數(shù)學(xué)模型第二章習(xí)題答案

1、第二章(2)（2008年10月9日）15速度為的風(fēng)吹在迎風(fēng)面積為的風(fēng)車上，空氣密度是 ，用量綱分析方法確定風(fēng)車獲得的功率與、S、的關(guān)系.解: 設(shè)、S、的關(guān)系為， 其量綱表達(dá)式為:P=, =,=,=,這里是基本量綱.量綱矩陣為：A=齊次線性方程組為：它的基本解為由量綱定理得， ， 其中是無量綱常數(shù).16雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數(shù)和重力加速度有關(guān)，其中粘滯系數(shù)的定義是：運(yùn)動(dòng)物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù)，用量綱分析方法給出速度的表達(dá)式.解：設(shè), 的關(guān)系為,=0.其量綱表達(dá)式為=LM0T-1，=L-3MT0，=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=M

2、LL-2T-2T=L-1MT-1，=LM0T-2,其中L，M，T是基本量綱.量綱矩陣為 A=齊次線性方程組Ay=0 ，即 的基本解為y=(-3 ,-1 ,1 ,1)由量綱定理 得 . ，其中是無量綱常數(shù).16雨滴的速度與空氣密度、粘滯系數(shù)、特征尺寸和重力加速度有關(guān)，其中粘滯系數(shù)的定義是：運(yùn)動(dòng)物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù)，用量綱分析方法給出速度的表達(dá)式.解：設(shè),， 的關(guān)系為.其量綱表達(dá)式為=LM0T-1，=L-3MT0，=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，=LM0T0 ，=LM0T-2其中L，M，T是基本量綱

3、.量綱矩陣為A=齊次線性方程組Ay=0 即 的基本解為 得到兩個(gè)相互獨(dú)立的無量綱量即 . 由 , 得 , 其中是未定函數(shù). 20.考察阻尼擺的周期，即在單擺運(yùn)動(dòng)中考慮阻力，并設(shè)阻力與擺的速度成正比.給出周期的表達(dá)式，然后討論物理模擬的比例模型，即怎樣由模型擺的周期計(jì)算原型擺的周期.解：設(shè)阻尼擺周期,擺長(zhǎng), 質(zhì)量,重力加速度，阻力系數(shù)的關(guān)系為其量綱表達(dá)式為：， 其中，是基本量綱.量綱矩陣為 A=齊次線性方程組 的基本解為得到兩個(gè)相互獨(dú)立的無量綱量, , ，其中是未定函數(shù) . 考慮物理模擬的比例模型，設(shè)和不變，記模型和原型擺的周期、擺長(zhǎng)、質(zhì)量分別為,；,;,. 又 當(dāng)無量綱量時(shí)， 就有 .數(shù)學(xué)模型

4、作業(yè)解答第三章1（2008年10月14日）2建立不允許缺貨的生產(chǎn)銷售存貯模型設(shè)生產(chǎn)速率為常數(shù)，銷售速率為常數(shù)，在每個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)，開始的一段時(shí)間一邊生產(chǎn)一邊銷售，后來的一段時(shí)間只銷售不生產(chǎn)，畫出貯存量的圖形.設(shè)每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為，單位時(shí)間每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為，以總費(fèi)用最小為目標(biāo)確定最優(yōu)生產(chǎn)周期，討論和的情況. 解：由題意可得貯存量的圖形如下：O 貯存費(fèi)為 又 , 貯存費(fèi)變?yōu)?于是不允許缺貨的情況下，生產(chǎn)銷售的總費(fèi)用（單位時(shí)間內(nèi)）為 . , 得 易得函數(shù)取得最小值，即最優(yōu)周期為： . 相當(dāng)于不考慮生產(chǎn)的情況. . 此時(shí)產(chǎn)量與銷量相抵消，無法形成貯存量.第三章2（2008年10月16日）3在3.3節(jié)森林救

