2011屆高考數(shù)學第二輪知識點復(fù)習平面幾何初步(直線與圓)

1、2011 屆高考數(shù)學第二輪知識點復(fù)習平面幾何初步（直線與圓） 平面幾何初步（直線與圓） 【學法導(dǎo)航】高考資源網(wǎng) 解析幾何是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，各地區(qū)在這一部分的出題情況 較為相似，一般兩道小題一道大題， 分值約占 15%，即 22分左右.具體 分配為：直線和圓以及圓錐曲線的基礎(chǔ)知識兩個容易或中檔小題，機 動靈活，考查雙基；解答題難度設(shè)置在中等或以上，一般都有較高的 區(qū)分度，主要考查解析幾何的本質(zhì) “幾何圖形代數(shù)化與代數(shù)結(jié)果幾 何化 ”以及分析問題解決問題的能力 . 解析幾何的主要內(nèi)容是高二中的直線與方程，圓與方程，圓錐曲線與 方程考查的重點：直線的傾斜角與斜率、點到直線的距離、兩條直線 平

2、行與垂直關(guān)系的判定、直線和圓的方程、直線與圓、圓與圓的位置 關(guān)系；圓錐曲線的定義、標準方程、簡單的幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲 線的位置關(guān)系、曲線與方程、圓錐曲線的簡單應(yīng)用等，其中以直線與 圓錐曲線的位置關(guān)系最為重要。 【典例精析】 1. 直線的基本問題： 直線的方程幾種形式、 直線的斜率、 兩條直線平行 與垂直的條件、兩直線交點、點到直線的距離。 例 1 已知與，若兩直線平行，則的值為高考資源網(wǎng) 解析： 點評：解決兩直線平行問題時要記住看看是不是重合 易錯指導(dǎo)：不知道兩直線平行的條件、不注意檢驗兩直線是否重合是 本題容易出錯的地方。 例 2 經(jīng)過圓的圓心，且與直線垂直的直線方程是 解析：圓心坐標是

3、，所求直線的斜率是，故所求的直線方程是，即 點評：本題考查解析幾何初步的基本知識，涉及到求一般方程下的圓 心坐標，兩直線垂直的條件，直線的點斜式方程，題目簡單，但交匯 性很強，非常符合在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計試題的命題原則，一個小 題就把解析幾何初步中直線和圓的基本知識考查的淋漓盡致 易錯指導(dǎo)：基礎(chǔ)知識不牢固，如把圓心坐標求錯，不知道兩直線垂直 的條件，或是運算變形不細心，都可能導(dǎo)致得出錯誤的結(jié)果 2. 圓的基本問題：圓的標準方程和一般方程、兩圓位置關(guān)系 . 例 3 已知圓的方程為設(shè)該圓過點的最長弦和最短弦分別為和，則四 邊形的面積為（） ABCD 解析：圓心坐標是，半徑是，圓心到點的距離為，根

4、據(jù)題意最短弦和 最長弦（即圓的直徑）垂直，故最短弦的長為，所以四邊形的面積為 點評：本題考查圓、平面圖形的面積等基礎(chǔ)知識，考查邏輯推理、運 算求解等能力。解題的關(guān)鍵有二，一是通過推理知道兩條弦互相垂直 并且有一條為圓的直徑，二是能根據(jù)根據(jù)面積分割的道理，推出這個 四邊形的面積就是兩條對角線之積的一半。本題是一道以分析問題解 決問題的能力立意設(shè)計的試題 易錯指導(dǎo)：邏輯思維能力欠缺，不能找到解題的關(guān)鍵點，或是運算能 力欠缺，運算失誤，是本題不能解答或解答錯誤的主要原因 3. 圓錐曲線的基本問題：橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程及其性質(zhì)， 求簡單的曲線方程 . 例4已知點P在拋物線y2=4x上，那么點

5、P到點Q (2, 1)的距離 與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點 P的坐標為() A.(, 1) B.(, 1) C.(1, 2) D.(1,2) 解析：定點在拋物線內(nèi)部,由拋物線的定義,動點到拋物線焦點的距 離等于它到準線的距離,問題轉(zhuǎn)化為當點到點和拋物線的準線距離之 和最小時,求點的坐標,顯然點是直線和拋物線的交點,解得這個點 的坐標是。 點評：本題考查拋物線的定義和數(shù)形結(jié)合解決問題的思想方法類似的 題目在過去的高考中比較常見 易錯指導(dǎo)：不能通過草圖和簡單的計算確定點和拋物線的位置關(guān)系, 不能將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為其到準線的距離,是解錯本 題或不能解答本題的原因 例 5已

6、知圓以圓與坐標軸的交點分別作為雙曲線的一個焦點和頂點, 則適合上述條件的雙曲線的標準方程為 解析：圓和軸的交點是,和軸沒有交點。故只能是點為雙曲線的一個 頂點,即；點為雙曲線的一個焦點,即。 ,所以所求雙曲線的標準方程 點評：本題考查圓和雙曲線的基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。 解題的關(guān)鍵是確定所求雙曲線的焦點和頂點坐標 易錯指導(dǎo)：數(shù)形結(jié)合的思想意識薄弱，求錯圓與坐標軸的交點坐標， 用錯雙曲線中的關(guān)系等，是不同出錯的主要問題 4. 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 例 6 若圓的半徑為 1，圓心在第一象限， 且與直線和軸相切， 則該圓的 標準方程是（） AB CD 解析：設(shè)圓心坐標為，則且 .又，故

