北師大新版七年級(jí)數(shù)學(xué)下兩直線的位置關(guān)系講義(含試題及答案)

1、、知識(shí)概述1、同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有相交和平行兩種.(1)相交線：若兩條直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，我們稱這兩條直線為相交線.這 個(gè)公共點(diǎn)叫做交點(diǎn).(2)平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.注意：互相重合的直線通常看做一條直線.2、對(duì)頂角如圖，/ 1和/3, / 2和/ 4有一個(gè)公共頂點(diǎn)，且/ 1的兩邊分別是/ 3的 兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角，叫做對(duì)頂角.3、對(duì)頂角性質(zhì)對(duì)頂角相等.文字語言對(duì)頂角相等符號(hào)語言4、補(bǔ)角和余角如果兩個(gè)角的和是180 ,那么稱這兩個(gè)角互為補(bǔ)角.如圖，/1 + /2=180 ,則說/ 1與/ 2互為補(bǔ)角，即/ 1是/ 2的補(bǔ)角，同時(shí)/ 2

2、也是/ 1的補(bǔ)角.如果兩個(gè)角的和是90 ,那么稱這兩個(gè)角互為余角.5、余角、補(bǔ)角的性質(zhì)同角或等角的余角相等，同角或等角的補(bǔ)角相等.6、垂線定義：兩條直線相交成四個(gè)角，如果有一個(gè)角是直角，那么稱這兩條直 線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.直線AB與CD互相垂直，記作 ABCD , t作“AB垂直于CD.若直線，與直線m垂直，記作1 L班.7、垂線性質(zhì)(1)平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.(2)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中， 垂線段最短.簡單說成： 垂線段最短.兩直線垂直的位置關(guān)系是用角來刻畫的；兩直線垂直并不限于橫平豎直的位置，要善于認(rèn)識(shí)

3、不同位置圖形的垂直情 況，如圖.今后遇到線段、射線間的垂直，都是指它們所在直線互相垂直， 垂足可能在 線段(或射線)上，也可能在線段的(或射線的反向)延長線上.8、點(diǎn)到直線的距離直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段白長度，叫做點(diǎn)到直線的距離 .注意：垂線段：是一個(gè)幾何圖形；距離：是一個(gè)數(shù)量，這個(gè)數(shù)量是垂線段的 長度.、典型例題講解例1、如圖，兩條筆直的街道AB CD相交于點(diǎn)O,街道OE OF分別平分/4口叮、勺8 ,請(qǐng)說明街道EOF是筆直的.分析：要說明街道EO支筆直的，也就是要判斷EO支一條直線，只需判斷/&?尸=/1+&。F=1時(shí)口，因?yàn)?2十143=1那，所以只要求出山=上2即可.解：zi= I

4、z/lCC因?yàn)橐?01與2HQD是對(duì)頂角，所以乙4 0C=/EQD.又因?yàn)?,Z2=-ZCD2,所以,因?yàn)?2十41口尸=1犯”，所以4+乙4緲=1,即L呢F = 1即”，所以EO支一條直線，即街道EO既筆直的.例2、已知，如圖，直線 AB CD互相垂直，垂足為0,直線EF過點(diǎn)0, / DOF 32 ,你能求出/ A0E勺度數(shù)嗎？E C分析:我們由AB，CD可知/AOC= 90 ,因此，/ AOEt/EOC互余.又因?yàn)? EOC 與/DO/對(duì)頂角，于是/ EOC= 32 ,于是/ AOEM求.解法一： 直線CM EF交于O（已知）， / EOC / DOF （對(duì)頂角相等）./DOF32 （已知

5、）， /EO已32 （等量代換）.AB CD互相垂直（已知）， /AO於900 （垂直定義）. AO / EOC= 90 . /AOM 900 /EO秘 900 - 32 = 58 .解法二： 直線AB CD互相垂直（已知）， /BO氏900 （垂直定義）. / BO斗 / DOF 90 ./DOF32 （已知）， ./ BOF= 900 DOF 580 . 直線AB與直線EF交于點(diǎn)O （已知）， / AOM / BOF （對(duì)頂角相等）. /AOM 58 .反思：第一種解法先用對(duì)頂角后用互余，第二種解法先用互余后用對(duì)頂角,我們?cè)?平時(shí)做題時(shí)也應(yīng)該多想多做，多角度分析解決問題 .例3、如圖，直線

6、AB交CDT點(diǎn)0,由點(diǎn)O引射線OG OE OF使OC平分/ EOG /AOG /FOE / BO560 ,求 / FOC.分析：要求/ FOC根據(jù)已知條件只有/ BO年56 ,因此應(yīng)從/ FOCW/ BOD勺關(guān) 系入手求解.解：: OC分/ EOG. / 1 = / 2.（角平分線定義）/ FOE= / AOG / FOB / 1 = /AO3 /2即/ FOC= / AOC.（等式的性質(zhì)）又AB CDffi交于點(diǎn)O,./AOCW/BO比對(duì)頂角.由“對(duì)頂角相等，可得/ AO秘/ BOD. ./ FOC= / BOD / BO氏 560 , FOC= 560 .例4、已知兩條相交直線所組成的四個(gè)

