橢圓中焦點三角形的性質(zhì)(含標準答案)

1、焦點三角形習題性質(zhì)一：過橢圓焦點的所有弦中通徑 (垂直于焦點的弦)最短，通徑為2J a22設(shè)焦點三角形性質(zhì)二：已知橢圓方程為、+4=1(a >b >0),兩焦點分別為F1,F2,a b, .,2.1PF1F2 中 NF1PF2 =& 則 S11PF2 =b tan-.證明：記 | PR |=n,| PF2 |=2,由橢圓的第一定義得r1 r2 =2a, (r1 r2)2 =4a2. 222在 F1PF2 中，由余弦定理得：ri +2 -2口2 cose = (2c).配方得：(r1r2 )2 - 2r1r2 _ 2r1r2 cos l-4c2.即 4a2 -2r1r2(1

2、cos-) =4c2.rm2(a2 -c2)2b21 cos 1 cos 18 / 6由任意三角形的面積公式得:12S. F1PF2 = 2 r1r2 sin 71 =bsin 二1 cos?=b2e e2sin- cos2C 22cos 一2e tan.2C,2,)S F1PF2 一 b tan 二.222同理可證，在橢圓 Ja b(a > b > 0)中，公式仍然成立.性質(zhì)三：已知橢圓方程為2 y.2,2a b= 1(a>b>0),兩焦點分別為F1，F(xiàn)2,設(shè)焦點三角形PF1F2 中 NF1PF2 =日，則 cos日至 1 -2e2.性質(zhì)三證明：設(shè)PF1 =r1，PF

3、2 =0則在AF1PF2中，由余弦定理得:cos-222二 r1F - F F22rj222(r1 r2) -2r1r2 -4c2rj22£.1222a2 -2c2-12)222a2 -2c22a2_ 2-1 =1 2e .命題得證。2例1. 若P是橢圓1002r64=1上的一點，E、F2是其焦點，且/FiPF2=60-求 F1PF2的面積. x x,-4臺 x2例1.解法一：在橢圓1002+ =1 中，a=10,b=8, c = 6,而日=60 口. 64記 |PFi | = ri,| PF2 |二 o 丁點P在橢圓上, ,由橢圓的第一定義得：1+ = 2a = 20.22_一、2

4、在 F1PF2 中，由余弦定理得：1 +2 -212cos日=(2c).配方，得：(r1r2)2 -3r1r2 =144.二 400312 =144.從而25612 ="3S.FFF21 256.3 64,3=X X =2323解法二：在橢圓22工+上=1中，b2 =64 ,而日=60中100 64- S.FFF2,2643=b tan =64 tan30 =.23例2.已知P是橢圓 L+E=1上的點,259F1、F2分別是橢圓的左、右焦點,若 PF1 P且=N，則 F1PF2的面積為()IPF1IIPF2I 2A. 3 3 B. 2.3 C.3 D. 3解：設(shè) ZF1PF2 =0,

5、則 cosH=營1 '叫 =1,.8=60口I PF1 I I PF2 |2A.一. 2二1上口、小生，S出pf2 =b2 tan- =9tan30 °=3.3故選答案22例3.已知橢圓 土 +匕=1的左、右焦點分別是 F1、F2，點P在橢圓上.若P、 F1、52是 169個直角三角形的三個頂點，則點 P到x軸的距離為（）A. 9 B.97C. 9 D._9 或史57447b2 9 解：若Fi或F2是直角頂點，則點 P到X軸的距離為半通徑的長 =9 ；若P是直角頂點,a 41 設(shè)點 P 到 X軸的距離為 h,則 SlPF2 =b2tan- =9tan450=9 ,又 S莊1P

6、F2 =-，（2c），h="h,<7h =9 , h =9-7.故選 D.7221 .橢圓 上十二=1上一點P與橢圓兩個焦點F1、F2的連線互相垂直，則F1PF2的面積為49 24（）A. 20B. 22C.28D. 24解：/F1PF2 =9=90汴2 =24,S彌1pF2=b2tan2=24tan450 = 24.故選D.22 .橢圓二+y2 =1的左右焦點為 R、F2 , P是橢圓上一點，當F1PF2的面積為1時,4麗PF2的值為（）A. 0 B. 1 C. 3 D. 600解：設(shè)/FPF2 =8） S/ pf2 =b2 tan =tan =1 ,二乜=45 淚=90 口

