任意角、弧度制、以及任意角的三角函數(shù)

1、精品資料歡迎下載第 1 講任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)考綱1了解任意角的概念；了解弧度制的概念.2 能進(jìn)行弧度與角度的互化.3 理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.知識(shí)梳理1. 角的概念的推廣(1) 定義：角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.(、J按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零 .(2) 分類:按終邊位置不同分為象限角和軸線角.(3) 終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合 S=3A計(jì) k360 k Z.2. 弧度制的定義和公式(1)定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1 弧度的角.弧度記作 rad.公式:

2、角a的弧度數(shù)公式ia=* (弧長(zhǎng)用 1 表示)角度與弧度的換算1=180rad1 rad=仁丿弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng) 1 = | o|r扇形面積公式C112S= ?lr =?| o|r23.任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x, y)，那么y 叫做a的正弦，記作sinaX 叫做a的余弦，記作COSay叫做a的正切，記作 tanaX各象限符號(hào)I+n+一一川一一+IV一+一口訣I全正，n正弦，川正切，V余弦續(xù)表精品資料歡迎下載1.對(duì)角的概念的認(rèn)識(shí) （1）小于 90勺角是銳角.（）（2）銳角是第一象限角，反之亦然.（）將表的分針撥快 5 分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度

3、是 30 ）（4）相等的角終邊一定相同，終邊相同的角也一定相等.（）2.任意角的三角函數(shù)定義的理解（2013 濟(jì)南模擬改編）點(diǎn) P（tana,cosa在第三象限，則角a的終邊在第二象限.（）（2011 新課標(biāo)全國(guó)卷改編）已知角B的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,感悟提升1. 一個(gè)區(qū)別 “小于 90的角”、“銳角”、“第一象限的角”的區(qū)別如下：小于 90的角的范圍：一X，n，銳角的范圍：p，n，第一象限角的范圍：?kn2kn+ n（k Z）.所 以說(shuō)小于 90的角不一定是銳角，銳角是第一象限角，反之不成立.如（1）、（2）.2.三個(gè)防范 一是注意角的正負(fù)，特別是表的指針?biāo)傻慕牵纾?）;二是防止角度制與弧度制

4、在 同一式子中出現(xiàn)；辨析感悟（5）（教材練習(xí)改編）已a(bǔ)的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn) P（- 1,2）,則 sin始邊與 x 軸的正半軸重合，終邊在直線 y精品資料歡迎下載三是如果角a的終邊落在直線上時(shí)，所求三角函數(shù)值有可能有兩解，如（7）.精品資料歡迎下載考點(diǎn)一 象限角與三角函數(shù)值的符號(hào)判斷COSa【例 11若 sinatan a 0,且面； 0,則角a是().A .第一象限角B .第二象限角C.第三象限角D .第四象限角精品資料歡迎下載考點(diǎn)三扇形弧長(zhǎng)、面積公式的應(yīng)用【例 3】 已知一扇形的圓心角為 aa0),所在圓的半徑為 R.若 a60 R= 10 cm,求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形的面積；(2)若扇形的

5、周長(zhǎng)是一定值 C(C 0),當(dāng)a為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積?(2)sin 2 cos3 tan 4 的值(A .小于 0B .大于 0C.等于 0D .不存在規(guī)律方法熟記各個(gè)三角函數(shù)在每個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)是判斷的關(guān)鍵， 對(duì)于已知三角函數(shù)式符號(hào)判斷角 所在象限， 可先根據(jù)三角函數(shù)式的符號(hào)確定各三角函數(shù)值的符號(hào)，再判斷角所在象限.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限考點(diǎn)二三角函數(shù)定義的應(yīng)用【例 21已知角A的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn) P(- 3, m)(m 0)且 sinAm,試判斷角A所在的象限，并求cosA和 tanA的值.規(guī)律方法 利用三角函數(shù)的定義求一個(gè)角的三角函數(shù)值，需確定三個(gè)量：角的終邊

6、上任意一個(gè)異于 原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo) X、縱坐標(biāo) y、該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離 r.若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時(shí) 注意在終邊上任取一點(diǎn)有兩種情況(點(diǎn)所在象限不同).3【訓(xùn)練 21已知角a的終邊在直線 y= 3x 上，求 10sina+的值.cosa精品資料歡迎下載規(guī)律方法(1)在弧度制下，計(jì)算扇形的面積和弧長(zhǎng)比在角度制下更方便、簡(jiǎn)捷.(2)求扇形面積的最值應(yīng)從扇形面積出發(fā)，在弧度制下使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式或利用二次函數(shù)求最值的方法確定相應(yīng)最值【訓(xùn)練 3】(1)一個(gè)半徑為 r 的扇形，若它的周長(zhǎng)等于弧所在的半圓的弧長(zhǎng)，那么扇形的圓心角是多少弧度？扇形的面積是多少？一扇形的周長(zhǎng)為 20 cm；當(dāng)