7、，由得（圓心在第一象限、舍去） 或，故所求圓的標準方程是。 點評：本題考查直線和圓的有關(guān)基礎(chǔ)知識，考查坐標法的思想，考查 運算能力。解題的關(guān)鍵是圓心坐標 易錯指導(dǎo)：不能把直線與圓相切的幾何條件通過坐標的思想轉(zhuǎn)化為代 數(shù)條件，或是運算求解失誤等 例7 （過雙曲線的右頂點為A,右焦點為F。過點F平行雙曲線的一條 漸近線的直線與雙曲線交于點 B,則 AFB的面積為 _ 解析：雙曲線右頂點，右焦點，雙曲線一條漸近線的斜率是，直線的 方程是，與雙曲線方程聯(lián)立解得點的縱坐標為，故 AFB的面積為 點評：本題考查雙曲線的基礎(chǔ)知識和運算能力。 易錯指導(dǎo)：過右焦點和漸近線平行的直線和雙曲線只有一個交點，如 果寫

8、錯漸近線的方程，就會解出兩個交點，不但增加了運算量，還使 結(jié)果錯誤。 例 8 在平面直角坐標系中，橢圓的焦距為，以為圓心，為半徑的圓做 圓，若過點，所作圓的兩切線互相垂直，則該橢圓的離心率為 解析：過點作圓的兩切線互相垂直，如圖，這說明四邊形是一個正方 形，即圓心到點的距離等于圓的半徑的倍，即，故 點評：本題把橢圓方程、圓和圓的切線結(jié)合起來，考查橢圓的簡單幾 何性質(zhì)，體現(xiàn)了 “在知識的網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計試題 ”的原則，較全面地考查 了解析幾何的基本知識。解題的突破口是將圓的兩條切線互相垂直轉(zhuǎn) 化為一個數(shù)量上的關(guān)系。 易錯指導(dǎo)：陷入圓的兩條切線互相垂直，不能通過數(shù)形結(jié)合的方法找 到解題途徑等，是考生

9、解錯本題的主要原因。 例 9 設(shè)，橢圓方程為， 拋物線方程為如圖 4 所示，過點作軸的平行線， 與拋物線在第一象限的交點為，已知拋物線在點的切線經(jīng)過橢圓的右 焦點 八、八、 （1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程； （2）設(shè)分別是橢圓長軸的左、 右端點，試探究在拋物線上是否存在點， 使得為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由 （不必具體求出這些點的坐標） 解析：（1）由得， 當?shù)?，G點的坐標為， 過點 G 的切線方程為即， 令得，點的坐標為，由橢圓方程得點的坐標為， 即， 即橢圓和拋物線的方程分別為和； （2）過作軸的垂線與拋物線只有一個交點 ,以為直角的只有一個， 同理 以

10、為直角的只有一個 若以為直角，設(shè)點坐標為， 、兩點的坐標分別為和， 。 關(guān)于的二次方程有一大于零的解，有兩解，即以為直角的有兩個，因 此拋物線上存在四個點使得為直角三角形。 點評：本題考查橢圓和拋物線方程的求法、 拋物線的切線方程的求法、 存在性問題的解決方法、分析問題解決問題的能力，是一道幾乎網(wǎng)羅 了平面解析幾何的所有知識點并且和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用交匯在一起的綜合性 試題，是一道 “在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處 ”設(shè)計的典型試題。 易錯指導(dǎo)：本題把拋物線和橢圓結(jié)合在一起，題目的條件里還有兩條 直線，考生在心理上畏懼，可能出現(xiàn)的問題是思維混亂，理不清題目 中錯綜復(fù)雜的關(guān)系，找不到正確的解題思路；在解決第二問時缺

11、乏分 類討論的思想意識產(chǎn)生漏解等 專題綜合】 易錯點一、考慮不全面 例 1 過（ 0，2）作直線，使與拋物線僅有一個公共點，這樣的直線有 幾條？ 錯解：設(shè)直線的方程為y= kx+2,與聯(lián)立，整理得 因為與拋物線僅有一個公共點，所以，解得 此時的方程為所以這樣的直線有一條 剖析： （ 1）問題之一，錯解忽視了對斜率不存在這一情況的考慮，事 實上，直線方程為x= 0時，是符合條件的。（2）問題之二，得到方程 后，方程不一定是一元二次方程。如果不是一元二次方程，當然就沒 有什么判別式了，故需按k= 0及兩種情況考慮。 正解：當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為 y = kx+2,與聯(lián)立，整 理得 （1

