--矩陣習(xí)題課

1、2/28 nmijmnmmnnnmaaaaaaaaaaA 212222111211一、矩陣的概念一、矩陣的概念n矩陣矩陣 n行列式行列式111212122212nnnnnnaaaaaaaaa數(shù)表數(shù)表數(shù)數(shù)方陣方陣(m=n)可求行列可求行列式，非方式，非方陣陣(mn)不不可求行列可求行列式式3/28n矩陣相等矩陣相等 兩個矩陣是同型矩陣，兩個矩陣是同型矩陣，且對應(yīng)元素相等且對應(yīng)元素相等n行列式相等行列式相等 只要最后的計算結(jié)果只要最后的計算結(jié)果相等相等11010100101101101 1101010010111011014/28性質(zhì)性質(zhì)二、矩陣運算二、矩陣運算加法加法數(shù)量乘法數(shù)量乘法乘法乘法轉(zhuǎn)置

2、轉(zhuǎn)置ABBA()()ABCABC(1)()()AB CA BC (2)()A BCABAC()BC ABACA方冪方冪,kkAA AA 即即, ,個個 或或 A TA(3)();ABB A 5/28掌握乘法的運算法則掌握乘法的運算法則掌握乘法的運算規(guī)律掌握乘法的運算規(guī)律msns=nm1) ABBA 注意注意:2) ABACBC3) ABOAO or BOA可可逆逆，結(jié)結(jié)果果正正確確6/28哪個是矩陣哪個是矩陣哪個是數(shù)哪個是數(shù)為向量為向量與與注意區(qū)分注意區(qū)分,),( TT.,2,),2/1 , 0 , 0 , 2/1(:ABEBEAnTT求求矩陣矩陣維行向量維行向量設(shè)設(shè)例例 （留為練習(xí)）（留為練

3、習(xí)）1101:020 ,2.101nnnAAAA 例例 設(shè)設(shè)矩矩陣陣求求7/28三、一些特殊的矩陣三、一些特殊的矩陣 零矩陣零矩陣 單位矩陣單位矩陣 對角矩陣對角矩陣 準(zhǔn)對角矩陣準(zhǔn)對角矩陣 (上上, 下下) 三角矩陣三角矩陣 數(shù)量矩陣數(shù)量矩陣 對稱矩陣及反對稱矩陣對稱矩陣及反對稱矩陣 初等矩陣初等矩陣運算規(guī)律運算規(guī)律是否可逆是否可逆 逆矩陣是什么逆矩陣是什么 伴隨矩陣伴隨矩陣兩個上兩個上( 下下) 三角矩陣的乘積三角矩陣的乘積仍是仍是上上( 下下) 三角矩陣三角矩陣8/28四、矩陣乘積的行列式四、矩陣乘積的行列式定理定理1 設(shè)設(shè) 為數(shù)域為數(shù)域 上的上的 級矩陣，級矩陣，則則,A BPn.ABA

4、 B 1212| |.ttA AAAAA 推廣推廣 為數(shù)域為數(shù)域 上的上的 級方陣，則級方陣，則12,tA AAPn注意注意 |AB|A|B|9/28五、矩陣的逆五、矩陣的逆n定義定義 AB=BA=E1(|)(|)A EE A 初初等等行行變變換換n逆矩陣的求法逆矩陣的求法 *1AAA ,BABE 找找使使常用于證明常用于證明(簡便，實用簡便，實用)10/28可逆可逆矩陣矩陣的的運算規(guī)律運算規(guī)律 且且可可逆逆則則數(shù)數(shù)可可逆逆若若, 0,2AA 3,A BAB若若為為同同級級方方陣陣且且均均可可逆逆 則則亦亦可可逆逆 且且 .111 AA .,1111AAAA 且且亦亦可可逆逆則則可可逆逆若若

