線性代數(shù)考試復(fù)習(xí)提綱、知識(shí)點(diǎn)、例題

1、線性代數(shù)考試復(fù)習(xí)提綱、知識(shí)點(diǎn)、例題一、行列式的計(jì)算（重點(diǎn)考四階行列式）1、利用行列式的性質(zhì)化成三角行列式行列式的性質(zhì)可概括為五條性質(zhì)、四條推論，即七種變形手段（轉(zhuǎn)置、交換、倍乘、提取、拆分、合并、倍加）；三個(gè)為0【兩行（列）相同、成比例、一行（列）全為0】2、行列式按行（列）展開定理降階行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即DaAai 2Ai 2. aAini 1, 2 , .n ,i1i 1inDa Aa A.a A1i1ii2i 2nini2240例 1、計(jì)算行列式413531232051二、解矩陣方程i1, 2 , .n ,矩陣方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：AXBX ABA

2、XB C若系數(shù)矩陣可逆，則XA 1 BXB A 1XA1CB1切記不能寫成XA1B 1C或 XCAB求逆矩陣的方法：1、待定系數(shù)法2、伴隨矩陣法ABE(或 BAE)A11AA其中 A 叫做 A 的伴隨矩陣，它是A 的每一行的元素的代數(shù)余子式排在相同序數(shù)的列上的矩陣。AA.AA11A21An11222.n2A. . . .AA.A1n2nnn初等行變換3、初等變換法AEEA 1例 2、解矩陣方程31 X5614165278910例 3、解矩陣方程XAXB，其中01011A111B 2010153三、解齊次或非齊次線性方程組設(shè) Aam n， n 元齊次線性方程組AX 0 有非零解r ( A) ni

3、jn 元齊次線性方程組AX0 只有零解r (A)n 。當(dāng) mn 時(shí)， n 元齊次線性方程組AX0 只有零解A0 。當(dāng) mn 時(shí)， n 元齊次線性方程組AX0 有非零解A0 。當(dāng) m n 時(shí)，齊次線性方程組一定有非零解。定義：設(shè)齊次線性方程組 AX 0 的解 1 ,., t 滿足：（1） 1 ,., t 線性無關(guān)，（2） AX0 的每一個(gè)解都可以由1 ,.,t 線性表示。則 1,., t 叫做 AX 0 的基礎(chǔ)解系。定理 1、設(shè) Am n ，齊次線性方程組AX0 ，若 r ( A)rn ，則該方程組的基礎(chǔ)解系一定存在，且每一個(gè)基礎(chǔ)解系中所含解向量的個(gè)數(shù)都等于 nr 。齊次線性方程組的通解xk.

4、kk1, . k,R1 1n rn rn r設(shè)Aa ij， n元非齊次線性方程組AXB 有解r ( A)r ( A)。m n唯一解r (A)r ( A) n 。無數(shù)解r ( A)r ( A) n 。無解r ( A)r ( A)。非齊次線性方程組的通解x k 11.kn r nr，k1 , . k,n rRx1x22x 3x40例 4、求齊次線性方程組2x1x2x3x40的通解2 x 12x2x32x40x1x23x 3x41例 5、求非齊次線性方程組3x1x23x34x 44 的通解。x15x29x 38x 40四、含參數(shù)的齊次或非齊次線性方程組的解的討論xyz0例 6、當(dāng)為何值時(shí)，齊次線性方

5、程組xyz0 有非零解，并求解。2xyz02x1 x2x32例 7、已知線性方程組x12x2x3，問當(dāng)為何值時(shí)，它有唯一x1x22x 32解，無解，無窮多解，并在有無窮多解時(shí)求解。五、向量組的線性相關(guān)性1 ,2,.,s 線性相關(guān)1,2 ,.,s (s2) 中至少存在一個(gè)向量能由其余向量線性表示。存在不全為0 的數(shù) k1, k2 ,., k s 使得 k1 1k2 2. k s s0 。k11列k2行1 , 2 ,., s有非零解2有非零解0k1 , k2 ,., k s0.kssk11/, 2/,., s/ k20有非零解.ksr,2 ,., ssr/,., s/s11, 21,2,.,s 線

