高中數(shù)學(xué)——三角函數(shù)圖像和性質(zhì)講義

1、【講義課題:三角函數(shù)圖像和性質(zhì) 【考點(diǎn)及考試要求】I .正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像y=cosxyy=tanx 2.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:' y=cotxI1nit_2r2 2 _. 冗 . n 1 _ y=sinx 的遞增區(qū)間是.|2kn ,2kn +（k=Z）,221二3 二遞減區(qū)間是 |2kn + ,2kn + i（k= Z） -II 22y =cosx的遞增區(qū)間是 2kn 兀,2kn（k w Z）,遞減區(qū)間是 2kn,2kn十幾】（k w Z）,y =tanx的遞增區(qū)間是3 .函數(shù) y = Asin（ x ） B （其中 A 0,0）2 二一 , 取大值是A * B ,取小

2、值是B - A ,周期是T =,頻率是f =,相位是8x +中,2 二初相是中；其圖象的對(duì)稱軸是直線 gx + ?=kn +（k w Z）,凡是該圖象與直線 y = B的 交點(diǎn)都是該圖象的對(duì)稱中心。4 .由y= sin x的圖象變換出y=sin（ 3 x+邛）的圖象一般有兩個(gè)途徑，只有區(qū)別開這 兩個(gè)途徑，才能靈活進(jìn)行圖象變換。利用圖象的變換作圖象時(shí)，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無論哪種變 形，請(qǐng)切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母 x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角 變化”多少。途徑一：先平移變換再周期變換（伸縮變換）中I個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)先將y=sin x的圖象向左（

3、中>0）或向右（中< 0=平移|1 "-的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?一倍（co>0）,便得y=sin（ 3 x+中）的圖象。途徑二：先周期變換（伸縮變換）再平移變換。1 一一 先將y=sin x的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊槐叮?#171; >0）,再沿x軸向左（5> 0）co或向右（中v 0=平移巴1個(gè)單位，便得y = sin（ 3 x+平）的圖象。 co5 .由y= Asin（ 3 x+中）的圖象求其函數(shù)式：， ，、呼給出圖象確定解析式y(tǒng)=Asin （cox+中）的題型，有時(shí)從尋找“五點(diǎn)”中的第一零點(diǎn)（，0）作為突破口，要從圖象的升降情況找準(zhǔn).第一個(gè)零點(diǎn)的

4、位置。6 .對(duì)稱軸與對(duì)稱中心：y=sinx的對(duì)稱軸為x = k兀+，2 ,對(duì)稱中心為（kn,0） kZ；y=cosx的對(duì)稱軸為x = kn ,對(duì)稱中心為（kn十-2,0）;對(duì)于y =Asin（0x+4）和y = Acos（ox+e）來說，對(duì)稱中心與零點(diǎn)相聯(lián)系，對(duì)稱軸與最值點(diǎn)聯(lián)系。7 .求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，要特別注意A、co的正負(fù)利用單調(diào)性三角函數(shù)大小一般要化為同名函數(shù)，并且在同一單調(diào)區(qū)間；8 .求三角函數(shù)的周期的常用方法：經(jīng)過恒等變形化成“ y = Asin（cox +魴、y = Acos&x +©） ”的形式，在利用周期公式，另外還

5、有圖像法和定義法。9 .五點(diǎn)法作y=Asin （cox+中）的簡圖：五點(diǎn)取法是設(shè)x=cox+中，由x取0、 >兀、> 2兀來求相應(yīng)的x值及對(duì)應(yīng)的y值,再描點(diǎn)作圖。題型1:三角函數(shù)的圖象例1 . （2000全國，5）函數(shù)y= xcosx的部分圖象是（）ABCD解析：因?yàn)楹瘮?shù)y= xcosx是奇函數(shù)，它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以排除A C當(dāng)xC （0, ）時(shí)，y= xcosxv。答案為 Do2例 2. (2002 上海，15)函數(shù) y=x+sin| x| , xC 解析：由奇偶性定義可知函數(shù)y=x+sin| x| , x兀，兀為非奇非偶函數(shù)。選項(xiàng)A、D為奇函數(shù)，B為偶函數(shù)，C為非奇非偶函