5、1ABB1 1 A .,4AAAAT 且且亦亦可可逆逆則則可可逆逆若若TT1 1 (5) 若若A可逆，則可逆，則 亦亦 可逆，且可逆，且 kA 11.kkAA 11/28n級方陣級方陣A可逆可逆矩陣矩陣可逆的可逆的充分必要條件充分必要條件0A非退化非退化A( )0R AnAA可表示為有限個初等矩陣之積可表示為有限個初等矩陣之積存在可逆陣存在可逆陣P, Q使得使得PAQ=EA和和E等價等價n矩陣可逆的判別矩陣可逆的判別 （非奇異）（非奇異）AX=O只有零解只有零解AX=b 有唯一解有唯一解A的行的行(列列)向量組線性無關(guān)向量組線性無關(guān)12/28伴隨矩陣相關(guān)的問題伴隨矩陣相關(guān)的問題*AAA AA

6、E 性質(zhì)性質(zhì) 定義定義11211*1222212nnnnnnAAAAAAAAAA 13/28*1:100 220 ,) .345AAAA 練練習(xí)習(xí)設(shè)設(shè)是是 的的伴伴隨隨矩矩陣陣，求求( (*AAA AA E 性質(zhì)性質(zhì)的應(yīng)用的應(yīng)用| 0,A 若若1*1|AAA *11()|AAA *1|AA A *1|()AAA 14/281*1)()( AA 與伴隨矩陣相關(guān)的幾個關(guān)系與伴隨矩陣相關(guān)的幾個關(guān)系*()A 1|nA *()()TTAA 2| (2)nAAn *()kA 1*1)()( AA 當(dāng)當(dāng) A可逆時，常利用性質(zhì)將對有關(guān)可逆時，常利用性質(zhì)將對有關(guān) A*的計算和的計算和證明轉(zhuǎn)化為對證明轉(zhuǎn)化為對 A

7、的計算和證明的計算和證明1*nkA *|A A未未必必可可逆逆*()ABB A 自證自證15/28 伴隨矩陣的秩伴隨矩陣的秩nP202 27*(2),(),()1,()1,0,()1.AnnnR AnR AR AnR An 為為 級級矩矩陣陣那那么么16/28證明：證明：1）當(dāng)）當(dāng)R(A)=n時時, 0|1* nAA|A|0,.)(*nAR 所以所以2）當(dāng)）當(dāng)R(A)=n1時時, |A|0, 所以所以*| |,AAA EO*()( ),R AR An所以所以*()( )R AnR A(1)1,nn又因為又因為R(A)=n1時時, A至少有一個至少有一個n-1級子式不等級子式不等于零，于零， 所

8、以所以*,AO *()1.R A 綜上得綜上得*()1.R A 3）當(dāng)）當(dāng)R(A)n1時時, A的任意的任意n-1級子式都等于零，級子式都等于零，所以所以*,AO *()0.R A 17/28例例 求矩陣求矩陣B滿足滿足A*BA=2BA8E,其中其中解：將矩陣方程兩邊移項、提公因子，得解：將矩陣方程兩邊移項、提公因子，得.100020001 AA*BA2BA8E(A*2E)BA8E再左乘再左乘 A, 右乘右乘A-1(|A|0)，得，得A(A*2E)BAA-1A(8E) A-1利用利用AA*=|A|E,|A|=2,代入上式得代入上式得(2A2E)B8E所以所以B 4(AE)1 200040002

9、先化先化簡簡18/28六、矩陣的秩六、矩陣的秩行行(列列)向量組的秩向量組的秩T0( )min , (2) ()( )(3) ,( )( )(4) ()( )(5) max ( )( )(|)( )( )(6) ()( )( )(7) ()min ( )( )(8) ( )(m nn pR Am nR AR AA BR AR BPQR PAQR AR AR BR A BR AR BR ABR AR BR ABR AR BAB0R AR B ( (1 1) ) 若若則則若若 、 可可逆逆，則則，若若，關(guān)關(guān)于于矩矩陣陣的的秩秩，性性則則有有如如下下質(zhì)質(zhì)：)n T0( )min , (2) ()(