7、扇形的圓心角a等于多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？精品資料歡迎下載1.在利用三角函數(shù)定義時(shí)，點(diǎn) P 可取終邊上任一點(diǎn)，如有可能則取終邊與單位圓的交點(diǎn).|OP|=r一定是正值.2三角函數(shù)符號(hào)是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，在理解的基礎(chǔ)上可借助口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦.3.在解簡(jiǎn)單的三角不等式時(shí)，利用單位圓及三角函數(shù)線是一個(gè)小技巧.以任意角為背景的應(yīng)用問(wèn)題【典例】(2012 山東卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，一單位圓的圓心的初始位置在(0,1)，此時(shí)圓上一點(diǎn) P 的位置在(0,0)，圓在 x 軸上沿正向滾動(dòng)，當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于(2,1)時(shí)，OP 的坐標(biāo)為反思感悟(1)解決此類問(wèn)題時(shí)應(yīng)抓住在

8、旋轉(zhuǎn)過(guò)程中角的變化，結(jié)合弧長(zhǎng)公式、解三角形等知識(shí)來(lái) 解決.常見(jiàn)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題有：表針的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題、兒童游樂(lè)場(chǎng)的摩天輪的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題等.精品資料歡迎下載【自主體驗(yàn)】已知圓 O: x2+/= 4與 y 軸正半軸的交點(diǎn)為 M，點(diǎn) M 沿圓 0 順時(shí)針運(yùn)動(dòng)步弧長(zhǎng)到達(dá)點(diǎn) N,以 0N 為終邊的角記為a則 tana=().A. - 1B. 1C. 2D. 2基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1 .若 sinaV0 且 tana0,貝 Ua是().A .第一象限角B .第二象限角C .第三象限角D .第四象限角2 . (2014 汕頭一中質(zhì)檢)一段圓弧的長(zhǎng)度等于其圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，則其圓心角的弧度數(shù)為().n2nijA.

9、3B.3C. . 3D. 23.點(diǎn) P 從(1,0)出發(fā)，沿單位圓 x2+ y2= 1 按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá) Q 點(diǎn),則 Q 的坐標(biāo)為()4. 已知點(diǎn) P sin3jn, cos 護(hù)落在角B的終邊上，且0,2n)則B的值為().n3n5n7nA.B.C.D44445. 有下列命題：1終邊相同的角的同名三角函數(shù)的值相等；2終邊不同的角的同名三角函數(shù)的值不等；3若 Sina0,則a是第一、二象限的角；A.12,C.2D.,I)若a是第二象限的角，且P(x, y)是其終邊上一點(diǎn)，則cosxX2+ y其中正確的命題的個(gè)數(shù)是().B-于,精品資料歡迎下載、填空題x 軸的非負(fù)半軸，若 P(4, y)是

10、角B終邊上一點(diǎn)，且 sin94 一7如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，角a的終邊與單位圓交于點(diǎn) A,點(diǎn) A 的縱坐標(biāo)為 5,則 cos8 .函數(shù) y=p2cos x 1 的定義域?yàn)開(kāi) .三、解答題9.寫出與下列各角終邊相同的角的集合S,并把 S 中適合不等式一 360 a720的元素a寫出來(lái)：160 21試寫出終邊在直線 y= . 3x 上的角的集合 S,并把 S 中適合不等式一 180a180的元素a寫 出來(lái).10. (1 )已知扇形周長(zhǎng)為 10,面積是 4,求扇形的圓心角；一個(gè)扇形 OAB 的面積是 1 cm2，它的周長(zhǎng)是 4 cm,求圓心角的弧度數(shù)和弦長(zhǎng) AB.6.已知角B的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為精品資料歡迎下載能力提升題組一、選擇題1. (2014 杭州模擬)已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3a 9, a+ 2),且 cos a0, sin a0,則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是().A . ( 2,3 B. ( 2,3)C. 2,3) D . 2,32.給出下列命題：1第二象限角大于第一象限角；2三