右側(cè)).x 1 x 2取得量大值為1.1(x

16、 2)用絕對值代數(shù)意義展開亦可知x 1 x 2 = 2x 3(1< x<2)1(x 2)此結(jié)論可以推廣：x a x b的最大值為 a b .最小值為一a b,至于當(dāng)x滿足什么條件時分別取最大、最小值.則可以畫數(shù)軸分析或把絕對值展開計算. 例4(1)用絕對值的幾何意義求 x 3 x 5的最值.(2)用“零點分段法”化簡 4 x x 1 ,求出最值，并說明相應(yīng)的 x的取值范圍.求x 5x 7的最值.百度文庫-讓每個人平等地提升自我練（2012武昌七校七上期中）當(dāng)x在何范圍時，x 1 x 2有最大值，并求出最大值當(dāng)x在何范圍時，x 1 x 2 x 3 x 4有最大值，并求出它的最大值.代

17、數(shù)式x 1 x 2 x 3 x 4x 99 x 100最大值是模塊四 定值問題知識導(dǎo)航百度文庫-讓每個人平等地提升自我定值即指代數(shù)式的值恒為某一個數(shù).1(x 2)例如.用“零點分段法”化簡可得 x 1 x 2、2x 3(1 x 2).可見當(dāng)x>2時x 1 x 2的/ 1(x 1)值恒為1.即定值為1；當(dāng)xwi時x 1 x 2的值恒為一1二即定值為一1.2x 3(x1)再如，令s = x 1| |x 2 ,化簡可得s= |x 1 |x 2 =1( 2 x 1),可見對于2x 3(x2)-2<x< l范圍內(nèi)白任意x值，s的值恒為常數(shù)1,我們就說當(dāng)一2W xw 1時s為定值.綜上可

18、知，要讓某式有定值，必須使它在某一條件下的取值與x無關(guān).因此，定值問題的核心任務(wù)是，找到 x的某個取值范圍，使得代數(shù)式中的x正好可以相互抵消.例5(1)如果對于某一給定范圍內(nèi)的 x值，p= x 1 x 3為定值，則此定值為 ,相應(yīng)的x的范圍是.(2)如果對于某一給定范圍內(nèi)的x值，p= x 5 x 2為定值，則此定值為 .(3)如果對于某一給定范圍內(nèi)的 x值，p = 5-2x 2x 9為定值，則此定值為 ,相應(yīng)的x的范圍是.練如果對于某一給范圍內(nèi)的x值，m= 2-3x 3x 7為定值，則此定值為 ,相應(yīng)的x的范圍是 .總結(jié)歸納定值問題雖然也可以用絕對值的幾何意義一一轉(zhuǎn)化為距離來求解，但它并不是此

19、類題型 的本質(zhì)解法，僅在 x的系數(shù)都為l時此法較為便捷.產(chǎn)生定值的根本原因是 x相互抵消了，因此定值問題的本質(zhì)解法是用類似“零點分段法” / 的思路，將式子中的每個絕對值拆開，配x的系數(shù)使它為0,從而迅速找到相應(yīng)的 x的范圍，并求出定值.當(dāng)然，上述方法都針對的是選填題，能迅速找到答案.如果是需要寫過程的大題，無論 是求最值還是定值，都只能用“零點分段法， ，分類討論求解./例 6/ /(1)若2x 4 5x 1 3x 4的值恒為常數(shù)，則x應(yīng)滿足怎樣的條件？此常數(shù)的值為少？(2)(2014武昌七校中)如果對于某一特定范圍內(nèi)x的任意允許值，s = 2 2x 2 3x 2 5x的值恒為一常數(shù)，剛此常

20、數(shù)值為().10百度文庫-讓每個人平等地提升自我C. 4（3）已知對于某一特定范圍內(nèi)a的任意允許值，6a 7 5 2a 4a的值恒為一常教.則此常數(shù)值為（）.A.12C. 12D. 12 或12（4）如果對于某一特定范圍內(nèi) x的任意允許值，s= x 1 x 2 x 3x 2016的值恒為一常數(shù)，則相應(yīng)的x的取值范圍是.練 若3 a 3 4a 3a的值是一個定值，求 a的取值范圍.拓（2012外校七上期中）已知 x為正數(shù)，且對于x在某一范圍內(nèi)任意取值，代數(shù)式x 2 2x 2 3x 2 4x 2 5x 2 6x 2 7x 2 8x 2的值恒為定值，試求出x的取值范 圍及這個定值.第2講 絕對值幾何意義突破（課后作業(yè)）1.不相等的有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸對應(yīng)的點分別為A、B、C,如果a b b c那么點A、B、C在數(shù)軸上的位置關(guān)系是（）A.點A在點B、C之間C.點C在點A、B之間2 . 已知0VP<20,當(dāng) pWxW20 時，x p x 20A. 40B. 0C.3 .如果對于某一特定范圍內(nèi)的任意允許值,的值恒為一常數(shù)，則此值為 （A. - 1B. 0C.B.點B在點A、C之間D.以上三種情況均有可能x p 20的最小值是（）./20D. 一個與p有關(guān)的代數(shù)式p= 1 4x 1 5x/1 6x 1 7x）.1D. 1 或一11 8x