北師大新版七年級數(shù)學下兩直線的位置關系講義(含試題及答案)

1、、知識概述1、同一平面內兩條直線的位置關系有相交和平行兩種.(1)相交線：若兩條直線只有一個公共點，我們稱這兩條直線為相交線.這 個公共點叫做交點.(2)平行線：在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線.注意：互相重合的直線通?？醋鲆粭l直線.2、對頂角如圖，/ 1和/3, / 2和/ 4有一個公共頂點，且/ 1的兩邊分別是/ 3的 兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，叫做對頂角.3、對頂角性質對頂角相等.文字語言對頂角相等符號語言4、補角和余角如果兩個角的和是180 ,那么稱這兩個角互為補角.如圖，/1 + /2=180 ,則說/ 1與/ 2互為補角，即/ 1是/ 2的補角，同時/ 2

2、也是/ 1的補角.如果兩個角的和是90 ,那么稱這兩個角互為余角.5、余角、補角的性質同角或等角的余角相等，同角或等角的補角相等.6、垂線定義：兩條直線相交成四個角，如果有一個角是直角，那么稱這兩條直 線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.直線AB與CD互相垂直，記作 ABCD , t作“AB垂直于CD.若直線，與直線m垂直，記作1 L班.7、垂線性質(1)平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.(2)直線外一點與直線上各點連接的所有線段中， 垂線段最短.簡單說成： 垂線段最短.兩直線垂直的位置關系是用角來刻畫的；兩直線垂直并不限于橫平豎直的位置，要善于認識

3、不同位置圖形的垂直情 況，如圖.今后遇到線段、射線間的垂直，都是指它們所在直線互相垂直， 垂足可能在 線段(或射線)上，也可能在線段的(或射線的反向)延長線上.8、點到直線的距離直線外一點到這條直線的垂線段白長度，叫做點到直線的距離 .注意：垂線段：是一個幾何圖形；距離：是一個數(shù)量，這個數(shù)量是垂線段的 長度.、典型例題講解例1、如圖，兩條筆直的街道AB CD相交于點O,街道OE OF分別平分/4口叮、勺8 ,請說明街道EOF是筆直的.分析：要說明街道EO支筆直的，也就是要判斷EO支一條直線，只需判斷/&?尸=/1+&。F=1時口，因為/2十143=1那，所以只要求出山=上2即可.解：zi= I

4、z/lCC因為乙401與2HQD是對頂角，所以乙4 0C=/EQD.又因為2,Z2=-ZCD2,所以,因為/2十41口尸=1犯”，所以4+乙4緲=1,即L呢F = 1即”，所以EO支一條直線，即街道EO既筆直的.例2、已知，如圖，直線 AB CD互相垂直，垂足為0,直線EF過點0, / DOF 32 ,你能求出/ A0E勺度數(shù)嗎？E C分析:我們由AB，CD可知/AOC= 90 ,因此，/ AOEt/EOC互余.又因為/ EOC 與/DO/對頂角，于是/ EOC= 32 ,于是/ AOEM求.解法一： 直線CM EF交于O（已知）， / EOC / DOF （對頂角相等）./DOF32 （已知

5、）， /EO已32 （等量代換）.AB CD互相垂直（已知）， /AO於900 （垂直定義）. AO / EOC= 90 . /AOM 900 /EO秘 900 - 32 = 58 .解法二： 直線AB CD互相垂直（已知）， /BO氏900 （垂直定義）. / BO斗 / DOF 90 ./DOF32 （已知）， ./ BOF= 900 DOF 580 . 直線AB與直線EF交于點O （已知）， / AOM / BOF （對頂角相等）. /AOM 58 .反思：第一種解法先用對頂角后用互余，第二種解法先用互余后用對頂角,我們在 平時做題時也應該多想多做，多角度分析解決問題 .例3、如圖，直線

6、AB交CDT點0,由點O引射線OG OE OF使OC平分/ EOG /AOG /FOE / BO560 ,求 / FOC.分析：要求/ FOC根據(jù)已知條件只有/ BO年56 ,因此應從/ FOCW/ BOD勺關 系入手求解.解：: OC分/ EOG. / 1 = / 2.（角平分線定義）/ FOE= / AOG / FOB / 1 = /AO3 /2即/ FOC= / AOC.（等式的性質）又AB CDffi交于點O,./AOCW/BO比對頂角.由“對頂角相等，可得/ AO秘/ BOD. ./ FOC= / BOD / BO氏 560 , FOC= 560 .例4、已知兩條相交直線所組成的四個