10、)(3) ,( )( )(4) ()( )(5) max ( )( )(|)( )( )(6) ()( )( )(7) ()min ( )( )(8) ( )(m nn pR Am nR AR AA BR AR BPQR PAQR AR AR BR A BR AR BR ABR AR BR ABR AR BAB0R AR B ( (1 1) ) 若若則則若若 、 可可逆逆，則則，若若，關(guān)關(guān)于于矩矩陣陣的的秩秩，性性則則有有如如下下質(zhì)質(zhì)：)n T0( )min, (2) ()( )(3) ,( )( )(4) ()( )(5) max ( )( )(|)( )( )(6) ()( )( )(7)

11、 ()min ( )( )(8) ( )(m nn pR Am nR AR AA BR AR BPQR PAQR AR AR BR A BR AR BR ABR AR BR ABR AR BAB0R AR B (1) (1) 若若則則若若 、 可可逆逆，則則，若若，關(guān)關(guān)于于矩矩陣陣的的秩秩，性性則則有有如如下下質(zhì)質(zhì)：)n T0( )min, (2) ()()(3) ,( )()(8) ()()(5) max( )()(|)( )()(6) ()( )()(7) ()min ( )()(8) ()(m nn pR Am nR AR AA BR AR BPQR PAQR AR AR BR A BR

12、 AR BR ABR AR BR ABR AR BAB0R AR B ( (1 1) ) 若若則則若若 、可可逆逆，則則，若若，關(guān)關(guān)于于矩矩陣陣的的秩秩，性性則則有有如如下下質(zhì)質(zhì)：)n T0( )min, (2) ()( )(3) ,( )( )(4) ()( )(7) max ( )( )(|)( )( )(6) ()( )( )(7) ()min ( )( )(8) ( )(m nn pR Am nR AR AA BR AR BPQR PAQR AR AR BR A BR AR BR ABR AR BR ABR AR BAB0R AR B (1) (1) 若若則則若若 、 可可逆逆，則則，

13、若若，關(guān)關(guān)于于矩矩陣陣的的秩秩，性性則則有有如如下下質(zhì)質(zhì)：)n T0( )min, (2) ()( )(3) ,( )( )(4) ()( )(5) max ( )( )(|)( )( )(3) ()( )( )(7) ()min ( )( )(8) ( )(m nn pR Am nR AR AA BR AR BPQR PAQR AR AR BR A BR AR BR ABR AR BR ABR AR BAB0R AR B (1) (1) 若若則則若若 、 可可逆逆，則則，若若，關(guān)關(guān)于于矩矩陣陣的的秩秩，性性則則有有如如下下質(zhì)質(zhì)：)n T0( )min, (2) ()( )(3) ,( )(

14、)(4) ()( )(5) max ( )( )(|)( )( )(6) ()( )( )(4) ()min ( )( )(8) ( )(m nn pR Am nR AR AA BR AR BPQR PAQR AR AR BR A BR AR BR ABR AR BR ABR AR BAB0R AR B (1) (1) 若若則則若若 、 可可逆逆，則則，若若，關(guān)關(guān)于于矩矩陣陣的的秩秩，性性則則有有如如下下質(zhì)質(zhì)：)n T0( )min, (2) ()( )(3) ,( )( )(4) ()( )(5) max ( )( )(|)( )( )(6) ()( )( )(7) ()min ( )( )

15、(5) ( )(m nn pR Am nR AR AA BR AR BPQR PAQR AR AR BR A BR AR BR ABR AR BR ABR AR BABOR AR B (1) (1) 若若則則若若 、 可可逆逆，則則，若若，關(guān)關(guān)于于矩矩陣陣的的秩秩，性性則則有有如如下下質(zhì)質(zhì)：)n (6) 若矩陣若矩陣A，B等價等價，R(A)=R(B)OAAR 0)(且且19/28nEAREAREAnnA )()( ,2那那么么矩矩陣陣，證證明明：若若為為設(shè)設(shè)P203 3題,)(2OEAEAEA 可可知知證證明明：由由）所所以以（習(xí)習(xí)題題 18nEAREAR )()()()()()(AEREAR

