2018版高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步1.1.2棱柱、棱錐和棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征學(xué)案(含解析)新人教

1、1.1.2棱柱、棱錐和棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征-學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)航-1.了解多面體的定義及其分類.（重點(diǎn)）2.理解棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義和結(jié)構(gòu)特征.（重點(diǎn)）3.在棱柱、棱錐、棱臺(tái)中構(gòu)造恰當(dāng)?shù)奶卣鲌D形，研究其中的線段數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.（難點(diǎn)）k_）基礎(chǔ)初探教材整理1多面體的有關(guān)概念閱讀教材P6內(nèi)容，完成下列問題.1.定義由若干個(gè)平面多邊形所圍成的幾何體叫做多面體.2.相關(guān)概念圖1-1-173.凸多面體把一個(gè)多面體的任意一個(gè)面延展為平面，如果其余的各面都在這個(gè)平面的同一側(cè)，則這 樣的多面體就叫做凸多面體.-他依驗(yàn)-如圖1-1-18，觀察下列多面體，有什么共同特點(diǎn)?【解】（1）有兩個(gè)面相互平行；（2）其余各面都是

2、平行四邊形；（3）每相鄰兩個(gè)四邊形 的公共邊都相互平行認(rèn)知預(yù)習(xí)質(zhì)疑知識(shí)梳理要點(diǎn)初探）2教材整理2棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征閱讀教材P7“棱柱的結(jié)構(gòu)特征”至P10“練習(xí)”以上，完成下列問題1.棱柱的結(jié)構(gòu)特征名稱結(jié)構(gòu)特征圖形及表示法分類棱柱有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四 邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共 邊都互相平行，由這些面所圍成的多 面體叫做棱柱.棱柱中，兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱 的底面，簡(jiǎn)稱底；其余各面叫做棱柱 的側(cè)面；相鄰的側(cè)面的公共邊叫做棱 柱的側(cè)棱；側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫 做棱柱的頂點(diǎn)底血呂f用表示底面各頂點(diǎn)的字母 表示棱柱，如上、下底面分 別是四邊形A B CD、四邊形ABCD勺四

3、棱柱， 可 記為棱柱ABCDA B C D依據(jù)底面多 邊形的邊數(shù).例如：二棱柱（底面 是三角形）， 四棱柱（底面 是四邊形）2.棱錐的結(jié)構(gòu)特征棱錐角耐！叫幀的州M埠宜釘術(shù)劉W占“耐,耐咖沁哋MIW棱邊共斤個(gè)底面妁相側(cè)務(wù)公附這或形面；的是個(gè)W-麗角側(cè)點(diǎn)錐面訓(xùn)錐底三各頂棱個(gè)有臥棱的個(gè)；的做是，-做錐各面錐叫-有都形一叫棱的側(cè)棱邊頂示錐用表棱割為trr二、“攵Hi角錐邊面燉破三棱底位三是四是據(jù)曲n:rn-,W -依邊例(形(形甘點(diǎn)錐面頂破底怖和DA底上出3.棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征名稱結(jié)構(gòu)特征圖形及表示法分類棱臺(tái)用一個(gè)平行于棱錐底用上下底上、下A B C上軽面Df/cf.如：四邊形C啲四棱按照棱臺(tái)底 面多邊形

4、的 邊數(shù)分類例如： 三棱 臺(tái)（由三棱 錐截得），四 棱臺(tái)面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部底面與截面之冋的部 分叫做棱臺(tái)原棱錐 的底面和截面分別叫做棱臺(tái)的下底面和上 底面ZzJA ti卜底向面的頂點(diǎn)表示棱臺(tái)底面分別是D、四邊形AB（3臺(tái)，可記為棱臺(tái)ABCDA B C D判斷(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“X”)(1)有一個(gè)底面為多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體是棱錐.()(2)棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)都相等.()(3)棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形.()棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形.()【答案】V(2)X(3)X(4)X小組合作型(1)用一個(gè)平

5、面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)(2)棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形棱錐的側(cè)面只能是三角形(4)棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)(5)棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐.由棱錐、棱臺(tái)的定義聯(lián)想空間圖形構(gòu)造模型f逐一進(jìn)行判斷【自主解答】(1)錯(cuò)誤，若平面不與棱錐底面平行，用這個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺(tái)；(2)正確，棱臺(tái)的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形；(3)正確，由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形；(4)正確，棱臺(tái)是由平行于棱錐底面的平面截得的，故棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn);(5)錯(cuò)誤，如圖所示四棱錐被平面PBD截成的兩部分都是棱錐合作探究通關(guān)卜F列關(guān)