6、性無關(guān)1, 2 ,., s (s 2) 中任意一個(gè)向量都不能由其余向量線性表示。若 k11k2 2. k s s0 ，則 k1k2.ks0 。k11列k2行,.,0 只有零解20 只有零解12s.12sk, k,., k .kssk1r1,., ss/,/,.,/k20212s.ksr1/ , 2/ ,.,s/s1特殊的， n 個(gè) n 維向量1, 2,., n 線性相關(guān),2 ,., n0 或20。1.n1n 個(gè) n 維向量1 , 2 ,., n 線性無關(guān)1,., n0 或20。2.n例 8、已知向量組 1 t,2,1， 22, t,0 ，3 1,1,1，討論 t 使該向量組（1）線性相關(guān)（ 2

7、）線性無關(guān)六、求向量組的秩，極大無關(guān)組，并將其余向量用極大無關(guān)組線性表示設(shè)向量組A:1,2 ,.,s ，若從A 中選出 r 個(gè)向量構(gòu)成向量組A0 :i1 ,i 2 ,., ir 滿足：（ 1） A0 線性無關(guān)（ 2） A 中的每一個(gè)向量都能由A0 線性表示，條件（ 2）換一句話說A 的任意 r1 個(gè)向量（若有的話）都線性相關(guān)，或者說從A 中向 A0 任意添加一個(gè)向量（若有的話），所得的向量組都線性相關(guān)。則 A0 叫做 A 的極大線性無關(guān)向量組，簡(jiǎn)稱極大無關(guān)組。向量組的極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)叫做向量組的秩，記作 r1,2 ,.,sr求向量組的秩的方法：（ 1）擴(kuò)充法1（2）子式法21 , 2

8、,., m n m.m m n最高階非 0 子式的階數(shù)就是矩陣的秩，也就是這個(gè)向量組的秩，并且這個(gè)子式的行（列）對(duì)應(yīng)的原向量組的向量就是這個(gè)向量組的一個(gè)極大無關(guān)組。（ 3）初等變換法同法二構(gòu)成矩陣，對(duì)矩陣進(jìn)行初等變換。例 9、設(shè)向量組1(1,2,1,3) ,2(4,1, 5, 6) ,3(1, 3, 4, 7) ,4(2,1, 2,3)求（ 1 ）向量組的秩；（2）向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組，并把其余向量用這個(gè)極大線性無關(guān)組線性表示。七、相似矩陣的性質(zhì)與矩陣可相似對(duì)角化問題P1APB相似矩陣的性質(zhì):1、相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值，行列式，跡。特征值相同是兩個(gè)矩陣相似的必要而

9、非充分條件。2、 相似矩陣有相同的秩。秩相等是方陣相似的必要而非充分條件。3、 相似矩陣有相同的可逆性，當(dāng)它們可逆時(shí)，它們的逆矩陣也相似。4、若 A 與 B 相似，則 Ak 與 Bk 相似， kN，則(A) 與(B) 相似。Bk(P 1 AP) kP 1 APP 1 AP.P 1 APP 1 Ak PAn 與12相似nAn 有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量p1, p2 ,., p n ，且以它們?yōu)榱邢蛄拷M的矩陣 P 使 P 1AP， 1, 2 ,., n 分別為與 p 1 , p 2 ,., p n 對(duì)應(yīng)的An 的特征值。若An有 n 個(gè) 互 不 相 等 的 特 征 值 1, 2 ,., n， 則

10、 An一 定 與12相似。nAn 與相似對(duì)應(yīng)于An 的每個(gè)特征值的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)等于該特征值的重?cái)?shù)。nr (EA)k其中 k 為 的重?cái)?shù)124500例 10、設(shè)矩陣 A2x2與 B0y0相似421004（ 1） 求 x 與 y；（ 2）求可逆矩陣 P ，使 P 1AP B 。001例 11、設(shè) A 11a，問 a 為何值時(shí)，矩陣A 能相似對(duì)角化。100例 12、設(shè)三階矩陣A 的特征值為 11， 22 ，3 3 ，對(duì)應(yīng)的特征向量依次為11,1,1 / ， 2 1,2,4/ ， 31,3,9/ ，求矩陣 A。例 13 、設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A 的特征向值1,1,1，與特征值 1 對(duì)應(yīng)的特征向量為11,1,1，求 A。八、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并求所用線性變換的矩陣?yán)?14、