2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)考點44幾何證明選講(含2016年高考試題)新人教A版

1、2考點44幾何證明選講一、填空題1.（2016 天津高考文科 T13）同（2016 天津高考理科 與 AB相交于點 E,BE=2AE=2,BD=ED,則線段 CE 的長為所以 OK! AB, / A=30 ,OK=OA sin 30所以 AB 與。O 相切.T12）如圖,AB 是圓的直徑，弦 CD【解題指南】設(shè)圓心為 O,連接 OD,構(gòu)造三角形，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求解【解析】設(shè)圓心為 O,連接 OD,AC,可得 BO3ABDE,所以 BD2=BOBE=3,所以BD=DE=3.AECEi EC因為AECDEB,DEBE,即 T3T,所以EC=.3 /答案：導(dǎo)二、解答題2.（2016 全國

2、卷I高考文科 T22）同（2016 全國卷I高考理科 選講T22）選修 4-1:幾何證明如圖，OAB 是等腰三角形，/ AOB=120 .以 O 為圓心，1Q1OA為半徑作圓.2（1）證明：直線 AB 與。O 相切.點 C,D 在。O 上，且 A,B,C,D 四點共圓，證明:AB / CD.【解析】（1）設(shè)圓的半徑為 r,作 O2 AB 于 K,因為OA=OB,ZAOB=120 ,OA=r,2（2） 方法一：假設(shè) CD 與 AB 不平行，CD 與 AB 交于 F,FK2=FC-FD. 因為 所以 因為 所以【解題指南】（1）要證明四點共圓明/ GFB=90 .（2）把四邊形 BCGF 分成兩個

3、直角三角形 三角形的面積的和【解析】因為 DF 丄 CE, 所以 Rt DEF Rt CDF, 所以/ GDF=/ DEF=ZBCF,DF= CFDE= CD.因為 DE=DG,CD=BC,DF CF所以 =,DG BC由可知矛盾，所以 AB/ CD.全國卷n理科T22）選修 4-1:幾何證明選講DA,DC 上（不與端點重合 ）,且 DE=DG 過 D 點作 DF方法二：因為 A,B,C,D 四點共圓因為 OA=OB,TA=TB,所以 0T 為 AB 的中垂線, 又OC=OD,TC=TD,所以 0T 為 CD 的中垂線，所以 AB/ CD.3.（2016 全國卷n文科T22）同（2016如圖，

4、在正方形 ABCD 中 ,E,G 分別在邊 丄 CE,垂足為 F.（1）證明:B,C,G,F 四點共圓.若 AB=1,E 為 DA 的中點，求四邊形A,不妨設(shè)圓心為T,BCGF 的面積.6A,B,C,D 四點共圓，F(xiàn)C - FD=FA - FB=(FK-AK)(FK+BK).AK=BK,2 2FC FD=(FK-AK)(FK+AK)=FK -AK .,需要證明四邊形對角互補，顯然/ DCB=90 ,只需證BCG 和厶 BFG,求這兩個直角3所以GDFABCF,所以/ CFB=ZDFG,所以/ GFB=ZGFC+ZCFB=ZGFC+ZDFG=Z DFC=90 所以/ GFB+ZGCB=180 .

5、所以 B,C,G,F 四點共圓.因為 E 為 AD 中點,AB=1,1所以 DG=CG=DE=,2所以在 Rt GFC 中,GF=GC, 連接 GB,Rt BCG Rt BFG,111所以 S四邊形BCGF=2SA BCG=2XX1X=22 24.（2016 全國卷川理科T22）（本小題滿分如圖，。O 中 AB 的中點為 P,弦 PC,PD 分別交 AB 于 E,F 兩點.（1）若/ PFB=2/ PCD，求/ PCD 的大小.若 EC 的垂直平分線與FD 的垂直平分線交于點G,證明 OGL CD.【解析】（1）連接 PB,BC,則/ BFD=ZPBA+ZBPD, / PCD=ZPCB+ZBC

6、D.因為絵=卜廠,所以/ PBA=ZPCB,又/ BPD=ZBCD,所以/ BFD=ZPCD.因為/ PFB+ZBFD=180 , / PFB=2/ PCD,所以 3 / PCD=180 ,因此/ PCD=60 .因為/ PCD=/ BFD,所以/ EFD+ZPCD=180 ,由此知 C,D,F,E 四點共圓，其圓心既在 CE 的垂直平分線上，又在 DF 的垂直平分線上，故 G 就是過 C,D,F,E 四點的圓的圓心 , 所以 G 在 CD 的垂直平分線上，又 O 也在 CD 的垂直平分線上，因此 OGL CD.5.（2016 全國卷川文科 T22）（本小題滿分 10 分）選修 4 1:幾何證