6、數(shù)。點(diǎn)評(píng)：利用函數(shù)的性質(zhì)來描繪函數(shù)的圖象，這樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì)，又能熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法。題型2:三角函數(shù)圖象的變換例3.試述如何由y=-sin （2x+ ）的圖象得到 y=sin x的圖象。解析：y=isin （2x+三）橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的臉縱坐標(biāo)不變Lin (x +)圖象向右平移3個(gè)單位縱坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的3 倍橫坐標(biāo)不變> y =sin x另法答案:(1)先將y=-sin （2x+ ）的圖象向右平移 個(gè)單位，得y=sin2 x的圖象;(2)再將y=1 * 3sin2 x上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得y=1 sin x33的圖象;(3)再

7、將丫=1sin x圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍（橫坐標(biāo)不變），即可得到3y=sin x的圖象。例4.把曲線ycosx+2y1=0先沿x軸向右平移，個(gè)單位，再沿y軸向下平移1個(gè)單位，得到的曲線方程是()A. (1y) sin x+2y 3=0C. (y+1) sin x+2y+1=0B. (y1) sin x+2y 3=0D. (y+1)sin x+2y+1=0解析：將原方程整理為:y=2 cosxIT因?yàn)橐獙⒃€向右、向下分別移動(dòng) -個(gè)單2位和1個(gè)單位，因此可得 y=1為所求方程.整理得（y+1） sin x+2y+1=0.2 cos(x -)點(diǎn)評(píng)：本題考查了曲線平移的基本方法及三角函

8、數(shù)中的誘導(dǎo)公式。如果對(duì)平移有深刻理解，可直接化為：（y+1） cos （x、） +2 （y+1） 1=0,即得C選項(xiàng)。題型3:三角函數(shù)圖象的應(yīng)用例 5. (1)已知函數(shù) f (x) =Asin ( 3 x+中)(A>0, w >0,xC R）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示,函數(shù)f （x）圖象的所有交點(diǎn)的坐標(biāo)。求直線y=J3與圖5?r7靠T2解析：根據(jù)圖象得 A=2, T=兀2ji)=4 兀，23 = , y=2sin ( + ),1 二、x+一）。22m 冗又由圖象可得相位移為一平=.即 y=2sin4根據(jù)條件J3 =2sin （ ； x1=2k 兀 + (kCZ)或x冗+ =2k 兀

9、42+一兀35 八一、+ 兀（kCZ）。6所有交點(diǎn)坐標(biāo)為（4k兀+ 一6(kez),JIx=4k 兀 + (k C Z)或 x=4k 兀5二,43)或(4k 兀 + ,*3) (kCZ)。6點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的基本知識(shí)，考查邏輯思維能力、 分析和解決問題的能力。(2) (2002 全國文 5)在(0, 2兀)內(nèi)，使sinx>cosx成立的x取值范圍為(. TLA.(4TL)U (2,冗C.(4解析：C；解法一：作出在(0,2兀)區(qū)間上正弦和余弦函數(shù)的圖象,解出兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由圖1可得C答案。i圖2C (如圖2)例7.(1)已知f (x)(2)求函數(shù) y=lgsin分析：求函數(shù)的定

10、義域: 以它的值充當(dāng)角。的定義域?yàn)?, 1,求f (cosx)的定義域；(cosx)的定義域；(1)要使 0wcosxwi, (2)要使 sin (cosx)>0,這里的cosx解法二：在單位圓上作出一、三象限的對(duì)角線，由正弦線、余弦線知應(yīng)選 題型4：三角函數(shù)的定義域、值域解析：(1) 0w cosxv 1=> 2k % - - < x<2kjt +,且 xw 2k 兀(k C Z)。二所求函數(shù)的定義域?yàn)閤 | x 2kTT .萬 一一兀一一，2kTt+且 xw2k兀，ke Z。(2)由 sin (cosx)又.一 1 < cosxw 1 ,故所求定義域?yàn)閤 I&

11、gt; 0= 2k 兀 < cosx v 2k % +兀(kCZ)。. 0V cosxw 1。一 ，一TT ,萬、一一xC ( 2k %, 2k 兀 + - ), kC Z。點(diǎn)評(píng)：求三角函數(shù)的定義域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是圖象，二是三角 函數(shù)線。412.例8.已知函數(shù)f (x) =6cos x-58s x 1 ,求f汽)的定義域，判斷它的奇偶cos2x性，并求其值域。解析：由 8s2xw 0得2xw kn +土，解得xw上十三，kCZ,所以f (x)的定義域?yàn)?2 4x|xeR且xw4n+土，kCZ,24因?yàn)閒 (x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，4242)6cos (-x) -