6、于棱錐、棱臺(tái)的說法中，正確說法的序號(hào)是棱柱、棱錐、棱臺(tái)的概念4【答案】 (3)(4)判斷一個(gè)幾何體是何種幾何體，一定要緊扣棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，注意概念中的特殊字眼，切不可馬虎大意，如棱柱的概念中的“相鄰”，棱錐的概念中的“公共頂點(diǎn)”， 棱臺(tái)的概念中的“棱錐”“平行”等再練一題1.下列關(guān)于棱柱的說法正確的個(gè)數(shù)是()1四棱柱是平行六面體；2有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱；3有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱；4底面是正多邊形的棱柱是正棱柱.A.1B.2C.3D.4【解析】 四棱柱的底面可以是任意四邊形；而平行六面體的底

7、面必須是平行四邊形, 故不正確說法就是棱柱的定義，故正確；對(duì)比定義，顯然不正確；底面是正多邊 形的直棱柱是正棱柱，故不正確【答案】A例 下列)A.直四棱柱是直平行六面體B.直平行六面體是長(zhǎng)方體C.六個(gè)面都是矩形的四棱柱是長(zhǎng)方體D.底面是正方形的四棱柱是正四棱柱【自主解答】直四棱柱的底面不一定是平行四邊形，故A錯(cuò)；直平行六面體的底面不定是矩形，故B錯(cuò)；C正確；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D錯(cuò)【答案】C名師I5幾種常見四棱柱的關(guān)系6再練一題2.一個(gè)棱柱是正四棱柱的條件是()A.底面是正方形，有兩個(gè)面是矩形的四棱柱B.底面是正方形，兩個(gè)側(cè)面垂直于底面的四棱柱C.底面是菱形，且有個(gè)頂點(diǎn)處的

8、兩條棱互相垂直的四棱柱D.底面是正方形，每個(gè)側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱【解析】選項(xiàng)A、B中，兩個(gè)面為相對(duì)側(cè)面時(shí)，四棱柱不一定是直四棱柱，C中底面不是正方形，故排除選項(xiàng)AB C,所以選D.【答案】D對(duì)多面體的識(shí)別和判斷(1)這個(gè)長(zhǎng)方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么?(2)用平面BCFE把這個(gè)長(zhǎng)方體分成兩部分后，各部分的幾何體還是棱柱嗎？若是棱柱指 出它們的底面與側(cè)棱【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】(1)這個(gè)長(zhǎng)方體是棱柱，是四棱柱，因?yàn)樗鼭M足棱柱的定義(2)截面BCFE右側(cè)部分是三棱柱，它的底面是BEB與厶CFC,側(cè)棱是EF, BC,BC截面左側(cè)部分是四棱柱，它的底面是四邊形ABEA與四邊形DCFD側(cè)

9、棱是AD BC EF, AD.正確判斷幾何體類型的方法要正確判斷幾何體的類型，就要熟練掌握各類簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征.對(duì)于有些四棱柱,互相平行的平面不只是兩個(gè)，所以對(duì)于底面來說并不固定棱柱的概念中兩個(gè)面互相平行，指的是兩個(gè)底面互相平行但由于棱柱的放置方式不同，兩個(gè)底面的位置就不一樣，但無論卜如圖1-1-19長(zhǎng)方體ABCA1B1GD.緊扣概念圖1-1-19名師j7如何放置，都應(yīng)該滿足棱柱的定義I_I再練一題3._如圖1-1-20，下列幾何體中， _是棱柱， 是棱錐，_ 是棱臺(tái)（僅填相應(yīng)序號(hào)）.【解析】 結(jié)合棱柱、棱錐和棱臺(tái)的定義可知是棱柱，是棱錐，是棱臺(tái)【答案】幾何體的計(jì)算問題例一個(gè)棱臺(tái)的上、下底

10、面積之比為4：9,若棱臺(tái)的高是4 cm，求截得這個(gè)棱臺(tái)的棱錐的高【精彩點(diǎn)撥】本題主要考查棱臺(tái)和棱錐的聯(lián)系，解題的關(guān)鍵是理解棱臺(tái)的概念和運(yùn)用好圖形中的相似關(guān)系，可將棱臺(tái)還原為棱錐解決【自主解答】如圖所示，將棱臺(tái)還原為棱錐，設(shè)PC是原棱錐的高，O O是棱臺(tái)的高,4:9,二它們的底面對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)之比A B：AB=2:3, PA:PA= 2:3.加PC- O C PC-42賞型4棱臺(tái)的上、下底面積之比為由于AC/ACPA=PA=PCPO，圖1-1-20B8即=.PC PC3PC=12 cm,即原棱錐的高是12 cm.91.由于棱臺(tái)是由棱錐用平行于底面的平面截來的，因此棱臺(tái)上、下底面是相似多邊形它們的面積比

