2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章參數(shù)方程2.2.2圓的參數(shù)方程學(xué)案新人教B版選修4-4

1、圓的參數(shù)方程憑亂 r J 題奩 W 汀二:士i 勺對應(yīng)學(xué)生用書 p28讀教材填要點(diǎn)如圖，質(zhì)點(diǎn)以勻角速度3做圓周運(yùn)動，圓心在原點(diǎn)，半徑為R記t為時間，運(yùn)動開始時t= 0,質(zhì)點(diǎn)位于點(diǎn)A處，在時刻t，質(zhì)點(diǎn)位于點(diǎn)Mx,y)處,0=3t, 0為Ox軸正向x=FCos0 ,i(0w 0 W2y=FSin0到向徑OM所成的角，(t0),也可寫成若圓心在點(diǎn)M(X0,yo)處，半徑為R,則圓的參數(shù)方程為x=xo+ADOS0 ,y=yo+聞0(0w 0 2 n).小問題大思維fx =RJOS0 ,1方程(0w 0 in0方程，能否直接由圓的普通方程轉(zhuǎn)化得出？提示：以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以R為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+

2、y2=戌，即首2+y 2= 1.廠x-=cos0 ,IR令彳y.=sin0 ,x=ADOS則y= Rsinx=2cos0 ,2參數(shù)方程y=1+2sin0(0W 0 W n)表示什么曲線?提示：表示圓心為(0,1)，半徑為 2 的圓的上半部分即半圓(包括端點(diǎn)).3求圓的參數(shù)方程2 2 2 _例 1點(diǎn)M在圓（xr） +y=r（r0）上，O為原點(diǎn)，x軸的正半軸繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到0M形成的角為0.以0為參數(shù)，求圓的參數(shù)方程.思路點(diǎn)撥本題考查圓的參數(shù)方程的求法解答此題需要借助圖形分析圓上點(diǎn)y）的坐標(biāo)與0之間的關(guān)系，然后寫出參數(shù)方程.1當(dāng)M在x軸上方時,x=r+rcos 20 ,y=rsin 202當(dāng)M在x軸下

3、方時,3當(dāng)M在x軸上時,對應(yīng)0= o 或0=n.綜上得圓的參數(shù)方程為x=r+rcos 20 ,y=rsin 20 ,X 頻監(jiān)點(diǎn)訓(xùn)也匸事戶-戌就湧對應(yīng)學(xué)生用書P29Mx,精解詳析x=r+rcos 20 ,即y=rsin 207t遼.O4(1)由于選取的參數(shù)不同，圓有不同的參數(shù)方程一般地，同一條曲線，可以選取不同的變數(shù)為參數(shù)，因此得到的參數(shù)方程也可以有不同的形式，形式不同的參數(shù)方程， 它們表示的曲線卻可以是相同的另外在建立曲線的參數(shù)方程時，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍.(2)確定圓的參數(shù)方程，必須根據(jù)題目所給條件，否則，就會出現(xiàn)錯誤，如本題如果把/變衛(wèi)之作1設(shè)y=tx(t為參數(shù))，則圓x2+y2 4

4、y= 0 的參數(shù)方程是 _解析：把y=tx代入x2+y2 4y= 0,x= 1 +12，圓的參數(shù)方程的應(yīng)用參數(shù)方程寫成x=r+rcos $ ,y=rsin $ ,$的意義就改變了.參數(shù)方程為x= 1 +12，答案:5例 2(福建高考)已知直線I的參數(shù)方程為x=a 2t,y=4t(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為x=4cos為參數(shù)).y=4s in0(1) 求直線I和圓C的普通方程；(2) 若直線I與圓C有公共點(diǎn)，求實數(shù)a的取值范圍.思路點(diǎn)撥(1)化參數(shù)方程為普通方程.利用圓心到直線的距離dw4可求.精解詳析(1)直線I的普通方程為 2xy 2a= 0, 圓C的普通方程為x2+y2= 16.因為直線

5、l與圓C有公共點(diǎn)，6故圓C的圓心到直線l的距離 4 號w4,解得2 5waw25.“4 規(guī)建恥廠解決此類問題的關(guān)鍵是化圓的參數(shù)方程為普通方程后再求解.變-成之血2.設(shè)點(diǎn)Mx，y)在圓x2+y2= 1 上移動，求點(diǎn)Q(x(x+y),y(x+y)的軌跡的參數(shù)方程.解：設(shè)Mcos0, sin0)(0w 0 v2n)，點(diǎn)Q X1,y1),x1=cos0蝦0 +sin0 ,0W 0 W2 n ,y1=sin0C0 0 +sin0 ,即為所求的參數(shù)方程.x=cos0 ,例 3已知點(diǎn) Rx,y)是圓弋0W 0 W2 n上的動點(diǎn)|y=1+sin0求. 3x+y的取值范圍；(2)若x+y+a0恒成立，求實數(shù)a的