5、火模型中，如果考慮消防隊(duì)員的滅火速度與開始救火時(shí)的火勢(shì)有關(guān)，試假設(shè)一個(gè)合理的函數(shù)關(guān)系，重新求解模型.解：考慮滅火速度與火勢(shì)有關(guān)，可知火勢(shì)越大，滅火速度將減小，我們作如下假設(shè): ，分母而加的.總費(fèi)用函數(shù)最優(yōu)解為 5在考慮最優(yōu)價(jià)格問題時(shí)設(shè)銷售期為T，由于商品的損耗，成本隨時(shí)間增長(zhǎng)，設(shè)，.又設(shè)單位時(shí)間的銷售量為.今將銷售期分為兩段，每段的價(jià)格固定，記作.求的最優(yōu)值，使銷售期內(nèi)的總利潤(rùn)最大.如果要求銷售期T內(nèi)的總售量為，再求的最優(yōu)值. 解：按分段價(jià)格，單位時(shí)間內(nèi)的銷售量為 又 .于是總利潤(rùn)為=, 得到最優(yōu)價(jià)格為:在銷售期T內(nèi)的總銷量為于是得到如下極值問題： 利用拉格朗日乘數(shù)法，解得：即為的最優(yōu)值.第三

6、章3（2008年10月21日）6. 某廠每天需要角鋼100噸，不允許缺貨.目前每30天定購(gòu)一次，每次定購(gòu)的費(fèi)用為2500元.每天每噸角鋼的貯存費(fèi)為0.18元.假設(shè)當(dāng)貯存量降到零時(shí)訂貨立即到達(dá).問是否應(yīng)改變訂貨策略？改變后能節(jié)約多少費(fèi)用？解：已知：每天角鋼的需要量r=100(噸);每次訂貨費(fèi)2500（元）;每天每噸角鋼的貯存費(fèi)0.18（元）.又現(xiàn)在的訂貨周期T30（天）根據(jù)不允許缺貨的貯存模型：得：令 ， 解得： 由實(shí)際意義知：當(dāng)（即訂貨周期為）時(shí)，總費(fèi)用將最小. 又300100k =35333100k（353.33100k）（300100k）5333.故應(yīng)改變訂貨策略.改變后的訂貨策略（周期）

7、為T=，能節(jié)約費(fèi)用約5333元.數(shù)學(xué)模型作業(yè)解答第四章（2008年10月28日）1. 某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,一件甲產(chǎn)品用原料1千克, 原料5千克；一件乙產(chǎn)品用原料2千克, 原料4千克.現(xiàn)有原料20千克, 原料70千克.甲、乙產(chǎn)品每件售價(jià)分別為20元和30元.問如何安排生產(chǎn)使收入最大？解：設(shè)安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件,乙產(chǎn)品y件，相應(yīng)的利潤(rùn)為S則此問題的數(shù)學(xué)模型為： max S=20x+30y s.t. 這是一個(gè)整線性規(guī)劃問題，現(xiàn)用圖解法進(jìn)行求解可行域?yàn)椋河芍本€：x+2y=20, :5x+4y70 y 以及x=0,y=0組成的凸四邊形區(qū)域. 直線：20x+30y=c在可行域內(nèi) 平行移動(dòng). 易知：當(dāng)過與

8、的交點(diǎn)時(shí)， xS取最大值. 由 解得 此時(shí) 20350（元）2. 某廠擬用集裝箱托運(yùn)甲乙兩種貨物，每箱的體積、重量以及可獲利潤(rùn)如下表：貨物體積（立方米/箱）重量（百斤/箱）利潤(rùn)（百元/箱）甲5220乙4510 已知這兩種貨物托運(yùn)所受限制是體積不超過24立方米，重量不超過13百斤.試問這兩種貨物各托運(yùn)多少箱，使得所獲利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn).解:設(shè)甲貨物、乙貨物的托運(yùn)箱數(shù)分別為,所獲利潤(rùn)為則問題的數(shù)學(xué)模型可表示為 這是一個(gè)整線性規(guī)劃問題. 用圖解法求解. 可行域?yàn)椋河芍本€ 及組成直線 在此凸四邊形區(qū)域內(nèi)平行移動(dòng). 易知：當(dāng)過與的交點(diǎn)時(shí)，取最大值由 解得 . 3某微波爐生產(chǎn)企業(yè)計(jì)劃在下季度生產(chǎn)甲、