12、） k= 0時，方程只有一個解y = 2,故為直線y= 2時與拋物線只有 一個公共點，滿足條件； （ 2）時,因為與拋物線僅有一個公共點,所以,解得解得 此時的方程為 當直線的斜率不存在時，直線x= 0與拋物線只有一個公共點，滿足條 件 綜上，符合條件的直線有三條：x= 0, y= 2, 點評：忽視含參數(shù)系數(shù)的討論, 以及設(shè)直線方程 （為點斜式、 斜截式、 截距式等時,忽視對引入的參數(shù)（如斜率、截距等）的特殊情況的考 慮是同學們在做題中的常見錯誤，一定要注意 易錯點二：變形不等價 例 2 直線與曲線有且僅有一個公共點，則的取值范圍是（） A. B. 或 C. D. 錯解：聯(lián)立方程組，消去得，因

13、為直線與曲線有且僅有一個公共點， 所以方程只有一解，所以 ,解得，所以選 A. 剖析：本題中曲線并不是一個完整的圓而是半個圓（右半圓） ，而時， 直線與曲線有且僅有一個公共點，并不能保證直線與右半圓也只有一 個公共點 正解：作出曲線的圖形，如圖所示： 由圖形可得，當直線在和之間變化時，滿足題意，同時，當直線在的 位置時也同時滿足題意，所以應(yīng)選（ B） 點評：曲線的表達式本身限制了的取值只是非負值，所以曲線只是圓 的右半部分。若用代數(shù)方法處理，應(yīng)是方程組化為關(guān)于的方程后只有 一個非負解，相比之下數(shù)形結(jié)合更簡捷明快 【專題突破】 1. 過點的直線 l 經(jīng)過圓的圓心，則直線 l 的傾斜角大小為（）

14、A. 150 B. 120 C. 30D. 60 2. （08重慶卷3）圓01和圓02:的位置關(guān)系是（） A.相離B.相交C外切D.內(nèi)切 3. 方程對應(yīng)的曲線是（） 4. 設(shè)直線與拋物線交于A、B兩點，則AB的中點到軸的距離為（） A4B3C2D1 5. （文）若直線 mx+ ny=4和。0：沒有交點，則過（m, n）的直線 與橢圓的交點個數(shù)（） A.至多一個B. 2個C. 1個D. 0個 5. （理）在橢圓上有一點 P, F1、F2是橢圓的左右焦點， F1PF2為直 角三角形，則這樣的點P有（） A.4個或6個或8個E. 4個C. 6個D. 8個 6. 已知點在圓上運動,則代數(shù)式的最大值是（

15、） A.B.C.D. 7. 橢圓的離心率的取值范圍是（） A.（） B.（） C.（） D.（） 8. 對于拋物線上任意一點,點都滿足,則實數(shù)的最大值是（） A. 0B. 1C. 2D. 4 9 .已知橢圓，過右焦點F做不垂直于軸的弦交橢圓于 A、B兩點，AB 的垂直平分線交軸于N,則（） A. B. C. D. 10. 已知曲線和直線（ a、 b 為非零實數(shù)），在同一坐標系中，它們的圖 形可能是（） ABCD 11. （文）已知點P在拋物線上，那么點P到點的距離與點P到拋物線焦 點距離之和取得最小值時，點 P 的坐標為（） A.B.C.D. 11. （理）在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知

16、兩點， 。若點滿足， 其中且，則點的軌跡方程為（） AB CDx + 2y 5 = 0 12. 已知雙曲線E的離心率為e,左、右兩焦點分別為F1、F2,拋物線 C以F2為頂點，F(xiàn)1為焦點，點P為拋物線與雙曲線右支上的一個交點， 若 a|PF2| + c|PF1| = 8a2，則 e 的值為（） A.3B.3C.2D.6 二填空題：本大題共 4小題,每小題 4分,共 16分,請把答案直接 填在題中橫線上 . 13（文科）已知拋物線的直線與拋物線相交于兩點, ,則最小值為 . 13. （理科）已知拋物線到拋物線的準線距離為 d1,到直線的距離為d2, 則 d1+d2 的最小值是 . 14. 雙曲線

17、（ 0, ）的離心率為2,有一個焦點與拋物線的焦點重合， 則的值為。 15已知與拋物線：,若過點的直線與拋物線有且只有一個公共點,則 滿足條件的直線有條 16如圖,把橢圓的長軸分成等份,過每個分點作軸的垂線交橢圓的 上半部分于七個點,是橢圓的一個焦點,則 參考答案 一、選擇題 1-5BBAB文 B 理 A6-10ADCBC11-1文 B 理 DA 6. A提示：設(shè)=，則表示點與點（0, 0）連線的斜率.當該直線kx y= 0與圓相切時，取得最大值與最小值圓心（2,0），由=1,解得，二的 最大值為.11.（文）B 11.（文）A提示：拋物線的焦點為F （1, 0）,作PA垂直于準線x= 1, 則 I PA| = | PF|,當A、P、Q在同一條直線上時， I PF| + | PQ| = | PA| + | PQ| = | AQ |, 此時，點 P 到 Q 點距離與拋物線焦點距離之和取得最小值， P點的縱坐標為1,有1