11、等于相似比的平方，而相似比又等于小、大棱錐的高之比、側(cè)棱長(zhǎng)之比2.解答此類問題的關(guān)鍵是畫好圖形，找出棱臺(tái)與截得棱臺(tái)的棱錐的量的關(guān)系，畫圖時(shí)為 了簡(jiǎn)便，也可以畫截面圖再練一題4.如圖1-1-21所示，正四棱臺(tái)AC的高是17 cm,兩底面的邊長(zhǎng)分別是4 cm和16 cm,求這個(gè)棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)和斜高【解】 設(shè)棱臺(tái)AC兩底面的中心分別是O和Q B C、BC的中點(diǎn)分別是E、E連接Q Q E E、QB Q B、Q E、QE則四邊形OBB O、QEE 0都是直角梯形，且00=17 cm.在正方形ABCDK BC=16 cm,則0B=8 , 2cm,0E=8 cm.在正方形AB C D中，B C=4 cm,則O

12、 B =2、2 cm,Q E =2 cm.在直角梯形Q OBB中，BB=OO2+OB O B2=172+S 2222=19(cm).在直角梯形O OEE中，EE=OO2+OE- OE2=172+S-22=5 13(cm).即這個(gè)棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為19 cm,名師j圖1-1-21c10斜高為5,13 cm.11探究共研型棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征探究1若一個(gè)幾何體有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形，這個(gè)幾何體是否是棱柱？【提示】如圖所示的幾何體有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形，但這個(gè)幾何體不是棱柱而是兩個(gè)棱柱組合的幾何體其原因是不具備條件“每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行”探究2有一

13、個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐嗎？【提示】未必是棱錐如圖所示的幾何體，滿足各面都是三角形，但這個(gè)幾何體不是棱錐，因?yàn)樗粷M足條件“其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形”探究3若一個(gè)幾何體有兩個(gè)面平行，且其余各面均為梯形，則它一定是棱臺(tái)嗎？【提示】 未必是棱臺(tái)，因?yàn)樗鼈兊膫?cè)棱延長(zhǎng)后不一定交于一點(diǎn)，如圖，用一個(gè)平行于楔形幾何體底面的平面去截楔形幾何體，截面與底面之間的幾何體雖有兩個(gè)面平行，其余各面是梯形，但它不是棱臺(tái)，所以看一個(gè)幾何體是否為棱臺(tái)，不僅要看是否有兩個(gè)面平行，其如圖1-1-22，以下關(guān)于幾何體的正確說法的序號(hào)為1這是一個(gè)六面體； 這是一個(gè)四棱臺(tái)；這是一個(gè)四棱柱； 此幾何體

14、可由三棱柱截去一個(gè)三棱柱得到；此幾何體可由四棱柱截去一個(gè)三棱柱得到【精彩點(diǎn)撥】解答關(guān)于空間幾何體概念的判斷題，要注意緊扣定義，切忌只憑圖形主觀臆斷，同時(shí)注意分類討論思想的應(yīng)用探究點(diǎn)余各面是否為梯形,還要看其側(cè)棱卜圖1-1-2212【解析】正確因?yàn)橛辛鶄€(gè)面，屬于六面體的范圍2錯(cuò)誤因?yàn)閭?cè)棱的延長(zhǎng)線不能交于一點(diǎn)，所以不正確133正確如果把幾何體放倒就會(huì)發(fā)現(xiàn)是一個(gè)四棱柱都正確如圖所示【答案】1.解答本題的關(guān)鍵是正確掌握棱柱的幾何特征，本題易出現(xiàn)認(rèn)為所分兩部分的幾何體一 個(gè)是棱柱，一個(gè)是棱臺(tái)的錯(cuò)誤2.在利用幾何體的概念進(jìn)行判斷時(shí)，要緊扣定義，注意幾何體間的聯(lián)系與區(qū)別，不要認(rèn)為底面就是上下位置，如此題，底

15、面也可放在前后位置再練一題5.如圖1-1-23，能推斷這個(gè)幾何體是三棱臺(tái)的是（）D.AB=AB B1C=BC C A1=CA【答案】C1 .下列幾何體中是棱柱的個(gè)數(shù)有（）A.AB=2,AB=3,BC=3,BC=4B.AB=1,AB=2,B1C=1 .5,BC=2,A1C=2,AC=4C.AB=1,AB=2,B1C=1 .5,AC=4【解析】因?yàn)槿馀_(tái)的上下底面相似，所以該幾何體如果是三棱臺(tái)，則ABCsABC所以ABABB1C A CBC=AC，C正確.階段3體驗(yàn)落實(shí)評(píng)價(jià)圖1-1-2314【解析】由已知得EF/ BC FG/ CD EG/ BDEFG BCD.EF周長(zhǎng) _EFBC的周長(zhǎng)=BCEF_AE_1.EF(的周長(zhǎng) _1BCTAET3，. BCI的周=3,1 EFG勺周長(zhǎng)=18X3=6.A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)【解析】由棱柱的定義知是棱柱，選D.【答案】D2.對(duì)有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形的多面體，以下說法正確的是A.棱柱B.棱錐C.棱臺(tái)D.一定不是棱柱、棱錐【解析】有兩個(gè)面互相平行，故此多面體一定不是棱錐，其余各面都是梯形，所以也不是棱柱，棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，選D.【答案】D3.如圖1-1-25所示，在棱錐A-BCD中，截面E