9、乙兩種型號(hào)的微波爐.已知每臺(tái)甲型、乙型微波爐的銷售利潤(rùn)分別為3和2個(gè)單位.而生產(chǎn)一臺(tái)甲型、乙型微波爐所耗原料分別為2和3個(gè)單位,所需工時(shí)分別為4和2個(gè)單位.若允許使用原料為100個(gè)單位,工時(shí)為120個(gè)單位,且甲型、乙型微波爐產(chǎn)量分別不低于6臺(tái)和12臺(tái).試建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型,確定生產(chǎn)甲型、乙型微波爐的臺(tái)數(shù),使獲利潤(rùn)最大并求出最大利潤(rùn).解：設(shè)安排生產(chǎn)甲型微波爐件,乙型微波爐件,相應(yīng)的利潤(rùn)為S.則此問題的數(shù)學(xué)模型為： max S=3x +2y s.t. 這是一個(gè)整線性規(guī)劃問題 用圖解法進(jìn)行求解可行域?yàn)椋河芍本€：2x+3y=100, :4x+2y120 及x=6,y=12組成的凸四邊形區(qū)域. 直線：3x

10、+2y=c在此凸四邊形區(qū)域內(nèi)平行移動(dòng). 易知：當(dāng)過與的交點(diǎn)時(shí), S取最大值. 由 解得 . 3100.數(shù)學(xué)模型作業(yè)解答第五章1（2008年11月12日）1.對(duì)于5.1節(jié)傳染病的模型，證明： （1）若，然后減少并趨于零；單調(diào)減少至 （2）解：傳染病的模型（14）可寫成 （1） （2） 4在5.3節(jié)正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型（3）中，設(shè)乙方與甲方戰(zhàn)斗有效系數(shù)之比為初始兵力相同. (1) 問乙方取勝時(shí)的剩余兵力是多少,乙方取勝的時(shí)間如何確定. (2) 若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備部隊(duì)以不變的速率增援,重新建立模型,討論如何判斷雙方的勝負(fù). 解:用表示甲、乙交戰(zhàn)雙方時(shí)刻t的士兵人數(shù),則正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型可近似表示為: 現(xiàn)求(

11、1)的解: (1)的系數(shù)矩陣為.再由初始條件，得又由其解為 (1) 即乙方取勝時(shí)的剩余兵力數(shù)為又令注意到. (2) 若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備部隊(duì)以不變的速率增援.則 相軌線為 此相軌線比書圖11中的軌線上移了乙方取勝的條件為數(shù)學(xué)模型作業(yè)解答第六章（2008年11月20日）1.在6.1節(jié)捕魚模型中，如果漁場(chǎng)魚量的自然增長(zhǎng)仍服從Logistic規(guī)律，而單位時(shí)間捕撈量為常數(shù)h(1)分別就，這3種情況討論漁場(chǎng)魚量方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定狀況(2)如何獲得最大持續(xù)產(chǎn)量，其結(jié)果與6.1節(jié)的產(chǎn)量模型有何不同解：設(shè)時(shí)刻t的漁場(chǎng)中魚的數(shù)量為，則由題設(shè)條件知：變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型為記(1).討論漁場(chǎng)魚量的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定

12、性：由，得 即 ，(1)的解為：當(dāng)，(1)無實(shí)根，此時(shí)無平衡點(diǎn)；當(dāng)，(1)有兩個(gè)相等的實(shí)根，平衡點(diǎn)為.， 不能斷定其穩(wěn)定性.但 及 均有 ，即不穩(wěn)定；當(dāng)，時(shí)，得到兩個(gè)平衡點(diǎn)：， 易知： ， ， ，平衡點(diǎn)不穩(wěn)定，平衡點(diǎn)穩(wěn)定x(2)最大持續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學(xué)模型為即 ， 易得 此時(shí) ，但這個(gè)平衡點(diǎn)不穩(wěn)定這是與6.1節(jié)的產(chǎn)量模型不同之處要獲得最大持續(xù)產(chǎn)量，應(yīng)使?jié)O場(chǎng)魚量，且盡量接近，但不能等于2.與Logistic模型不同的另一種描述種群增長(zhǎng)規(guī)律的是Gompertz模型：其中r和N的意義與Logistic模型相同設(shè)漁場(chǎng)魚量的自然增長(zhǎng)服從這個(gè)模型，且單位時(shí)間捕撈量為討論漁場(chǎng)魚量的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性，求最大持續(xù)產(chǎn)量

