教材高考·審題答題（一）,函數(shù)與導(dǎo)數(shù)熱點問題

1、教材高考·審題答題（一）,函數(shù)與導(dǎo)數(shù)熱點問題 o xy11o xy11教材高考審題答題（一） 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)熱點 問題 熱點預(yù)測 真題印證 核心素養(yǎng) 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì) 2021全國，21；2021全國，21； 2021全國，21 邏輯推理、 數(shù)學(xué)運算 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點 2021全國，20；2021全國，20； 2021全國，21；2021全國，21 數(shù)學(xué)運算、 直觀想象 導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用 2021全國，20；2021全國，21； 2021全國，21 數(shù)學(xué)運算、 邏輯推理 教材鏈接高考導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用 教材探究(選修 2-2 p32 習(xí)題 1.3 b 組第一題 (3)

2、(4) ) 利用導(dǎo)數(shù)證明下列不等式，并借助函數(shù)圖象直觀驗證。 (3) 1xe x ³ + ； (4) ln ( 0)xx x e x < < > 試題評析 1."形的角度解釋'.問題源于曲線xy e = 在 (0,1) 處的切線及 ln y x = 在 (1,0) 處的切線，通過觀察圖象的位置關(guān)系可以得到以上結(jié)論。 2."數(shù)的角度證明'.構(gòu)建函數(shù) ( ) 1xd x e x = - - ，則 ( ) 1xd x e ¢ = - ，令 ( ) 0 d x ¢ = ，則 0 x = ， 故 ( ) d x 在 (

3、,0) -¥ 上單調(diào)遞減； ( ) d x 在 (0, ) +¥ 上單調(diào)遞增，所以min( ) (0) 0 d x d = = ， 所以 ( ) (0) d x d ³ ，即 1xe x ³ + （當且僅當 0 x = 時取等號） 3. "不等式 1xe x ³ + 的變形'.在不等式 1xe x ³ + 中，用 ln x 替換 x 即得 ln 1 x x £ - ， 所以 1 1 lnxe x x x ³ + > - ³ ，即有上面的（4）. 另外，用 1 x- 去換 1xe x

4、 ³ + 中的 x 即得xe ex ³ ，用 ln x 去換 1xe x ³ + 中的 x 即得 ln 1 x x £ - ，用 ln x -去換 1xe x ³ + 中的 x 即得1ln 1 xx³ - ，將不等式1ln 1 xx³ - 兩邊同乘以 x 即得 ln 1 x x x ³ - 【教材拓展】證明： ln 2xe x - > 探究提高 1.本題考查用導(dǎo)數(shù)研究不等式，方法一中關(guān)鍵有三點：1"( )xf x ex= - 的零點存在但不容易求出，需要"設(shè)而不求、虛設(shè)零點'來處理

5、，這也是近年來高考導(dǎo)數(shù)題的一個新趨向，值得關(guān)注；化簡00 0( ) lnxf x e x = - 時需要借助001xex= 和0 0ln x x =- ，這樣可以將指對數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為多項式函數(shù)；基本不等式的利用。 2.方法二中聯(lián)想到教材中的經(jīng)典結(jié)論，降低思維難度，優(yōu)化思維過程，簡潔方便。 【鏈接高考】(2021全國卷) 已知函數(shù) ( ) ( )2ln 2 1 f x x ax a x = + + + （1）討論 ( ) f x 的單調(diào)性； （2）當 0 a < 時，證明 ( )324f xa£ - - 教你如何審題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點 【例題】(2021全國卷) 已知函數(shù) (

6、) sin ln(1 ) f x x x = - + ， ( ) f x¢為 ( ) f x 的導(dǎo)數(shù)證明： （1） ( ) f x¢在區(qū)間 ( 1, )2p- 存在唯一極大值點； （2） ( ) f x 有且僅有 2 個零點 審題路線 自主解答 探究提高 1.零點問題的兩種考查形式： （1）確定零點個數(shù)問題； （2）已知零點個數(shù)，求參數(shù)的值或取值范圍。 2. 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點問題的常用方法： （1）對于選擇填空題中的零點個數(shù)問題，此類問題可用圖像法處理，即將零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為圖象交點個數(shù)； （2）對于解答題中的零點問題，要想說明零點存在，必須用零點存在性定理來處理。 【嘗試訓(xùn)

7、練】 （2021全國文）已知函數(shù) ( ) ( 1)ln 1 f x x x x = - - - .證明： （1） ( ) f x 存在唯一的極值點； （2） ( )=0 f x 有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù). 滿分答題示范利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì) 【例題】 (12 分) (2021浙江卷) 已知函數(shù)2 1( )xx xf xe- -= ， （）求 ( ) f x 的導(dǎo)函數(shù)； （）求 ( ) f x 在區(qū)間1 + )2¥ ， 上的取值范圍. 規(guī)范解答 （）函數(shù)的定義域為1 + )2¥ ， ， 1 分 (得分點 1) 2 21(1 )( 2 1 2)2 1( )2 1xx

8、xxx xxf xe x e- +- - -¢ = =- 5 分 (得分點 2) （）52(1 )( )(1 )( 2 1 2)2( )2 1 2 1( 2 1 2)x xx xx xf xx e x x e- - - -¢ = =- - - +， 令 ( ) 0 f x ¢ = ，則 1 x = 或52x = ， 7 分 (得分點 3) 當 x 變化時， ( ) f x ， ( ) f x ¢ 的變化如下表： 9 分 (得分點 4) 又 f（12）=1212e-，f（1）=0，f（52）=1252e-， 且22 1 ( 2 1 1)( ) 02x xx

9、 x xf xe e- - - -= = ³ 11 分 (得分點 5) 所以， ( ) f x 在區(qū)間1 + )2¥ ， 上的取值范圍是1210, 2e- 12 分 (得分點 6) . 高考狀元滿分心得 得步驟分：抓住得分點的解題步驟，"步步為贏'，在第(1)問中，求定義域(得分點 1)，求導(dǎo)(得分點 2)，第(2)問中，求零點(得分點 3)和列表(得分點 4). 得關(guān)鍵分：解題過程中不可忽視關(guān)鍵點，有則給分，無則沒分，例如第(2)問中對 ( ) 0 f x ³ 的判斷(得分點 5). 得計算分：解題過程中的計算準確是得滿分的根本保證，如第(1)問中求導(dǎo)正確、變形到位，第(2)問中規(guī)范列表，正確算出函數(shù)的最值. 構(gòu)建模板 第一步 求定義域 第二步 求導(dǎo)，即 ( ) f x ¢ ，注意適當變形。 第三步 求 ( ) f x ¢ 的零點 第四步 列表（呈現(xiàn) ( )¢ fx 與 ( ) f x 的變化情況） 第五步 判斷圖象得變化趨勢，求出函數(shù)最值 第六步 檢驗反思，規(guī)范步驟，明確結(jié)論 x 1( ,1)2 1 5(1, )2 52 5( , )2+¥ ( ) f x ¢ - 0 + 0 - ( )