6、取值范圍.思路點(diǎn)撥本題考查圓的參數(shù)方程的求法及不等式的恒成立問題.2 2求出圓x+y= 2y的參數(shù)方程，然后利用參數(shù)方程求解.X=cos0 ,精解詳析 P 在圓 0, a一(cos0+ sin0) 1.又(cos0+ sin0) 1 = 2sin(0 +4) 1w訃 2 1,a 2 1，即a的取值范圍為 21,+).“亠規(guī)0L總盤，(1)解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)圓的參數(shù)方程寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，并正確確定參數(shù)的取值范 圍.解決本題需要正確/ 3x+y=3cos0 +sin0 +1=2si n(7（2）利用圓的參數(shù)方程求參數(shù)或代數(shù)式的取值范圍的實質(zhì)是利用正、X=1+cos0 ,3.將參數(shù)方程*（0W0W

7、2n）轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程是iy=sin0_，該曲線上的點(diǎn)與定點(diǎn)A- 11）的距離的最小值為 _.解析：易得直角坐標(biāo)方程是（x- 1）2+y2= 1，所求距離的最小值應(yīng)為圓心到點(diǎn)A的距離減去半徑，易求得為5- 1.答案：（x 1）2+y2= 1 5- 1、選擇題故圓心坐標(biāo)為（2,0）.等于（(0w 0 W2 n)化為普通方程為x2+y2= 5,由22| 3 + c|廠直線 2x-y-3+c= 0 與圓x+y= 5 相切，可知=5，解得c=- 2 或 8.余弦函數(shù)的有界性.課下訓(xùn)練經(jīng)典化“蠱在觸類旁通對應(yīng)學(xué)生用書 P301.圓的參數(shù)方程為x= 2+ 2cosy= 2sin0W 0 W2 n.則圓的

8、圓心坐標(biāo)為（A. (0,2)B.(0，- 2)C. ( - 2,0)D.(2,0)解析：選 D 圓的普通方程為(X- 2) +y= 4.2.若直線 2x-y- 3 +c= 0與曲線x=AJ5COS,y=5si n0 ,(0w 0 W2 n）相切，則實數(shù)cA.2 或一 8B.6 或一 4C.D. 4 或一 6解析：選 C 將曲線丿V I N G 0 hl G85x=2+cosa ,223.F(x,y)是曲線.0w a W2 n上任意一點(diǎn)，則(x-5) + (y+ 4)|y=sina9最大值為 36.x=2cos0 ,x=t,4.已知曲線C:(0 0 2 n)和直線1:（t為參數(shù)，by=2s in

9、0y=t+b為實數(shù)），若曲線C上恰有 3 個點(diǎn)到直線l的距離等于 1,則b=（)A. 2B. 2C. 0D .士. 2解析：選 D將曲線C和直線l的參數(shù)方程分別化為普通方程為x2+y2= 4 和y=x+b,依題意，若要使圓上有 3 個點(diǎn)到直線I的距離為 1 只要滿足圓心到直線的距離為1 即 可 ,得到早=1，解得b= J2.2二、填空題5._ 把圓x2+y2+ 2x4y+ 1 = 0 化為參數(shù)方程為 _.2 2 2 2解析：圓x+y+ 2x 4y+ 1 = 0 的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x+ 1) + (y 2) = 4，圓心為(一 1,2),半徑為 2,x=1+2cos0 ,故參數(shù)方程為(0w 0 W2

10、 n).y=2+2sin0 x=1+2cos0 ,答案：(0w 0 2 n)|y=2+2s in0 x=cos0 ,6.已知圓C：1與直線x+y+a= 0 有公共點(diǎn)，則實數(shù)aC. 26D. 25解析：選 A設(shè)P(2 + cosa ,sina），代入得(2+cosa 2-5)+(sina+4)2=25+sin2a2 .+cosa 6cosa +8sina=26 + 10si n(a )(tan3 =4,為銳角）.B. 6的最大值為（）10的取值范圍|y= 1+sin0為_.解析：將圓C的方程代入直線方程，得cos0 1+sin0 +a=0,11答案：1 2, 1 + 2x= 4+ 2cosa ,

11、(t為參數(shù))與圓宅y=2s ina.22.n解析：直線為y=xtan0，圓為(x 4) +y= 4,作出圖形，相切時，易知傾斜角為，”.亠n,、5n答案：g或飛-&已知動圓x+y 2axcos0 2bysin0= 0(a,b是正常數(shù)，且a* b,0為參數(shù)), 則圓心的軌跡的參數(shù)方程為 _.解析：設(shè)P(x,y)為動圓的圓心，2 2由x+y2axcos0 2bysin0 =0,2 2 2 2得(xacos0) + (ybsin0) =acos0+bsin0.x=acos0 ,y=bsin0.x=acos0 ,答案：y=bs in0三、解答題2 29已知圓的方程為x+y= 2x，寫出它的參數(shù)方程.解：x2+y2= 2x的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x 1)2+y2= 1.設(shè)x 1 = cos0,y= sin0,貝 Ux= 1+cos0 ,即a= 1 (sinx=tcos0 ,7