13、及獲得最大產(chǎn)量的捕撈強(qiáng)度和漁場(chǎng)魚量水平解：變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型為 記 令，得 ，平衡點(diǎn)為 . 又， 平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，而平衡點(diǎn)不穩(wěn)定. 0 最大持續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學(xué)模型為：由前面的結(jié)果可得 ，令得最大產(chǎn)量的捕撈強(qiáng)度從而得到最大持續(xù)產(chǎn)量，此時(shí)漁場(chǎng)魚量水平3設(shè)某漁場(chǎng)魚量(時(shí)刻漁場(chǎng)中魚的數(shù)量)的自然增長(zhǎng)規(guī)律為：其中為固有增長(zhǎng)率,為環(huán)境容許的最大魚量. 而單位時(shí)間捕撈量為常數(shù).1求漁場(chǎng)魚量的平衡點(diǎn),并討論其穩(wěn)定性;2試確定捕撈強(qiáng)度,使?jié)O場(chǎng)單位時(shí)間內(nèi)具有最大持續(xù)產(chǎn)量,求此時(shí)漁場(chǎng)魚量水平.解：1變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型為 記,令 ，即 -（1） ， （1）的解為： 當(dāng)時(shí)，（1）無實(shí)根，此時(shí)無平衡點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，（1）有兩個(gè)相

14、等的實(shí)根，平衡點(diǎn)為. ， 不能斷定其穩(wěn)定性.但 及 均有 ，即不穩(wěn)定； 當(dāng)時(shí)，得到兩個(gè)平衡點(diǎn)： ， 易知 ， ， 平衡點(diǎn)不穩(wěn)定 ，平衡點(diǎn)穩(wěn)定. 2最大持續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學(xué)模型為： 即 ， 易得 此時(shí) ，但這個(gè)平衡點(diǎn)不穩(wěn)定.要獲得最大持續(xù)產(chǎn)量，應(yīng)使?jié)O場(chǎng)魚量,且盡量接近,但不能等于. 數(shù)學(xué)模型作業(yè)解答7. 右下圖是5位網(wǎng)球選手循環(huán)賽的結(jié)果，作為競(jìng)賽圖，它是雙向連通的嗎？找出幾條完全路徑，用適當(dāng)方法排出5位選手的名次.21345解：這個(gè)5階競(jìng)賽圖是一個(gè)5階有向Hamilton圖.其一個(gè)有向Hamilton圈為3.所以此競(jìng)賽圖是雙向連通的. 等都是完全路徑. 此競(jìng)賽圖的鄰接矩陣為 令，各級(jí)得分向量為， ，

15、， 由此得名次為5，1（4），2，3 （選手1和4名次相同）. 注：給5位網(wǎng)球選手排名次也可由計(jì)算A的最大特征根和對(duì)應(yīng)特征向量得到：，第九章（2008年12月18日）1在節(jié)傳送帶效率模型中,設(shè)工人數(shù)固定不變.若想提高傳送帶效率D,一種簡(jiǎn)單的方法是增加一個(gè)周期內(nèi)通過工作臺(tái)的鉤子數(shù)，比如增加一倍，其它條件不變另一種方法是在原來放置一只鉤子的地方放置兩只鉤子，其它條件不變，于是每個(gè)工人在任何時(shí)刻可以同時(shí)觸到兩只鉤子，只要其中一只是空的，他就可以掛上產(chǎn)品，這種辦法用的鉤子數(shù)量與第一種辦法一樣試推導(dǎo)這種情況下傳送帶效率的公式，從數(shù)量關(guān)系上說明這種辦法比第一種辦法好解：兩種情況的鉤子數(shù)均為第一種辦法是個(gè)位

16、置，單鉤放置個(gè)鉤子；第二種辦法是個(gè)位置，成對(duì)放置個(gè)鉤子 由節(jié)的傳送帶效率公式，第一種辦法的效率公式為當(dāng)較小，時(shí)，有， 下面推導(dǎo)第二種辦法的傳送帶效率公式：對(duì)于個(gè)位置，每個(gè)位置放置的兩只鉤子稱為一個(gè)鉤對(duì)，考慮一個(gè)周期內(nèi)通過的個(gè)鉤對(duì)任一只鉤對(duì)被一名工人接觸到的概率是； 任一只鉤對(duì)不被一名工人接觸到的概率是；記由工人生產(chǎn)的獨(dú)立性及事件的互不相容性得，任一鉤對(duì)為空的概率為，其空鉤的數(shù)為；任一鉤對(duì)上只掛上件產(chǎn)品的概率為，其空鉤數(shù)為所以一個(gè)周期內(nèi)通過的個(gè)鉤子中，空鉤的平均數(shù)為 于是帶走產(chǎn)品的平均數(shù)是 ，未帶走產(chǎn)品的平均數(shù)是 ）此時(shí)傳送帶效率公式為 近似效率公式：由于 當(dāng)時(shí)，并令，則 兩種辦法的比較：由上知