7、角中有兩個(gè)角，其中一角比另一個(gè)角的4倍小15 ,求這兩個(gè)角的度數(shù).分析：這兩個(gè)角可能是對(duì)頂角，也可能是互為補(bǔ)角，故有兩種情況.解：設(shè)另一個(gè)角為x度，則其中一個(gè)角為(4x15)度,于是 x = 4x 15 或 x+ (4x 15) = 180解彳4 x = 5或x = 39這時(shí) 4x15=5 或 141答：這兩個(gè)角為5 , 5或39 , 141 .例5、如圖，直線AB, CD相交于點(diǎn)Q Q是CD上一點(diǎn)，(1)過點(diǎn)QUAB的垂線，E是垂足，(2)過點(diǎn)。畫CD的垂線.解析：要正確畫好垂線，要注意兩個(gè)方面：一方面要遵循“一靠二落三畫， “一 靠”即用三角板的一條直角邊靠在已知直線上， “二落”即使Q點(diǎn)

8、落在另一條直 角邊上，“三畫”即過 Q點(diǎn)畫出與已知直線垂直的直線.另一方面要認(rèn)清過哪個(gè) 點(diǎn)與哪條直線垂直.答案：如下圖.1、如圖，已知直線 AB與CD相交于點(diǎn)O, OELCD垂足為0,則圖中/ AOEffi/ DOB勺關(guān)系是()A.同位角B.對(duì)頂角C互為補(bǔ)角D.互為余角2、點(diǎn)到直線的距離是指（）A.直線外一點(diǎn)與這條直線上任意一點(diǎn)的距離口 B.直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線的長度C直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段D.直線外一點(diǎn)到這條線的垂線段的長度3、可以判定兩條直線垂直的語句是（）A.對(duì)頂角相等B,兩鄰角白和等于180C所成的四個(gè)角均相等D.同角的補(bǔ)角相等4、如圖， ABC, / C= 90 , AO

9、3,點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，則 AP長不可 能是（）A. 2.5 B ,I B. 3C. 4D. 55、已知/ a是銳角，/ a與/ B互補(bǔ)，/ a與/ 丫互余，則/ B / 丫的值等 于（） A. 450 廠 B. 60廠 C. 90 D. 1806、如圖，CD!AB,垂足為D, AC!BC垂足為C.圖中線段的長能表示點(diǎn)到直線 （或線段）距離的線段有（） -= , K-UK中我:kr,rrK?:0:悠卷您尊裝微處 vHvHvwvvHdR-K ; kz-tmavmv*:。；.： 沼孝袈：法定尊噩國 si您蕨爵厘懣一 轡B口a. 1條廠B. 3條廠C. 5條 D. 7條7、下列說法中，正確的是（）

10、A. 一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線口 B. P是直線l外一點(diǎn)，A, B, C分別是l上的三點(diǎn)，已知PA= 1, PB= 2, PC =3,則點(diǎn)P到l的距離一定是1C相等的角是對(duì)頂角D.鈍角的補(bǔ)角一定是銳角8、若 AOL BQ 垂足為 0, /AOC / AO由 2： 9,則 / A. 200 廠 B. 700 C. 110 廠 D. 700 或 1109、如圖，OALOB OCLOD則下列敘述中正確的一項(xiàng)是0廠 A. /AO秘 /AoD B. /AOD= /BOD廠 C. /A0秘/boD D,以上都/、對(duì)DDCAC CDDC二、解答題10、如圖，直線EF、BC相交十

11、點(diǎn)0, /A0O直角，/ 度數(shù).3ccE隱藏答案解：觀察圖形并結(jié)合題意可以得到兩種方法求/, 90 /AOF 一是利用對(duì)頂角相等/ BOB /COF. i解法L:因?yàn)? A0B 115 （已知）， :所以 /AOa 180 115 =65 （平角定義）.BOC勺度數(shù)等于（）（ ）AOE= 115 ,求/ COF勺COFl是利用余角定義,1i=：:=:：:8、若AQLBQ 垂足為O, Z AOC / AO樂2 ： 9,則/ BOCB勺度數(shù)等于（A. 20 B. 70C. 110 D. 70 或 1109、如圖，O4OB OdOQ則下列敘述中正確的一項(xiàng)是（A. /A0 秘/AOD B. / AO/

12、BODC. / AO秘/BOD D.以上都不對(duì)DDCAC CDDC二、解答題10、如圖，直線EF、BC相交于點(diǎn)0, /AOO直角，Z AO115 ,求/ CO中勺 度數(shù).隱藏答案解：觀察圖形并結(jié)合題意可以得到兩種方法求/ COFl是利用余角定義90 / AOF 一是利用對(duì)頂角相等/ BOZCOF.解法一：因?yàn)? A0展115 （已知），所以/AOai80 -115 =65 （平角定義）A. 20 B. 70C. 110 D. 70 或 1109、如圖，O4OB OdOQ則下列敘述中正確的一項(xiàng)是（A. /A0 秘/AOD B. / AO/BODC. / AO秘/BOD D.以上都不對(duì)DDCAC CDDC二、解答題10、如圖，直線EF、BC相交于點(diǎn)0,