12、5cos (-x) 1 6cos x - 5cos x 1 一、且 f ( x) =L1L=f (x)。cos(-2x)cos2x所以f (x)是偶函數(shù)。“ k二 二 又當(dāng)xw十一(kC Z)時(shí),246 cos4 x - 5 cos2 x 1f (x)=cos2x(2cos2x - 1)(3cos2x - 1)=3cos2x-1。cos2x1八1所以f (x)的值域?yàn)閥| 1 w y< 或<yW 2。22點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的基本知識(shí)，考查邏輯思維能力、分析和解決問題的能力。題型5:三角函數(shù)的單調(diào)性例9.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1) y=- sin (2 2x ); (2)

13、y= | sin (x+ ) | 。2434分析：(1)要將原函數(shù)化為y=- - sin (2x三)再求之。234.一. TT ,，一八(2)可回出y=- |sin (x+ - ) |的圖象。解：(1)y=lsin (三一2x) =1sin (生一三)。243234故由 2k 兀一Hw2x 工 W2k7t+N。2342口 3k兀一匹wxw3k兀+ (kCZ),為單調(diào)減區(qū)間； 88由 2kTt +-< Zx - - <2kjt + o2342=3k兀+紅 wxW3kTt+如 (kCZ),為單調(diào)增區(qū)間。88，遞減區(qū)間為3k兀紅，3k兀+匹, 88遞增區(qū)間為13kTt+覘，3kTt +生

14、(ke Z)。88(2)y=|sin (x+三)|的圖象的增區(qū)間為卜兀+，kn +巴，減區(qū)間為kn，4444ku +Io45 二3 ： .,二二y 二 3 二 5 二 7 二-4 T T - T -例10. (2002京皖春文，9)函數(shù)y=2sinx的單調(diào)增區(qū)間是().冗.冗 _ 一一A. 2kjt , 2kjt + (kCZ)223二.B. 2kjt + , 2k兀 + (k C Z)22C. 2k 兀一兀,2k 兀(kC Z)D. ：2kTt , 2k% + Tt (ke Z)解析：A;函數(shù)y=2x為增函數(shù)，因此求函數(shù)y=2sinx的單調(diào)增區(qū)間即求函數(shù)y=sin x的單調(diào)增區(qū)間。題型6:三

15、角函數(shù)的奇偶性例11.判斷下面函數(shù)的奇偶性：f (x) =lg (sin x+Yl+sin2 x)。分析：判斷奇偶性首先應(yīng)看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后再看f (x)與f (-x)的關(guān)系。解析：定義域?yàn)?R,又f (x) +f (x) =lg1=0 ,即 f (x) =f (x), 1- f (x)為奇函數(shù)。點(diǎn)評(píng)：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要(但不充分)條件。例12.關(guān)于x的函數(shù)f (x) =sin (x+中)有以下命題：對(duì)任意的平，f (x)都是非奇非偶函數(shù)；不存在中，使f (x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；存在中，使f (x)是奇函數(shù)；對(duì)任意的邛，f (x)都不是偶函數(shù)。其中一個(gè)假

16、命題的序號(hào)是 .因?yàn)楫?dāng)中=時(shí)，該命題的結(jié)論不成立。答案：，ku (kCZ)；或者， 一+k兀(kCZ)；或者， 一+kTt (kCZ)22解析：當(dāng)=2kTt , ke Z 時(shí)，f (x) =sin x 是奇函數(shù)。當(dāng)邛=2 (k+1)兀，kC Z 時(shí) f (x)=sin x 仍是奇函數(shù)。當(dāng) = =2k 兀 + , k C Z 時(shí)，f (x) =cosx,或當(dāng) = =2k u , k C Z時(shí)，f (x) =cosx, f (x)都是偶函數(shù).所以和都是正確的。無論 中為何值都不能使f (x)恒等于零。所以f (x)不能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。和都是假命題。點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的奇偶性、誘導(dǎo)公式以及分析問題的能力，注意kCZ不能不寫，否則不給分，本題的答案不惟一，兩個(gè)空全答對(duì)才能得分。題型7:三角函數(shù)的周期性例13.求函數(shù)y=sin 6x+cos6x的最小正周期，并求 分析：將原函數(shù)化成 y=Asin (cox+中)+B的形式,解析：y=sin 6x+cos6x= (sin 2x+cos2x) (sin 4x sinx為何值時(shí)，y有最大值。即可求解。224