蘇州市2017年中考數(shù)學(xué)《對(duì)稱圖形—圓》拓展課本例題

1、.拓展課本例題 演繹中考精彩 課本例題、習(xí)題是經(jīng)過(guò)專家精心遴選的，具有典型性、示范性的題目，而且具有可拓展的功能.從學(xué)生認(rèn)知思維的最近發(fā)展區(qū)域，以課本習(xí)題為原型，從題設(shè)、結(jié)論及圖形結(jié)構(gòu)全方位、多角度的探究與聯(lián)想，挖掘其蘊(yùn)藏的深層內(nèi)涵，可以引導(dǎo)學(xué)生深刻領(lǐng)悟解決問(wèn)題的策略，優(yōu)化思維品質(zhì)，提升數(shù)學(xué)的思維水平.本文以蘇科版數(shù)學(xué)九年級(jí)對(duì)稱圖形圓中的一道習(xí)題為例，詮釋如下. 引例 如圖1，是的直徑，是上的一點(diǎn)，垂直于過(guò)點(diǎn)的切線，垂足為，則平分. 變式拓展1 將習(xí)題的條件切線與結(jié)論角的平分線交換，構(gòu)造其逆命題，附加某些線段的長(zhǎng)度計(jì)算圓中弦長(zhǎng)或陰影部分的面積. 例1 (2016年黃石中考題)如圖2, 的直徑為

2、，點(diǎn)在圓周上(異于，) ，. (1)若，求的值; (2)若是的平分線，求證:直線是的切線. 分析 (1)首先根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到直角三角形，然后利用勾股定理便可求得的長(zhǎng). (2)連結(jié)，證即可;利用角平分線的性質(zhì)和等邊對(duì)等角，可證得，即可得到.由于，那么，由此得證.解 (1) 是的直徑，點(diǎn)在上在中，,由勾股定理，得.(2)如圖3，連結(jié).，,又是的角平分線，,，,又，,是的切線. 評(píng)注 此題要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連結(jié)圓心與這點(diǎn)(即為半徑)，再證垂直即可. 例2 (2016年咸寧中考題)如圖4，在中，的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，分別交，于點(diǎn)，

3、F. (1)試判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由; (2)若，求陰影部分的面積(結(jié)果保留).解析 (1) 與相切，理由略.(2)設(shè)的半徑為,則，.由(1)知,，即，解得,，.于是有. 評(píng)注 本題將陰影部分(不規(guī)則圖形)的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形(可求面積)面積的和或差()，這是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵. 變式拓展2 將換成半圓，并延長(zhǎng)切線與直徑使之相交，形(圖形結(jié)構(gòu)變化)變而神(條件、結(jié)論)不變. 例3 (2016年黃岡中考題)如圖5，是半圓的直徑，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，切于點(diǎn)，垂足為，連結(jié). (1)求證:; (2)求證:. 分析 (1)連結(jié)，由為圓的切線，利用切線的性質(zhì)，得到垂直于.由垂直于，得到與平行，利用兩

4、直線平行得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等;再由,利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，等量代換即可得證. (2)連結(jié)，由為圓的直徑，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到為直角三角形.根據(jù)一對(duì)直角相等，以及第一問(wèn)的結(jié)論得到一對(duì)角相等，確定出與相似，由相似得比例，變形即可得證(證明略). 變式拓展3 添加中的銳角三角形函數(shù)值，探究的弦分所成的線段的比值. 例4 (2016年武漢中考題)如圖6，點(diǎn)在以為直徑的上，與過(guò)點(diǎn)的切線垂直，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn). (1)求證:平分; (2)連結(jié)交于點(diǎn)，若，求的值. 解析 (1)因?yàn)槭堑那芯€，根據(jù)“有切點(diǎn)連半徑”，我們可以連接半徑，根據(jù)“切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑”，所以又，,又，,所以平分.(

5、2)連結(jié)，在中,由，可設(shè),則，,由，可得，,.由，可得,，,. 評(píng)注 本題的第(2)問(wèn)也可以通過(guò)，求出直徑(用表示)，進(jìn)而得到半徑，利用四邊形(是與的交點(diǎn))是矩形，得到.進(jìn)而根據(jù)勾股定理求出，在根據(jù)三角形中位線求出，最后得到，將的值轉(zhuǎn)化為來(lái)求.變式拓展4 豐富課本習(xí)題的圖形的結(jié)構(gòu)，并添加相關(guān)條件，繼續(xù)深化探究問(wèn)題的結(jié)論 例5 (2016年孝感中考題)如圖7，在中，點(diǎn)在上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的與相切于點(diǎn)，與，分別相交于點(diǎn)，連結(jié)與，相交于點(diǎn). (I)求證:平分. (2)若于點(diǎn)，平分，.試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由;求的半徑. 分析 (1)略.(2)平分,又,即，； 設(shè),則.，,，,，,，.為直徑，.的半徑為. 評(píng)注 本題將課本中相關(guān)習(xí)題與例題融合在一起，使圖形的結(jié)構(gòu)變得更加復(fù)雜，這就需要我們學(xué)會(huì)能夠從復(fù)雜圖形中分離出基本圖形的技能，從而利用簡(jiǎn)單圖形的性質(zhì)解決問(wèn)題. 從上述對(duì)課本習(xí)題與中考試題的對(duì)比分析中可以發(fā)現(xiàn)，許多中考試題源于課本，高于課本.這就啟發(fā)我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中，要立足于課本，在學(xué)好基礎(chǔ)知識(shí)，掌握基本技能和方法的基礎(chǔ)上，多角度挖掘開發(fā)例習(xí)題中蘊(yùn)含的豐富內(nèi)涵，學(xué)會(huì)對(duì)自己已解決的問(wèn)題進(jìn)行反思、聯(lián)想、總結(jié).一方面反思問(wèn)題的解題思路能否能遷移;另一