7、明選講如圖，。O 中 AB 的中點為 P,弦 PC,PD 分別交 AB 于 E,F 兩點.（1）若/ PFB=2/ PCD，求/ PCD 的大小.若 EC 的垂直平分線與FD 的垂直平分線交于點G,證明 OGL CD.【解析】（1）連接 PB,BC,則/ BFD=/ PBA+/ BPD, / PCD=/ PCB+/ BCD.10 分）選修 4-1:幾何證明選講4因為 AP 二 BP,所以/ PBA=/ PCB,又/ BPD=/ BCD,所以/ BFD=/ PCD.5又/ PFB+/ BFD=180 , / PFB=2/ PCD，所以 3/ PCD=180 ,因此/ PCD=60 .因為/ PC

8、D=/ BFD,所以/ EFD+ZPCD=180 ,由此知 C,D,F,E 四點共圓,其圓心既在 EC 的垂直平分線上，又在 FD 的垂直平分線上，故 G 就是過 C,D,F,E 四點的圓的圓心 , 所以 G 在 CD 的垂直平分線上，又 0 也在 CD 的垂直平分線上，因此 OGL CD.6.(2016 江蘇高考 T21)A.【選修 4 1 幾何證明選講】(本小題滿分 10 分)如圖，在厶 ABC 中，/ ABC=9C ,BD 丄 AC,D 為垂足,E 是 BC 的中點，求證：/ EDC/ ABD.【解題指南】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)證明/EDC 與/ ABD 都等于/ C.【證明】由 BDLA

9、C 可得/ BDC=90 ,由 E 是 BC 中點可得 DE=CE=BC，則/ EDC/ C,2由/ BDC=90 可得/ DBC/ C=90 ,由/ ABC=90 可得/ ABD+Z DBC=90 ,因此/ ABD/ C,又/ EDC/ C,可得/ EDC/ ABD.7.(2016 北京高考理科T17)如圖，在四棱錐 PABCD 中 ,平面 PADL平面 ABCD,PALPD,PA=PD,AB 丄 AD,AB=1,AD=2,AC=CD=5.求證:PD 丄平面 PAB.求直線 PB 與平面 PCD 所成角的正弦值A(chǔ)M在棱 PA 上是否存在點M,使得 BM/平面 PCD?若存在，求一的值；若不存

10、在，說明理AP【解題指南】(1)已知 PDLPA,再證明PD 丄 AB 即可.(2) 建系，用向量法求.(3) 方法一：直接從圖中找出M 后再證明；方法二：利用坐標求 M.【解析】 (1)因為平面 PADL平面 ABCD,交線為 AD,AB?平面 ABCD,AB 丄 AD, 所以 AB 丄平面 PAD.因為 PD?平面 PAD,所以 AB 丄 PD.又因為PALPD,PAnAB=A,PA,AB?平面 PAB, 所以 PD 丄平面 PAB.取 AD 中點 O,連接 OP,OC. 因為 PA=PD,所以 OP 丄 AD.又因為平面 PAD 丄平面 ABCD,交線為 AD,OP?平面 PAD, 所以

11、 OP 丄平面 ABCD.(1)6方法二：假設(shè)存在M 點使得BM/面PCD,設(shè)處=入，M(0,y,z),AP又因為 AC=CD,所以 OCL AD.因為 ABLAD,所以 OC/ AB 且 OC=2AB.如圖，分別以 OC,OA,OP 所在直線為 x 軸,y 軸,z 軸建立空間直角坐標系 P (0,0,1),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0).PB =(1,1,-1), PC =(2,0,-1), =(0,-1,-1).設(shè)平面 PCD 的法向量為n=(x,y,z),則豐2x =,n ,PD = _y _z = ,方法一：過 B 作 BE/ AD,交 OC 于 H,交 CD

12、于 E. 因為 OC/ AB 且 OC=2AB,所以 OH/AB,OH=AB,BH=AO.1所以 H 為 OC 的中點.所以 EH/ OD,EH=OD.23所以 BE= AD 且 BE/ AD.433在 PD,PA 上分別取點 F,M,使得 PF= PD,PM=PA,443貝 U FM/ AD,FM= AD.4所以 FM/ BE,FM=BE.所以四邊形 BEFM 為平行四邊形.所以 BM/ EF.又因為 BM?平面 PCD,EF?平面 PCD，所以 BM/平面 PCD. 因此，在棱 PA 上存在點 M,使得 BM/平面 PCD，且 A=-.AP4令 x=1 得,n=(1,-2,2).所以直線PB 與平面 PCD 所