17、：，當(dāng)時(shí)， 所以第二種辦法比第一種辦法好數(shù)學(xué)模型作業(yè)解答 第九章（2008年12月23日）一報(bào)童每天從郵局訂購(gòu)一種報(bào)紙，沿街叫賣.已知每100份報(bào)紙報(bào)童全部賣出可獲利7元.如果當(dāng)天賣不掉，第二天削價(jià)可以全部賣出，但報(bào)童每100份報(bào)紙要賠4元.報(bào)童每天售出的報(bào)紙數(shù)是一隨機(jī)變量，其概率分布如下表：售出報(bào)紙數(shù)（百份）012345概率0050.10.250.350.150.1試問報(bào)童每天訂購(gòu)多少份報(bào)紙最佳(訂購(gòu)量必須是100的倍數(shù))？解：設(shè)每天訂購(gòu)百份紙，則收益函數(shù)為 收益的期望值為G(n) = + 現(xiàn)分別求出 =時(shí)的收益期望值. G(0)=0；G(1)=×0.05+7×0.1+7

18、×（0.25+0.35+0.15+0.1）=6.45;G(2)= ();G(3)=() G(4)=() G(5)= 當(dāng)報(bào)童每天訂300份時(shí)，收益的期望值最大. 5某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,生產(chǎn)每件產(chǎn)品需要原材料、能源消耗、勞動(dòng)力及所獲利潤(rùn)如下表所示：品種原材料能源消耗(百元)勞動(dòng)力(人)利潤(rùn)(千元)甲2144乙3625現(xiàn)有庫(kù)存原材料1400千克；能源消耗總額不超過2400百元；全廠勞動(dòng)力滿員為2000人.試安排生產(chǎn)任務(wù)(生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品各多少件),使利潤(rùn)最大,并求出最大利潤(rùn).解：設(shè)安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品件，乙產(chǎn)品件，相應(yīng)的利潤(rùn)為S.則此問題的數(shù)學(xué)模型為 模型的求解： 用圖解法.可行域?yàn)椋河芍本€

19、組成的凸五邊形區(qū)域. 直線在此凸五邊形區(qū)域內(nèi)平行移動(dòng). 易知：當(dāng)過的交點(diǎn)時(shí)，S取最大值. 由 解得：（千元）. 故安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品400件、乙產(chǎn)品200件,可使利潤(rùn)最大,其最大利潤(rùn)為2600千元.6. 某廠擬用集裝箱托運(yùn)甲乙兩種貨物，每箱的體積、重量以及可獲利潤(rùn)如下表：貨物體積（立方米/箱）重量（百斤/箱）利潤(rùn)（百元/箱）甲5220乙4510 已知這兩種貨物托運(yùn)所受限制是體積不超過24立方米，重量不超過13百斤.試問這兩種貨物各托運(yùn)多少箱，使得所獲利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn).解:設(shè)甲貨物、乙貨物的托運(yùn)箱數(shù)分別為,所獲利潤(rùn)為則問題的數(shù)學(xué)模型可表示為 這是一個(gè)整線性規(guī)劃問題. 用圖解法求解. 可行域?yàn)椋河芍本€ 及組成直線 在此凸四邊形區(qū)域內(nèi)平行移動(dòng). 易知：當(dāng)過與的交點(diǎn)時(shí)，取最大值由 解得 . 7.深水中的波速與波長(zhǎng)、水深、水的密度和重力加速度有關(guān)，試用量綱分析方法給出波速的表達(dá)式.解：設(shè),， 的關(guān)系為=0.其量綱表達(dá)式為=LM0T-1，=LM0T0，=LM0T0，=L-3MT0， =LM0T-2,