16、EAREAR 又又)(AEEAR )2( ER n 幺冪矩陣幺冪矩陣AA 2冪等矩陣冪等矩陣所以，結(jié)論成立所以，結(jié)論成立20/28七、分塊矩陣七、分塊矩陣大矩陣看成由一些小矩陣組成大矩陣看成由一些小矩陣組成在運算中把小矩陣當(dāng)作數(shù)來處理在運算中把小矩陣當(dāng)作數(shù)來處理分塊乘法可行的條件分塊乘法可行的條件前一矩陣列的分法與后一矩陣行的分法一致前一矩陣列的分法與后一矩陣行的分法一致分塊方法分塊方法: : 盡量分出一些單位陣和零矩陣作為子塊盡量分出一些單位陣和零矩陣作為子塊 按行（列）分塊按行（列）分塊 21/28n mnmmnnaaaaaaaaa212222111211A nBBB21 12mBBB 1

17、2mBBB nBBB2122/283）已知）已知3 階方陣階方陣 B0，且，且B 的每一個列向量都是的每一個列向量都是方程組方程組的解向量的解向量，則，則 = ；12312312322020(*)30 xxxxxxxxx 333231232221131211bbbbbbbbbBbbb211解：解： 321,bbbB |B|= .因為因為 B 的每一個列向量都是方程組的每一個列向量都是方程組 Ax=0 的解，的解，所以所以 Abi=0),(321AbAbAb 即即AB=O ，0| B=O=0=0又由于又由于則有則有),(321bbbA(i =1,2,3) ,=0122211,311AO 023/

18、28即即AB=O ，122211311AO 0| B反證，若不然反證，若不然0| B，則，則 B 可逆可逆 A與已知條件矛盾，與已知條件矛盾，1 ABB又由于又由于故有故有 | B |=0 .=O1 BO24/28*1:,|,.(1).(2):.TTTAnnbEOAPQAAAbAEnPQQAb 例例 設(shè)設(shè) 為為 級級非非奇奇異異矩矩陣陣為為 維維列列向向量量為為常常數(shù)數(shù)記記其其中中為為矩矩陣陣的的伴伴隨隨矩矩陣陣為為 級級單單位位矩矩陣陣計計算算證證明明可可逆逆的的充充分分必必要要條條件件是是*1:|.|()TTTTTTEOAPQAAbAA AAAb AAOAbA 解解.)( |,|,|:1*

19、1* AbAOAAbAAAAAbAAAOEPQAAAEAAATTTTTT于是于是故故由于由于解解 A *|TTA AA*|TAb A25/28*1*1:|,|,|.|()TTTTTTA AA EAA AEOAPQAAbAPQA AAAb AAOA bA 解解 由由于于故故于于是是.,0| ,),( | , 0|,|),(| )2(11112bAQbAQAbAQAPQPPQAbAPQTTTT 分必要條件為分必要條件為可逆充可逆充即即充分必要充分必要由此可知由此可知所以所以且且而而.)( |,|,|:1*1* AbAOAAbAAAAAbAAAOEPQAAAEAAATTTTTT于于是是故故由由于于解

20、解.,0| ,),( | , 0|,|),(| )2(11112bAQbAQAbAQAPQPPQAbAPQTTTT 分分必必要要條條件件為為可可逆逆充充即即充充分分必必要要由由此此可可知知所所以以且且而而.,0| ,),( | , 0|,|),(| )2(11112bAQbAQAbAQAPQPPQAbAPQTTTT 分分必必要要條條件件為為可可逆逆充充即即充充分分必必要要由由此此可可知知所所以以且且而而*1*1|,|,|.|()TTTTTTA AA EAA AEOAPQAAbAA AAAb AAOAbA 由由于于故故于于是是.,0| ,),( | , 0|,|),(| )2(11112bAQbAQAbAQAPQPPQAbAPQTTTT 分必要條件為分必要條件為可逆充可逆充即即充分必要充分必要由此可知由此可知所以所以且且而而.,0| ,),( | , 0|,|),(|