7、，PF1 PF2 =0 .故選 A. 223 .橢圓 a+y2=1的左右焦點為 F1、F2 , P是橢圓上一點，當F1PF2的面積最大時，4PF； PF；的值為（）-2,0= tan一,2A. 0 B. 2 C. 4 D.解：a =2,b =1,c = J3,設(shè)/F1PF2=6, 丫 S占1Pf2 =b2tan|二當 F1PF2的面積最大時，日為最大，這時點P為橢圓短軸的端點，1 =1201.PF1 PF2 =| PF11 | PF2 | cos ? - a2 cos120 - -2 .故答案選D. 24 .已知橢圓 與+y2=1 (a>1)的兩個焦點為F1、F2, P為橢圓上一點, a

8、且/FFF2=601 則 |PR| |PF2| 的值為()A. 1B.C.D.解：NF1PF2 =8=60) b=1, Spf2= b2tan國=tan30, =史,231. 3 .又 $麗2 =萬嚴 I T PF2 惜所8IP® I I PF2 I ,3.34二| PF1 | ,I PF2 |=,從而 | PF1 | | PF2 |=一 .433故答案選C.5.已知橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標軸，F(xiàn)1、F2為焦點，點P在橢圓上，直線PR與PF2傾斜角的差為 /F1PF2 =901 F1PF2的面積是20,且c/a=，5/3 求橢圓的標準方程.角的設(shè)ZF1PF2 =日，則8 =90

9、上丫 S合1PF29 t) , 99=b tan =b tan 450=b =20 , 2又e=c a=9,即 1T解得:a2 =45.二所求橢圓的標準方程為二+E=1或匕2=145 2045 20專題2:離心率求法:1.若橢圓的兩個焦點與它的短軸的兩個端點是一個 正方形的四個頂點，則橢圓的離心率為（）1 .解讀：選A.如圖所示，四邊形B1F2B2F1為正方形，則 B2OF2為等腰直角三 角形， =a 2 .2 .若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距 成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是（）4 3 2A.5B.5c.5D.2.解讀：選 B.由題意知2b= a+c,又b2=a2-c2, 4(a2 c

10、) = a? + c?+ 2ac. 3a2- 2ac-5c2 = 0.5c2+ 2ac-3a2= 0.235e+2e- 3=0.,e=5 或 e=- 1(舍去)1 ,則橢圓的離心率為3.若橢圓的短軸長為6,焦點到長軸的一個端點的最近距離是 3.解讀：依題意，得 b=3, a c= 1. 又 a2=b2+c2,解得 a=5, c=4,.橢圓的離心率為 e= c=4.答案：4a 55224.已知A為橢圓X2+ $= 1(a>b>0)上的一個動點，直線 AB、AC分別過焦點Fi、F2,且與橢 圓交于B、C兩點，若當AC垂直于x軸時，恰好有|AFi| : |AF2|=3 ： 1,求該橢圓的

11、離心率.4.解:設(shè) AF2|=m,則 |AFi|=3m, 2a = |AF i|+ |AF2|= 4m.又在RtAFiF2中,|Fi F2|= d|AFi|2AF2I2 = 2回.2c |FiF2| 2 ,2m ,2.e= t-= -= -1=2a 2a 4m 2 .5.如圖所示，F(xiàn)i、F2分別為橢圓的左、右焦點，橢圓上點M的橫坐標等于右焦點的橫坐標,2其縱坐標等于短半軸長的 2,求橢圓的離心率.35.解：法一：設(shè)橢圓的長半軸、短半軸、半焦距長分別為2M點的坐標為(c, 3b),a、b、c.則焦點為 Fi(-c,0), F2(c,0),則4 MFF2為直角三角形.在 RHMFiF2 中, |FiF2|2+ |MF2|2= |MFi|2,即 4c2+9b2=|MFi|2e=I,2.42.2而 |MFi|十|MF2|=Aj4c +9b +3b=2a, 整理得 3c2=