7、角中有兩個角，其中一角比另一個角的4倍小15 ,求這兩個角的度數(shù).分析：這兩個角可能是對頂角，也可能是互為補角，故有兩種情況.解：設另一個角為x度，則其中一個角為(4x15)度,于是 x = 4x 15 或 x+ (4x 15) = 180解彳4 x = 5或x = 39這時 4x15=5 或 141答：這兩個角為5 , 5或39 , 141 .例5、如圖，直線AB, CD相交于點Q Q是CD上一點，(1)過點QUAB的垂線，E是垂足，(2)過點。畫CD的垂線.解析：要正確畫好垂線，要注意兩個方面：一方面要遵循“一靠二落三畫， “一 靠”即用三角板的一條直角邊靠在已知直線上， “二落”即使Q點

8、落在另一條直 角邊上，“三畫”即過 Q點畫出與已知直線垂直的直線.另一方面要認清過哪個 點與哪條直線垂直.答案：如下圖.1、如圖，已知直線 AB與CD相交于點O, OELCD垂足為0,則圖中/ AOEffi/ DOB勺關系是()A.同位角B.對頂角C互為補角D.互為余角2、點到直線的距離是指（）A.直線外一點與這條直線上任意一點的距離口 B.直線外一點到這條直線的垂線的長度C直線外一點到這條直線的垂線段D.直線外一點到這條線的垂線段的長度3、可以判定兩條直線垂直的語句是（）A.對頂角相等B,兩鄰角白和等于180C所成的四個角均相等D.同角的補角相等4、如圖， ABC, / C= 90 , AO

9、3,點P是邊BC上的動點，則 AP長不可 能是（）A. 2.5 B ,I B. 3C. 4D. 55、已知/ a是銳角，/ a與/ B互補，/ a與/ 丫互余，則/ B / 丫的值等 于（） A. 450 廠 B. 60廠 C. 90 D. 1806、如圖，CD!AB,垂足為D, AC!BC垂足為C.圖中線段的長能表示點到直線 （或線段）距離的線段有（） -= , K-UK中我:kr,rrK?:0:悠卷您尊裝微處 vHvHvwvvHdR-K ; kz-tmavmv*:。；.： 沼孝袈：法定尊噩國 si您蕨爵厘懣一 轡B口a. 1條廠B. 3條廠C. 5條 D. 7條7、下列說法中，正確的是（）

10、A. 一條射線把一個角分成兩個角，這條射線叫做這個角的平分線口 B. P是直線l外一點，A, B, C分別是l上的三點，已知PA= 1, PB= 2, PC =3,則點P到l的距離一定是1C相等的角是對頂角D.鈍角的補角一定是銳角8、若 AOL BQ 垂足為 0, /AOC / AO由 2： 9,則 / A. 200 廠 B. 700 C. 110 廠 D. 700 或 1109、如圖，OALOB OCLOD則下列敘述中正確的一項是0廠 A. /AO秘 /AoD B. /AOD= /BOD廠 C. /A0秘/boD D,以上都/、對DDCAC CDDC二、解答題10、如圖，直線EF、BC相交十

11、點0, /A0O直角，/ 度數(shù).3ccE隱藏答案解：觀察圖形并結合題意可以得到兩種方法求/, 90 /AOF 一是利用對頂角相等/ BOB /COF. i解法L:因為/ A0B 115 （已知）， :所以 /AOa 180 115 =65 （平角定義）.BOC勺度數(shù)等于（）（ ）AOE= 115 ,求/ COF勺COFl是利用余角定義,1i=：:=:：:8、若AQLBQ 垂足為O, Z AOC / AO樂2 ： 9,則/ BOCB勺度數(shù)等于（A. 20 B. 70C. 110 D. 70 或 1109、如圖，O4OB OdOQ則下列敘述中正確的一項是（A. /A0 秘/AOD B. / AO/

12、BODC. / AO秘/BOD D.以上都不對DDCAC CDDC二、解答題10、如圖，直線EF、BC相交于點0, /AOO直角，Z AO115 ,求/ CO中勺 度數(shù).隱藏答案解：觀察圖形并結合題意可以得到兩種方法求/ COFl是利用余角定義90 / AOF 一是利用對頂角相等/ BOZCOF.解法一：因為/ A0展115 （已知），所以/AOai80 -115 =65 （平角定義）A. 20 B. 70C. 110 D. 70 或 1109、如圖，O4OB OdOQ則下列敘述中正確的一項是（A. /A0 秘/AOD B. / AO/BODC. / AO秘/BOD D.以上都不對DDCAC CDDC二、解答題10、如圖，直線EF、BC相交于點0,